-
8/18/2019 2016-I-Prueba-de-Seleccion-Nacional-Soluciones.pdf
1/4
SolucionesPrimera Prueba Selectiva Nacional 2016
Problema 1
Un cient́ıfico inventa una máquina del tiempo que puede viajar
hacia el pasado o el futuro las siguientescantidades de años: 33,
21, 12, 39. Determinar, si es posible viajar 7 años atrás, con
varios usos de estamáquina.
Solución:
Digamos que el año actual será el 0 en la recta numérica,
entonces 7 años atrás será el −7 en la recta
numérica.
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Notemos que 33, 21, 12 y 39 son múltiplos de 3 entonces, luego
de cada uso de la m áquina del tiempo, se moveráuna cantidad de
años que es múltiplo de 3, por lo que siempre se quedar á en un
número múltiplo de 3, perocomo −7 no es múltiplo de 3
entonces es imposible viajar 7 años atrás.
Problema 2
Dos lados consecutivos del siguiente poĺıgono son siempre
perpendiculares. Hallar el área de dicho polı́gono, silas
longitudes de sus lados se muestran en la figura.
6
4
2
3
3
3
4
4
3
3
2
3
Solución:
Es claro que dicha figura está dentro de un cuadrado de lado 10
y basta con quitar los rectángulos de lasesquinas
6
4
2
3
3
3
4
4
3
3
2
3
Entonces el área de dicho polı́gono es 102
− 2 · 3 − 2 · 4 − 3 · 3 − 4 · 3
= 100 − 6 − 8 − 9 − 12 =
65
Olimpiada Matemática EcuatorianaOMEC -
http://omec-mat.org
http://omec-mat.org/http://omec-mat.org/
-
8/18/2019 2016-I-Prueba-de-Seleccion-Nacional-Soluciones.pdf
2/4
Problema 3
En un barco pirata hay un cofre con monedas de oro. Cinco de los
piratas reciben su parte con el siguienteprocedimiento: primero
Abel recibe 1
8 del total; luego Beto recibe 1
6 de lo que queda en el cofre. Más tarde,
Carlos recibe 17
de lo que quedaba. Luego, Dany recibe 15
de lo que queda y finalmente a Ezequiel le dan
14
delo que resta. Se sabe que hay tres piratas que
recibieron igual cantidad de monedas. Determinar cu áles son.
Solución:
Sea n el total de monedas que hay en el barco.
Entonces Abel recibe 18 · n monedas, luego sobran
7
8 · n monedas,
por esto Beto recibe 16 · 7
8 · n = 7
48n por lo que n es múltiplo de 48 ya que esta
última operación debe ser entera,
por esto n = 48x donde x es un entero
positivo, y ahora veamos cuánto le corresponde a cada uno de los
piratas:
• Abel: 18 · n = 1
8 · 48x = 6x monedas
Ahora quedan 48x− 6x = 42x monedas.
• Beto: 16 · 42x = 7x
monedas
Ahora quedan 42x− 7x = 35x monedas.
• Carlos: 17 · 35x = 5x
monedas
Ahora quedan 35x− 5x = 30x monedas.•
Dany: 1
5 · 30x = 6x monedas
Ahora quedan 30x− 6x = 24x monedas.
• Ezequiel: 14 · 24x = 6x
monedas
Por lo que es claro que Abel, Dany y Ezequiel son los que
recibieron igual cantidad monedas.
Problema 4
Dado que:1
2!17! +
1
3!16! +
1
4!15! +
1
5!14! +
1
6!13! +
1
7!12! +
1
8!11! +
1
9!10! =
N
18!
Hallar el mayor entero que es menor que N 100
.
Solución:
19!N
18! =
19!
2!17! +
19!
3!16! +
19!
4!15! +
19!
5!14! +
19!
6!13! +
19!
7!12! +
19!
8!11! +
19!
9!10!19!N
18! =
19
2
+
19
3
+
19
4
+
19
5
+
19
6
+
19
7
+
19
8
+
19
9
2 · 19!N 18!
= 2
192
+
193
+
194
+
195
+
196
+
197
+
198
+
199
2 · 19!N
18! =
19
2
+
19
3
+
19
4
+ ... +
19
16
+
19
17
2 · 19!N
18! =
19
0
+
19
1
+
19
2
+ ... +
19
16
+
19
19
−
19
0
−
19
1
−
19
18
−
19
19
2 · 19N = 219
− 1 − 19 − 19 − 1 = 219
− 40
Olimpiada Matemática EcuatorianaOMEC -
http://omec-mat.org
http://omec-mat.org/http://omec-mat.org/
-
8/18/2019 2016-I-Prueba-de-Seleccion-Nacional-Soluciones.pdf
3/4
19N = 219 − 40
2 = 218 − 20
N = 218 − 20
19 =
218 − 1 − 19
19 =
218 − 1
19 − 1 =
(29 − 1)(29 + 1)
19 − 1
= 511 · 51319
− 1 = 511 · 27 − 1 =
13796 N
100
=
13796
100
= 137
Observación: En la solución se usa la identidadn
0
+
n
1
+
n
2
+ ... +
n
n−1
+
n
n
= 2n.
Problema 5
Sea ABCDE un pentágono convexo tal que los
triángulos ABC , BCD, DEC y
EAD tienen la misma área.
Supongamos que AC y AD cortan a
BE en los puntos M y
N respectivamente. Demostrar que
BM = NE .Solución:
B
C
D
E
A
N M
Como los triángulos BCD y
CDE tienen la misma área y comparten el lado
CD, tenemos que CD y BE
sonparalelas. De manera similar tenemos que BC es
paralela a AD y DE es paralela
a AC . Luego, los cuadriláterosBCDN y
MCDE son paralelogramos y por lo tanto
BN = CD y
ME = CD. En consecuencia,
BN = ME ,es decir BM +
MN = MN + NE de donde
BM = NE .
Problema 6
Las casillas de una cuadŕıcula de 9 por 9 se llenan con los
enteros del 1 al 81 de manera arbitraria. Demuestraque hay un
entero k entre 1 y 9 (ambos incluidos) tal que el
producto de los n úmeros de la fila k es distinto
alproducto de los números de la columna k.
Solución:
Observemos los primos del 1 al 81 que no tienen un múltiplo de
śı mismo (distinto de él) entre 1 y 81, estosprimos son 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 y 79. Como la cuadricula tiene 9
casillas en la diagonal principal,entonces es imposible que todos
esos primos se encuentren en la diagonal de la cuadricula.Sea
p el primo que esta fuera de la diagonal y supongamos
que se encuentra en la fila k, 1 ≤ k ≤
9, tenemosentonces que el producto de los números en la fila
k es múltiplo de p, mientras que el producto de
los numerosde la columna k no es múltiplo de p.
Como p es primo, se sigue que el producto de los
números en la fila k esdistinto del producto de los
números de la columna k.
Olimpiada Matemática EcuatorianaOMEC -
http://omec-mat.org
http://omec-mat.org/http://omec-mat.org/
-
8/18/2019 2016-I-Prueba-de-Seleccion-Nacional-Soluciones.pdf
4/4
Problema 7
Los números reales a,b, x, y cumplen que:ax +
by = 3
ax2 + by2 = 7
ax3 + by3 = 16
ax4 + by4 = 42
Hallar ax5 + by5.
Solución:
Tenemos queaxn+1 + byn+1 = (axn + byn)(x + y) − (axn−1
+ byn−1)xy
Aplicando la identidad anterior a los valores dados, se tiene
que
16 = 7(x + y) − 3xy
42 = 16(x + y) − 7xy
Luego x + y = −14 y xy = −38.
Reemplazando nuevamente en la identidad, se tiene que:
ax5 + by5 = (ax4 + by4)(x + y) − (ax3 + by3)xy =
42(−14) − (16)(−38) = 20
.
Olimpiada Matemática EcuatorianaOMEC -
http://omec-mat.org
http://omec-mat.org/http://omec-mat.org/
