2014 iii 12 relaciones binarias

1 Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo

Semana Nº 12

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS CICLO 2014 – III

ALGEBRA “RELACIONES BINARIAS”

Relación binaria: par ordenado, producto cartesiano de IR en IR. Dominio, rango de relaciones. Representación gráfica. Clases de relaciones: reflexiva, simétrica, transitiva, de equivalencia y de orden. PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 1. Par ordenado de números reales Dos números reales x e y, donde “x” es

identificado como primer componente e “y” como segundo componente, se llamará par ordenado de números reales y se simbolizará por (x; y)

i) ; ;x y y x

ii) ; ;x y z w x z y w

2. Producto Cartesiano Sea R el conjunto de números reales, el

producto cartesiano que se denota por R2 se define como sigue:

RyRx/y;xRRxR 2

y

x

Y

X

eje deabcisas

Eje de ordenadas

P(x;y)

PlanoCartesiano

PROPIEDADES: 1. Si A y B son conjuntos diferentes:

A B B A 2. Siendo A y B dos conjuntos finitos; tales que

el cardinal de A (número de elementos de A) es n(A) y el cardinal de B es n(B) se tiene que:

n A B n A · n B

3. Si A es un conjunto finito; el producto cartesiano A x A se puede representar como:

2A (Se lee “A dos”) 4. El producto cartesiano A x B es un conjunto

vacío; si al menos uno de los conjuntos A o B es conjunto vacío; es decir:

A x = ; x B = 5. El producto cartesiano A x B es un conjunto

infinito; si al menos uno de los conjuntos A o B es un conjunto infinito.

Ejercicios Explicativos 1. Graficar los siguientes pares de puntos:

a) ; / 0, ,P x y x y siendo x y ¥

b) 2 2; / , ,P x y x y siendo x y Z

c) 2; / 2 1 ; 1 2;1P x y x x y

2. Sean:

A = /1 8x R x

B = / 3 5x R x

C = / 2 7x R x

D = / 2 6x R x

Graficar los siguientes productos cartesianos a) A x B b) C x D c) (A - B) x C d) (A - C) x (A - D) 3. Sean: E = {1; 2; 3}, A = {1; 2} , B = {2; 3}

F = )BxA(CExE , G = )BCxAC EE

Calcular: F G

Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.


DEFINICIÓN Dado un conjunto A no vacío, una RELACIÓN R es aquella correspondencia definida como

R : A A , tal que:

(x, y)R= x;y PA A

Donde:

(x, y)P es la REGLA DE CORRESPONDENCIA

de la relación

Recuerde que: A A = A2, entonces:

R es una relación R A2

Una relación definida así se denomina RELACIÓN BINARIA o sencillamente R definida en A. Ejemplo Sea el conjunto: A = {0; 1} donde n = 2; con el

cual A A = {(0; 0), (0; 1), (1, 0), (1,1)} resulta con n2 = 4 elementos Las relaciones definidas en A son: R1 = [(0; 0)] R2 = {(0; 1)} R3 = {(1; 0)} R4 = {(1; 1)} R5 = {(0; 0); (0; 1)} R6 = {(0; 0); (1; 0)} R7 = {(0; 0); (1; 1)} R8 = {(0; 1); (1; 0)} R9 = {(0; 1); (1; 1)} R10 = {(1; 0); (1; 1)} R11 = {(0; 0); (0; 1); (1, 0)} R12 = {(0; 0); (0; 1); (1; 1)} R13 = {(0; 0); (1; 0); (1, 1)} R14 = {(0; 1); (1; 0); (1, 1)}

R15 = R16 = {(0; 0); (0; 1); (1, 0); (1; 1)}

En total: 4n 222 = 16 relaciones distintas entre sí

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

Dada la relación: R : A A, donde A es un

conjunto no vacío, el dominio de R )(Dom(R) se

define como el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados que

conforman la relación y el rango de R. ( )( )RRan

como el conjunto de las segundas componentes; es decir:

)R(Dom = {x A/(x; y) R}

)R(Ran = {y A/ (x; y) R}

Además: )R(Dom A )R(Ran A

Ejemplo Para las relaciones del ejemplo 01 R1 = {(0; 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 2), (2; 3)}

)R( 2Dom = {0, 1, 2}; )R( 2

Ran = {1, 2, 3}

RELACIONES DE R EN R Es matemática, las relaciones de mayor importancia son aquellas que se definen en el conjunto de los números reales (R); es decir, aquellas relaciones de la forma:

R : ¡ ¡ ó R ¡ ¡

Ejemplo 03 En R, se define la relación R así:

R = {(x; y) R2 / 4x2 + 9y2 = 36} Donde un elemento (x; y) pertenece a R, si satisface la regla de correspondencia, es decir:

(x; y) R 4x2 + 9y2 = 36 Entonces, el dominio y rango de R serán:

)R(Dom = {x R / 4x2 + 9y2 = 36 y R}

)R(Ran = {y R / 4x2 + 9y2 = 36 x R}

Recordando la propiedad de los números reales:

a R; a2 0; de la regla de correspondencia, se obtiene que:

* 9y2 = 36 – 4x2; como 9y2 0 36 – 4x2 0

x2 9 –3 x 3 x [–3; 3]

Luego: )R(Dom = [–3; 3]

* 4x2 = 36 – 9y2, también como: 4x2 0

36 – 9y2 0 y2 4 –2 y 2

y [–2; 2]

Luego: )R(Ran = [–2; 2]



Ejemplo 04 Hallar el dominio y rango de la relación:

R = {)x; y) R2 / x2 + y2 + 4x – 6y = 3} Analizando la regla de correspondencia de la relación: x2 + y2 + 4x – 6y = 3 se obtiene:

* Como y R, entonces de dicha regla, al tomarla como una ecuación cuadrática en “y” así:

y2 – 6y + (x2 + 4x – 3) = 0 Se deben obtener raíces reales y para ello su

discriminante debe ser no negativo:

0 (–6)2 – 4(1) (x2 + 4x – 3) 0

36 – 4(x2 + 4x – 3) 0

x2 + 4x – 12 0

(x + 6) (x – 2) 0

–6 x 2

Luego: )R(Dom = [–6, 2]

* De forma análoga, como x R, entonces la ecuación cuadrática en “x”:

x2 + 4x + (y2 – 6y – 3) = 0, obtenida de la regla de correspondencia, debe tener raíces reales, para lo cual

0 42 – 4(1) (y2 – 6y – 3) 0 16 – 4(y2

– 6y – 3) 0 y2 – 6y – 7 0 (y – 7) (y +

1) 0 –1 y 7

Luego: )R(Ran = [–1; 7]

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA

RELACIÓN Una representación gráfica adecuada para una relación permite visualizar algunas de sus propiedades o características e incluso, para ciertas relaciones, se puede determinar a partir de dicha gráfica el dominio y el rango. Las representaciones gráficas descritas anteriormente las usaremos nuevamente. Ejemplo 05 En el conjunto: A = {2; 3; 4; 5; 6} se define la relación:

R = {(x; y) A2 / xy < 10} Mediante el DIAGRAMA SAGITAL, relacionaremos un elemento del conjunto de partida con otro conjunto de llegada de tal modo que su producto sea menor que 10, así:

2

3

4

5

6

A

2

3

4

5

6

A

Dom (R) Ran(R)

R

De donde: R = {(2; 2), (2; 3), (2, 4), (3; 2), (3, 3); (4, 2)}

Y además: )R(Dom = {2; 3; 4} = )R(Ran

TIPOS DE RELACIONES Consideramos una relación R en A, es decir: R:

AA donde A es un conjunto no vacío, se tiene: 1. Relación Reflexiva La relación R se denomina REFLEXIVA, si en

ésta todo elemento de A está relacionado consigo mismo, así:

R es REFLEXIVA a A : (a; a) R Ejemplo 01 Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} en el cual se

define la relación R = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (2; 3), (3; 3), (3; 4), (3; 4), (4; 4), (4; 1)} Se observa que:

Para 1 A : (1; 1) R

Para 2 A : (2; 2) R

Para 3 A : (3; 3) R

Para 4 A : (4; 4) R Por lo tanto es REFLEXIVA Ejemplo 02

* La relación R1 = {(x; y) N2/x es un divisor de y} es REFLEXIVA, pues todo número natural

es divisor de si mismo y en consecuencia: a

N: (a; a) R1

* La relación: R2 = {(x; y) R2 / x < y} no es

REFLEXIVA, porque a R, el par (a; a) no satisface la regla de correspondencia de R2, ósea es falso que: a < a

* La relación R3 = {(x; y) Z2 /x3 + y = x+ y3}



Es REFLEXIVA, en vista que: a Z, el par (a; a) verifica la regla de correspondencia de R3, así: A3 +a = a + a3

Si definimos la relación IDÉNTICA I : A A, como:

I = {(x; y) A2 / y = x, x A} Entonces podemos establecer que una

relación R definida en A es REFLEXIVA cuando la relación IDÉNTICA I en A es subconjunto de R

R es REFLEXIVA I R 2. Relación Simétrica La relación R se llama SIMÉTRICA cuando

para todos los pares (a, b) R, el par (b; a) también es un elemento de R, es decir:

R es SIMÉTRICA { (a; b) R : (b, a) R} Ejemplo 01 Siendo: A = {1; 2; 3; 4, 5} se define la relación: R = {(1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (4; 2), (3; 1)} Donde se nota que:

Para (1; 3) R : (3; 1) R

Para (2; 4) R : (4; 2) R

Para (3; 5) R : (5; 3) R

Para (4; 4) R : (4; 4) R

Para (5; 3) R : (3; 5) R

Para (4; 2) R : (2; 4) R

Para (3; 1) R : (1; 3) R Luego, la relación R es simétrica Ejemplo 02

* La relación: R4 = {(x; y) R2 / x2 + y2 = 1}

Es SIMÉTRICA, pues para cualquiera (a; b) R4 que satisface la regla de correspondencia: a2 + b2 = 1, el par (b; a) también satisfacerla

dicha regla: b2 + a2 = 1, es decir (b; a) R4

* La relación: R1 = {(x; y) N2 / x es divisor de y}

Es SIMÉTRICA, pues para cualquiera (a; b) R1: a es un divisor de b, no necesariamente b

es un divisor de a, es decir no siempre (b; a) R1

* La relación:

S = {(x; y) Z2/x + y es un número par} es SIMÉTRICA porque siendo a + b un número par, b + a también lo es, o sea

(a, b) S : (b , a) S 3. Relación Transitiva

La relación R se denomina TRANSITIVA

cuando para todos los pares (a; b) (b, c) R, el par (a; c) también pertenece a R, así:

R es TRANSITIVA {(a; b) (b; c) R: (a,

c) R} Ejemplo 01 En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación: R = {(1; 2) , (2; 3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)} Donde, tomando todos los pares posibles de

la forma (a; b) y (b; c) se observa que:

Para (1; 2) (2; 3) R : (1; 3) R

Para (1; 2) (2; 4) R : (1; 4) R

Para (2; 3) (3; 4) R : (2; 4) R

Para (1; 3) (3; 4) R : (1; 4) R Luego, R es una relación TRANSISTIVA Ejemplo 02 * La relación

R1 = {(x; y) N2 / x es un divisor de y} Es TRANSISTIVA, pues siendo a un divisor de

b y b un divisor de c, entonces a será un

divisor de c, es decir: (a; b) (b; c) R1 : (a,

c) R1 * La relación:

S = {(x; y) Z2 / x + y es un número par} Es TRANSITIVA, porque para los pares (a; b)

(b; c) s o también a + b es un número par y b + c es un número par; teniendo en cuenta que la suma de dos números pares es otro número par, se tiene que (a + b) + (b + c) es

par a + c + 2b es par, de donde a + c es par

y por lo tanto: (a; c) S

* La relación R2 = {(x; y) R2 / x < y}

Es TRANSISTIVA, porque si a < b b < c entonces a < c, lo cual significa que:

(a; b) (b; c) R2 : (a ; c) R2

4. Relación de Equivalencia La relación R se dice que es de

EQUIVALENCIA, si y solo si r es REFLEXIVA, SIMÉTRICA y TRANSITIVA a la vez.

Ejemplo 01 Sea el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} en el cual se define la relación: R = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)} R es reflexiva, pues siendo:

I = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)} : I R

R es SIMETRICA, porque (a; b) R: (b; a) R

R es TRANSITIVA, debido a que:



Para (1; 1) (1; 2) R : (1; 2) R

Para (1; 2) (2; 1) R : (1; 1) R

Para (1; 2) (2; 2) R : (1; 2) R

Para (2; 1) (1; 1) R : (2; 1) R

Para (2; 1) (1; 2) R : (2; 2) R

Para (2; 2) (2; 1) R : (2; 1) R Por lo tanto, R es de EQUIVALENCIA RELACIÓN INVERSA

Dado un conjunto no vacío A y la relación R : A

A talque: R = {(x; y) A2 / )y;x(P }

Se define la relación INCERSA de A como:

R* = {(y; x) A2 / )y;x(P }

Donde: Dom(R*) = Ran(R) Ran(R*) = Dom(R) Ejemplo 01 En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación: R = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)} Entonces: R* = {(2; 1), (3; 2), (4; 3), (3; 1), (4; 1), (4; 2)} Donde: Dom(R*) = {2; 3; 4} = Ran(R) Ran(R*) = {1; 2; 3} = Dom(R)

PRACTICA DE CLASE 01. Dada la relación:

xyNyxR 6/; 2 afirmamos:

I. 7Rn

II. RRanRDom

I. La suma de los elementos del RDom

es igual a 20. Son verdaderos

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) Todas e) I y III 02. Sea:

43/12 xNxA

163211/13 xZxB

¿Cuántos elementos tiene el producto

cartesiano AxB ?

a) 90 b) 80 c) 60 d) 50 e) 70

03. Se da el conjunto 4;3;2;1A y las

relaciones: yxAyxM /; 2

4/; 2 yxAyxN La

suma de los elementos del dominio de

NM es:

a) 6 b) 10 c) 4 d) 5 e) 3

04. Si: 10;8;6;4;2M y 9;7;5;3;1N

MxNR tal que

3/; abbaR encontrar la

suma de los elementos del rango de R.

a) 21 b) 9 c) 15 d) 19 e) 10

05. Si: 72/ aZaA

103/ bNbB

73/; baAxBbaR

hallar la suma de los elementos del rango de R.

a) 20 b) 19 c) 18 d) 15 e) 9

06. Sean:

155/º

aNaP

82/º

bNbQ y

30

/,

quemenor

paresbaPxQbaR

Calcular Rn

a) 2 b) 10 c) 8 d) 7 e) 9



07. Si:

51/;

62/

70/

baAxBbaR

bNbB

aZaA

Halla el número de elementos de R.

a) 4 b) 7 c) 8 d) 5 e) 6

NIVEL BASICO 01. En el sistema de coordenadas rectangulares,

el punto que representa al par (–7; 3a+2b) está sobre la bisectriz del segundo cuadrante y el del par (2a – 3b; –17) está sobre la bisectriz del tercer cuadrante. Según esto, ba es iguala a:

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8 e) 1,2 02. Dados los conjuntos:

A =

625x16/Z

3

1|x| 2

B = 52y32/Z)3y2(

Hallar: n(A (B cA )) a) 28 b) 42 c) 56 d) 70 e) 112

03. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4}; B = {1; 2; 5; 6} y C (a; b)

definida por “a” no es menor que “b”, donde

(a;b) A B ¿Cuántos pares ordenados tiene la

correspondencia C? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 04. Calcular el área de la región determinada en

el plano cartesiano por A B si:

A = {( x2 –1) R / 4 x 25}

B = {2/3(x – 1) R / 19 x –4x 0}

a) 62 2 b) 70 2 c) 75 2

d) 76 2 e) 82 2 05. Definimos la relación:

R = {(c; y) R2 / |x| 1 |y| 1} Con respecto a las proposiciones

I. R es reflexiva II: R es simétrica III. R es transitiva Son verdaderas: a) Sólo I b) I y II c) II y III d) Todas e) Ninguna 23 06. Si R y S son dos relaciones en un mismo

conjunto A. De las proposiciones

I. R y S son reflexivas R S es reflexiva

II. R y S son reflexivas R S es reflexiva

III. R y S son reflexivas (R S) – (R S) es reflexiva

Son verdaderas: a) Todas b) Sólo I c) I y II d) I y III e) Ninguna

07. En A = {2x/x N 2 < x < 7}, en la cual se define la relación R reflexiva y simétrica:

R = {(10;10), (12;12), (a; a), (b;b), (a; b), (c; d)} Hallar: a + b + c + d e indicar si R es

transitiva a) 28; SI b) 24; SI c) 24; NO d) 28; NO e) 14; SI 08. En A = {1; 2; 3; 4} se considera la relación:

R = {(x; y) A2 /x = y x + y = 3} Se afirma que R es: I. Reflexiva II. Simétrica III. Transitiva IV. De equivalencia Son verdaderas a) I y II b) II y III c) Sólo I d) Todas e) Ninguna 09. Siendo R una relación definida en A y R* su

relación inversa, decir si es verdadera (V) o falsa (F) cada proposición:

I. R es simétrica R* es simétrica

II. R es reflexiva R R*

III. R es simétrica R o R* = I, Donde: I es la relación IDÉNTICA definida

en A. a) VVV b) VFV c) VVF d) FVF e) FVV 10. Indicar si es verdadera (V) o Falsa (F) cada

proposición:

I. R = {(x; y) R2 / x2 – 4y2 = 16} es REFLEXIVA

II. S = {(x; y) Z2/x es múltiplo de y} es de EQUIVALENCIA

III. T = {(x; y) A2/ x no es perpendicular con y} donde A es el conjunto de rectas coplanares, es TRANSITIVA

a) VVF b) FVV c) FFF



d) VFF e) VVV 11. Sean las relaciones:

R1 = {(x; y) R2 / x < 2 –1 < y < 2}

R2 = {(x; y) R2 / x Z }

R3 = {(x; y) R2 / – 2 y 1} Con respecto a las proposiciones:

I. (–2; 1) R1 R2 – R3

II. (4; –1) R2 – R3

III. (1/2; 5/2) R1 R2 R3 Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) Todas 12. Sea S = {2; 3; 4} un conjunto cuyo número de

elementos se expresa así: n(S) = 3 Si:

R1 = {(x; y) S2 / y x}

R2 = {(x; y) S2 / y = x2}

R3 = {(x; y) S2 / y – x = 1}

Hallar: )R(n)R(n

)R(n

32

1

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 4/3 e) 3 13. En Z se define las siguientes relaciones: R1 = {(x; y) / 3x + y = 7} R2 = {(x; y) / 5x - 4y = 12}

y S = {(x; y) / (x; z) R1 (z; y) R2} Entonces, S por comprensión es: a) S = {(x; y) / 8x – 3y = 19} b) S = {(x; y) / 2x – 5y = 5} c) S = {(x; y) / 15x + 4y = 23} d) S = {(x; y) / 3x – 8y = 19} e) S = {(x; y) / 4x – 15y = 23} 14. Se definen en Z las siguientes relaciones:

a R b a es divisor de b

a S b a + b = 4

a T b a – b es múltiplo de 3

a U b a2 + b2 = 25 Entonces podemos afirmar que: a) R y S son reflexivas b) R y S son simétricas c) T y R son reflexivas y simétricas d) S, T y U son simétricas e) T y U son de equivalencia 15. Dadas las relaciones:

R ={(a; b) R2 / a – b 0}

S = {(a; b) R2 / 0 a – b 1}:

T =

0ab

1/R)b;a( 2

Entonces:

a) R es reflexiva y S es simétrica b) R es transitiva y T es reflexiva c) S es transitiva y t es simétrica d) S es reflexiva y t es transitiva e) R es transitiva y S es simétrica NIVEL INTERMEDIO 01. En A = {1, 2; 3; 4; 5} se define la relación R = {(1; 2), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3;

4), (4; 2), (5; 2), (5; 3)} Si:

M = {x A / (x; 3) R} ;

N = {y A / (2; y) R}

P = {y A / (3; y) R}

Calcular: n ((M N) x P) a) 8 b)9 c) 10 d) 12 e) 15 02. Con respecto a la relación R definida en Z:

R = {(a; b) / a – b = 3k / k Z} Podemos decir que es: a) Reflexiva b) Transitiva c) Simétrica d) De Equivalencia e) Ninguna

03. Dada la relación: R = {(x; y) IN2 / y = 6 - x} Afirmamos:

I. n(R) = 7 II. Dom(R) = Ran(R) III. La suma de tos elementos del Dom (R) es

igual a 20. Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo 11 c) l y II d) I y 111 e) Todas 04. Reconocer la gráfica de la relación definida en

R dada por la ecuación: |x – y| = 4 a) b)

y

x

y

x

c) d)

y

x

y

x

e)



y

x

05. De las proposiciones:

I. La gráfica cartesiana de

R = {(x; y) R2 / |xy| = 2} Es simétrica respecto a sus asíntotas II. La gráfica cartesiana de:

S = {(x; y) R2 / |y + 1| = |x – 1|} Es simétrica respecto al origen de

coordenadas III. La gráfica cartesiana de

T = {(x; y) R2 / |x + y| = 2} Es simétrica respecto a la recta y = x IV. La gráfica cartesiana de

U = {(x; y) R2 / xy = 0} Está formada por todos los puntos del

plano Son falsas:

a) Todas b) Solo I c) Sólo IV d) II y IV e) Sólo III 06. Calcular el área de la región determinada por

la relación:

R = {(x; y) R2 / |x – 1| + |y – 5| 1 y 5 + |x – 1|}

a) 0,5 2 b) 1 2 c) 1,5 2

d) 2 2 e) 22

2

07. Se define las siguientes relaciones en el

conjunto: A = {x N/ 1 x 3} I. R1 = {(1; 2), (2; 2), (3; 3)} II. R2 = {(1; 1), (2; 1), (3; 1), (3; 2)} III. R3 = {(1; 3), (2; 3), (3; 3)} IV. R4 = {(2; 1), (2; 2), (2; 3)} ¿Cuántas son funciones definidas en A? a) Ninguna b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

08. Si: A = {-1; 0; 1} y R = {(x; y) A2 / y2 = x2}, Hallar n(R)

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

09. Dada la relación: R = {(x; y) Z N/ y2 = x}, la proposición verdadera es:

a) RD = N

b) RR = {0, 1, 4, 9,16, ...}

c) R no es función

d) (4, 2) R

e) (4; –2) R 10. En A = {1; 2; 3;4; 5} se define la relación: R = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (5; 1), (2; 4), (5; 4), (5; 2), (4; 3), (3; 5)} Si:

M = {x A / (x; 2) R}

N = {y A / (3; y) R}

P = {x A / (x; 5) R} a) {2; 5} b) {3; 5} c) {3} d) {5} e) {1; 2; 4; 5}

11. Si: R1 = {(x; y) R2 / y – x = 6};

R2 = {(x; y) R2 / y + x = 8} Calcular el producto de los componentes de

los elementos de R1 R2 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12. Dados los conjuntos:

A = {x R / x2 = 8 – 2x}

B = {x R /x3 = 2x2 + 3x} El número de posibles correspondencias de A

en B es: a) 6 b) 8 c) 32 d) 64 e) 128 13. En A = {a; b; c; d} se definen las siguientes

relaciones: R = {(a; a), (a; b), (b; b), (b; c), (c; c), (a; c), (d; d)} S = {(a; a), (a; b), (b; a), (b; c), (c; b), (c; c), (d; d)} T = {(a; a), (a; b), (b; b), (c; c), (c; d), (d; d)} U = {(a; a), (a; b), (b; a), (b; b), (c; c), (c; d), (d; c),

(d; d)} De las cuales m son reflexivas, n son

simétricas y p son transitivas. Los valores de m, n y p, en ese orden, son:

a) 2; 3; 2 b) 2; 2; 3 c) 3; 2; 3 d) 2; 3; 3 e) 3; 2; 1 14. En Z se define la relación:

R = {(x; y)/ –1 2x + 1 < y < 5} Si “a” es la suma de los elementos de Dom (R)

y “b” es la suma de los elementos de Dom(R*) Calcular (a+ b) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

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2014 iii 12 relaciones binarias