Modelos Matemticos de Sistemas Fsicos Elctricos Modelado
Matemtico de Sistemas Dinmicos Simplicidad contra precisin Sistema
lineal o no lineal Variante o invarianteen el tiempo Modelos de
Sistemas Elctricos Resistores Capacitores Inductores Entrada Funcin
de Transferencia Salida Modelos de Sistemas Elctricos Suma de
tensiones alrededor de las mallasSuma de corrientes en nodos
Igualacin a cero. 1 2 Modelo matemtico de un cto RLC }= + +ti e dt
t ict Ridtt diL0) (1) () (}=to e dt t ic0) (1Modelo Matemtico del
Cto Modelo matemtico de un cto RLC Mediante la Transformada de
Laplace ) ( , ) (1 1) ( ) ( s E s Zs cs RI s LsI = + +) ( , ) (1 1s
E s Zs c=Suponiendo que e1es la entrada y e0la salida, la funcin de
transferencia de este sistema resulta ser 11) () ( 0+ +=RCs LCs s
Es Ei1.1 2.1 3 Impedancias Complejas
Enlasfuncionesdetransferenciaparacircuitoselctricos,amenudo
encontramosconvenienteescribirlasecuacionestransformadas
directamentemedianteelmtododeLaplace,sinescribirlasecuaciones
diferenciales. Z(s) = E(s) / I(s) *Si los elementos de dos
terminales son una resistencia R, una capacitancia C, o una
inductancia L, la impedancia compleja se obtiene mediante R, l/Cs,
o Ls,
respectivamente.**Siseconectanimpedanciascomplejasenserie,laimpedanciatotaleslasumadelas
impedancias complejas individuales. Anlisis de un cto. Sencillo por
medio de Mallas Encontrar la funcin de transferencia de que
relacione la tensin del capacitor con la de entrada
R11.0kL11.0HC10.1uF-POLV2120 V 60 Hz 0Deg i(t) V(t) Vc(t) Anlisis
de un cto. Sencillo por medio de Mallas Anlisis de un cto. sencillo
por divisin de tensin
Latensinentreterminalesdelcapacitoresunapartedelatensinde entrada;
por ejemplo, la impedancia del capacitor dividida entre la suma de
las impedancias. Entonces: ( )) (11) ( s VCsR LsCss Vc+ +=Despejar
la funcin de transferencia, Vc(s)/V(s), lleva al mismo resultado
que se haba estado trabajando Anlisis de cto sencillo por medio de
Nodos La funcin de transferencia se puede obtener si se suman las
corrientes que fluyen del nodo cuyo voltaje sea Vc(s). Tomando en
cuenta que V(s)/I(s)=Z(s), cada que I(s)=V(s)/Z(s). Por lo tanto:
0) ( ) (1) (=++Ls Rs V s VcCss Vc*Donde Vc(s)/[1/Cs)] es la
corriente que sale del nodo a travs del capacitor y
[Vc(s)-V(s)]/(R+Ls) es la corriente que sale del nodo a travs del
resistor e inductor que estn en serie.Anlisis de cto complejo por
medio de Mallas Pasos a seguir 1. Sustituimos los valores de los
elementos pasivos con sus impedancias. 2. Sustituimos todas las
fuentes y variables del tiempo con su transformada de Laplace. 3.
Suponemos una corriente de transformada y una direccin de corriente
en cada malla. 4. Escribimos la ley de voltajes de Kirchhoff
alrededor de cada malla. 5. De las ecuaciones simultneas despejamos
la salida. 6. Formamos la funcin de transferencia. Anlisis de cto
complejo por medio de Mallas Ejemplo: Encontrar la funcin de
transferencia I2(s)/V(s) de la siguiente red. I1(s) I2(s) v(t)Vc(t)
ElprimerpasoesconvertirlaredentrasformadadeLaplacepara
impedanciasyvariablesdelcircuito,suponemoscondicionesiniciales
cero. I1(s) I2(s) V(s)Vc(s) VL(s) Ls 1/Cs Anlisis de cto complejo
por medio de Mallas I1(s) I2(s) V(s)Vc(s) VL(s) Ls 1/Cs
Elcircuitoconelqueseesttrabajandorequierededosecuaciones simultneas
para despejar la funcin de transferencia. Estas ecuaciones se
puedenhallarsisesumanlastensionesalrededordecadamallaatravs
delacualcirculanlascorrientessupuestas,I1(s)eI2(s).Alrededordela
malla 1, donde circula I1(s),R1I1(s)+LsI1(s)-LsI2(s)=V(s)1 Anlisis
de cto complejo por medio de Mallas Alrededor de la malla 2, donde
circula I2(s).LsI2(s)+R2I2(s)+[1/Cs]I2(s)-LsI1(s)=01
Combinandolostrminosdelasecuaciones1y2seconviertenen ecuaciones
simultaneas en I1(s) e I2(s): (R1+Ls)I1(s) -LsI2(s)=V(s) 3 -LsI1(s)
+ (Ls+R2+[1/Cs])I2(s)=0 4 Anlisis de cto complejo por medio de
Mallas Podemos usar la regla de Cramer (o cualquier otro mtodo para
resolver ecuaciones sumultneas) para despejar I2(s) de las
ecuaciones 3 y 4. Donde ( )( ) ( )A=A+=) (012s LsVLss V Ls Rs I(
)|.|
\|+ + += ACsR Ls LsLs Ls R121Anlisis de cto complejo por medio
de Mallas Formando la funcin de transferencia G(s) ( ) ( )1 2 122
122) () () (R s L C R R LCs R RLCs Lss Vs Is G+ + + +=A= =( ) ( )1
2 122 12R s L C R R LCs R RLCs+ + + +I2(s)V(s) Anlisis de cto
complejo por medio de Mallas Replanteando las ecuaciones de este
ejemplo. ((((
=(((((
(((((
1 malla la dealrededor aplicados voltajes de Suma) (mallas dos
lasa comuness impedanciade Suma) (1 mallala de alrededor s
impedanciade Suma2 1s I s I((((
=(((((
+(((((
2 malla la dealrededor aplicados voltajes de Suma) (2 mallala de
alrededor s impedanciade Suma) (mallas dos lasa comuness
impedanciade Suma2 1s I s I(R1+Ls)I1(s)-LsI2(s)=V(s)
-LsI1(s)+(Ls+R2+[1/Cs])I2(s)=0
