Funciones

2015 - 2016

De manera intuitiva podemos decir

que una función es una relación

entre dos magnitudes, de tal manera

que a cada valor de la primera le

corresponde un único valor de la

segunda.

Conjunto de seres humanos

Conjunto de seres humanos

Conjunto de seres humanos

A cada ser humano se le asocia su padre biológico

Conjunto de seres humanos

Conjunto de seres humanos

A cada ser humano se le asocia su padre biológico

• Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico

• No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico

Conjunto de seres humanos

Sean y dos conjuntos arbitrarios.

Una función de en es una asociación entre elementos

de y donde a todos y cada uno de los elementos de

se les asocia un único elemento de .

El conjunto

A B

A B

A B A

B

A se llama de la función.

Al conjunto

dominio

codominio se le cdenomina ontradom io .nioB

• Todos los elementos del dominio tiene que tener

asociado un elemento del codominio

• A un elemento del dominio se le asociara un

único elemento del codominio

• Elementos del codominio pueden tener

asociados más de un elemento del dominio

Es el conjunto de todos los valores posibles que puede

tomar la función.

También se le llama imagen del dominio bajo la función.

Dada la función : el rango de , es el conjunto

Rango de : para

f A B f

f x B x f a

alguna

Evidentemente el rango de es un subconjunto del

contradominio:

El rango de Rango de Contradominio de

a A

f

f f

ab

cd

e

ab

cd

e

Dominio

ab

cd

e

Dominio

Codominio

ab

cde

DominioCodominio

Rango

A la calabaza se le asocian dos elementos en el codominio

A

parcial

nabla

raiz

existe

B

Aparcial

nabla

raiz

existe

B

El elemento en no tiene ningún elemento

asociado en

A

B

Definimos una función de x en y como

toda aplicación (regla, criterio

perfectamente definido), que a un

número x (variable independiente), le

hace corresponder un número y (y solo

uno llamado variable dependiente).

Se llama función real de variable real a

toda aplicación f de un subconjunto no

vacío D de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o

criterio que se puede expresar por una fórmula matemática.

La variable x recibe el nombre de variable independiente y la

y ó f(x) variable dependiente o imagen.

Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su codominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.

El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).

Nota El dominio de una función puede estar limitado por:

1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.

2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

: 3 2

Su dominio son todos los números reales

Su contradominio o codominio son todos

los números reales

Su rango son todos los números reales

f R R y f x x

: 3 2f R R y f x x x f(x)

0 2

1 5

-1 -1

2 8

-2 -4

3 11

-3 -7

4 14

-4 -10

5 17

-5 -13

x f(x)

0.10 2.30

1.76 7.28

-3.45 -8.35

8.97 28.91

2.34 9.02

13.33 41.99

1.41 6.23

16.77 52.31

-44.44 -131.32

0.01 2.03

-123.00 -367.00

: exp

Su dominio son todos los números reales

Su contradominio o codominio son todos

los números reales

Su rango son todos los números reales

positivos

xf R R y x e

exp : exp xR R y x e x f(x)0.10 1.1051709

11.88 144,350.5506832

-3.45 0.0317456

8.97 7,863.6016055

2.34 10.3812366

13.33 615,382.9278900

6.99 1,085.7214762

-91.23 0.0000000

2.22 9.2073309

0.50 1.6487213

-12.45 0.0000039

x f(x)

0.00 1.000

1.00 2.718

-1.00 0.368

2.00 7.389

-2.00 0.135

3.00 20.086

-3.00 0.050

4.00 54.598

-4.00 0.018

5.00 148.413

-5.00 0.007

log : (0, ) ln

Su dominio son todos los números reales

positivos, ya que no existen el logaritmo de

un número negativo

Su contradominio o codominio son todos

los números reales

Su rango son todos l

R y x

os números reales

log : (0, ) lnR y x

x ln(x) x ln(x)

0.10 -2.303 0.01 -4.605

0.20 -1.609 0.02 -3.912

0.30 -1.204 0.03 -3.507

0.40 -0.916 0.04 -3.219

0.50 -0.693 0.05 -2.996

0.60 -0.511 0.06 -2.813

0.70 -0.357 0.07 -2.659

0.80 -0.223 0.08 -2.526

0.90 -0.105 0.09 -2.408

1.00 0.000 0.10 -2.303

2

Definición

La gráfica de la función es el lugar geométrico

de los puntos del plano cuyas coordenadas

satisfacen la ecuación ( )

, ,

f

y f x

G x y R x f x

: 3 2f R R y f x x

exp : exp xR R y x e

log : (0, ) lnR y x

: R R y x

1 1 2 2

s 1 2 1 2

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

y

Se llama función suma de ambas, a la función:

Análogamente podemos definir la funci

y f (x) y f (x).

y y y f (x) f (x).

d 1 2 1 2

ón diferencia como

El dominio de definición de la función suma, y también el de la

función diferencia será la intersección de los dominios de ambas

funciones.

y y y f (x) f (x)

1 1 2 2

p 1 2 1 2

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

( ) ( ).

Se llama función producto de ambas, a la función:

( ) ( )   

Análogamente a lo que o

y f x y y f x

y y y f x f x

curre con las funciones suma y diferencia,

el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección

de los dominios.

1 1 2

11C

2 2

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

( ) y ( ).

Se llama función cociente de ambas, a la función:

= =

               

El dominio de definic

y f x y f x

f xyy

y f x

2

ión de esta función es la intersección de los

dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que

serán puntos que anulen el denominador de dicha función.

f x

Dadas dos funciones ( ), ( ),

se llama función compuesta

a la función

Para que exista la función compuesta es necesario

que el recorrido de la función quede totalmente

incluido en el

y f x z g y

g f

g f x g f x

f

dominio de la función .

Dominio Dom tales que Dom

g

g f x f f x g

2

2

2

( ) 2 6, ( ) ,

La función compuesta es en este caso

2 6

El dominio de la función compuesta son aquellos

valores de para los que se cumple que

2 6 0

Esa desigualdad la resolvimo

y f x x x z g y y

g f x x x

x

x x

s (con >) y da

3Dominio y 2

2g f x R x x

2

2

2

( ) , ( ) sin ,

La función compuesta es en este caso

sin

Es claro que el rango de la función queda totalmente

incluido en el dominio de la función sin .

Dominio

y f x x z g y y

g f x x

x

y

g f R

1

1( ) , ( ) exp = ,

La función compuesta es en este caso

Dominio 0

y

x

y f x z g y y ex

g f x e

g f R

Se llama función identidad a la función que le hace

corresponder a cada número real el propio número.

Se representa por ( ).

*El dominio de la función identidad

son todos los números reales

*El contradom

I x

inio o codominio de la función identidad

son todos los numeros reales

*El rango de la función identidad

son todos los números reales

Gráfica de la función identidad

:I R R I x x

45

Una función se dice

inyectiva o función uno a uno

si verifica que dos puntos

distintos no pueden tener

la misma imagen.

f

Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica

que dos puntos distintos no pue

Una relación lineal (cualquier recta

den tener la mi

)

es inyectiva ó uno

sma ima

a uno

gen.

y mx b

f

2

Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica

que dos puntos distintos no puede

Una relación cuadrática (una parábola)

es inyectiva ó uno a uno

n tener la misma imag

4

en

NO

.

y x

f

1

1

Sea una función.

Llamamos función inversa (en caso de que exista)

a una función notada que verifica que

con ( ) la función identidad.

Para que exista la función inversa de es nec

y f(x)

f x

f f x I x

I x

f

esario

que la función sea inyectiva. f

ln

La función exponencial

exp : exp

tiene como inversa a la función logaritmo

ln : ln

Como

ln

tenemos

ln exp

x

x x

R R y x e

R R y x

x e e

I

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