kunturweb.altervista.org · 2016. 7. 21. · TkYupana r0.7 TkYupana por Kunturweb MANUAL DEL USUARIO Kunturweb Kunturweb es un proyecto que nació de mi pasión por todo lo que tiene

TkYupana r0.7 TkYupana por Kunturweb

MANUAL DEL USUARIO

TK-YUPANA

UN SIMPLE EMULADOR DEL ÁBACO INCA

Por Kunturweb

Autor: KunturwebWeb: http://kunturweb.altervista.orgemail: [email protected]

Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 1


MANUAL DEL USUARIO

Kunturweb

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Tabla de contenidosTKYUPANA.......................................................................................................................................1

1 La Yupana...................................................................................................................................71.1 Referencias a la Yupana por los Cronistas de las Indias....................................................81.2 Ábaco y los sistemas de numeración................................................................................10

1.2.1 Las limitaciones del sistema de numeración aditivo.................................................112 Un siglo de teorías....................................................................................................................12

2.1 Teoría de Henry Wassen (1931).......................................................................................132.1.1 Representación de un número...................................................................................132.1.2 Adición......................................................................................................................162.1.3 Multiplicación...........................................................................................................17

2.2 Teoria de Carlos Radicati di Primeglio (1979).................................................................182.2.1 Representación de un número...................................................................................182.2.2 Adición......................................................................................................................202.2.3 Resta..........................................................................................................................222.2.4 Multiplicación...........................................................................................................23

2.3 Teoría de William Burns Glynn (1981)............................................................................252.3.1 Representación de un número...................................................................................252.3.2 Adición......................................................................................................................272.3.3 Multiplicación...........................................................................................................27

2.4 Teoría de De Pasquale (2001)...........................................................................................312.4.1 Representación de un número...................................................................................312.4.2 Adición......................................................................................................................342.4.3 Multiplicación...........................................................................................................34

2.5 Teoria di Chirinos (2008).................................................................................................352.5.1 Representacion de un numero...................................................................................352.5.2 Addizione..................................................................................................................382.5.3 Moltiplicazione.........................................................................................................38

2.6 Teoria de Cinzia Florio (2008).........................................................................................392.6.1 Representación de un número...................................................................................402.6.2 Adición......................................................................................................................412.6.3 Multiplicación...........................................................................................................42

Ejemplo 1: 32×5 (dibujo de Poma de Ayala)..................................................................45Ejemplo 2: 133x97...........................................................................................................47

2.7 Teoria de Kak (2014)........................................................................................................522.7.1 Representación de un número...................................................................................522.7.2 La yupana como una herramienta computacional para la astronomía......................55

Debilidades......................................................................................................................572.7.3 Adicion......................................................................................................................582.7.4 Multiplicacion...........................................................................................................58

2.8 ¿Qué teoría elegir?............................................................................................................59


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3 TkYupana................................................................................................................................613.1 Requisitos..........................................................................................................................613.2 Download, instalación y puesta en marcha.......................................................................613.3 Convenciones....................................................................................................................633.4 Menú principal..................................................................................................................643.5 Yupana de Wassen............................................................................................................67

3.5.1 Representación..........................................................................................................67Inclusión de un número....................................................................................................68Eliminar una semilla........................................................................................................69Mover las semillas...........................................................................................................70

3.5.2 Adición......................................................................................................................72Agregar el primer sumando.............................................................................................72Agregar el segundo sumando...........................................................................................72Suma de los terminos.......................................................................................................72

3.5.3 Multiplicación...........................................................................................................733.5.4 Funciones de menú....................................................................................................73

3.6 Yupana de Radicati...........................................................................................................743.6.1 Representación..........................................................................................................74

Inclusión de un número....................................................................................................75Eliminar una semilla........................................................................................................76

3.6.2 Adición......................................................................................................................77Agregar el primer sumando.............................................................................................77Agregar el segundo y tercer sumando..............................................................................77Suma................................................................................................................................78

3.6.3 Sustracción................................................................................................................78Inserimento del minuendo...............................................................................................78Inserimento del sottraendo...............................................................................................79Resta.................................................................................................................................79

3.6.4 Multiplicación...........................................................................................................79Inserimento del moltiplicando.........................................................................................80Inserimento del moltiplicatore.........................................................................................80Calcolo 1: prodotti parziali..............................................................................................80Calcolo 2: Sommatorie....................................................................................................81Calcolo 3: Prodotto..........................................................................................................81

3.6.5 Funciones de menú....................................................................................................813.7 Yupana de Glynn..............................................................................................................83

3.7.1 Representación..........................................................................................................83Inserimento de un numero...............................................................................................84Uso della memoria...........................................................................................................85Operazioni inverse...........................................................................................................87

3.7.2 Adición......................................................................................................................88Agregar el primer sumando.............................................................................................88


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Agregar el segundo sumando...........................................................................................89Somma degli addendi.......................................................................................................89

3.7.3 Multiplicación...........................................................................................................89Inserimento del moltiplicando.........................................................................................90Inserimento del moltiplicatore.........................................................................................91Somma.............................................................................................................................91

3.7.4 Funciones de menú....................................................................................................933.8 Yupana de De Pasquale (2001).........................................................................................94

3.8.1 Representación..........................................................................................................943.8.2 Funciones de menú....................................................................................................96

3.9 Yupana de Chirinos (2008)...............................................................................................983.9.1 Rappresentazione......................................................................................................993.9.2 Funzioni del menù...................................................................................................101

3.10 Yupana de Florio (2008)...............................................................................................1023.10.1 representación de un numero................................................................................1023.10.2 Adición..................................................................................................................105

Agregar el primer sumando...........................................................................................105Agregar el segundo sumando.........................................................................................105Somma degli addendi.....................................................................................................106

3.10.3 Multiplicación.......................................................................................................106Inserimento del moltiplicando.......................................................................................109Inserimento del moltiplicatore.......................................................................................109Le opzioni velocità e PassoPasso.................................................................................110Calcolo del prodotto.......................................................................................................111

3.10.4 Funciones de menú................................................................................................1124 Licenza....................................................................................................................................1135 Bibliografía.............................................................................................................................114


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Nota introductoriaEste software y la documentación relacionada son el resultado del interés personal a las

culturas precolombinas del autor y tiene CARÁCTER MERAMENTE INFORMATIVO. Si se encuentra un error, favor de comunicarmelo lo antes posible al escribir un correo

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1 - La YupanaCuando hablamos de Yupana, nos referimos a un

ábaco, que los contadores y tesoreros del imperio,llamados Khipu Camayuq1, utilizaron en la época de losincas.

El nombre viene de la palabra quechua Yupay(contar), mientras que, en cuanto a su autoría, hasurgido en los últimos años una gran cantidad deconfusión no sólo entre los académicos, sino tambiénentre los investigadores y profesores: algunos[§MOV] laatribuyen al ingeniero William Burns Glynn, otros[§RDP]

la remontan a la época de los incas, ya que la palabra semenciona por “primera” vez en un antiguo vocabularioquechua compilado por Diego González Holguín[§HOL]

en 1608. De hecho, Holguín, traduce el término"Yupana" con "Letra los numeros de guarismo"2,mientras con "Yupana qqellca o qquipu", "Las Cuentascon nudos o por escrito". Los que traduce justo "Tablade contar" con "Yupana o Quippo" es Domingo de

Santo Tomás en su "Lexicon, o Vocabulario de la Lengua General del Perú"[§SAT], de 1560. Así quela palabra tiene origen ciertamente quechua y se utiliza para indicar un instrumento utilizado paracontar.

Hay dos clases de "objetos" a los que nos referimos cuando hablamos de yupana. La primeraclase consiste en una serie de hallazgos arqueológicos similar a tableros de madera o de piedra cuyocajas tienen diferentes formas y tamaños; se cree (aunque no es dimostrato3) que podrían serutilizados como ábacos. En adelante nos referiremos a ellos con el nombre de "yupane a casetta".

La segunda clase está compuesta en realidad de un sólo elemento: un diseño que aparece en elmanuscrito "El Primer Nueva coránica y buen gobierno" escrito en 1615 por Felipe Guaman Pomade Ayala, que se encontró hace relativamente poco tiempo en la biblioteca de Copenhagen[§POM]. Eneste dibujo se representa a un contador del imperio Inca con a sus pies un tablero que consta decinco filas y cuatro columnas, y cuyas cajas contienen círculos blancos y negros (o vacíos y llenos).

1 Letteralmente da: Khipu (nodo, nel senso de corda alla quale venivano fatti dei nodi per registrare eventi contabili) eCamayuq (maestro): maestro dei nodi [n.d.A.]

2 La presenza della parola “letra” all'inizio della traduzione, ha portato alcuni autori a pensare che numeri e letterefossero analoghi, ovvero che gli Inca utilizzassero i numeri come una sorta de alfabeto.

3 Alcuni pensano che potessero essere delle tavole per il gioco d'azzardo, altri ancora modellini de fortezze (cfr.[§RDP], cap. 3 pag. 11)


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En mi opinión, las dos clases de objetos tienen que ser tratados por separado debido a que eldibujo y los hallazgos arqueológicos son absolutamente inconsistentes. Además, si bien ladescripción de yupana de Poma de Ayala certifica su uso como una tabla de cálculo, no tenemoselementos suficientes para establecer con certeza el uso de las “yupanas a casetta”.

Objeto de estudio de este trabajo es la yupana de Poma de Ayala y las “yupane a casetta”, deahora en adelante, serán ignoradas.

1.1 - Referencias a la Yupana por los Cronistas de las Indias

En la página que sigue el diseño que se ha mencionado anteriormente, Poma de Ayala describesólo aproximadamente el método de contabilidad utilizado por los contadores del imperio parahacer los cálculos. Poma de Ayala escribió:

“Contador mayor de todo este rreyno, Condor Chaua, hijo de apo: A éste le llamauanTawantin Suyo runa quipoc Yncap, haziendan chasquicoc4, tezorero mayor. Dize que este prencipaltenía grande auilidad; para sauer su auilidad el Ynga mandó contar y numirar, ajustar con losyndios deste rreyno. Con la lana del cierbo, taruga5, enparexaua con la lana a los yndios yenparexaua con una comida llamado quinua [gramínea de altura], contaua la quinua y los yndios.Fue muy grande su auilidad, mejor fuera en papel y tinta.

Contador mayor hatun hucha quipoc6, contador menor huchuy hucha quipoc7: Cuentan entablas, numiran de cien mil y de dies mil y de ciento y de dies hasta llegar a una. De todo lo quepasan en este rreyno lo acienta y fiestas y domingos y meses y años. Y en cada ciudad y uilla ypueblos de yndios auía estos dichos contadores y tesoreros en este rreyno. Y contaua desta manera,comensando de uno, dos y tres: Suc [uno], yscay [dos], quinza [tres], taua [cuatro], pichica [5],zocta [6], canchis [7], puzac [8], yscon [9], chunga [10], yscay chunga [20], quinza chunga [30],taua chonga [40], pisca chunga [50], zocta chunga [60], canchis chunga [70], pozac chunga [80],yscon chunga [90], pachaca [100], uaranga [1000]”8

4 Colui che censisce la popolazione del Tawantinsuyo (impero incaico); colui che riceve i tributi dell'Inca; colui chetiene la contabilità dell'impero. [n.d.A.]

5 Va detto che precedenti autori traducono come “contavano con corde fatte de lana de cervo andino”, con chiaroriferimento ai khipu; uno de questi è Radicati di Primeglio (op. già citata). Il tipo de lana utilizzato per i Khipu, peròè de lama o alpaca o cotone, pertanto la mia traduzione mi sembra più realistica, anche alla luce del fatto che“emparejar” significa “appaiare”. [n.d.A.]

6 Colui che teneva conto delle gravi violazioni e ammanchi. [n.d.A.]7 Colui che teneva conto delle violazioni e ammanchi de minore importanza. [n.d.A.]8 “Contador mayor de todo este rreyno, Condor Chaua, hijo de apo: A éste le llamauan Tawantin Suyo runa quipoc

Yncap, haziendan chasquicoc, tezorero mayor. Dize que este prencipal tenía grande auilidad; para sauer su auilidadel Ynga mandó contar y numirar, ajustar con los yndios deste rreyno. Con la lana del cierbo, taruga, enparexaua conla lana a los yndios y enparexaua con una comida llamado quinua [gramínea de altura], contaua la quinua y losyndios. Fue muy grande su auilidad, mejor fuera en papel y tinta. Contador mayor hatun hucha quipoc, contadormenor huchuy hucha quipoc: Cuentan en tablas, numiran de cien mil y de dies mil y de ciento y de dies hasta llegar


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La información que recogemos:• Las tablas eran utilizadas para contar• Probablemente la tabla tenía un límite superior de cien mil y un límite inferior igual a

la unidad• El sistema de numeración utilizado fue decimal9

Un segundo cronista que dedica unas palabras a como contaban los Incas, es el jesuita José deAcosta, quien, en su obra titulada "Historia Natural y Moral de las Indias", describe, ni siquieraaproximadamente, la forma de utilizar el ábaco:

“Y pondrán uno aquí, tres allá, ocho no sé donde; pasarán un grano de aquí, trocarán tresde allá y en efecto ellos salen con su cuenta hecha puntualisimamente sin errar un tilde”10

La información que recogemos:• se utilizaban granos • Movian y trocaban los granos de una caja a otra• eran precisos

El tercer reportero que hay que tener en cuenta es Juan de Velasco, quien escribe:

"El instrumento utilizado por estos maestros era algo así como una serie de bandejas demadera, piedra o arcilla, con diferentes separaciones, en los que collocavano piedras de diferentesformas, colores y formas angulares"11

La información que recogemos:• El instrumento (singular) se compone de varias partes (serie de bandejas), cada uno

de ellos con diferentes separaciones• Se utilizaban piedras de colores con diferentes formas

Suponiendo que los tres periodistas se referían a un mismo objeto y el mismo método decálculo (después de todo ¿por qué las cuentas que pertenecen a la misma elite de contadores

a una. De todo lo que pasan en este rreyno lo acienta y fiestas y domingos y meses y años. Y en cada ciudad y uilla ypueblos de yndios auía estos dichos contadores y tesoreros en este rreyno. Y contaua desta manera, comensando deuno, dos y tres: Suc [uno], yscay [dos], quinza [tres], taua [cuatro], pichica [5], zocta [6], canchis [7], puzac [8],yscon [9], chunga [10], yscay chunga [20], quinza chunga [30], taua chonga [40], pisca chunga [50], zocta chunga[60], canchis chunga [70], pozac chunga [80], yscon chunga [90], pachaca [100], uaranga [1000]”. [§POM], pag.361 (363) [tradotto dall'Autore]

9 Il fatto che utilizzassero un sistema decimale è ribadito anche in un passo precedente del Nueva Coronica, quando siparla della suddivisione dell'impero in classi (cfr. [§POM] El capitulo de la visita general o censo, pagg. 195236).

10 [§ACO]11 [§VEL], pagg. 1841 44, T.II cap. 7 [Tradotto dall'Autore]


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educados de la misma manera, hubieran tenido que utilizar diferentes métodos y herramientas pararealizar un cálculo específico?) podemos hacer suposiciones adicionales que están en la base dealgunas teorías desarrolladas a lo largo de los años sobre el ábaco inca dibujado por Poma de Ayala.

• los círculos negros del dibujo de Poma de Ayala podrían ser utilizados como el equivalentede los granos en lugar de una cierta cantidad;

• el número de agujeros (o semillas) presente en las cajas podría corresponder al:1. valor que debe atribuirse a las semillas presentes en una caja determinada2. número de elementos correspondientes a un valor dado determinado por la

fila/columna a la que pertenece la caja;

Todavía no tenemos ninguna certeza sobre cuál fue el método utilizado por los contadores pararealizar operaciones aritméticas con la yupana de Poma de Ayala y las interpretaciones siguenproliferando.

Para comprender los temas a continuación, pero es importante que el lector centra su atenciónen algunos conceptos esenciales y que, si necesario, los investigue de manera indipendiente.

1.2 - Ábaco y los sistemas de numeración

Un ábaco es un instrumento inventado y utilizado por personas de diversas culturas como unaayuda en los cálculos matemáticos. El método de cálculo utilizado en la programación se basa en unsistema de numeración específico.

Con sistema de numeración nos referimos a una forma de representar los números con unaserie de símbolos. Los sistemas de numeración se dividen en dos categorías principales: los sistemasde numeración aditivos y los sistemas de numeración posicionales.

En los sistemas de numeración aditivos, el valor del número representado es la suma de losvalores atribuidos a una serie de símbolos básicos; un ejemplo es la numeración de tipo romano (almenos en la versión inicial) para los que se había definido un conjunto de símbolos básicos: I, V ,X, L, C, D, M, respectivamente, correspondientes a 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. El valor de losotros números era obtenible a partir de la suma de los valores de los símbolos fundamentales:

1 = I2 = I + I = II3 = I + I + I = III4 = I + I + I + I = IIII12

12 Successivamente IV, sustracción del numero I dal numero V [n.d.A.]


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5 = V6 = V + I = VI7 = V + I + I = VII8 = V + I + I + I= VIII9 = V + I + I + I + I = VIIII13

10 = X...

Tenga en cuenta que en un sistema de numeración puramente aditivo, la representación de unnúmero no depende de la posición de los símbolos básicos, es decir, por ejemplo el número 8también se podría escribir IVII, IIIV, ya que el resultado de la suma de los símbolos que lorepresentan es el mismo de la representación convencional.

En los sistemas posicionales el valor de los símbolos utilizados para representar un númerodepende de la posición ocupada por el símbolo mismo. Entre los sistemas de numeración posicionaldistinguimos notaciones diferentes con respecto a muchos tipos de base. Se define base el númerode dígitos únicos que un sistema de numeración posicional utiliza para representar todos losnúmeros.

Un ejemplo de un sistema de numeración posicional es el árabe, el más utilizado hoy en día.Cada número está representado por secuencias de 10 dígitos (0, 1, 2, 3, ..., 9) y por lo tanto la basees 10, y se dice decimal. El dígito del extremo derecho corresponde a la unidad, la anterior a lasdecenas, luego cientos, y así sucesivamente, así que el número puede ser escrito como una sucesiónde los dígitos anteriores, siempre que cumpla con la convención de las posiciones: por ejemplo5342(5 103 + 3 102 + 4 101 + 2 100).

1.2.1 - Las limitaciones del sistema de numeración aditivo

Un sistema de numeración aditivo funciona, siempre y cuando se trata de pequeñas cantidades.Cuando usted comienza a escalar a decenas de miles, o millones, el número de símbolos utilizadospara representar un valor aumenta dramáticamente y nos vemos obligados a inventar otrossímbolos. Por ejemplo, considere el número anterior, y se escriba con números romanos:

5342 (4 símbolos) = MMMMMCCCXXXXII (14 símbolos)

Tenga en cuenta que los sistemas de numeración aditivos son los que se utilizan desde laantigüedad hasta las poblaciones primitivas y prehistóricas. El uso de un sistema de numeraciónaditivo, sin embargo, no indica un bajo grado de civilización: piensa por ejemplo a los romanos o alos griegos. Sin embargo, un sistema de tipo posicional, siendo más ventajoso que un aditivo, es unganador en el tiempo y se pretende sustituirlo definitivamente.

13 Successivamente IX, sustracción del numero I dal numero X [n.d.A.]


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2 - Un siglo de teoríasMás adelante analizaremos las teorías que han sido propuestas por diversos autores en cerca de

100 años después del descubrimiento de una copia de Nueva coránica de Poma de Ayala.

Preste especial atención a los siguientes aspectos, que cada vez se resaltarán, y apareceran enuna tabla similar puesta al principio de cada párrafo:

Sistema de numerazione ¿Aditivo o posicional?

notación o base (sólo para sistemas posicionales)Potencias de ... (Sólo para los sistemas aditivos)

10, 12, 20, 40, 60, …Potencias de 10

Disposición de la tabla Vertical: 5 filas × 4 columnasHorizontal: 4 filas × 5 columnas

Progresión horizontal Progresión de los valores numéricosasignados a cada fila

Progresión vertical Progresión de los valores numéricosasignados a cada columnas

Considere también las siguientes preguntas acerca de la solución adoptada, a las quales, cadavez, le daremos una respuesta, que finalmente servirá para sacar conclusiones:

• Con la tabla de 5x4 disponible y el sistema de numeración adoptada es posible representartodos los números de uno a cien mil?

• El uso de la tabla para el cálculo (ábaco) es simple?• Presenta problemas o discrepancias?


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2.1 - Teoría de Henry Wassen (1931)

Lamentablemente no he conseguido encontrar los escritos originalesde Henry Wassen, por lo tanto, los argumentos de esta sección sebasan en ciertos artículos de otros autores[§RDP] y [§MOV] que handescrito brevemente el método de Wassen. En concreto, Wassendesarrolló solamente la teoría de la representación de los números yNO las otras operaciones. En tkyupana las operaciones, basadas en la

teoría de Wassen, se deben atribuir a Bustos, Vergara y Luque Arias, que las describen en sutrabajo: "El ábaco Inca y Las Operaciones aritmeticas".[§BUS] En el futuro espero confirmarlo que por el momento se acaba de asumir y de efectuar cambios en este documento y aTkYupana.

Sistema de numerazione Posizionale

notación o base 10

Disposición de la tabla Vertical: 5 filas × 4 columnas

Progresión horizontal 1, 5, 15, 30 (o 5, 15, 30, 30)

Progresión vertical 1, 10, 100. 1000, 10000

Henry Wassen fue el primero en proporcionar una interpretación del diseño de la Yupana dePoma de Ayala. La hipótesis que es la base de la teoría de Wassen es que los círculos blancos eranagujeros donde depositar las semillas, mientras los círculos negros eran tales agujeros llenos de unasemilla.

2.1.1 Representación de un número

La representación de un número en la yupana tiene una progresión vertical de base 10(decimal). Esto significa que el número se puede representar mediante la colocación de las unidadesen la primera fila, el dígito de decenas en la segunda y así sucesivamente. El valor que cada semillapuede asumir depende de la columna en la que se encuentra, tras la progresión horizontal basada enel principio de que en la primera columna es posible colocar un número máximo igual a 5 semillasque tienen valor unitario (para un total de 5 e igual el valor de una sola semilla colocada en lacolumna 2), en la segunda columna máximo de tres semillas de valor 5 cada una (para un total de 15e igual al valor de una sola semilla colocada en la columna 3), en la tercera columna un máximo de


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dos semillas de valor 15 cada uno (para un total de 30 e igual al valor de una sola semilla colocadaen la columna 4). Véase la 1.

LINEAPOTENCIArange valores

COLUMNA 1 COLUMNA 2 COLUMNA 3 COLUMNA 4

Valor: 1 Valor: 5 Valor: 15 Valor: 30

5

104

10000300000

1000050000m m m m m

50000150000m

m

m

150000300000

m

m

300000

m

4

103

1000300000

10005000m m m m m

500015000m

m

m

1500030000

m

m

30000

m

3

102

1003000

100500m m m m m

5001500m

m

m

15003000

m

m

3000

m

2

101

10300

1050m m m m m

50150m

m

m

150300

m

m

300

m

1

100

130

15m m m m m

515m

m

m

1530

m

m

30

m

Tabla 1: Diagrama de Yupana posicional de base 10 con la progresión de 1, 5, 15, 30 de H. Wassen

Como un ejemplo para la representación de un número, elija 3595. Llena la tabla de arriba aabajo y de izquierda a derecha, teniendo en cuenta que cada dígito corresponde a una columna(sistema posicional). Comenzamos con los millares: tres semillas (círculos negros) en la primerasección de la línea 4, cubrendo tres agujeros (círculos blancos); luego pase a los cientos: cincosemillas en la primera celda de la fila 3; luego las decenas: pues el 9 es mayor de 5, cuando estoúltimo número es alcanzado (añadiendo 5 semillas en la primera caja de la línea 2), se puedenagrupar las cinco semillas y sustituirlas por una en la segunda celda de la segunda fila, acontinuación, proceder mediante la adición de los restantes cuatro semillas en la primera columnade la segunda fila. Finalmente las unidades: éstas también son cinco, entonces puede funcionar de lamisma manera de los cientos, o, con el fin de mostrar que un número se puede representar dediferentes maneras, se podría agrupar las cinco semillas y reemplazarlas con una situada en lasegunda caja de línea 1. Ver 2.


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Cabe señalar que todos los números de uno a 111110 se pueden representar utilizandoúnicamente las dos primeras columnas (1 y 2). Esto implica obviamente la inutilidad de lascolumnas 3 y 4, y constituye un límite de la teoría de Wassen, si consideramos verdadero lo queescribió Poma de Ayala (vea parrafo 1.1 limite superior de 100000). Con esta teoria se puedenrepresentar todos los números hasta el límite superior de 888880 (inserción de todas las semillas oYupana completamente llenos).

La teoría de Wassen, basada en un sistema de notación posicional, se tomó como un modelopor la mayoría de los autores posteriores, los cuales, aunque rechazando su validez, nunca desviaronde su carácter posicional.




5

104

10000300000

1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

150000300000

m

m

300000

m

4

103

1000300000

10005000

l m l m l

500015000

m

m

m

1500030000

m

m

30000

m

3

102

1003000

100500

l l l l l

5001500

m

m

m

15003000

m

m

3000

m

2

101

10300

1050

l ml l l

50150

l

m

m

150300

m

m

300

m

1

100

130

15

m m m m m

515

m

m

l

1530

m

m

30

m

Tabla 2: Representación del número 3595 en Yupana de H. Wassen


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 15


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2.1.2 - Adición

Esta operación (basada en la representación según Wassen) está descrita en "El Abaco Inca yLas Operaciones Y Aritmeticas" por Bustos et al .[§BUS]

Para sumar dos números se debe representar el primer sumando en la yupana (véase el párrafoanterior). Posteriormente, a partir de la columna de las unidades, añadir tantas semillas como hayunidades del segundo sumando. Si se completa la caja de la primera columna (cinco semillas), seretira y se sustituye con una semilla en la segunda columna. Cuando llegó al número diez, se quitantodas las semillas, y se añade una semilla en la primera columna de la segunda fila. Obviamente, elprincipio de sustitución también se aplica a las cifras (filas) superiores.

COL. 1 COL. 2 COL. 1 COL. 2 COL. 1 COL. 2

(A) (B) (C)1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

10005000

l m l m l

500015000

m

m

m

10005000

l m l m l

500015000

m

m

m

10005000

l m l l l

500015000

m

m

m

100500

l l l l l

5001500

m

m

l

100500

m m m m m

5001500

l

m

l

100500

m m m m l

5001500

m

m

m

1050

l ll l l

50150

l

m

m

1050

m m m m m

50150

l

m

l

1050

m m m m l

50150

m

m

m

15

l l l l l

515

m

m

l

15

m m m m m

515

l

m

l

15

m m m m m

515

m

m

m

Tabla 3: Proceso para la suma de 3.595 + 515 = 4.110 en Yupana de H. Wassen


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 16


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A modo de ejemplo, podemos agregar al número representado en el párrafo anterior, el número515. El primer paso del procedimiento consiste en añadir el número de unidades, decenas y centenasa la yupana (véase la 3, Parte A, círculos rojos). El segundo paso consiste en agrupar las semillasdelas casillas de la columna 1 que se han llenado, y reemplazarlos con una única semilla en la caja 2(véase la 3, Parte B, círculos rojos). Por último, tenga en cuenta la semilla que ocupan las casillas enla columna 2, y agrupándolos, las reemplaza con una sola semilla de la casilla 1 de la línea siguiente(véase la 3, Parte C, círculos azules).

2.1.3 - Multiplicación

TO DO


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2.2 - Teoria de Carlos Radicati di Primeglio (1979)

Sistema de numerazione Posicional

notación o base 10


Progresión horizontal 1, 1, 1, 1 (o 9, 9, 9, 9)



Primeglio se basó su teoría en un sistema de notación posicional. A diferencia de Wassen, nocreo que los círculos blancos y negros, representados en el diseño de Poma de Ayala, eran huecosvacíos o llenos, pero semillas depuestas en las diferentes casillas.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 18


MANUAL DEL USUARIO




5

104

1000090000

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

4

103

10009000

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

3

102

100900

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

2

101

1090

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

1

100

19

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

Tabla 4: Diagrama de Yupana posicional de base 10 con la progresión de 1, 1, 1, 1 de C. Radicati di Primeglio

En cada columna de la yupana podría representarse un número con progresión vertical parapotencias de diez (sistema decimal). En cada caja se puede poner hasta nueve (9) semillas, todasellas con valor 1 (ver 4).

Como un ejemplo para la representación de un número, elija 3595. Llena la tabla de arriba aabajo y de izquierda a derecha, teniendo en cuenta que cada dígito corresponde a una línea (sistemaposicional). Comenzamos con los millares (cuarta línea): tres semillas (círculos negros) en el primercuadro, a continuación, pasar a los cientos (tercera fila): cinco semillas en la primera casilla, luegolas decenas (segunda fila): esta se llenará completamente (9 semillas). Por último, la unidad(primera fila): 5 semillas en el primer cuadro. Véase la 5.

Tenga en cuenta que se pueden representar todos los números de uno a 99999.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 19


MANUAL DEL USUARIO




5

104

1000090000

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

4

103

10009000

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

3

102

100900

l m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

2

101

1090

l l l l l l l l l

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

1

100

19

l m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

Tabla 5: Representación del número 3595 en la yupana de C. Radicati di Primeglio

2.2.2 - Adición

Para sumar dos números deben representar los sumandos en la yupana (ver sección anterior),uno para cada columna. Posteriormente, a partir de la columna de las unidades se mueven lassemillas en la última columna, teniendo cuidado, cuando se alcanza el número de diez semillas, dereemplazarlos con una sola semilla de la línea siguiente (mayor potencia).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 20


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COL. 1 COL. 2 COL. 3 COL. 4 COL. 1 COL. 2 COL.3 COL.4

(A) (B)m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

l l l l l l

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

l l m l l m l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m l l m l l m

l l l l l l l l l l l l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m l l m l l m

l l m l l m l m m

l l l l l l l l l

m m m m m m l m m

l l m l l m l l l

l l l l l l l l l l l l l l l l l

l l l l l l l l l

m m m m m m l m m

l l m l l m l l l

l l m l l l l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

l l l l l l l l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

m m m m m m l m m

Tabla 6: Proceso para la suma de 3595 + 515 + 3471 = 7581 en la yupana de C. Radicati di Primeglio

A modo de ejemplo, agregamos al número representado en el párrafo anterior (negros de

semillas, primera columna) el número 515 (semillas rojas, segunda columna) y el número 3471(semillas azules, tercera columna). El primer paso del procedimiento, consiste en la representaciónde los tres números en las tres primeras columnas (véase la 6, Parte A, columnas 1, 2 y 3). Partimosaquí de la línea de las unidades, sumando todos las semillas negras, rojas y azules, y luegopasandolas a la última columna (6, Parte A, columna 4). Puesto que la mezcla total es de 11 (mayorque 10), diez semillas (negros + rojo) se pueden reemplazar con una sola semilla en la fila superior(6, Parte B, línea 2, columna 4, semilla color naranja) y en la caja 1 × 4 se mantendrá sólo la semillade color azul. Asimismo, en la línea 2, las semillas negras y las rojas se suman dando 10 decenas,las cuales pueden ser sustituidas con una semilla de valor igual a cien (semilla color naranja)perteneciente a la fila superior (6, Parte B, línea 3, columna 4, semillas de color naranja) mientrasque las semillas azules se mueven en la columna 4. Incluso en la línea 3 la semillas rojas y lasnegras resultan en 10 centenas, y entonces se pueden sustituir por una sola semilla de la línea 4 ( 6,Parte B, fila 4, columna 4, semilla color naranja) y las semillas azules quedan en la columna 4. En lalínea 5 se ejecuta sólo el desplazamiento de las semillas azules y negras, ya que no se alcanza elnúmero 10. Usted puede leer el resultado verticalmente de arriba: 7581.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 21


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2.2.3 - Resta

Para restar dos números que representan el minuendo y el sustraendo el en las primeras doscolumnas de la yupana (véase el párrafo anterior). Posteriormente, a partir de la columna de lasunidades se mueven las semillas de la primera columna en la tercera (o cuarta) columna y se restacada vez las semillas de la columna 2. Si el resultado es negativo, usted tiene que tomar una semillade la línea (potencia) superior y convertirla en 10 semillas de la línea (potencia) actual, antes derestar las semillas de la columna 2.

COL. 1 COL. 2 COL. 3 COL. 4 COL. 1 COL. 2 COL.3 COL.4

(A) (B)m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

m m m m m m m m m

m m m l l m l l m

l l l l l l l l l

m m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l l l l l l l l m

m m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m l l m l l m

l m m l l m l l m

l l m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l l l l l l l l l l l l l l l

l l m l l m l l m

m m m m m m m m m

l l l l l l l l l

Tabla 7: Proceso para la resta de 3595 146 = 3449 en la yupana de C. Radicati di Primeglio

A modo de ejemplo, se resta el número que aparece en la sección anterior (semillas negras,

primera columna) el número 146 (semillas rojas, segunda columna). El primer paso delprocedimiento, consiste en la representación de números dicho en las dos primeras columnas (véasela 7, Parte A, columnas 1 y 2). Partimos aquí de la línea de las unidades y pasamos las semillasnegras en la última columna, mientras que restamos las de color rojo; ya que el resultado seríanegativo, transformamos una semilla negra de la siguiente línea (línea 2) en diez semillas de la línea1 (7 Parte B, fila 1, columna 1, semillas naranja). El resultado de la resta de la fila uno es de colorazul (7, Parte B, fila 1, columna 4, medio azul). Proceda con las decenas: 8 semillas negras restar 4semillas rojas y reportar los resultados en la columna 4 (7, Parte B, línea 2, columna 4, semi azul).Del mismo modo, para los cientos que tenemos que restar de 5 semillas negras una roja (7, Parte B,línea 4, columna 4, la mitad azul). Finalmente, para los miles es suficiente reportar las tres semillas


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de la columna 1 en la columna 4, ya que no hay semillas que se debe restar de la columna 2. Elresultado se puede leer verticalmente de arriba: 3449.


La teoría de la multiplicación segun Radicati di Primeglio implica el uso de una yupanaampliada en comparación con la representada por Poma de Ayala. En particular, el número de filasy columnas depende del número de dígitos de los números que desea multiplicar. Hacemos aquí unejemplo en el que el multiplicador y multiplicando no superan los tres dígitos.

Para multiplicar dos números debe representar el multiplicando en la primera columna de laizquierda (semillas de color azul en la zona azul) y el sustraendo en la primera fila de la partesuperior (semillas de color color naranja en la zona de color beige), como se muestra en la 8.

COL. 1 COL. 2 COL. 3 COL. 4 COL. 5 COL. 6

Multiplicadorl l

l l

l l ll l

l l l

l l l Sumas Total

Multiplicando Productos parciales

l ll l lllll LINEA 5

mlll

llllll LINEA 4

l

llll lllll llllllmmllllllll LINEA 3

l l

llllllll

llllllllll

llllllllllll

mmlllllll

llllllll LINEA 2

l l l

llllllllllll

lllllllllllllll

llllllllllllllllll

mllllllll

llllllll LINEA 1

Tabla 8: Representacion del multiplicando 23 y del multiplicador 456 en la Yupana de C. Radicati di Primeglio. Semillas azules = multiplicando, semillas de naranja = multiplicador, 1 semilla blanca = 10 (decena), 1 semilla negra = 1 (unidad).

Seguidamente se procede a multiplicar cada dígito del multiplicador para cada dígito del

multiplicando, devolviendo el resultado en la casilla de los productos parciales correspondiente(zona verde). En el ejemplo (como en Tk Yupana) se usan circulos negros y blancos para indicarrespectivamente unidad y decenas .


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Como resultado, a partir del cuadro R1 C4 se añaden en diagonal las semillas presentes enlos cuadros de color verde y el resultado se muestra en los cuadros grises que corresponden a lassumas. Así R1C4 se copiará en R1C5; R1C3 + R2C4 en R2C5; R1C2 + R2C3 + R3C4en R3C5; R2C2 + R3C3 en R4C5; R2C3 en R5C5.

Por último, a partir de la fila 1 y continuando hacia arriba, se devuelven los valores de lacolumna 5 en la columna 6, cuidando siempre que, quando el número sea superior a 9 (una semillablanca), se trasforme la misma en una semilla negra de la fila superior .

El resultado (producto) es legible de arriba a abajo en la columna 6 (área roja) .


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2.3 - Teoría de William Burns Glynn (1981)


notación o base 10

Disposición de la tabla Horizontal: 4 filas × 5 columnas (vertical en la version original)

Progresión horizontal 1, 1, 1, M (o 5, 3, 2, M)


La teoría desarrollada por el ingeniero textil William Burns Glynn se basa en un sistema denumeración con notación posicional en base 10, correspondiente a la progresión horizontalascendente de derecha hacia izquierda[§MOV] y [§LES]. La progresión vertical, sin embargo, estáconstituido por los números 5, 3, 2 (de abajo hacia arriba) que, teniendo suma 10, son suficientespara representar todos los números de uno a cien mil. La última línea, de una que está destinado aser utilizado como una "memoria".

Hay muchas variantes de este sistema de numeración propuestas por diversos autores: unosponen la yupana horizontalmente (lado largo horizontal), otros vertical (como en la versión originalpropuesta por el autor), pero la teoría detrás de esto es obviamente siempre la misma.

2.3.1 - Representación de un número

Dado que la disposición horizontal de la yupana de Glynn ha tenido más éxito y se ha utilizadoen muchos proyectos educativos en diversos países de todo el mundo, me decidí a adoptarla para eldesarrollo de TkYupana.

Refiriéndose entonces a un tablero de 5 columnas × 4 filas (lado más largo horizontal), loscírculos de la Yupana de Poma de Ayala son mnemotécnicos que indican el número máximo deelementos (semillas) que puede caber en una caja (5 elementos en las casillas de la fila 1, 3elementos en las casillas de la fila 2 y 2 elementos en las casillas de la fila 3, 1 elemento en lascasillas de la fila 4). La línea 4 (la más alta) tiene una connotación diferente a los otros tres abajo.Según la teoría de Glynn, de hecho, se utiliza como memoria en las operaciones aritméticas, parareducir la posibilidad de error durante sustituciones (ver por ejemplo la operación de adición).

Cada semilla tendrá valor unitario, lo que significa que, en la interpretación de Glynn (como enla de Wassen) los círculos de la yupana de Poma de Ayala tendrán el valor 0 si están vacío y 1cuando se llenan con una semilla.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 25


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La progresión horizontal es de base diez (decimal), y cada columna está asociada con unapotencia de diez. A partir de las columnas de la derecha, creciendo hacia la izquierda, correspondenlas unidades (100), decenas (101), cientos (102), miles (103), decenas de miles (104). Cada semillapor lo tanto tendrá un valor diferente (1 10x) dependiendo de la columna en la que se encuentra(véase el diagrama que se muestra en la 9).

5 4 3 2 1 COLUMNA

104

(DECENAS DE MILES)

hunu

103

(MILES)

waranka

102

(CIENTOS)

pachaq

101

(DECENAS)

chunka

100

(UNIDADES)

huq

VALOR

m m m m m MEMORIA

mm mm mm mm mm Cada círculo(cuando

lleno) es 1multiplicadopor el valor

de la columna

mmm

mmm

mmm

mmm

mmm

mmmmm

mmmmm

mmmmm

mmmmm

mmmmm

Tabla 9: Diagrama del sistema de numeración de Glynn (ábaco en base 10)

La progresión vertical es en cambio 1 1 1 M, es decir, cada semilla plantada en cualquiercuadro de las tres primeras filas de la tabla tiene el valor 1, y tiene un valor de M = memoria = 10 ×10x1 (con x igual al número de la columna a partir de derecha hacia izquierda) cuando se encuentraen la fila más alta.

La representación de un número es muy sencilla e intuitiva: se comienza a llenar la tabla deabajo hacia arriba y de derecha a izquierda, teniendo en cuenta que cada dígito corresponde a unacolumna (sistema posicional), en las tres primeras filas (a partir de bajo) se ajustan a las semillas(cada unidad de valor). Vea el ejemplo en la 10.

104

(DECENAS DE MILES)

hunu

103

(MILES)

waranka

102

(CIENTOS)

pachaq

101

(DECENAS)

chunka

100

(UNIDADES)

huq

m m m m m

mm mm ml mm mm

mmm

mmm

lll

mll

mmm

mmmmm

mmmml

lllll

lllll

mmmml

Tabla 10: Representación del número 1971 en el Glynn yupana.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 26


MANUAL DEL USUARIO

El número 0 se representa por no poner ninguna semilla en la yupana (tabla vacía). El númeromáximo representable en la yupana de Glynn es 100000, o 222220 incluyendo las memorias.

Tenga en cuenta que, según la teoría de Glynn es posible representar todos los números de 1 a99999, pero que la representación, sin embargo, no es univoca14. La elección de utilizar el número 1como "memoria", además de proporcionar una ayuda en los cálculos, permite reducir el sistema denumeración a decimal puro.

2.3.2 - Adición

Para sumar dos números se debe representar el primer sumando en yupana (véase el párrafoanterior).

Posteriormente, a partir de la columna de las unidades, añadir tantas semillas como hayunidades del segundo sumando. Si se completa la columna (diez semillas), todas las semillascolocadas se retiran, y se sustituye con una semilla en la memoria (que es 10x1, con x igual alnúmero de la columna de la derecha hacia la izquierda); esta semilla tiene igual valor que unasemilla en una qualquier caja de la columna inmediatamente a la izquierda. Los tres ejemplossiguientes son equivalentes y valen 100:

10 decenas

102 101

m m

mm l

mmm

lll

mmmmm

lllll

1 memoria (valor 100)

102 101

m l

mm mm

mmm

mmm

mmmmm

mmmmm

1 ciento

102 101

m m

mm mm

mmm

mmm

mmmml

mmmmm


La multiplicación de dos números de acuerdo al metodo de Glynn utiliza los "númerosmágicos" 1, 2, 3 y 5 diseñado por Poma de Ayala.

14 Questo perché la “scelta” obbligata dei numeri 2,3,5 non soddisfano il teorema de Zeckendorf che afferma che ogniintero positivo è rappresentabile in modo unico come la somma de uno o più numeri de Fibonacci distinti nonconsecutivi. Essendo i numeri 2 e 3 consecutivi il teorema non è soddisfatto e la Representación non è unica.[n.d.A.]


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 27


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El primer paso es encontrar los cuatro múltiplos del multiplicando: M1, M2, M3, M5.

En segundo lugar consiste en representar el multiplicador en potencias de 10 y base 1, 2, 3, 5.Siendo x el exponente de la potencia que corresponde a la cifra en cuestión (0 para las

unidades, uno para las decenas, dos para las centenas y así sucesivamente) todos los numeros desde0 a 99999 son representables, algunos en diferentes formas :

0 = 0 × 10x

1 = 1 × 10x

2 = 2 × 10x

3 = 3 × 10x

4 = 2 × 10x + 2 × 10x (o 1 × 10x + 3 × 10x)

5 = 5 × 10x

6 = 5 × 10x + 1 × 10x (o 1 × 10x + 2 × 10x + 3 × 10x)

7 = 5 × 10x + 2 × 10x (o 1 × 10x + 3 × 10x + 3 × 10x)

8 = 5 × 10x + 3 × 10x (o 2 × 10x + 3 × 10x + 3 × 10x)

9 = 5 × 10z + 2 × 10x + 2 × 10x (o 1 × 10x + 3 × 10x + 5 × 10x)

En general a continuación, un dígito del multiplicador puede ser representado sobre la base1,2,3,5, tales como:

nn=an×100bn×10

1cn×102d n×10

3en×104 t.c.a ,b ,c , d ,e∈{0,1 ,2 ,3,5}∧0≤n≤4

Después de haber decidido la descomposición del multiplicador, se puede proceder al cálculoreal, multiplicando cada aparición de dígitos distintos de cero del multiplicador para loscorrispondientes factores del multiplicando (M1, M2, M3, M5) y introduciendo los diversos valoresen la yupana, cada vez haciendo las sumas.

Por ejemplo, supongamos que se desea realizar la siguiente multiplicación 3 × 12359.Calculamos los cuatros múltiplos del multiplicando: 3, 6, 9, 15.A continuación, descomponemos el multiplicador 12359 y componemos la siguiente tabla, a la

que hemos añadido como última la línea de los múltiplos del multiplicando que nos ayudarán mástarde.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 28


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Potencia 1x 2x 3x 5x Resultado

104 1 1x104

103 1 2x103

102 1 1x102

101 1 1x101

100 2 1 1x100

Factoresmultiplicadores

3 6 9 15

Tabla 11: Multiplicación de 3 × 12359

En este momento tenemos todos los elementos para realizar el cálculo que se reduce a sumassimples. A partir de la unidad, representan los factores de multiplicación (M1, M2, M3, M5) para elnúmero de ocurrencias ( a0,b0, c0,d0, e0 ): 15 × 1 + 6 × 2

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

mm m

mm m

mm m

ml l

m mm m m

m mm m m

m mm m m

m mm l l

lllll

A continuación, proceder con las decenas: 15 × 1

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

mm m

mm m

ml l

ml l

m mm m m

m mm m m

m mm m l

lllll

lllll

Vamos entonces a los cientos: 9 × 1, nota que añadiendo 9 a la existente, se obtiene una decenade cientos, osea miles.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 29


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m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

mm m

mm m

ml l

ml l

m mm m m

m mm m l

m mm m m

lllll

lllll

Ahora añadimos los miles: 6 × 1

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

ml l

mm m

ml l

ml l

m mm m m

lllll

m mm m m

lllll

lllll

Por último añadimos las decenas de miles: 3 × 1, obteniendo así el resultado: 37.077

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

ml l

mm m

ml l

ml l

m ml l l

l ll l l

m mm m m

l ll l l

l ll l l


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 30


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2.4 - Teoría de De Pasquale (2001)


notación o base 40


Progresión horizontal 1, 2, 3, 5 (serie de Fibonacci)

Progresión vertical 1, 40, 1600, 64000, 2560000

Nicolino de Pasquale propone para el ábaco de Poma de Ayala un sistema de numeración connotación posicional en base 40 y mantener la yupana vertical (lado largo vertical)[§DEP].


Cada semilla tendrá un valor que depende de la fila R y de la columna C en el que se coloca.Cada fila R de la yupana corresponde a una potencia de 40, de acuerdo con la fórmula:

f (R)=40R−1 , R∈[1,5] 1.4.1

con R ascendiendo desde abajo hacia arriba.

La progresión horizontal de los valores de las columnas es 1, 2, 3, 5, en correspondencia con elnúmero de círculos en el dibujo de Poma de Ayala, que es también igual al número máximo desemillas insertables en una casilla dada (R,C). En términos matemáticos, el valor de la columna seexpresa:

g (C )=C t.c. C [1,4) (4,5] 1.4.2

con C ascendiendo desde la derecha hacia la izquierda.

Entonces, el valor de una semilla colocada en la casilla (R,C) está dada por:

V (R ,C )= f (R)⋅g (C )=C⋅40R−1 t.c. C [1,4) (4,5] e R [1,5] 1.4.3

Véase también el diagrama en la 12.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 31


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5

404

2560000102399999

12800000m m m m m

7680000 m

m

m

5120000

m

m

2560000

m

4

403

640002559999

320000m m m m m

192000 m

m

m

12800

m

m

64000

m

3

402

160063999

8000m m m m m

4800 m

m

m

3200

m

m

1600

m

2

401

401599

200m m m m m

120 m

m

m

80

m

m

40

m

1

400

139

5m m m m m

3 m

m

m

2

m

m

1

m

Tabla 12: Diagrama de Yupana posicional en base 40

Para representar un número hay que empezar a llenar la tabla de abajo hacia arriba y de derecha

hacia izquierda; la primera fila puede contener un valor mínimo igual a cero (yupana vacía) y unomáximo igual a 1 1 400 + 2 2 400 + 3 3 400 + 5 5 400 = 1 + 4 + 9 + 25 = 39. Elnúmero 40 corresponde a una yupana llena únicamente con una semilla colocada en la casilla en laprimera casilla a la derecha de la segunda fila. Incluso en este caso hay un número que puede tenervarias representaciones, como se muestra en 13 y 14 para el número 100.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 32


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401

401599

200

m m m m m

120

m

m

m

80

m

l

40

m

400

039

5

m l m l m

3

l

l

l

2

m

m

1

l

Tabla 13: Primera representación del número 100

2 1 401 + 5 2 400 + 3 3 400 + 1 1 400 = 80 + 10 + 9 + 1 = 100

O:

Valore: 5 Valore: 3 Valore: 2 Valore: 1

401

401599

200

m m m m m

120

m

m

m

80

m

l

40

m

400

039

5

m l l l l

3

m

m

m

2

m

m

1

m

Tabla 14: Representación alternativa del número 100

2 1 401 + 5 4 400 = 80 + 20 = 100


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2.4.2 - Adición

TO DO


TO DO


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2.5 - Teoria di Chirinos (2008)


notación o base 10

Disposición de la tabla Vertical: 5 lineas 4 columnas

Progresión horizontal de 1 a 11

Progresión vertical 0.1, 1, 10, 100, 1000

Andres Chirino Riverea propuso para el ábaco de Poma de Ayala un sistema de numeracióncon la notación posicional en base 10, tenendo la yupana en posición vertical (lado más largovertical)[§CHI].

2.5.1 Representacion de un numero

Cada semilla tendrá un valor que depende de la fila R, columna C, y la posición de la caja C×Ren la que se coloca. Cada fila R de la yupana corresponde a una potencia de 10, de acuerdo con lafórmula:

f (R)=10R−2 , R∈[1,5] 1.4.1

con R creciente, desde la parte inferior hacia arriba.

La progresión horizontal de los valores de las semillas es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, sobre labase de la posición de los círculos en el dibujo de Poma de Ayala, asi que, por ejemplo en la línea 2,las semillas tendrán un valor de 1 (columna 1), 2 y 3 (columna 2), 4, 5, 6 (columna 3) y 7, 8, 9, 10,11 (columna 4). Para más información sobre los valores relativos a la posición, consulte la 15.

Chirinos divide verticalmente cada fila de yupana en seis columnas, que llama huachos,correspondiente a la disposición de los círculos del diseño de Poma de Ayala.

Agrupa entonces las columnas en diales, que llama suyos y los suyos, los agrupa de dos en dos,en dos secciones principales llamadas sayas.

Por último, tenga en cuenta que la suma de las semillas de la saya de la izquierda es 60,mientras que la saya de la derecha, tiene suma 6, y concluye que los Incas, ademas de la adopciónde un sistema de numeración posicional en base 10, también tenían la opción de usar la yupanacomo tabla para el cálculo sexagesimal.


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LINEAPOTENCIA

CIONESrange valores


Saya izquierda Saya derecha

Suyu izquierdo Suyu derecho Suyu izquierdo Suyu derecho

5

103

100066000

m 11000 m 8000 m 10000 m 7000 m 9000

m 6000

m 5000

m 4000

m 3000

m 2000 m 1000

4

102

1006600

m 1100 m 800 m 1000 m 700 m 900

m 600

m 500

m 400

m 300

m 200 m 100

3

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 m 10

2

100

166

m 11 m 8 m 10 m 7 m 9

m 6

m 5

m 4

m 3

m 2 m 1

1

100

0.10.66

m 0.11 m 0.8 m 0.10 m 0.7 m 0.9

m 0.6

m 0.5

m 0.4

m 0.3

m 0.2 m 0.1

huachus 6 5 4 3 2 1

Tabla 15: Diagrama de Yupana de sistema posicional en base 10 de Chirinos

Se presta especial atención a las denominadas casillas centrales o singulares, dichas chullas,

que se destacan por el color azul en 15. Las casillas restantes son llamadas casillas acopladas, opitu, y están indicadas por el color negro en la 15.

Incluso en este caso hay números que pueden tener múltiples representaciones. Chirinos

identifica tres tipos :1. Representación acoplada, cuando el número está representado únicamente por tipo de

cajas pitu (vease un ejemplo en la 16) .2. Representación desacoplada, cuando el número está representado tanto por casillas pitu


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 36


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que chullas (vease un ejemplo en la 17) .3. Representación concreta, cuando se representa el número con un máximo de cinco

semillas por los números 19, para cada posición decimal (vease un ejemplo en la 18)4. Representación concreta simplificada, donde se representa el número con las reglas del

tercer tipo, con la particularidad de que las cajas del sexto huachu tengan todas igual valor,igual a la media de las tres semillas (vease un ejemplo en la 19).

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

l 20

m 10

100

166

m 11 m 8 m 10 m 7 m 9

m 6

m 5

m 4

l 3

m 2

m 1

Tabella 16: Rappresentazione accoppiata del numero 23 (pitu)

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 m 10

100

166

m 11

l 8 m 10 m 7 m 9

m 6

l 5

l 4

l 3

l 2

l 1

Tabella 17: Rappresentazione disaccoppiata del numero 23 (chulla)

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 l 10

100

166

l 11 m 8 m 10 m 7 m 9

m 6

m 5

m 4

m 3

l 2

m 1

Tabella 18: Rappresentazione concreta del numero 23. Si noti che a differenza della precedente, il numero vienerappresentato con al massimo cinque caselle dall'uno al nove.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 37


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101

10660

m 100 m 80 m 100 m 70 m 100

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 m 10

100

166

l 10 m 8 m 10 m 7

l 10

m 6

m 5

m 4

l 3

m 2

m 1

Tabella 19: Rappresentazione concreta semplificata del numero 23. Qui i valori delle caselle appartenenti al sestohuacho sono tutti uguali.

2.5.2 - Addizione

TO DO

2.5.3 - Moltiplicazione

TO DO


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 38


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2.6 Teoria de Cinzia Florio (2008)

Sistema de numeración Aditivo

Potencias de 10


Progresión horizontal

Progresión vertical

En 2009 Cinzia Florio propuso un enfoque[§FLR] completamente diferente al tradicional deWassen, Glynn y De Pasquale. En lugar de formular una teoría de la computación con una yupanacinco filas por cuatro columnas y la serie fija de numeros (1,2,3,5), Florio buscó una soluciónplausible a la disposición exacta de las bolas en el diseño de Poma de Ayala y tomando ese dibujocomo punto de partida y considerando la distribución no aleatoria.

El resultado de su trabajo es sorprendente: si tenemos en cuenta los círculos blancos comodecenas y los círculos negros como unidades, la primera columna de la yupana ofrece suma 32, lasegunda 64, la tercera 96 y el cuarto 151 (20). Siempre y cuando usted admite que Poma de Ayalahizo un error en dibujar un circulo negro en lugar de uno blanco, la suma de la columna 4 seconvertiría en 160, o 96 + 64. Esta observación llevó Florio a la conclusión que la secuencia deFibonacci, que se muestra en la Imagen, no era más que un caso relacionado con el ejemplo y que layupana se utilizó en este ejemplo como un tabla multiplicadora. La multiplicación representadasería 32 × 5, donde 5 se descompone como 2 + 3 y, entonces, como resultado de la aplicación de lapropiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, esto llevaría al resultado:32 × 32 × 5 = (2 + 3) = 32 × 32 × 2 + 3 = 64 + 96 = 160.

Además de las ventajas evidentes de ser el único sistema de numeración de cálculo que tengaun éxito en el mismo diseño Poma de Ayala, la teoría propuesta por Cinzia Florio, en mi opinión,tiene a su favor la simplicidad de uso.

Los puntos en contra son dos:• usted tiene que admitir el error de Poma de Ayala para apoyar la teoría. Sin embargo,

Florio, en el mismo artículo de la referencia 29, hace notar que es muy probable unerror por parte del cronista. En cualquier caso, la probabilidad de dibujar círculos acaso y representar exactamente los números 32, 64 y 96 es prácticamenteinsignificante.

• la yupana diseñada por Poma de Ayala (con cinco filas y cuatro columnas), sería


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 39


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contingente al cálculo del diseño realizado, y no para representar todos los números.El autor resuelve este impasse diciendo que Poma de Ayala habría sacado de las filasy columnas necesarias para que la multiplicación particular, y que la yupana teníatamaños más grandes. También señala que para moltiplicandi donde muchos dígitosaparecen, entre 6 y 9, serían necesaria una yupana más grande o tal más de unayupana dispuestas lado a lado.

151 (160) 96 64 32 l m m l m

m l m

l

l m

m m m m (l) (→ m)

m m l

m

m l

l l l l l

m m m

l

m m

m m l m m

l m m

l

m m

l m l m m

l l l

m

m l

Tabla 20: El cálculo de Poma de Ayala de acuerdo con el sistema de numeración propuesto por Cinzia Florio


Aunque el ejemplo en Nueva Coronica se refiere a una multiplicación particular, Cinzia Floriotambién propone el uso de yupana como ábaco para la adición y la división (op. citada). Esimportante tener en cuenta que el sistema de numeración que se examina es aditivo con potenciasde 10. Esto significa que durante la representación de un número el Khipu Camayuq lo decomponiaen unidades, decenas, centenas, etc.

Supongamos que queremos representar el número 3204. Se decompone como: 3 × 1000 + 2 ×100 + 0 × 10 + 4 × 1. El Khipu Camayuq, nececitaba 3 filas para representar el número. Escogió lassemillas de color de acuerdo a la potencia de diez (base 10) y los distribuyó ocupando las tresprimeras casillas de la columna 1, agrupándolas por color para completar el número (ver 21).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 40


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COLUMNA 1 FILAS

3 semilla rojas = 3000 1

2 semilla verdes = 200 2

4 semillas negras = 4 3

3204 TOTAL

Tabla 21: Yupana Florio: representación del número 3204

Tenga en cuenta que el orden de inserción, desde los miles a las unidades, adoptados en elejemplo no es decisivo para la representación del número (pues una representación aditiva de losnúmeros no es dependiente de la posición de los dígitos).

2.6.2 - Adición

L'Adición secondo la teoria de Cinzia Florio avveniva rappresentando due o più numeri inaltrettante colonne e poi sommandoli riga per riga. Il risultato veniva mostrato nell'ultima colonna(la prima da izquierda), quella del risultato.

La adición, de acuerdo con la teoría de Cinzia Florio, ocurrió que representando dos o másnúmeros en tantas columnas y luego sumarlos línea por línea. El resultado se muestra en la últimacolumna (el primero desde la izquierda).

Supongamos que desea añadir el número 3204 al número 2847. El procedimiento fue comosigue:

1. Se representa el número 3204, como ya se ha mostrado en la sección anterior (véase la 21 ola primera columna de la 22).

2. Se añade una segunda columna en la que se representa el número 2847, como 2 × 1000 + 8× 100 + 4 × 10 + 7. Para representar este número vamos a necesitar 4 filas (véase la segundacolumna de la 22).

3. Se suman las semillas del mismo color y devuelve el resultado en la siguiente columna(véase la tercera columna de la 22)

4. Finalmente, cuando sea posible, se reagrupan diez semillas del mismo color y se reemplazancon un color de una potencia de diez superior (véase la cuarta columna de la 22).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 41


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COLUMNA 4RESULTADO FINAL

COLUMNA 3 RESULTADO PARCIAL

COLUMNA 2SEGUNDO SUMANDO

COLUMNA 1PRIMER SUMANDO

6051 6051 2847 3204

Tabla 22: Yupana Florio: representación de los números 3204 (columna 1) y 2847 (columna 2) y su suma (columnas 3 y 4).


Veamos ahora el principio de funcionamiento de yupana utilizado como tabla multiplicadora,de acuerdo con la teoría de Cinzia Florio. En este caso, el ábaco fue utilizado como una ayuda pararealizar multiplicaciones, y lo que parece ser dibujado en Nueva coránica de Poma de Ayala se hade considerar en el cálculo llevado a cabo (32 × 5).

Consideremos, pues, la multiplicación de dos terminos M × m, donde se denota por M elmultiplicando y por m el multiplicador.

El proceso ejecutado por el Khipu Camayuq es el siguiente:

1. DISTRIBUCIÓN Y INCLUSIÓN DEL MULTIPLICANDOa) Lo primero es romper el multiplicando M en base 10. Esto corresponde a escribirlo

como una suma de n términos: M=∑ x j⋅10j , t.c. j=0,1, 2,... , N

b) se asigna a cada potencia de diez una semillas de un color; seran necesarios N diferentestipos de semillas (o colores diferentes), una para cada potencia. Más adelante vamos allamar a estas semillas o semillaj o potenciaj. Su tipo o color entonces representará lapotencia relativa a cada diez.

c) empezar a dibujar una columna de R filas, donde R corresponde a la suma de los dígitosdel multiplicando: R=∑ x j t.c. j=0,1, 2,... , N

d) cada fila de la columna 1 tiene valor 1e) insertar15 en la columna 1 (primera columna contando desde la derecha de la tabla) x j

15 Si noti che l'inserimento, nel metodo proposto da Cinzia Florio, avviene dall'alto verso il basso, peraltro in accordo


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 42


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semillas, una cada tipo de poderj;16 el número de semillas del mismo color correspondeentonces a los coeficientes de las sumas.

2. DISTRIBUCIÓN Y INCLUSIÓN DE MULTIPLICADORa) El sistema de numeración de Florio se basa en la propiedad distributiva de la

multiplicación con respecto a la adición, y es por lo tanto necesario distribuir elmultiplicador en suma de dos o más términos no necesariamente agrupados por lamisma potencia de diez: m=∑ ak⋅10

s , t.c.k=0,1,2, 3, ... , K e s=0,1,2,3, ...K . b) El número k y el valor ak de los términos es a discreción del Khipu Camayuq y,

obviamente, depende de su experiencia (en general puede ser económico a los efectosde la velocidad de cálculo descomponer el multiplicador en una serie de sumandos cuyamultiplicación con el multiplicando es casi inmediata, como se por ejemplo 16 = 10 + 6,oppure 165 = 100 + 30 + 30 + 5).

c) los términos en que se ha descompuesto el multiplicador fijan los valores ak de lascolumnas posteriores a la primera. A la izquierda de la columna 1 se crean luego Kcolumnas (una para cada sumando) y se asocia a cada columna el valor respectivo ak(correspondiente al número de semillas insertables en cada caja) y una potencias (quecorresponde a la potencia de diez dell'addendo en estudio).

d) Esto daría lugar a una tabla de N filas, el número creciente de arriba abajo, para K+1columnas (1 columna de las columnas de la multiplicador multiplicando + K), elnúmero cada vez mayor de derecha a izquierda. Mas adelante, cada casilla del tableroserá identificada por las palabras n × k ( 1≤n≤N e 1≤k≤K+ 1 ) y tendrá valor aky potencias que corresponde a la columna asociada (23)

Multiplicador m(K columnas)

Multiplicando M Lineas

K+1 ... 2 1

Valor aK

Potencia sK

Valor a1

Potencia s1

1 × semilla1 1

... 2

1 × semilla2 3

... ...

1 × semillaN N

Tabla 23: Yupana N filas × K+1 columnas

con José Acosta: “...non scrivevano per righe, ma dall'alto verso il basso” (crf. [§ACO], libro VI, capitolo IX).[n.d.A.]

16 Si può fare un discorso inverso, partendo dalla yupana rafImagenta da Poma de Ayala. Visto che essa ha solo cinquerighe, è possibile inserire i numeri 1, 2, 3, 4, 5, ma non 6 perché avrebbe richiesto una riga in più; mentre è ancorapossibile inserire i numeri 10, 11, 12, 13 e 14, ma non il 15, e così via. Generalizzando, i moltiplicandi inseribili inN righe sono tutti gli M t.c. 1⋅10 j≤M≤(N− j )⋅10 j , j≥0 [n.d.A.]


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 43


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3. MULTIPLICACIÓN (columna 1 × columna k)a) para cada fila de la columna de la yupana se multiplican la columna 1 con la columna k

y se añaden ak e la casilla n × k, cuidando de respetar la siguiente regla: si lacolumna k tiene potencias (s 0), se debe introducir en el cuadro n × k, un numeroak de semillas con potencia igual a potenciaj + potencias.

b) El procedimiento se repite para las K columnas insertadas.

1. ADICIÓN (columna 2 + columna 3 + ... + columna K +1)a) Crear una columna a la izquierda de la columna K+1. En esta columna, que llamaremos

columna K+2, o columna Producto, serán puestas las sumas de las columnas anteriores24.

b) Para cada fila de la yupana se suma el número de semillas de la misma potenciak delas columnas k con k 2 k K+1 y se ponga una cantidad equivalente de semillas en lacolumna K+2.

4. PRODUCTOa) La suma de todos los pesos de columna K+2 constituyen el resultado de la

multiplicación o producto.b) Se inicia mediante la agrupación de las semillas de potencia menor: siempre que llega a

diez semillas del mismo color, éstas se sustituyen con una semilla de color/potenciamayor.

c) Después de haber hecho lo mismo hasta el peso máximo, usted recibirá R semillas si ,t.c.0≤si≤9

d) Luego, iniciando por los pesos de mayor potencia, se puede leer el resultado como:p=∑ si⋅10

i , t.c. i=0,1,2,3, ... , P

Productop

Multiplicador m(K columnas)

MultiplicandoM

Filas

K+2 K+1 ... 2 1

1 × semilla1 1

... 2

1 × semilla2 3

... ...

1 × semillaN N

Tabla 24: Yupana de N filas × k+1 columnas + columna del Producto


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Ejemplo 1: 32×5 (dibujo de Poma de Ayala)

Como primer ejemplo, queremos calcular la multiplicacion dibujda por Poma de Ayala: 32 × 5:1. Descomposicion de 32

• 32 = 2 × 100 + 3 × 101

• Asignamoss las unidades al color negro (potencia 0) y las decenas al color blanco(potencia 1)

• Construimos una yupana de 5 líneas, que son suficientes para contener el multiplicando,de hecho 5 está dado por la suma de los dígitos del multiplicando 3+2

• Pongo entonces tres semillas blancas y dos negras en la primera columna de yupana(25)17

Multiplicando A Filas

1

m 1

m 2

m 3

l 4

l 5

Tabla 25: 32 × 5 Inserción del multiplicador

2. Descomposición y representacion del multiplicadora) descomponemos el multiplicador en la suma de dos términos: 5 = 3 + 218

b) vamos a añadir en la tabla otras dos columnas de potencia 0 y diferentes valores 3 y 2(26)

Multiplicador: 5 Multiplicando :32 Filas

3 2 1

3× 2×

m 1

m 2

m 3

l 4

l 5

Tabla 26: 32×5 – Descomposición del multiplicador

17 Si noti che essendo il sistema numerico additivo e non posizionale, la disposizione delle palline può essere casuale eil risultato sarà sempre lo stesso. Tuttavia per una questione de ordine e per quanto scritto da José Acosta, sisuggerisce de inserire il moltiplicando partendo dall'alto della yupana e procedendo verso il basso [n.d.A.]

18 Teoricamente avrei potuto scegliere anche 1 + 4, o 2 + 2 + 1, ecc. [n.d.A.]


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3. Multiplicaciónes• para cada fila n de yupana multiplicar los valores en la columna 1 por el factor de

multiplicación en la columna 2 y entonces añadir dos semillas de la misma potencia enlas casillas n × 2. Luego, para cada fila, multiplique los valores de la columna 1 por elfactor de multiplicación de la columna 3 y añadir 3 semillas de la misma potencia en lascasillas n × 3 (27).

Moltiplicatore: 5 Moltiplicando :32 Righe

3 (3×) 2 (2×) 1

mmm mm m 1

mmm mm m 2

mmm mm m 3

lll ll l 4

lll ll l 5

Tabla 27: 32×5 – Multiplicación de la columna 1 con las columnas 2 y 3

4. sumasa) Crear la columna 4 donde se escribirá la suma de las columnas anteriores.b) Para cada fila de la yupana, sumar las semillask de las columnas 2 y 3, y poner una

igual cantidad en la columna 4 (28).

Risultato Moltiplicatore: 5 Moltiplicando :32 Righe

4 (3 + 2) 3 (3×) 2 (2×) 1

mmmmm mmm mm m 1

mmmmm mmm mm m 2

mmmmm mmm mm m 3

lllll lll ll l 4

lllll lll ll l 5

Tabla 28: 32×5 – Suma de las columnas 2 y 3

5. Resultado• Ya puedes leer el resultado en la columna 4: quince bolas blancas + diez bolas negras,

osea: (5 × 3) 101 + 5 × 2 = 150 + 10 = 160.• Sin embargo, deseando leerlo más naturalmente, a partir de las semillas de menor peso,

voy agrupando las semillas y cuando se exceda de diez unidades, converto las diez


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semillas en una semilla de mayor peso.• Resultaran dos pesos diferentes (rojo para los cientos y blanco para las decenas) con sus

valores asociados (respectivamente, 1 y 6).• empezando de la potencia más alta, voy a leer el resultado 100 + 60 = 160 (29)

Risultato Moltiplicatore: 5 Moltiplicando :32 Righe

4 (3 + 2) 3 (3×) 2 (2×) 1

m mmm mm m 1

mmmmmm mmm mm m 2

mmm mm m 3

lll ll l 4

lll ll l 5

Tabla 29: 32x5 – Agrupación de las semillas del mismo color y resultado (producto) en la quinta columna

Ejemplo 2: 133x97

Descomponemos el multiplicando 133 = 3 + 3 x 101 + 1 × 102

Asignamos a cada potencia de diez los siguientes colores:Negro = unidad (100) = × 1Blanco = decenas (101) = × 10Rojo = cien (102) = × 100Amarillo = mil (103) = × 1,000Azul = decenas de miles (104) = × 10,000

Pongo entonces una bola roja, tres blancas y tres bolas negras en la primera columna de layupana, para un total de 7 líneas, correspondientes a la suma de los dígitos del multiplicando (30).


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Moltiplicando 133 Righe

1

l 1

m 2

m 3

m 4

l 5

l 6

l 7

Tabla 30: 133 × 97 Inserción del multiplicador

El segundo paso es decidir la descomposición del multiplicador. El número 97 esdescomponible en la suma 50 + 40 + 4 + 3 (31), pero en teoría también podría elegir otrasdescomposiciones. Necesito por lo tanto 4 columnas intermedias y una para el resultado, osea untotal de 6 columnas.

Resultado Multiplicador: 97Multiplicando :

133Lineas

6 5 4 3 2 1

50X 40X 4X 3X

l 1

m 2

m 3

m 4

l 5

l 6

l 7

Tabla 31: 133x97 – La descomposición del multiplicador (97) en 50 + 40 + 4 + 3

Para cada fila, multiplicar el valor de la semilla presente en la columna 1 para los valores de lascolumnas 2 y 3 y distribuir un número suficiente de semillas en dichas columnas. Tenga cuidado,porque la multiplicación de una fila del multiplicando con los valores de las columnas 4 y 5, elresultado aumenta a mayor potencia (de unidades a decenas, de decenas a cientos, y asísucesivamente), entonces debe utilizar el color de semilla apropiado, de acuerdo con la escalaaprobada anteriormente (32).

.


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Resultado Multiplicador: 97 Multiplicando :133 Lineas

6 5 (50x) 4 (40x) 3 (4x) 2 (3x) 1

lllll

llll

llll

lll m1

lllll

llll

mmmm mmm m

2

lllll

llll

mmmm

mmm m3

lllll

llll

mmmm mmm m

4

mmmmm

mmmm

llll lll l 5

mmmmm

mmmm

llll lll l 6

mmmmm

mmmm

llll lll l 7

Tabla 32: 133x97 – Multiplicación de la columna 1 con las columnas 2, 3, 4 y 5

Por último, recogemos las semillas del mismo color y las pondremos en la última columna,teniendo cuidado de sustituir diez semillas del mismo color con una semilla de color de la potenciamás alta (33). El procedimiento debe hacerse paso a paso:

• podemos pasar pronto las nueve semillas amarillas, correspondiente a los millares, en elcasilla de la fila 1 y columna 6

• luego añadimos las semillas pertenecientes a la columna 5 (la cual, como tiene comocoeficiente un número que se divide en 5 × 10, dan sumas 10 y entonces puedentransformarse fácilmente en una semilla de color mas alto); ver las áreas rojas y amarillas enla 33.


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6 5 (50x) 4 (40x) 3 (4x) 2 (3x) 1

lllllllll

llll lll l 1

lllll

llll

mmmm mmm m

2

llllllllll

llll

mmmm mmm m 3

llll

mmmm mmm m 4

mmmmm

mmmm

llll lll l 5

mmmmmmmmmm

mmmm

llll lll l 6

mmmm

llll lll l 7

Tabla 33: 133x97 – Sumatorias

El resultado se observa en 34, donde también se muestra que las semillas que se añadiránsucesivamente y ascenderan al poder superior (zona de color amarillo, en la que 10 semillas rojas sesuman y luego son promovidas a una amarilla; área roja, en la que se añaden diez semillas negras yson promovidas a una de color rojo


6 5 (50x) 4 (40x) 3 (4x) 2 (3x) 1

lllllllll

llll lll l 1

lllll

llll

mmmm mmm m

2

lllll

mmmm mmm m 3

llll

mmmm

mmm m 4

mmmmm

mmmm

llll lll l 5

l

mmmm

llll

lll l 6

mmmm

llll lll l 7

Tabla 34: 133x97 – Más sumatorias

Continuando con el proceso, y la adición gradual de todas las semillas, se obtiene el siguienteresultado;


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6 5 (50x) 4 (40x) 3 (4x) 2 (3x) 1

l m 1

ll m 2

lllllllll m 3

m 4

l l 5

l 6

l 7

Tabla 35: 133x97 – Resultado

El resultado es: una bola azul (10000) + dos bolas amarillas (2000) + nueve bolas rojas (900) +ninguna bola blanca (0) + una bola negro (4): 12901


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2.7 - Teoria de Kak (2014)

Sistema de numeración Posicional, representación nonuniforme

Potencias de 144 con progresión de las potenciaciones a pasos de dos

Disposición de la tabla Vertical: 5 lineas 4 columnas

Progresión horizontal 1, 6, 24, 72 (por la primera linea)

Progresión vertical 120, 122, 124, 126, 128

Subhash Kak propone para el abaco de Poma de Ayala un sistema de representación nonuniforme de los números con notación posicional en base 144 y progresión 120, 122, 124, 126, 128,colocando el yupana en posición vertical (lado más largo vertical)[§KAK].

En su trabajo Kak supone que el ábaco fue utilizado como una herramienta para los cálculosastronómicos. Proporciona su propia explicación de la disposición de las semillas diseñadas porPoma de Ayala, y encuentra una relación con los períodos subsinódicos de algunos planetas.

Kak también explica cómo el ábaco podría ser utilizado para representar, sumar y restar losnúmeros.


Kak basa su teoría en un sistema nonuniforme de representación de los números.

El autor atribuye a los circulos negros, diseñados por Poma de Ayala , el concepto de huecosllenos, mientras a los blancos, el concepto de huecos vacíos. Así que en cada cuadro se muestra unnúmero diferente de huecos/semillas (5 en el primero, 3 en el segundo, 2 en el tercero y 1 en elcuarto).

Se empieza a llenar la yupana de izquierda a derecha y de abajo a arriba. A continuaciónenumeramos las casillas de la primera fila de abajo con 1, 2, 3 y 4. En el primer cuadro se puedeintroducir 5 semillas con un valor de 1 (unidad = valor mínimo = menor valor), por un valor totalTOT_1 = 5 .

Desde TOT_1 se puede determinar el valor de los huecos individuales en el cuadro siguiente, oTOT_1 + 1 = 6. En este cuadro hay 3 huecos , para un valor total TOT_2 = ( TOT_1 × 3 ) = ( 6 x 3)= 18 .


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De la suma de TOT_1 y TOT_2 se puede determinar el valor de los huecos individuales en elsiguiente cuadro, osea: TOT_1 + TOT_2 + 1 = 24 . En este cuadro hay 2 lagunas, para un valor totalTOT_3 = ( TOT_3 × 2 ) = ( 24 x 2) = 48 .

Por último, el valor de un solo hueco en el siguiente cuadro es TOT_4 = TOT3 + TOT_2 +TOT_1 + 1 = 72.

A cada hueco/semilla de la columna 1 se corresponde el valor 1.A cada hueco/semilla de la columna 2 se corresponde el valor 6, ossia (5 × 1) + 1A cada hueco/semilla de la columna 3 se corresponde el valor 24 = (5 × 1) + (6 × 3 ) + 1A cada hueco/semilla de la columna 4 se corresponde el valor 72 = (5 × 1) + (6 × 3 ) + (24× 2)

+ 1

En general, dado un conjunto de ocurrencias de huecos: a, b, ..., z es posible asignar el valormenos significativo al primer hueco (a) y luego determinar los valores vb, ..., vz posterioresutilizando la fórmula:

v i=

1,i=a.

1+ ∑j< i

z

j×v j ,i≥a

Esto garantiza la unicidad de la representación.

Tambien para determinar el valor de una singulo hueco en el primer cuadro de la siguiente línea(línea 2) se procede de la misma manera, considerando como cajas anteriores todas las casillas de lafila anterior (fila 1), entonces:

( 1 × 5 ) + ( 6 × 3 ) + ( 24 × 2 ) + 72 + 1 = 144 = 122. Llenando la segunda fila se obtiene el valor de inicio de la tercera, 124, y así sucesivamente,

hasta la quinta línea. Nos damos cuenta de que la progresión vertical de las potenciaciones no escontinua, pero se produce en dos pasos, es decir, el sistema es posicional, a la base 144, con laprogresión Xn , tal que n = 0 , 2 , 4 , 6 , 8 . Los resultados se muestran en la 36.


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LineaPOTENCIA

range de valoresCOLUMNA 4 COLUMNA 3 COLUMNA 2 COLUMNA 1

5

128

42998169661917364223

429981696m m m m m

2579890176 m

m

m

10319560704

m

m

30958682112

m

4

126

2985984429981695

2985984m m m m m

17915904 m

m

m

71663616

m

m

214990848

m

3

124

207362985983

20736m m m m m

124416 m

m

m

497664

m

m

1492992

m

2

122

14420735

144m m m m m

864 m

m

m

3456

m

m

10368

m

1

120

1143

1m m m m m

6 m

m

m

24

m

m

72

m

Tabla 36: Diagrama de la Yupana de Kak

Para representar un número se empieza a llenar la mesa de los arriba abajo y de izquierda a

derecha, la primera fila puede contener un valor mínimo de cero (yupana vacía) y un máximo iguala 5 1 120 + 3 6 120 + 2 24 120 + 1 72 120 = 5 + 18 + 48 + 72 = 143. El número 144corresponde a una yupana llena únicamente con una semilla colocada en la casilla a la izquierda dela segunda fila. Cada número desde 144 hasta 287 (144 + 143) se representa con una sola semilla enel primer cuadro de la segunda fila (valor 144) y con un número de semillas presentes en la primerafila, hasta un máximo de 143 semillas (primera línea completa). Vea un ejemplo de larepresentación en la 37.


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128

m m m m m

m m m

m

m m

126

m m m m m

m m m

m

m m

124

m m m m m

m m m

m

m l

122

m m m l l

m m m

m

l m

120

m m m m m

m m l

m

m m

Tabla 37: Representación de 1496742

La representación de cada numero es unica.

2.7.2 - La yupana como una herramienta computacional para la astronomía

En su artículo Kak propone también que la yupana podría ser utilizado para los cálculosastronómicos.

Kak considera la disposición de los círculos del diseño de Poma de Ayala. Supone que cada filacorresponde a la representación de un número entre 1 y 143 (para cinco filas con potenciacion de120). Véase la 38.


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l m m l m

m l m

l

l m

56

m m m m l

m m l

m

m l 79

l l l l l

m m m

l

m m

29

m m l m m

l m m

l

m m

31

l m l m m

l l l

m

m l 92

Tabla 38: Representación de cinco numeros del dibujo de Poma de Ayala, segun la teoria de Kak.

Kak propone la existencia de una fuerte relación entre los números que se muestran en la tablaanterior y la astronomía, también en referencia a algunos números que se encuentran en laastronomía de los mayas. Consulte la en este sentido.

ale proposito la39.


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N Planeta Explicacion

56Júpiter y Saturno

Una primera explicación tiene que ver con elcalendario maya, ya que 56 × 117 = 819 × 8,osea 8 ciclos del calendario maya.Una segunda explicación vincula el númerode los períodos sinódicos de los planetasgaseosos, ya que 56 = 7 × 8, que son dosdivisores casi perfectos 399 (período sinódicode Júpiter) y 378 (período sinódico deSaturno)19

79 Venus

79 × 12 = 948. Este valor reducido de 365(días del año calendario) daría 583, que sediferencia del periodo sinódico de Venus deuna unidad.20

29 Mercurio29 × 4 = 116 que es el periodo sinódico deMercurio

31 MeseNúmero de días de algunos meses delcalendario solar21

92 1/4 di annoNúmero de días entre el equinoccio de otoñoy el solsticio de invierno

somma = 287 Marte287 = 365 78, con 78 que corresponde a1/10 del periodo sinódico de Marte

Tabla 39: Explicación de los números representados en la yupana de Poma de Ayala, según la teoría de Kak

Debilidades

Las debilidades de la teoría de Kak son más de una y resaltada por el mismo autor en suartículo (ver notas 19, 20 y 21). Sin embargo, otras objeciones pueden ser planteadas:

• Ningun número está directamente asociado con un período sinódico de un planeta;

19 8 no es un divisor de 399 ni de 378. Kak escribe: "This interpretation rests on special significance being given to 8cycles of the 819day period. Alternatively, the Inca may have held to the theory that 56 codes the synodic periodsof Jupiter and Saturn because its factors 8 and 7 almost exactly divide 399 (Jupiter) and 378 (Saturn), respectively"[n.d.A.]

20 El autor escribe que esta discrepancia de 1 en el producto, es una debilidad de su teoría, pero que podría haberrazones astronómicas para ese valor

21 El autor señala que esto puede ser sólo una coincidencia y que podria ser un número non significativo, pero utilizadopor los incas para obtener el número 287 como suma


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• Sólo un número es perfectamente asociable con un período sinódico de un planeta (elperíodo sinódico de Mercurio es directamente proporcional al número 29);

• Si todos los números teníeran una correspondencia uniforme y directa con los períodossinódicos de los planetas, esto proporcionaría una base sólida para su teoría, perodesafortunadamente son necesarias multiplicaciones o pejor correcciones.

Francamente, esta teoría es debil y abierta a la crítica.

2.7.3 - Adicion

TO DO

2.7.4 - Multiplicacion

TO DO


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2.8 - ¿Qué teoría elegir?

El debate sobre el sistema de numeración que mejor se ajuste al ábaco Inca está lejos dehaberse agotado. El propósito de TkYupana es proporcionar una visión general de todas lassoluciones posibles y no hacer juicios sobre las soluciones adoptadas; sin embargo, se puedenconsiderar algunos aspectos que pueden favorecer una determinada teoría y excluir a otras:

• el propósito del ábaco es ayudar al usuario, simplificando las operaciones complejas, y debeutilizarse de una forma intuitiva y sencilla. Los métodos de cálculo simple son prefreibles alos complejos (véase, por ejemplo, la complejidad de los cálculos de la multiplicación en lateoria de Radicati). Por la misma razón son preferibles los sistemas de numeración simples alos complejos (véase, por ejemplo, la complejidad de la representación de los números en lasteorías de Kak o De Pasquale).

• La importancia de la necesidad, por parte del Khipu Camayuq, de mantener bajo controlvisual los desplazamientos de las semillas en la yupana es defendida tanto por CinziaFlorio[§FLR] que por los partidarios de la teoria de Glynn[§LES]. Este control visual se logradescomponendo los numeros en sumandos "pequeños" en un caso y con la ayuda de la"memoria" en el otro.

• Todos los cronistas españoles, empezando con Poma de Ayala, describen el sistema denumeración de los Incas en base 10, esto excluiría el sistema de numeración de DePasquale.22 Este punto de vista se expresa fuertemente en un interesante artículo en elJournal of Mathematics y culture, por de M. Leonard y C. Shakiban[§LES]. Aquí el sistema denumeración de Glynn se revisará a la luz de consideraciones lingüísticas y culturales de laspoblaciones de la meseta andina. Este estudio, en el cual se pone la yupana en posiciónvertical (como se muestra por Poma de Ayala) y que pone en alta estima la importancia delos cinco dedos de la mano y del número cinco en la cultura andina, destaca dos factores noinsignificantes. En primer lugar, gracias a la disposición vertical de la yupana, hay unacorrespondencia directa entre ésta y el khipu (otra herramienta utilizada por los incas pararegistrar eventos y cantidad)[§LES]. En segundo lugar, en base a las declaraciones del lingüistaPilares Casas[§PIL], sobre la forma de contar de las poblaciones de hablaAymara, se destacauna correlación con la secuencia de números 5, 3, 2, 1 de la yupana. Estas poblaciones, dehecho, adoptaron un sistema de numeración aditivo, osea contan de una manera similar a lade los romanos: del número 5 (qallqu) que representa la primera terminación (dedos de lamano) se deriva de la palabra 6 (maqallqu) formado por 5 y 1 (ma), 7 (paqallqu) 5 y 2 (pa),el número 8 (kinsakallqu) 5 y 3 (kinsa) mientras el 9 (llatunka) corresponde a 10 resta 1 23.Cabe señalar que mientras que apoyan la tesis de Pilares Casas (y por lo tanto un sistemanumérico claramente aditivo), los dos autores apoyan la teoría (posicional) de Glynn.

22 È proprio Guaman Poma a scrivere che i Camayuq contavano in migliaia, centinaia, decine e unità (confronta testocitato in nota 9); più avanti, nello stesso libro, l'autore descrive come era diviso l'impero Inca e ancora una volta lanumerazione in base 10 ritorna. [n.d.A.]

23 Tale numerazione fa riferimento a un probabile protoaymara dal quale (con le dovute contaminazioni) è derivatol'aymara parlato attualmente


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• También de acuerdo Shakiban y Leonard, el infame serie de Fibonacci (de los cuales losinventores de la yupana eran ciertamente al obscuro) resulta estar, de acuerdo con algunasteorías (ver obra citada en), el valor añadido real del Inca ábaco, pero su presencia en layupana no debe buscarse en algo trascendental. De hecho, gracias a la división de yupana engrupos de unidades, fue más fácil para el contador, desde un punto de vista visual, mover lassemillas sobre la mesa con el fin de realizar las operaciones básicas. El primer grupo desemillas que pertenecen a la primera columna (valor total 5) por ejemplo, es de hechoclaramente separable en tres + dos, osea los dos grupos de columnas sucesivas (40).


l m l l l

m

m

m

m

m m


m m m l m

l

l

l

m

m m

Tabla 40: Yupana de Glynn: Desplazamiento de tres semillas de una casilla a otra (arriba) y el resultado(abajo)

• Sólo el sistema de numeración Florio, hasta el momento, da cuenta de la distribución de lassemillas en la talba dibujada por Poma de Ayala.

• También de acuerdo con Florio, la serie de Fibonacci es pura coincidencia e inclusodepende del cálculo hecho en particular.

Se espera que TkYupana pueda permitir a los usuarios de experimentar y disfrutar el uso dediferentes sistemas de numeraciónes aplicable al abaco Inca y elegir el que más se ajuste a susnecesidades.


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3 - Tk-YupanaTkYupana es un sencillo programa que muestra las diversas teorías aplicables a la yupana

diseñada por Poma de Ayala en El Primer Nueva Coronica y Buen Gobierno. Estas teorías se basantanto en el sistema de numeración posicional (de base 10 yupana de Henry Wassen y William BurnsGlynn y yupana en base 40 de Nicolino De Pasquale) y de los aditivos sistemas numéricos (yupanade Cinzia Florio).

3.1 - Requisitos

TkYupana es una script en tcl/tk; por lo tanto es necesario instalar los programas tcl y tk parasu sistema opeativo:

• LINUX

Dependiendo de su distribución, es necesario instalar tcl y tk8.48.4 (o posterior)Por ejemplo con Debian (u Ubuntu), usted tiene que escribir en un terminal:

# sudo aptget install tcl tk

• MINDOMS

Instalar tcl/tk desde esta página: http://www.activestate.com/activetcl/downloads

3.2 - Download, instalación y puesta en marcha

ADVERTENCIA: Se supone que los programas tcl y tk ya sean instalados, como se describe enel párrafo anterior.

• LINUX (debian/ubuntu)

1. Descargar el archivo tkyupana_<rev>_all.deb desde la página web:

http://kunturweb.altervista.org/pag/it/tkyupana.html

2. Abrir un terminal; entrar en el directorio donde se descargó el archivo# cd <directorio>y escribir:# sudo dpkg i tkyupana_<rev>_all.deb

3. Para arrancar el programa, escribir:

# tkyupana


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4. Para leer el manual:

# man tkyupana

• LINUX (otras distribuciones)

1. Descargar el archivo tkyupana_<rev>.tar.gz desde la página web:


2. Descomprimir el archivo:# tar xzf tkyupana_<rev>.tar.gz

Se creará el nuevo directorio tkyupana_<rev>, contenente el programa y los archivosnecesarios.

3. Entrar en el directorio tkyupana_<rev>

# cd tkyupana_<rev>

y escribir:

# ./tkyupana.tcl

4. Para leer el manual:

# man ./tkyupana.1

• MINDOMS

1. Descargar el archivo tkyupana_<rev>.zip desde la página web:


y colocarlo en el directorio deseado.

2. Descomprimir el file tkyupana_<rev>.zip con el programa de descompresión que seprefiere.

Se creará el nuevo directorio tkyupana_<rev>, contenente la script tcl y los archivos.

3. Entrar en el directorio tkyupana_<rev>

4. Arrancar el programa tkyupana.tcl haciendo doble click con el mouse


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3.3 - Convenciones

1. Algunas convenciones han sido adoptadas tanto en el desarrollo de TkYupana que enla redacción de este documento.

2. Con el término "ventana" nos referimos a una interfaz gráfica de usuario (GUI)destinada a una función específica, que puede ser para permitir al usuario de escojer unafunción a través de un menú, o de llevar a cabo una operación con el ábaco, etc.

3. Con el término "tabla", nos referimos a un campo particular de la máscara quereproduce esquemáticamente la Yupana dibujada por Poma de Ayala

4. Cada tabla está equipada con un número de lineas (indicadas con RX, donde X es unnúmero entero: 1, 2, 3, ...) y columnas (indicadas con CY, donde Y es un númeroentero: 1, 2, 3, ...). Los números son variables en función de la teoría escogida.

5. Una "casilla" es un elemento de la tabla obtenido mediante el cruce de una línea conuna columna. Con la convenciones del punto 3, cada casilla se muestra con RX × CY.

6. En cada casilla, hay un número variable de huecos que corresponden a los espacios enlos que es posible depositar las semillas de color. El número varía en función de lateoría de que se está considerando.

7. A menos que se indique lo contrario, para insertar una semilla en una casilla se tieneque hacer clic con el botón izquierdo del ratón en la misma casilla.

8. A menos que se indique lo contrario, para eliminar una semilla de una casilla se tieneque hacer clic con el botón derecho del ratón mientras se mantiene pulsada la teclaCTRL en la misma casilla.


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3.4 - Menú principal

Es posible que algunas imágenes en este documento son anticuadas con respectoal texto o la versión actual de tkyupana. Se prefiere mantenerse al día con lasinstrucciones, al menos en esta versión alfa del programa

Al iniciar el programa muestra un icono que representa un cóndor estilizado(1). Al hacer clic con el botón izquierdo del ratón sobre el cóndor (o pulsando latecla F10), recibirá un “menú desplegable” (2), desde donde se puede acceder a lasdiversas funciones del programa divididas por temas, que se describen en la 41.

Tenga en cuenta que, al dia de hoy, la "Yupana de Radicati" es la unica teor í a que estacompleta (representación, addición, resta y multiplicación).


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Imagen 1: Menú

Imagen 2: menú desplegable de TkYupana


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Función Descripción

Sistemas de numeración aditivos Submenú de los sistemas de numeración aditivos

Yupana de Florio (2008)Submenú del sistema de numerazione de C. Florio(potenze de 10)

Representación Representación de los numeros en la yupana de Florio F1

Adición Adición de dos números en la yupana de Florio F2

Multiplicación Multiplicación de dos números en la yupana de Florio F3

Sistemas de numeración posicionales Submenú de los sistemas de numeración posicionales

Yupana de Wassen (1931)Submenú de la yupana de H. Wassen (base 10, progresión1, 5, 15, 30)

Representación Representación de los numeros en la yupana de Wassen F1

Adición Adición de dos números en la yupana de Wassen F2

Yupana de Radicati (1979)Submenú de la yupana de C. Radicati di Primeglio (base10, progresión 1, 1, 1, 1)

Representación Representación de los numeros en la yupana de Radicati F1

Adición Adición de dos números en la yupana de Radicati F2

Sustracción Sustracción de dos números en la yupana de Radicati F3

Multiplicación Multiplicación de dos números en la yupana de Radicati F4

Yupana de Glynn (1980)Submenú de la yupana de Burns Glynn (base 10,progresión 1, 1, 1, M)

Representación Representación de los numeros en la yupana de Glynn F1

Adición Adición de dos números en la yupana de Glynn F2

Multiplicación Multiplicación de dos números en la yupana de Glynn F3

Yupana de De Pasquale (2001)Submenú de la yupana de De Pasquale (base 40,progressione 1,2,3,5)


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Representación Representación de los numeros en la yupana de De Pasquale F1

Yupana de Chirinos (2008)Submenú de la yupana de Chirinos (base 10, progresión 111)

Representación Representación de los numeros en la yupana de Chirinos F1

Autor y licencia Acerca Kunturweb y la licencia para usar el programa F12

Salir Salir del programa ESC

Tabla 41: Descrizione delle funzioni de TkYupana


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3.5 - Yupana de Wassen

El submenú Yupana deWassen (3) muestra dos opciones(que se pueden seleccionartambien mediante las teclas defunción F1 y F2) quecorresponden con las siguientes

funciones:

1. Representación: permite representar un numero en la tabla

2. Adición: permite ejecutar la operacion entre dos numeros

La dimension de las ventanas son diferentes dependiendo de la resolucion de la pantalla yfunciona tambien con una resolucion 800x48024

3.5.1 - Representación

24 TkYupana ha sido probado en un Asus eee PC 701 4G con sistema operativo Linux Xandros. [n.d.A.]


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Imagen 3: submenú della Teoria de Wassen


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Al abrirse la ventana "Yupana de Wassen" se muestra una tabla vacia en posicion vertical,correspondiente al numero cero (4).

Esta ventana permite de representar un numero en el sistema posicional propuesto por H.Wassen, con progression vertical de las potenciaciones de 10 (base de 10) y progresión horizontalde los valores 1, 5, 15, 30 (vea el parrafo 2.1.1).

Inclusión de un número

Los huecos de la tabla tienen diferente valor, dependiendo de la columna en la cual seencuentran y diferente potenciacion de diez, dependiendo de la linea en la cual se encuentran.

Todas las casillas de la primera columna (C1) empezando desde izquierda contienen cincohuecos, cada uno con valor 1, multiplicado por 1, 10, 100, 1000 y 10000 segun la linea (RX)considerada; todas las casillas de la segunda columna (C2) contienen tres huecos, cada uno convalor 5, multiplicado por 1, 10, 100, 1000 y 10000 segun la linea (RX) considerada; todas lascasillas de la tercera columna (C3) contienen dos huecos con valor 15, multiplicado por 1, 10, 100,1000 y 10000 segun la linea (RX) considerada; todas las casillas de la cuarta columna (C4) continen1 hueco con valor 30, multiplicado por 1, 10, 100, 1000 y 10000 segun la linea (RX) considerada.

Asi mismo, la primera linea, empezando por debajo, (R1) corresponde a las unidades, lasegunda (R2) a las decenas, la tercera (R3) a las centenas, la cuarta (R4) a los millares y la quinta(R5) a las decenas de millares.


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Imagen 4: Yupana de Wassen


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Al hacer clic con el botón izquierdo del ratón en un hueco se pone una semilla en laYupana

Para representar un numero es suficientehacer clic con el botón izquierdo del ratón en unhueco evidenciado en verde. Tenga en cuenta queel orden de inserción es importante (el sistema esposicional!) y se debe partir de la linea de abajohacia arriba y de izquierda hacia derecha, osea apartir de las unidades y con aumento gradual.Cuando se selecciona el hueco, va a aparecer unasemilla dentro del mismo y el valorcorrespondiente se añade al total, y el total sevisualiza a lado del ábaco.

Por ejemplo, para insertar el numero 652, vamos a empezar por las unidades y insertamos lasprimeras dos semillas en el hueco resaltada en verde de la primera linea desde abajo (R1) y primeracolumna desde izquierda (C1); luego, agregamos las decenas, insertando cinco semillas en la casillaR2×C1; al final, agregamos las centenas, insertando una semilla en la casilla R3×C2 (valor 5) y unasemilla en la casilla R3×C1 (valor 1; 5+1 = 6). Vea la 5.

Eliminar una semilla

Mientras mantiene pulsada la tecla CTRL y haciendo clic con elbotón derecho del ratón en un hueco ocupado por una semilla, sequita la semilla correspondiente de la Yupana

Para eliminar una semilla de la tabla (y en consecuencia disminuir el total de la cantidadcorrespondiente) se tiene que hacer clic con el botón derecho del ratón sobre la semilla/huecocorrespondiente, manteniendo presionada la tecla control (CTRL).

Puede introducir todos los números de 1 a 99999 (llenando los huecos de las primeras doscolumnas), o hasta 888880 (llenado todas los huecos de todas las columnas), además del numero 0(tabla vacía).


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Imagen 5: Representacion del numero 652


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Mover las semillas

Tenendo premuto il tasto CTRL e cliccando con il tasto sinistro delmouse su una casella piena de semi si trasformano tutti i semi in unsingolo seme de valore pari alla somma dei precedenti eappartenente alla casella della colonna successiva

Una vez que una casilla RX × CY esta llena,es posible "promover" todas las semillas de esacasilla, al cuadro de la siguiente columna (RX ×CY+1), osea transformar todas las semillaspertenecientes a la casilla, en una sola semillaperteneciente a la casilla siguente (columnasiguente). Para hacer eso, basta con hacer clic conel botón izquierdo del ratón sobre cualquierasemilla de una casilla completa, mantenendopresionada la tecla CTRL. La operación sólo esposible si hay por lo menos un hueco libre en lasiguiente casilla.

Consideremos, por ejemplo, el número 60que se representa en la 6. Como se puede ver elcuadro R1×C1 está lleno y es entonces posibletransformar las cinco semillas en una sola semillade la siguiente columna. Véase a este respecto la7. Esta operación fue posible porque había por lomenos un hueco libre en el cuadro R1×C2. Comopuede ver, el total (60) no cambia su valor.

Una vez llena una casilla RX × CY es posible "promover" todas las semillas (o parte de ellos)desde la dicha casilla, a la casilla de la potenciacion siguiente (RX × C1+1), osea transformar todaslas semillas en una o mas semillas pertenecientes a la linea siguiente y columna uno, C1. Para


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Imagen 6: Una de las representaciónes del numero 60

Imagen 7: Cinco semillas de la casilla R1×C1 semovieron a la casilla R1×C2


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hacerlo, simplemente haga clic en cualquierasemilla de una casilla completa, mantenendopulsada la tecla SHIFT. Esta operación es posiblesólo si hay al menos un espacio libre en la cajaantes de la siguiente potencia.

Por ejemplo, considere la casilla R1×C3 de la 7en la cual hay dos semillas del valor de 15unidades cada una por un valor total de 30unidades. Usted puede transformar estas dossemillas en tres semillas del valor de 10 unidadescada uno, y que pertenecen a la casilla R2×C1(ver 8). Esto es posible debido a que son libres

por lo menos tres huecos en la casilla R2 × C1.


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Imagen 8: Due semi de casella R1×C3, corrispondenti adun valore de 15 unità ciascuno, sono stati trasformati intre semi della casella R2×C1


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3.5.2 - Adición

La ventana permite de sumar dos números.Los números se introducen a través del panel dela izquierda de la mesa, que permite la insercióndel primer y segundo sumando, además de laposibilidad de seleccionar la velocidad con la quese llenará la yupana (véase la 9).

Agregar el primer sumando

Puede introducir el primer término con lasflechas del campo (resaltado en verde), ointroduciendo directamente el número con elteclado. Una vez que salga del campo (moviendoel ratón), el segundo sumando se habilita (si noestaria deshabilitado) y el primer número serepresenta en la tabla con semillas blancas, deacuerdo a las reglas descritas en el párrafoanterior.

Agregar el segundo sumando

Una vez insertado el primer término (y sólo entonces) se puede introducir el segundo término(el campo está resaltado en verde), utilizando las flechas o introduciendo directamente el campo conel teclado. Cuando dejas el campo, se habilita el botón "Calcular". El número no se representa en eltablero, por que se va a añadir mas adelante.

Suma de los terminos

Al hacer clic en el botón "Calcular" se inicia la operación de adicion de los dos números que haentrado previamente. Si la velocidad se establece en 0, el cálculo se realiza al instante y el resultado


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Imagen 10: Agregar el primer sumando (1234)

Imagen 9: Yupana de Wassen, adición


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aparece en la yupana, como el numero se muestraa su lado. Si la velocidad se establece en un valormayor de cero, el llenado de la tabla se hacegradualmente y con el aumento de la velocidaden función del valor introducido en el campovelocidad.

Las semillas del segundo sumando sonnegros para distinguirlas de las del primersumando (ver 11) y se añaden empezando por lasunidades, decenas, centenas, y así sucesivamente.Sin embargo, cada vez que una casilla RX × CY

está llena, las semillas son promovidas automáticamente por el programa a la siguiente columna y sitienen color blanco, se mudan a color negro. Por lo tanto, algunas semillas blancas podrían sernegras despues del calculo.

El resultado de la operacion (suma) se muestra en el campo "Total", a lado de la tabla


TO DO

3.5.4 - Funciones de menú

Al hacer clic en el icono del cóndor (arriba a la izquierda en cualquiera de las máscarasanteriores) se muestra un menú desplegable desde el que puede elegir las siguientes funciones:

1. Limpiar: limpa toda la semilla de la tabla y pone a ceroel total (tecla F1).

2. Ayuda: muestra un archivo de ayuda (tecla F2)

3. Cerrar: cierra la ventana (tecla F8).


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Imagen 11: Calculo de la suma


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3.6 - Yupana de Radicati

El submenú Yupana deRadicati (Error: Reference sourcenot found) muestra cuatro opciones(que se pueden seleccionar tambienmediante las teclas de función F1,F2, F3 y F4) que corresponden conlas siguientes funciones:

1. Representación: permiterepresentar un numero en la

tabla

2. Adición: permite ejecutar la adicion entre dos numeros

3. Sustracción: permite la resta entre dos numeros

4. Multiplicación: permite la multiplicación entre dos numeros

La dimension de las ventanas son diferentes dependiendo de la resolucion de la pantalla yfunciona tambien con una resolucion 800x48025


Esta funcion permite de representar cuatro numeros, uno por cada columna, en el sistemaposicional en base 10 propuesto por Radicati di Primeglio

Il programma presenta una tavola in posizione verticale e vuota, corrispondente al numero zero(13).

25 TkYupana ha sido probado en un Asus eee PC 701 4G con sistema operativo Linux Xandros. [n.d.A.]


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Imagen 12: Submenu de Radicati


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Inclusión de un número

En cada una de las cuatro columnas es posible representar un numero. Casa linea, empezandopor abajo, representa una potenciacion de diez. En cada hueco es posible insertar una semilla convalor 1.



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Imagen 13: Yupana vuota, corrispondente al numero 0 (zero)


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Para introducir un número en la tabla sedebe hacer clic con el botón izquierdo del ratónen un hueco libre (un marco verde indica loshuecos habilitados): una semilla aparece en elinterior del hueco, y el valor correspondiente seañade al total, bajo la columna correspondiente.El color de las semillas es de color blanco paralas columnas impares (desde la izquierda) y elnegro para las columnas pares (eso sólo paradistinguir visualmente los númerosrepresentados).

Para introducir el número 3046 en la columna 1 (C1), por ejemplo, usted tendrá que seleccionartres huecos en la casilla R4×C1 (para un total de 3000), cuatro huecos en la casilla R2×C1 (para untotal de 4 decenas) y seis huecos en la casilla R1×C1 (para un total de 6 unidades). La cantidad totalque se muestra bajo la columna C1 corresponde al número que se ha insertado. Vea la 14.

Es posible insertar todos los numeros desde 1 hasta 99999.

Eliminar una semilla

Mientras mantiene pulsada la tecla CTRL y haciendo clic con elbotón derecho del ratón en un hueco ocupado por una semilla, sequita la semilla correspondiente de la Yupana

Para eliminar una semilla de la tabla, y disminuir el total de su valor, se debe hacer clic con elboton derecho del raton en la misma semilla, presionando la tecla control (CTRL). La orden deeliminacion es inversa con respecto a la de insercion, asi que no se pueden remover semillas que nosean adyacentes.


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Imagen 14: Representacion del numero 3046


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3.6.2 - Adición

La ventana permite de sumar hasta tresnumeros entre ellos. Se puede insertar losnumeros gracias a los campos que estan a laizquierda de la tabla: primer, segundo y tercersumando. En el mismo sitio hay tambien laposibilidad de seleccionar la velocidad con laqual se va a llenar la yupana (veer la 15).


Puede introducir el primer sumandoutilizando las flechas en el campo relacionado, ointroduciendo directamente el número con elteclado. Una vez que salga del campo, elsegundo término se habilitatará (si nopermanecerá deshabilitado) y el primer númerose representerá en la yupana con semillasblancas de acuerdo a las reglas descritas en elpárrafo anterior.

Agregar el segundo y tercer sumando

Una vez insertado el primer término (y sóloentonces) se puede introducir el segundosumando, con las flechas o introduciendolodirectamente con el teclado. Al salir del campo,el número se representa en la segunda columnapor semillas negras y el siguiente campo sehabilitará para poder agregar el tercer sumando.Una vez que haya entrado en el tercer sumando,cuando dejas el campo respectivo, el número serepresenta en la tercera columna con semillasamarillas se habilitará el botón "Calcular", loque le permite calcular la suma de los numeros.


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Imagen 15: Yupana de Radicati: adición

Imagen 16: Insertar el primer sumando (123)

Imagen 17: Insertar el segundo (456) y tercer sumando (789)


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Suma

Al hacer clic en el botón "Calcular" se hacela suma de los tres números introducidospreviamente. Si la velocidad se establece en 0, elcálculo se realiza al instante y el resultadoaparece en la columna 4 de la yupana. Si lavelocidad se establece en un valor mayor decero, el llenado de la tabla se hace gradualmentey con el aumento de la velocidad en función delvalor de la velocidad introducido.

3.6.3 - Sustracción

La finestra permette de sottrarre due numeritra loro. I numeri (minuendo e sottraendo) sonoinseribili tramite il pannello sulla izquierda; èinoltre possibile selezionare la velocità con laquale viene riempita la yupana (si veda l'19).

Inserimento del minuendo

È possibile inserire il minuendo agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, il numero viene rappresentatonella yupana, secondo le regole descritte nelparagrafo 3.2.1, con semi bianchi e vieneabilitato il campo de input del sottraendo(altrimenti disabilitato). Si veda l'20.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 78

Imagen 18: Suma (1268)

Imagen 19: Yupana de Radicati: sustracción



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Inserimento del sottraendo

Una volta inserito il minuendo (e solosuccessivamente) è possibile inserire ilsottraendo, tramite le frecce del campo relativo oinserendolo direttamente con la tastiera. Quandosi lascia il campo il numero viene rappresentatonella seconda colonna tramite dei semi neri eviene abilitato il bottone “Calcola”, che permettede procedere al calcolo della somma. Si vedal'21.

Resta

Cliccando sul campo “Calcola” viene svoltala sustracción dei due numeri inseritiprecedentemente. Se la velocità è impostata a 0,il calcolo viene svolto istantaneamente e ilrisultato (differenza) visualizzato nella colonna 4della yupana. Se la velocità è impostata ad unvalore maggiore de zero, il riempimento dellatavola viene fatto per gradi e con velocitàcrescente a seconda del numero inserito nelcampo velocità. Si veda l'22.


La finestra permette de moltiplicare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla izquierda, che prevedel'inserimento del moltiplicando, delmoltiplicatore, oltre che la possibilità deselezionare la velocità con la quale viene riempitala yupana (si veda l'23).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 79

Imagen 23: Yupana de Radicati: Multiplicación

Imagen 21: Inserimento del sottraendo (1234)

Imagen 22: sustracción (5555)


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Inserimento del moltiplicando

È possibile inserire il moltiplicando agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, il numero viene rappresentatonella prima colonna partendo da izquierda consemi viola e viene abilitato il campo delmoltiplicatore (altrimenti disabilitato). Si vedal'24. È possibile rappresentare solo numericompresi tra 1 e 999 e tali che il prodotto nonsuperi 99999 .

Inserimento del moltiplicatore

Una volta inserito il moltiplicando (e solosuccessivamente) sarà possibile inserire ilmoltiplicatore, tramite le frecce del camporelativo o inserendolo direttamente con la tastiera.Quando si lascia il campo, il numero vienerappresentato nella prima riga della yupana(colonne 2, 3 e 4 partendo da izquierda) con deisemi gialli. Anche in questo caso è possibilerappresentare solo numeri compresi tra 1 e 999 etali che il prodotto non superi 99999. Il campo“Calcola” viene abilitato. Si veda l'25.

Calcolo 1: prodotti parziali

Cliccando sul campo “Calcola” si inizia la Multiplicación dei due numeri inseritiprecedentemente. L'operazione verrà eseguita passo per passo: alla prima pressione del tasto calcolaviene evidenziata (ma non eseguita) l'operazione successiva in modo da dare l'opportunità all'utentede capire il metodo. A una successiva pressione del tasto “Calcola” verranno eseguiti i prodottiparziali (26) e riempite le celle centrali (corrispondenti alle righe 1, 2 e 3 partendo dal basso e allecolonne 2, 3 e 4 partendo da izquierda).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 80

Imagen 25: Inserimento del moltiplicando (456)

Imagen 24: Inserimento del moltiplicando (123)


MANUAL DEL USUARIO

Calcolo 2: Sommatorie

Successivamente, ad un'ulteriore pressionedel tasto “Calcola”, vengono svolte lesommatorie diagonali dei prodotti parziali. Irisultati vengono mostrati nella colonna 5. Adogni pressione viene cambiata la dicitura deltasto “Calcola” ad indicare il passo in esame.

Si noti che se la velocità è impostata a 0, ognipasso del calcolo viene svolto istantaneamente e

il risultato visualizzato sulla yupana, altrimenti isemi verranno immessi nella yupana con velocitàcrescente a seconda del numero inserito nel

campo velocità.

Calcolo 3: Prodotto

Infine, cliccando ulteriormente sul pulsante“Calcola” si termina l'operazione. Il calcolo delprodotto dei due fattori viene svolto e il numerorappresentato in colonna 6 con semi rossi. Ilprodotto viene anche mostrato sulla tavola inbasso a izquierda. Si veda l'28.

Un ulteriore pressione del tasto “Calcola”permette de svolgere un'altra operazione.


Cliccando sull'icona del condor (in alto a izquierda su una qualsiasi delle precedenti maschere)viene visualizzato un menù a tendina dal quale è possibile scegliere le seguenti funzioni:


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 81

Imagen 26: Riempimento dei prodotti parziali

Imagen 28: Primo passo dell'operazione

Imagen 27: Calcolo delle sommatorie


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1. Pulisci la Yupana: toglie tutti i semi dalla tavola eazzera il contatore del totale (tasto F1).

2. Aiuto: visualizza un file de aiuto (tasto F2)

3. Chiudi: chiude la finestra (tasto F8).


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3.7 - Yupana de Glynn

Il submenú Yupana de Glynn(si veda l'29) presenta tre scelte(selezionabili anche tramite i tastifunzione F1, F2 e F3) alle qualicorrispondono le seguenti funzioni:

1. Representación: permette de rappresentare un numero sulla yupana

2. Adición: permette de sommare due numeri

3. Multiplicación: permette de moltiplicare due numeri



Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 83


Imagen 29: Sottomenù de Glynn (scelte possibili)


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Il programma presenta una tavola in posizione orizzontale e vuota, corrispondente al numerozero (30). La dimensione della tavola è diversa a seconda della risoluzione dello schermo ed è ingrado de funzionare anche su un netbook con risoluzione 800x48026

Il programma prevede l'inserimento e la representación de numeri nel sistema posizionale inbase 10.

Inserimento de un numero

Ogni casella della tavola ha un peso unitario; la prima colonna partendo da destra corrispondealla colonna delle unità, la seconda delle decine, la terza delle centinaia, la quarta delle migliaia e laquinta delle decine de migliaia.


Per inserire un numero bisogna cliccare conil pulsante de izquierda del mouse su una dellecaselle. Si noti che l'ordine de inserimento èimportante27 e bisogna procedere dal basso versol'alto e da destra verso izquierda. Quando lacasella viene selezionata, compare un semeall'interno de essa e il valore corrispondenteviene sommato al totale; il totale viene infinevisualizzato sopra all'abaco.

Per inserire il numero 21, per esempio,bisognerà cliccare sulla casella in basso a destra della quarta colonna (Totale: 10), poi sulla casellaimmediatamente alla sua izquierda (Totale: 20) e infine sulla casella in basso a destra della quintacolonna (Totale: 21). Si veda l'31.

Tenendo premuto il tasto CTRL e cliccando con il tasto destro delmouse su una casella si rimuove un seme dalla Yupana

26 TkYupana è stato testato su un Asus eee PC 701 4G con sistema operativo Linux Xandros. [n.d.A.]27 Non è possibile nella versione corrente trasferire coppie o terne de semi in zone più alte della yupana.

Eventualmente valuterò la possibilità de inserire questa funzione in futuro. [n.d.A.]


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 84

Imagen 31: Inserimento del numero 21


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Per deselezionare una casella (decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tasto Control (CTRL).

È possibile inserire tutti i numeri da 1 (uno) a 111110 (o fino al 222220 utilizzando anche lememorie). Il risultato viene visualizzato nel campo “Totale” presente sopra alla tavola.

Uso della memoria

Una volta riempita de semi una colonna, èpossibile promuovere tutti i semi nella casella dememoria al fine de poter effettuare operazioniaritmetiche senza dover preoccuparsi de tenere amente i semi spostati.

Supponiamo per esempio de aver impostatonella Yupana il numero 103 e de aver quindicompletato la colonna 4 (corrispondente a diecidecine, ovvero un centinaio) e riempito tre caselledella colonna 5 (32).

Se, a questo punto, si volesse aggiungere laquantità 35 al numero inserito, sarebbesufficiente selezionare 5 caselle della colonna 5e 3 caselle della colonna 4.

L'operazione sulla colonna 5 non presentaalcun problema e può essere effettuata subito(33) cliccando col tasto sinistro del mouse sullecinque caselle soprastanti le tre già riempite.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 85

Imagen 32: Numero inserito 103

Imagen 33: Aggiungo cinque unità


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Poiché la colonna quattro è piena (33), primade eseguire l'operazione sulle decine (aggiungeretre semi), è necessario liberare lo spazionecessario, sostituendo i dieci semi de colonna 4con un seme memoria (pari a cento).

Si sostituiscono quindi i dieci semi con unseme de memoria nella colonna 4 (34). Per fareciò è sufficiente cliccare sulla casella de memoriadella colonna 4: tutti i semi sottostanti verrannosostituiti con un solo seme nella casella verde. Ilrisultato è mostrato nell'35.

Quando una colonna è stata riempita con dieci semi, è possibile cliccare con il tastosinistro del mouse su una casella de memoria in modo da sostituire i dieci semi conuno de memoria

Si noti che se non sono state riempite tutte ledieci caselle sottostanti, l'operazione non èpossibile.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 86

Imagen 35: Sostituisco dieci semi della colonna 4 con unseme memoria della stessa colonna

Imagen 34: Clic con il tasto de izquierda sulla casella dememoria per liberare le caselle della colonna in esame


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Si aggiungono quindi i tre semi nelle caselleora libere della colonna 4 (36); ciò corrisponde,come abbiamo detto, alle 3 decine del numero 35.

Un seme in memoria è spostabile nella prima casella libera della colonnasuccessiva, a patto che ve ne sia una libera, cliccando sul seme in memoria con iltasto sinistro del mouse

Per concludere, si sposta il seme dallamemoria della colonna quattro alla prima casellalibera (in questo caso la prima casella in basso adestra) de colonna 3. Per realizzare ciò èsufficiente cliccare con il pulsante sinistro delmouse sul seme presente nella memoria dellacolonna 4: il seme verrà tolto e messoautomaticamente nella prima casella libera decolonna 3 (37).

Nel caso l'operazione non sia possibile(quando ad esempio tutte le caselle dellacolonna successiva sono occupate) il seme

rimarrà nella casella della memoria. Occorrerà promuovere tutti i semi della colonna successivanella relativa memoria, prima de poter spostare il seme.

Operazioni inverse

Quando un seme si trova in memoria, è anche possibile ridistribuire il suo valore nelle caselledella colonna sottostante, qualora queste siano tutte libere. Per realizzare ciò, basta cliccare sul semein memoria con il pulsante destro del mouse: il seme scomparirà dalla casella de memoria e le diecicaselle sottostanti verranno riempite.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 87

Imagen 37: Sposto il seme in memoria nella prima casella libera della colonna successiva

Imagen 36: Aggiungo le decine (tre semi) nella colonna 4


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Un seme in memoria è ridistribuibile nelle caselle sottostanti, quando esse sianotutte libere, cliccando con il tasto de destra sulla casella de memoria.

Allo stesso modo l'ultimo seme immesso nella colonna X, può essere spostato nella memoriadella colonna precedente, cliccandoci sopra con il pulsante destro del mouse. Il seme scompariràdalla casella per apparire nella memoria della colonna precedente. Siccome questa operazione èpossibile solo sul seme più alto (ultimo immesso), se si clicca su uno degli altri semi non accadenulla.

Un qualsiasi seme de una certa colonna X, può essere spostato nella memoria dellacolonna precedente a patto che la casella corrispondente sia libera.

3.7.2 - Adición

La finestra permette de sommare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla izquierda, che prevedel'inserimento del primo e del secondo addendo,oltre che la possibilità de selezionare la velocitàcon la quale viene riempita la yupana (si vedal'38).


È possibile inserire il primo addendo agendo sulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una volta lasciato il campo, viene abilitato il secondoaddendo (altrimenti disabilitato) e il primo numero viene rappresentato nella yupana con dei semibianchi secondo le regole descritte nel precedente paragrafo.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 88

Imagen 38: Yupana de Glynn: adición


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Una volta inserito il primo addendo (e solosuccessivamente) è possibile inserire il secondoaddendo, tramite le frecce del campo relativo oinserendolo direttamente con la tastiera. Quandosi lascia il campo viene abilitato il campo“Calcola”.

Somma degli addendi

Cliccando sul campo “Calcola” si inizia la somma dei due numeri inseriti precedentemente. Sela velocità è impostata a 0, il calcolo viene svolto istantaneamente e il risultato visualizzato sullayupana. I semi relativi al secondo addendo sono neri per distinguerli da quelli del primo addendo (siveda l'40). Se la velocità viene impostata con un valore maggiore de zero, il riempimento dellatavola viene fatto per gradi e con velocità crescente a seconda del numero inserito nel campovelocità.


La finestra permette de moltiplicare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla izquierda, che prevedel'inserimento del moltiplicando, delmoltiplicatore, oltre che la possibilità deselezionare la velocità con la quale viene riempitala yupana (si veda l'41).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 89


Imagen 40: Agregar el segundo sumando (5678) e somma

Imagen 41: Yupana de Glynn: Multiplicación


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è possibile inserire il moltiplicando agendo sullefrecce del campo relativo, oppure inserendo direttamente ilnumero con la tastiera. Una volta lasciato il campo, vieneabilitato il moltiplicatore (altrimenti disabilitato) e nellaTabla sottostante vengono calcolati automaticamente imultipli 1x, 2x, 3x e 5x del moltiplicando (42).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 90

Imagen 42: Inserimento del moltiplicando


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Una volta inserito il moltiplicando (e solosuccessivamente) è possibile inserire il moltiplicatore,tramite le frecce del campo relativo o inserendolodirettamente con la tastiera. Quando si lascia il campo, ilmoltiplicatore inserito viene scomposto secondo regolepredefinite nella scacchiera sottostante e viene abilitato ilcampo “Calcola” (43).

Somma

Cliccando sul campo “Calcola” si inizia laMultiplicación dei due numeri inseritiprecedentemente, operazione che verrà eseguitapasso per passo; in particolare, alla primapressione del tasto calcola, viene presentato ilprimo passo che verrà eseguito: la riga e lacolonna, nonché l'operazione vengonoevidenziate in giallo (44). La dicitura del tasto“Calcola” viene cambiata con il numero delpasso in esame (es. “Passo 1/3”). Per procederecon l'operazione è necessario premerenuovamente il tasto

Si noti che se la velocità è impostata a 0, ogni passo del calcolo viene svolto istantaneamente eil risultato visualizzato sulla yupana, altrimenti i semi verranno immessi nella yupana con velocitàcrescente a seconda del numero inserito nel campo velocità.

I semi immessi in ciascun passo del calcolo hanno colori diversi: ciò non perché abbiano pesi


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 91

Imagen 43: Inserimento del moltiplicando

Imagen 44: Prima pressione del pulsante "Calcola"; vienevisualizzato il passo successivo in giallo


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differenti, ma solo a scopo didattico.

Cliccando sul tasto “Passo 1/3” si procedecon il riempimento della yupana e la dicituracambia in “Passo 2/3”, e così via (45 e seguenti).

Una volta concluso il calcolo il risultato finale (prodotto) viene mostrato in alto a destra (47).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 92

Imagen 45: Primo passo dell'operazione

Imagen 46: Secondo passo dell'operazione

Imagen 47: Terzo passo dell'operazione (risultato)


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Cliccando sull'icona del condor (in alto a izquierda su una qualsiasi delle precedenti maschere)viene visualizzato un menù a tendina dal quale è possibile scegliere le seguenti funzioni:





Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 93


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3.8 - Yupana de De Pasquale (2001)

Quando viene aperta la finestra Yupana de De Pasquale, il programma presenta una tavola inposizione verticale e vuota, corrispondente al numero zero (48). La dimensione della tavola èdiversa a seconda della risoluzione dello schermo ed è in grado de funzionare anche su un netbookcon risoluzione 800x48028

In questo caso non sono stati ancora implementati algoritmi, ma è unicamente possibilerappresentare dei numeri nel sistema de numerazione posizionale in base 40.


La numerazione delle colonne cresce da destra verso izquierda e quella delle righe cresce dalbasso verso l'alto.

Le caselle della tavola hanno un peso differente a seconda della riga e della colonna in cui sitrovano, secondo lo schema riportato nel paragrafo 2.4.1.

28 TkYupana è stato testato su un Asus eee PC 701 4G con sistema operativo Linux Xandros. [n.d.A.]


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 94



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Per inserire un numero bisogna cliccare con il pulsante de izquierda del mouse su una qualsiasidelle caselle.

Quando la casella viene selezionata, compare un seme all'interno de essa e il valorecorrispondente viene sommato al totale; il totale viene infine visualizzato de fianco all'abaco.

Siccome la numerazione è in base 40, nella prima riga in basso sarà possibile inserire tutti inumeri da 0 (riga e tavola vuota) al numero 39 (riga piena). Per inserire il numero 40 bisogneràliberare tutta la prima riga e inserire un seme nella prima casella a destra della seconda colonna.

Ogni numero non possiede una representación univoca, come si può vedere in 49 e 50, dove èstato inserito il numero 9.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 95

Imagen 49: Una representación del numero 9 data da 3x2 + 2x1 + 1


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Per deselezionare una casella (decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare col pulsante de destra del mouse sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tastoControl (CTRL).


È possibile inserire tutti i numeri da 1 (uno) a 102399990 (centodue milionitrecentonovantanove mila e novecento novanta).

Il risultato viene visualizzato nel campo “Totale” presente a fianco della tavola.


Cliccando sull'icona del condor (in alto a izquierda sulla maschera) viene visualizzato un menùa tendina dal quale è possibile scegliere le seguenti funzioni:


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 96

Imagen 50: Un'altra representación del numero 9 data da 3x3


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Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 97


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3.9 - Yupana de Chirinos (2008)

El submenú Yupana de Florio (vea la 51) presenta tre scelte(selezionabili anche tramite i tasti funzione F1, F2 e F3) alle qualicorrispondono le seguenti funzioni:

1. representación: permette de rappresentare un numerosulla yupana

2. adición: permette de sommare due numeri


Cuando se abre la ventana Yupana de Chirinos, el programa muestra una tabla vacia enposicion vertical, correspondiente al numero cero (52). La dimension de la tabla es diferentediversa a seconda della risoluzione dello schermo ed è in grado di funzionare anche su un netbookcon risoluzione 800x48029



Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 98


Imagen 51: submenú Florio


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In questo caso non sono stati ancora implementati algoritmi, ma è unicamente possibilerappresentare dei numeri nel sistema di numerazione posizionale in base 10, con progressione 111.

3.9.1 - Rappresentazione

La numerazione delle colonne cresce da destra verso izquierda e quella delle righe cresce dalbasso verso l'alto.

Le caselle della tavola hanno un peso differente a seconda della riga e della colonna in cui sitrovano, secondo lo schema riportato nel paragrafo 2.5.1. Si noti che la riga 1, corrispondente aquella più in basso, rappresenta i decimali.


Per inserire un numero bisogna cliccare con il pulsante di izquierda del mouse su una qualsiasidelle caselle.

Quando la casella viene selezionata, compare un seme all'interno di essa e il valorecorrispondente viene sommato al totale; il totale viene infine visualizzato di fianco all'abaco.

Siccome la numerazione è in base 10, e che inizia dai decimali, nella prima riga in basso saràpossibile inserire tutti i numeri da 0 (riga e tavola vuota) al numero 6.6 (riga piena).

Ogni numero non possiede una rappresentazione univoca, come si può vedere in 53 e 54, doveè stato inserito il numero 9.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 99


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Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 100

Imagen 53: Una rappresentazione del numero 9,8 data da 6 + 3 + 0.8

Imagen 54: Un'altra rappresentazione del numero 9,8 data da 1 + 2 + 5 (seconda riga) + 1+ 0,8 (prima riga)


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Per deselezionare una casella (decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare col pulsante di destra del mouse sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tastoControl (CTRL).


È possibile inserire tutti i numeri da 1 (uno) a 73332,6 (settantatremila e trecento trenta duevirgola sei).

Il risultato viene visualizzato nel campo “Totale” presente a fianco della tavola.

3.9.2 - Funzioni del menù


1. Svuota la Yupana: toglie tutti i semi dalla tavola eazzera il contatore del totale (tasto F10 e F1).

2. Aiuto: visualizza un file di aiuto (tasto F10 e F12)

3. Chiudi: chiude la finestra (tasto F10 e F8).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 101


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3.10 - Yupana de Florio (2008)

Il submenú Yupana de Florio (si veda l'55) presenta trescelte (selezionabili anche tramite i tasti funzione F1, F2 e F3) allequali corrispondono le seguenti funzioni:

4. representación: permette de rappresentare un numerosulla yupana

5. adición: permette de sommare due numeri


3.10.1 - representación de un numero

Per inserire un numero nella tavola occorre scomporlo in unità,decine, centinaia, ecc. e rappresentarlo nella prima colonna a destracome somma de potenze de dieci.

Per cambiare la potenza de dieci bisogna selezionare il semecorrispondente dalla lista de semi accanto alla tavola (56). Alcuninomi sono scritti in quechua e il loro significato è riportato nella 42.

La potenza de 107 (colore blu, senza seme) costituisce un limitesuperiore (non legato all'algoritmo Florio, ma a ragioni deprogrammazione).

NOTA: Rispetto agli scritti de Cinzia Florio, che riguardanoprincipalmente l'algoritmo della Multiplicación (vedi paragrafo2.6.3) e che è focalizzato e pertinente alla particolare Multiplicaciónritratta da Poma de Ayala, in TkYupana è possibile inserire tutti inumeri da 1 a 10000 (limite de cinque righe) in quanto il programmapermette l'inserimento delle cifre da 1 a 9 in ogni casella della primacolonna. Si veda a tale proposito le avvertenze circa le limitazioninella representación del moltiplicando sempre nel paragrafo 2.6.3.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 102

Imagen 55: submenú Florio

Imagen 56: Lista dei semi


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Quechua Traduzionerepresentación inPotenze de dieci

representaciónin numero

Huk Unità 100 1

Chunka Decine 101 10

Pachaq Centinaia 102 100

Waranqa Migliaia 103 1000

Hunu30 Decine de migliaia 104 10000

105 100000

106 1000000

107 10000000

Tabla 42: Corrispondenze tra numeri e nomi in quechua

Una volta selezionato il peso del numero da inserire, basta cliccare con il tasto sinistro delmouse in una delle caselle della prima colonna: un seme dello stesso peso de quello selezionatocomparirà nella casella e il suo valore verrà aggiunto al totale de quanto introdotto che a sua voltasarà visualizzato in calce alla colonna stessa.

Al hacer clic con el botón izquierdo del ratón en un hueco se pone una semilla en laYupana. El valor de la semilla dependera` del color selecionado a la izquierda de latabla

NOTA BENE:

• Le parti del numero che viene inserito non dipendono dalla posizione (infatti il sistemanumerico è additivo).

• L'ordine de riempimento deve avvenire dall'alto verso il basso così come riportato da Joséde Acosta (si veda nota 16)

• Fintanto che non si inserisce almeno un seme non è possibile modificare il valore delmoltiplicatore (i campi in alto a izquierda rimangono disabilitati).

Ad esempio, per inserire il numero 1291 = 1 × 103 + 2 × 102 + 9 × 101 + 1 × 100 dovremo

30 In molti dizionari moderni de lingua quechua, la parola “Hunu” è tradotta come “un milione”, in seguito allatraduzione proposta da Gonzáles Holguín[§HOL] del 1608. In TkYupana ho preferito seguire l'interpretazione dellinguista Pilares Casas, che mi sembra più verosimile e il valore che gli attribuisco è diecimila, anche in seguito allalettura del vocabolario de Domingo de Santo Tomas[§SAT] che traduce “huno o chunga guaranga ” con “dieci mila innumero” [n.d.A.]


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 103


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selezionare il seme giallo (×1000, migliaia) e cliccare su una casella della prima riga (dall'alto)della prima colonna (da destra); poi selezioniamo il seme rosso (×100, centinaia e clicchiamo sudue caselle della seconda riga (dall'alto) della prima colonna (da destra); successivamenteselezioniamo il colore bianco (×10, decine) e clicchiamo su nove caselle della terza riga (dall'alto)della prima colonna (da destra); infine selezioniamo il colore nero (×1, unità) e clicchiamo su unacasella della quarta riga (dall'alto) della prima colonna (da destra). Nell'57 l'ordine de inserimento èstato variato sempre per mettere in evidenza la additività del sistema de numerazione).

Per deselezionare una casella (e decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare col pulsante de destra del mouse sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tastoControl (CTRL).



Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 104



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3.10.2 - Adición

La finestra permette de sommare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla izquierda, che prevedel'inserimento del primo e del secondo addendo,oltre che la possibilità de selezionare la velocitàcon la quale viene riempita la yupana (si vedal'58).


è possibile inserire il primo addendo agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, viene abilitato il secondoaddendo (altrimenti disabilitato) e il primonumero viene rappresentato nella yupana con deisemi colorati secondo le regole descritte nelprecedente paragrafo.


Una volta inserito il primo addendo (e solo successivamente) è possibile inserire il secondoaddendo, tramite le frecce del campo relativo o inserendolo direttamente con la tastiera. Quando silascia il campo viene abilitato il pulsante “Calcola”.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 105

Imagene 58: Yupana de Florio: adición

Imagen 59: Inserimento de 1234


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Somma degli addendi

Cliccando sul pulsante “Calcola” si inizia lasomma dei due numeri inseriti precedentemente.Se la velocità è impostata a 0, il calcolo vienesvolto istantaneamente e il risultato visualizzato

sulla yupana. (si veda l'61). Se la velocità vieneimpostata con un valore maggiore de zero, ilriempimento della tavola viene fatto per gradi econ velocità crescente a seconda del numeroinserito nel campo velocità.


L'implementazione del sistema de numerazione addizionale deCinzia Florio eseguita in TkYupana non permette de inseriretutti i numeri per né per il moltiplicando né per il moltiplicatore.Ciò non dipende da un errore del programma, né da limitazionidel sistema de numerazione, ma semplicemente da una sceltamia scelta de resa visiva, per riprodurre esattamente l'abacodisegnato da Poma de Ayala. Per quanto riguarda ilmoltiplicando si veda la nota 17. Per quanto riguarda ilmoltiplicatore, invece, i limiti dipendono sia dal numero de

colonne ad esso dedicate (solo 2) che dal numero de valori (09) attribuibili alle stesse.

La finestra de Multiplicación della Yupana de Florio prevede la possibilità de rappresentaremoltiplicando e moltiplicatore sulla yupana e de eseguire il calcolo della Multiplicación. Si trattade una tavola moltiplicatrice, quindi un ausilio nel calcolo de una Multiplicación de due termini:M m, dove indichiamo con M il moltiplicando e con m il moltiplicatore.31

La finestra che viene visualizzata (62) rappresenta la yupana rafImagenta da Poma de Ayala,ovvero in posizione verticale, con cinque righe e quattro colonne: le due colonne centrali

31 Si veda il paragrafo 2.6.3 e seguenti per maggiori informazioni circa la Multiplicación secondo Florio [n.d.A.]


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 106

Imagen 60: Agregar el segundo sumando: 5678

Imagen 61: Somma degli addendi


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corrispondono ad un moltiplicatore 5 scomposto in 3 + 2.32 La dimensione della tavola è diversa aseconda della risoluzione dello schermo ed è in grado de funzionare anche su un netbook conrisoluzione 800x48033

In questa finestra è possibile eseguire le seguenti azioni:

• accedere al menù a tendina in alto a destra (icona del condor)

• selezionare un differente valore per il seme da inserire nella tavola

• inserire un seme nella tavola

Si noti che alla base della colonna due (seconda colonna da destra) compare la didascalia “2×”che sta ad indicare il fattore moltiplicativo del primo addendo, mentre in calce alla colonna tre(terza colonna da destra) compare la didascalia “3×” corrispondente al fattore moltiplicativo delsecondo addendo. La conImagenzione 3+2 visualizzata per difetto può essere cambiata in seguito.

32 Si ricorda che secondo l'interpretazione dell'autrice, la yupana rappresentata da Poma de Ayala è un disegnocontingente al calcolo svolto (in particolare 32 × 5) e quindi la tavola sarebbe stata usata come uno strumentomoltiplicatore nel quale la colonna uno (quella a destra) veniva utilizzata per rappresentare il moltiplicando, mentrele colonne due e tre (quelle centrali) servivano per rappresentare il moltiplicatore scomposto in due addendi. Laquarta e ultima colonna (quella a izquierda) serviva per ricavare il risultato. [n.d.A.]



Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 107

Imagen 62: Yupana Florio in conImagenzione (3+2)x ...


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Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 108


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Per inserire un moltiplicando si procedacome nel paragrafo 3.10.1. Ad esempio, perinserire il numero 111 = 1 × 102 + 1 × 101 + 1 ×100 dovremo selezionare il seme rosso (×100) ecliccare la prima casella della colonna più a destra(partendo dall'alto); successivamente dovremoselezionare il colore bianco (×10) e cliccare sullaseconda casella partendo dall'alto della stessacolonna; infine dovremo selezionare il colorenero (×1) e cliccare sulla terza casella partendodall'alto. Nell'63 ho inserito prima i semi con unordine diverso per mostrare che il carattere

additivo della teoria de Florio rende indipendente la representación del numero dalla posizione deisemi. Una volta inserito almeno un seme in una casella de colonna 1, viene attivata la sezione dellamaschera che riguarda il moltiplicatore (per inserire il moltiplicatore, si veda il paragrafo 2.6.3).

Per deselezionare una casella (e decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare col pulsante de destra del mouse sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tastoControl (CTRL).



Una volta inserito il moltiplicando M, è possibile cambiare la scomposizione del moltiplicatorem in somma de due termini, diversi da 3 e 2, agendo sui numeri in alto a izquierda relativi allecolonne 2 e 3 (64).


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 109



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Cambiando detti numeri, cambierà deconseguenza il numero delle caselle visualizzatenelle colonne 2 e 3 rispettivamente e i fattorimoltiplicativi delle stesse (fattori che vengonovisualizzati sotto alle colonne stesse). Si veda in

proposito l'65, nella quale il moltiplicatore 4005 è stato diviso in due: 4000 + 5

Il formato è: Colonna X A 10^ S, dove:• X = numero della colonna• A = numero de semi inseribili in nella colonna X• 10^ = simbolo de elevamento a potenza del numero 10• S = potenza del numero 10 (peso da assegnare alla colonna X)

Si noti che aumentando la variabile S de colonna 2 diminuiscono progressivamente lepossibilità de selezionare valori alti dei semi (si veda l'65 nella quale alcuni semi sono disabilitati).Questo è stato introdotto per evitare errori del programma dovuti a uno “sfondamento” del limitesuperiore de 107. La regola è che il massimo esponente S selezionabile per la colonna 2 dipende dalmassimo valore della potenza J introdotta nel moltiplicando e viceversa. La somma de S e J nondeve superare il limite superiore 7.

Per ora non è possibile cambiare l'esponente de colonna 3. In futuro apporterò modifiche in talsenso.

Le opzioni velocità e Passo-Passo

Vicino al gruppo de campi relativi al moltiplicatore, sono presenti:

• Una casella da spuntare con la dicitura: PassoPasso

• Un selezionatore de velocità

Spuntando la casella Passopasso il calcolo verrà visualizzato un passo alla volta: prima lemoltiplicazioni della colonna 1 per la colonna 2, poi la Multiplicación de colonna 1 per colonna 3,infine le sommatorie e contestualmente la visualizzazione del risultato.


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 110

Imagen 64: Gruppo de campi per l'inserimento del moltiplicatore

Imagen 65: Esempio de scomposizione del moltiplicatore 4005 in 4000 + 5


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Se la casella non è selezionato il calcolo viene svolto senza pause.

Il selezionatore de velocità serve a cambiare la velocità con cui vengono riempite le caselle: 10corrisponde a “istantaneo”, mentre valori inferiori a 10 corrispondono a valori della velocità via viadecrescenti.

Calcolo del prodotto

Una volta riempito il moltiplicando, impostato il moltiplicatore e deciso i parametri de calcolosi può iniziare il calcolo premendo il pulsante “Calcola”.

Se la opzione passopasso non è selezionata il calcolo viene svolto senza interruzioni e ilrisultato (prodotto) visualizzato sotto alla colonna 4 (68), altrimenti il pulsante cambia la dicitura“Calcola” in “Prima Multiplicación (colonna 2)” e attende una nuova pressione del pulsante.

Premendo nuovamente il pulsante lacolonna 2 viene riempita in accordo ai valoriselezionati e la dicitura del pulsante cambia in“Seconda Multiplicación (colonna 3)”. Ilprogramma attende una nuova pressione delpulsante (66)

Premendo nuovamente il pulsante la colonna3 viene riempita in accordo ai valori selezionati ela dicitura del pulsante cambia in “Somma lecolonne 2 e 3”. Il programma attende una nuovapressione del pulsante (67)


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 111

Imagen 66: 111 4005: Primo Multiplicación (Multiplicación della prima colonna per la seconda)

Imagen 67: 111 4005: Seconda Multiplicación (Multiplicación della prima colonna per la terza)


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Un'ultima pressione del pulsante permette deriempire anche la colonna 4, come somma dellecolonne 2 e 3 e de visualizzarne il prodotto (68).

È possibile infine rimuovere un'intera rigapremendo il tasto CTRL e cliccando con il tastode destra sul seme della colonna 1. Il totale vieneazzerato e il calcolo deve essere ripetuto (69).







Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 112

Imagen 68: 111 4005: somme delle colonne 2 e 3 e visualizzazione del risultato

Imagen 69: Eliminazione de una riga intera tramite rimozione del seme in colonna 1


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4 - LicenzaTkyupana es software libre: usted puede redistribuirlo y/o modificarlo en los terminos de la

Licencia Publica General de GNU (GPL) de La Free Software Foundation, version 3, o (a suconveniencia) cualquier otra posterior.

Tkyupana se ha publicado en la esperanza de que sea util a alguien, pero SIN NINGUNAGARANTIA: ni siquiera la garantia implicita de COMERCIALIZACION o IDONEIDAD PARAUN PROPOSITO EN PARTICULAR.

Vease a este respecto, y para mas detalle una copia de la GNU General Public License v3unido al Programa tkyupana, o consulte la pagina web <http://www.gnu.org/licenses/>


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5 - BibliografíaEstos son los artículos/sitios de los cuales se derivaron las informaciónes para implementar las

características del programa.

CODIGO REFERENCIAS URL

[§ACO] ACOSTA José De, Historia Natural y Moral de las Indias, 1590,Libro VI cap XVIII – De los memoriales y cuentas que usaron losIndios del Perú

http://to.ly/jdJO

[§BUS] BUSTOS, VERGARA, LUQUE ARIAS, El Abaco Inca y lasOperaciones Aritmeticas.

[§DEP] DE PASQUALE Nicolino, 2001, Il volo del condor, PescaraInforma, ottobre 2001

http://to.ly/jdJW

[§FLO] FLORIO Cinzia, 2010, Ruote de Acosta: elementi decorativi,strumenti mnemonici o mezzi de scrittura?, in Eliana Guagliano(curatrice), Letterature Americane ed atre Arti, Atti del XXXIConvegno Internazionale de Americanistica (Salerno), OèdipusEditore, Salerno [email protected]

[§FLR] FLORIO Cinzia, 2009, Incontri e disincontri nellaindividuazione de una relazione matematica nella Yupana deGuaman Poma de Ayala e Incontri e disincontri tra Europa eAmerica, Salerno, 1415 maggio e 1012 Dicembre 2008 Oédipus Editore, Salerno [email protected]

http://to.ly/jdK4

[§GIL] GILDORF Thomas E., Ethnomathematics of the Inkas,Department of Mathematics, University of North Dakota

http://to.ly/jdKa

[§HOL] GONZÁLEZ HOLGUÍN Diego, 1608, Vocabulario de la Lengua General de todo Peru

http://to.ly/jdKN

[§LAU] LAURENCICH Laura, 2007, La yupana: abaco e ordinatoredello spazio inca o esempio de sincretismo culturale?, Atti delXXVIII Convegno Internazionale de Americanistica . Quaderni deThule. Argo Editrice.

[§LES] LEONARD Molly, SHAKIBAN Cheri, The Incan Abacus: A http://to.ly/jdOd


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 114

http://to.ly/jdOd

http://to.ly/jdKN

http://to.ly/jdKa

http://to.ly/jdK4



http://to.ly/jdJW

http://to.ly/jdJO


MANUAL DEL USUARIO

Curious Counting Device, Journal of Mathematics and Culture, Nov. 2010, 5 (2), University of St. Thomas, MN, USA

[§MOV] MORA Lyda, VALERO Nydia, La Yupana como HerramientaPedagógica en la Primaria, Universidad Pedagógica Nacional

http://to.ly/jdL8

[§PAR] PAREJA Diego, 1986, Instrumentos Prehispánicos de cálculo: elquipu y la yupana, Revista Integracion, Dep. De MatematicasUIS, Vol. 4, No. 1, enerojunio 1986

http://to.ly/jdL5

[§PIL] PILARES CASAS Guido A., 2005, Los sistemas numéricos delQuechua y el Aimara Dirección Nacional de Educación Bilingüe Ministerio de Educación Lima, Junio 2005

http://to.ly/jdLi

[§POM] POMA DE AYALA Felipe Guaman, 1615, El Primer NuevaCorónica y Buen Gobierno, Royal Library de Copenhagen

http://to.ly/jdLr

[§RDP] RADICATI di PRIMEGLIO, Carlos, El sistema contable de losIncas

[§SAT] SANTO TOMÁS Domingo De, 1560, Lexicon o Vocabulario dela lengua general del Peru

http://to.ly/jdLx

[§VEL] VELASCO Juan De, 184144, Historia del Reino de Quito en laAmérica Meridional, Quito.

http://to.ly/jdLz


Doc. Rev. ES.0.7.2 – 21/07/16 115

http://to.ly/jdLz

http://to.ly/jdLx

http://to.ly/jdLr

http://to.ly/jdLi

http://to.ly/jdL5

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