Cálculo Vectorial

163

Cálculo Vectorial

Contenidos:

En R2 y en R

3 vectores como combinación lineal de vectores de la base canónica, módulo de un vector.

Cosenos directores. Versor. Componentes de un vector. Vector dado por diferencia de dos vectores

posición.

Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento.

Producto escalar. Definición. Producto escalar en función de las componentes.

Representación gráfica. Propiedades.

Producto vectorial. Definición. Expresión cartesiana del producto vectorial. Representación

geométrica. Propiedades.

Producto mixto. Definición. Cálculo del producto mixto. Representación geométrica.

Objetivos:

Distinguir e interpretar geométricamente las operaciones entre vectores:

Producto escalar. Producto vectorial. Producto mixto.

Vamos a realizar el estudio de la geometría analítica por la vía vectorial, la ventaja de introducir el

cálculo vectorial consiste en que el manejo de este lenguaje no sólo permite demostraciones elegantes

sino que facilitará el trabajo en física o en ingeniería y ahorrará tiempo.

No haremos un estudio exhaustivo de vectores, lo desarrollaremos en forma elemental, limitándonos a

tres dimensiones.

Cálculo Vectorial

164

Base Canónica

Los vectores fundamentales o versores son los vectores unidad sobre los ejes coordenados y con

sentidos coincidente con el sentido positivo de éstos.

y z

j

k

y

i

x i

j

x

1) (0,j ; 0) (1,i

1) 0, (0,=k ; 0) 1, (0,j ; 0) 0, (1,i

En R2: )j ,i(

versores perpendiculares En R

3: )k ,j ,i(

versores perpendiculares

entre si. entre si.

Sea R2, la base canónica j ,i

; y el vector 2RA

de componentes

1

1

11y

x=A )y ,(x=A

y

yyixA 11

y1

j

i

x1 x

Módulo de A

: 21

21

22

12

1 yxA yxA

Los ángulos que forman el vector con los ejes se llaman ángulos directores y sus cosenos:

cosenos directores

cos , cos como sen = cos 90

Del gráfico

sen Ay A

ysen = cos

cos A x A

x= cos

1

1

1

1

elevando al cuadrado y sumando

m. a m.: )sen(cosAyx 2222

1

2

1

1coscos 1sencos 2222

la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a uno.

Expresamos A

como combinación lineal de los

vectores de la base.

jyixA 11

Expresión analítica del vector

Cálculo Vectorial

165

Idem para R3

z

kzyyixA 111

Expresión analítica

A 2

1

2

1

22

1

22

yx'A como z'AA

k

j

21

21

21

2zyxA

i

'A

y A

zcos ;

A

ycos ;

A

xcos 111

x

cosAz ; cosAy ; cosAx 111

1cos coscos )cos cos(cosA=zy x 2222222

2

1

2

1

2

1

Se generaliza para Rn: base canónica {e1, e2, ..., en}

Expresión analítica: nn2211 ex . . . exexA

Módulo: 2

n

2

2

2

1 x . . . xxA

Versor

Es todo vector de módulo uno: 1A 0

En R2 : )y ,(xA 000

donde

senAy

cosAx

00

00

)sen ,(cosA0

= (cos , cos )

En R3 : ) cos ,cos ,(cosA0

Las componentes de un versor son sus cosenos directores.

Dado un vector 111 z,y,xA

si queremos un versor con la dirección de A

, basta dividirlo por su

módulo: A

z,

A

y,

A

x

A

AA 111

0

.

Vector determinado por dos puntos cualesquiera

y

B

A y2 - y1

x2 - x1

y1 y2

x1 x2 x

La distancia entre A y B es el módulo de: A B : 2

12

2

12 )y-(y)x-(xAB

El punto A determina )y ,(xOA 11

El punto B determina )y ,(xOB 22

OBABOA

)y ,(x-)y ,(xOAOBAB 1122

)y-y ,x-(xAB

1212

ABde scomponente

Cálculo Vectorial

166

Punto medio de un segmento

y Dados los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) hallamos

B

M M = (xm, ym) tal que:

A

)yy ,x(x)yy ,x(x MBAM m2m21m1m

x

2

yyy yy2y yyyy

2

xx x xx2x xxxx

21

m21mm21m

21

m21mm21m

En 3 dimensiones el punto medio M de AB es el punto cuyas coordenadas son:

2

zdesuma,

2

ydesuma,

2

xdesuma

Insistimos si dos vectores son paralelos sus componentes son proporcionales.

En símbolos: A B A B/ /

En R2: (x1, y1) = (x2, y2) = ( x2, y2)

yy

xx

21

21

2

1

2

1

y

y

x

x=

En R3:

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

En Rn:

'

n

n

'

3

3

'

2

2

'

1

1

x

x= . . .

x

x

x

x

x

x

Ejercicios:

Dados los puntos A = (2, 1, 3) ; B = (4, 1, 0) ; C = (8, 3, 5) determinar:

i) El vector AB

AB = (4 – 2 , 1 – 1, 0 – 3) AB = (2, 0, -3)

ii) El módulo del vector AB

A B = 1394302222

iii) El punto medio del segmento AC

2

53,

2

31,

2

82M

M = (5, 2, 4)

Cálculo Vectorial

167

PRODUCTO ESCALAR

Definición:

El producto escalar de dos vectores ( notado: A B ), es el número correspondiente al producto de

los módulos por el coseno del ángulo que forman: A B = A B cos

B

A

Interpretación geométrica del producto escalar

En el triángulo la hipotenusa es B

B cos

p r oyB A

B

proyB A

A

A B A Bp r oyB A

BA p r oyB A

En el triángulo la hipotenusa es A

BA

/proy

B cos

proy A B

A

A

B A B Ap r oyA B

AB p r oyA B

Se infiere: el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno cualquiera de ellos por

la proyección del otro sobre la dirección del primero.

Observación: proyB A

: Proyección de B sobre la dirección de

A .

proy A B

: Proyección de A sobre la dirección de

B .

Propiedades del producto escalar

Conmutativa: A B = B A

Asociativa de la multiplicación por un escalar: A B A B = A B

Distributiva respecto de la suma de vectores: A B C A B A C

Como cos cos B A = B A cos

de donde se infiere que el producto escalar es

conmutativo: A B B A

Cálculo Vectorial

168

Expresión en coordenadas

Multiplicación escalar de los vectores de la base canónica k ,j ,i

00112cosji=ji ; 11110cosii=ii

Resulta así la tabla de multiplicación del triedro.

• i

j

k

i

1 0 0

j

0 1 0

k

0 0 1

Entonces dados dos vectores por sus expresiones en coordenadas:

kzjyixB

kzjyixA

222

111

k . kzzj. kyzi. kxzk. jzyj. jyyi . jxyk . izxj. iyxi . ixxB.A 212121212121212121

=

.1zz.0yz.0xz.0zy.1yy.0xy.0zx.0yx.1xx 212121212121212121

212121 zzyyxxBA

El producto escalar de dos vectores dados en coordenadas cartesianas ortogonales es igual a la

suma de los productos de las coordenadas homólogas.

Ejemplo: Sea )1,5,2(A

3,1,2B

12354311522.BA

Expresión del módulo

Si 2

AAA0cosAAAA BA

(1)

En coordenadas: 2

1

2

1

2

1111111 zyxzzyyxxAA

(2)

De (1) y (2): zyxA zyxA 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Entonces, el módulo de un vector es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las

componentes.

Angulo entre dos vectores

212121 zzyyxx=cosBA=BA

zyx zyx

zzyyxx=

BA

BA=cos

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

Cálculo Vectorial

169

Condición de perpendicularidad

Si 0= B.A 0=90ºcos BA

Si los vectores son perpendiculares su producto escalar es cero.

Producto vectorial

Definición: El producto vectorial de dos vectores (notado BA

) es el vector C

, con las

siguientes características:

BAC

B

A

z

k

j

i

y

x

Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial

C A B

B

h

A

Dirección: normal al plano formado por A y

B

Módulo: sen BABA C

Sentido: es el de la regla del tirabuzón, o la regla

de la mano derecha, yendo del primer factor al

segundo y siguiendo la orientación del espacio.

C A B A B sen

senh

B h = B sen

donde h es la altura del paralelogramo formado

por los vectores A y

B , resulta:

C A B A h

Área del paralelogramo

Cálculo Vectorial

170

Propiedades del producto vectorial

Propiedad no conmutativa: A B B A , pues de acuerdo con la regla del tirabuzón o de la

mano derecha resulta.

C A B

B

A

A B B A

Se llama propiedad anticonmutativa

Propiedad distributiva: A B C A B A C

Propiedad no asociativa: A B C A B C

Expresión en coordenadas

Multiplicación vectorial de los versores de la base canónica

z

k

y

j

i

x

Resulta la tabla de multiplicación vectorial:

i

j

k

i

0

k

j-

j

k-

0 i

k

j

i-

0

B

A

C B A

00ºsen iiii

O=kk=jj=ii

1=1112senjiji

j =i k i=kj k=ji

Por propiedad anticonmutativa, es:

j-=ki i-=jk k-=ij

Cálculo Vectorial

171

Dados ahora dos vectores por sus expresiones en coordenadas

kzjyixB

kzjyixA

222

111

0zz)i(yzjxzizy0yy)k(xy)j(zxkyx0.xxBA 212121212121212121

=

k yxyxjzxzxizyzyBA 122121121221

kyx

yxj

zx

zxi

zy

zy

22

11

22

11

22

11

(1)

Este resultado puede expresarse en forma de determinante simbólico:

BA

zyx

zyx

kji

222

111

,

Ejemplo:

Sea: 2,3,2A

; 1,3,2B

132

232

kji

BA

= (3 – 6) i

+ (4 – 2) j

+ (6 – 6) k

= -3 i

+ 2 j

+ 0 . k

Paralelismo de vectores

Si 0=B A 00º senBABA B //A

, entonces la nulidad del determinante

simbólico exige: 2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x. Es decir, si dos vectores son paralelos sus componentes son

proporcionales.

Ejemplos:

a) 4,3,2A

y z,6,4B

determinar z para que A

/ / B

z

4

6

3

4

2 z = 8

b) z 15, 3,A

y 2,5,1B

determinar z para que A

/ / B

25

15

1

3 z z = 6

pues desarrollando por los elementos de la primera fila como

si en ella hubiera números se obtiene (1).

Cálculo Vectorial

172

PRODUCTO MIXTO

Se llama producto mixto de tres vectores C ,B ,A

al escalar: C BA

.

Su expresión en base a coordenadas resulta:

kzjyixC

kzjyixB

kzjyixA

333

222

111

De acuerdo con lo estudiado:

kyx

yxj

zx

zxi

zy

zy

zyx

zyx

kji

CB33

22

33

22

33

22

333

222

333

222

111

33

22

1

33

22

1

33

22

1

zyx

zyx

zyx

yx

yxz

zx

zxy

zy

zyxCBA

Teniendo en cuenta que la expresión CBA

carece de sentido, puede omitirse el paréntesis

y escribir C BA

, además si permutamos los productos: C . BA

se llega al mismo resultado,

entonces los suprimimos e indicamos el producto mixto con la notación:

333

222

111

zyx

zyx

zyx

C ,B ,A

Interpretación geométrica del producto mixto

)pedoparalelepí del base amoparalelogr del (Área S PBA ; PBA

A B C P C P C cos

h

P A B

h proy C P

C B

A

(altura del paralelepípedo)

pedoparalelepí del VolúmenhPC ,B ,A

Consecuencia: La condición necesaria y

suficiente para que tres vectores no nulos sean

coplanares es que se anule su producto mixto.