2.1 Problemas

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Matemticas2deESO.Captulo1:Resolucindeproblemas Autora:AdelaSalvador/Revisora:NievesZuastiwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

2 Resolucindeproblemas:2deESO

www.apuntesmareaverde.org.es

Autora:AdelaSalvador

Revisores:NievesZuastiySergioHernndezIlustraciones:BancodeimgenesdelINTEF

2ESO CAPTULO1:RESOLUCINDEPROBLEMAS

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3 Resolucindeproblemas:2deESOndice

1.FASESENLARESOLUCINDEUNPROBLEMA2.PRIMERASESTRATEGIAS

2.1.ESTIMAELRESULTADO2.2.EXPERIMENTA,JUEGACONELPROBLEMA2.3.HAZLOMSFCILPARAEMPEZAR2.4.HAZUNDIAGRAMA,UNESQUEMA...2.5.MIRASITUPROBLEMASEPARECEAALGUNOQUEYACONOZCAS2.6.ESCOGEUNABUENANOTACIN

3.EMOCIONESYRESOLUCINDEPROBLEMAS3.1.EUREKA!3.2.BLOQUEOS

4.JUEGOSYPROBLEMASResumen

Quesunproblema?Cmoenfrentarseaunosproblemasnuevosque,quizs,noseanfciles?Esposibledarnormas,conocerestrategias,pararesolvermejorcualquiertipodeproblema?Unproblemamatemticoesunasituacinenlaquehayunobjetivoqueconseguirsuperandounaseriedeobstculossiemprequeelsujetoqueafronta lasituacinnoconozcaprocedimientosoalgoritmosquelepermitan,deinmediato,alcanzarelobjetivo.Loqueparaunapersonaesunproblema,paraotrapuedeserunsimpleejercicio,omuchomsqueunproblema,unainvestigacin.Ladiferenciaestenlosconocimientosprevios,ysipararesolverlodebehacersepreguntas,aadirhiptesisalenunciado.Anteunautnticoproblemamuchasvecesnosabeunonisiquierapordndeempezar.Veremosalgunasestrategiasdepensamientotilesentodaclasedeproblemas,Pensamosquees lomejorquesepuedeensearpueselmundoevolucionarpidamenteenelque loquehoynospareceimprescindible,maanapuedehaberquedadoobsoleto,mientrasqueresolviendoproblemassepreparaalaspersonasaenfrentarsealodesconocidoylosprocesosmentalesnuncaenvejecen.Hayestudiosqueconfirmanque laenseanzaexpresade lasetapas,cadencias,tcnicasyestrategiasconsiguemejoresresultadosquelameraprcticaespontnea.

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4 Resolucindeproblemas:2deESO1.FASESENLARESOLUCINDEUNPROBLEMAEjemplo1:1. LamadredeMaraobservaqueelcuentakilmetrosdesucochemarca

24.312km.Cuntoskilmetroslefaltanparalaprximarevisin,quedebesercada5.000km?

Siemprequetengasqueresolverunproblemaesconvenientequesigaslossiguientespasos:Fase1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblemaLeeconcuidadoelenunciado,ypiensa:

Culessonlosdatos? Qupiden?

Fase2:Buscaunabuenaestrategia.Esunproblemaconoperacionesconnmerosnaturales,luego:

Quoperacionesaritmticasdebohacer?Habrquesumar?Habrquemultiplicar?Habrquerestar?Habrquedividir?

Fase3:LlevaadelantetuestrategiaAhoras,ahoraresolvemoselproblema:Simultiplicas5.000por5obtienes25.000.Portanto,laprximarevisindebeseralos25.000km,luegoalamadredeMaralefaltan25.00024.312=688kmparahacerlarevisin.Fase4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Compruebalaestrategia.Sisumasa24.312los688kmdelresultadotenemoslos25.000kmdelaprximarevisin.Actividadespropuestas2. Inventaproblemassimilares!3. Estimacuntomidetuaulade largoycuntodeancho.Sedeseaponer

unzcaloquevalea6elmetro.Cuntoseuroscostarponerlo?4. ElcuentakilmetrosdelpadredeJuanmarca64.731km.Silasrevisiones

son cada 5.000 km, cuntos kilmetros le faltan para la prximarevisin?

5. Lapiscinade Ins tiene formade rectngulo.Sus ladosmiden10mdelargoy7mdeancho.Desearodear lapiscinaconunavalla.Elmetrodevallavale12.Cuntocostarhacerlavalla?

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5 Resolucindeproblemas:2deESO2.ESTRATEGIASENLARESOLUCINDEPROBLEMAS2.1.EstimaelresultadoEnmuchasocasionesnosbastaconestimarelresultado,noconlasolucinexacta.Yahasestimadolasdimensionesdetuaula.AlamadredeMara,porejemplo,paraestartranquilalebastasaberquelefaltanmsde600kmparalaprximarevisin.MientrasqueelpadredeJuanquizsnonecesitesaberqueexactamentelefaltan65.000 64.731=269kmpara laprximarevisin,sinoestimarque lefaltanmenosde300kmparaempezarapreocuparsedehacerla.Pararealizarbuenasestimacionesesconvenientehaberpracticadomucho.ActividadespropuestasIntenta ahora t estimar las soluciones de estos problemas:

6. Si tu paga semanal esde ocho euros, y ahorras toda la paga de unmes Podras comprarte unordenadorporttil(queestimasquevaleunos1.500euros)?Ycontodaslaspagasdeunao?

7. Piensaenunapiscinaalaquehayasidoalgunavez.Estimaloslitrosdeaguaquepuedecontener.8. Un ascensor slo puede con 500 kg, cuntos de tus amigos piensas que

podransubirse?9. Informanqueaunamanifestacinhanido40.000personas,cmocreesque

lashancontado?10. Sitodalapoblacinmundialsedieralamano,qulongitudseformara?11. Cuntagentecabedepieentuaula?12. Cuntoskilmetrosandasalao?13. Cuntosgranosdearrozhayenunkilo?2.2.Experimenta,juegaconelproblemaAlexperimentarconlosdatosdelproblemaesfcilqueseteocurraquedebeshacerconellos.Actividadespropuestas14. a)Piensaunnmerodetrescifras.

b)Escrbeloalrevsyrestaelmenordelmayor.c)Escribeelresultadoalrevsysmaloalresultadodelaresta.d)Escribelasolucinfinal.e)Pruebaconvariosnmeros,quobservas?Hayalgncasoenelquenoseobtengalamis

masolucin?f)Pruebaconcuatrocifras.Obtienesresultadosdelmismotipoquelasanteriores?g)Teatrevesconcincocifras?

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6 Resolucindeproblemas:2deESO2.3.Hazlomsfcilparaempezar15. "LastorresdeHanoi":Cuentalaleyendaqueentresagujasdeorohaysesentaycuatrodiscostodos

dedistinto tamao, colocadosdemayor amenor.Unosmonjes cambian continuamentede sitioestosdiscos,unocadasegundoconlassiguientesreglas:Encadamovimientoslosepuedemoverundisco.Ynopodemoscolocarnuncaundiscoencimadeotrodemenortamao.Cuandohayanpasado todos losdiscosdeunade lasagujasaotraseacabarelmundo.Cunto faltaparaquetermineelmundo?

Paraenfrentarteaesteproblema, tenencuenta, loprimero, las fases, intentaentenderbienelproblema.Luego,hazlomsfcilparaempezar.Enlugardecon64discos,empiezasloconundisco.Acontinuacin,condos,contres...Manipulalosobjetos.Hazunesquema.16. CuadradoMgico

Conlosnmerosdel10al18completaentucuadernoelcuadrodeformaqueobtengaslamismasumaentodasdirecciones,enhorizontal,envertical,einclusoenlasdosdiagonales.

Hazlomsfcil,comienzaconuncuadradomgicocon losnmerosdel1al9.Cuntodebesumarcadafila?Culdebeserelnmerodelacasillacentral?Lasumade1+2++9=?Qunmerodivididoentre3nosda:?

Luegohaztelasmismaspreguntasconlosnmerosdelproblema.2.4.Hazundiagrama,unesquema...Actividadespropuestas17. "Colordelpelo":TresamigasA,B,C,unarubia,otramorenayotrapelirroja,estn jugandoa las

cartassentadasenunamesacircular,cadaunapasaunacartaalaqueestasuderecha.LaamigaBhapasadounacartaa larubia.LaamigaAhapasadounacartaa laquehapasadounacartaa lapelirroja.CuleselcolordelpelodeA,ByC?

Alhacerunesquemayanalizarlasdosconfiguracionesqueexisten,seobservaqueunadeellasesinconsistente,yaqueunodelosamigosesalavezrubioypelirrojo.Lasolucineslaotraconfiguracin,queesconsistenteconelenunciado.18. "Eldepsito":Deundepsito llenodeaguasesaca latercerapartedelcontenido,yanquedan

1.200litrosdeaguaQucapacidadtieneeldepsito?Sidibujaseldepsito,enseguidasabrslasolucin.19. Unapersonaes80cmmsaltaquelamitaddesualtura.Questaturatiene?Leeycomprendeconcuidadoelenunciado,dibujaunesquemaysabrslasolucin.20. SecalculaqueTeano, lamujerdePitgorasnacihaciaelao519antesdeCristo,cuntosaos

hanpasadodesdesunacimiento?

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7 Resolucindeproblemas:2deESO2.5.MirasituproblemasepareceaalgunoqueyaconozcasEsposiblequetuproblematengaelmismoairequeotroqueyahasresuelto,loquepuedeproporcionartepistastilespararesolverelnuevo.Actividadespropuestas21. Observalasofertasdeunatienda: Precioanterior OfertaCamisetas 15euros 12eurosChaquetas 40euros 30eurosPantalones 32euros 28eurosCamisas 25euros 21euros

Unapersonaaprovechaestasofertasycompracincocamisas,unachaqueta,dospantalonesytrescamisetas.Averiguacuntosegastaycuntoseahorraporcompraresaropaenofertas.

22. Sehanapuntado25estudiantesaunviaje.Alpagarelbillete5deellossedancuentaquenohan

tradodinero.Elrestodecidepagrselo,yabonancadauno3.Cuntocuestacadabillete?

2.6.EscogeunabuenanotacinActividadespropuestas23. Calculamentalmenteelproductodedosnmerosyluegosumauntercero:

a)5x9+26= b)200x7+128= c)60x8+321=Ahoraalrevs:nosdanelresultadoybuscamos,delaformaanterior,conqunmerospuede

obtenerse.Porejemplo,nosdan1000ydecimos1000=100x7+300.Sigueesemodeloparaexpresarlosnmerossiguientes:2000,4000y5500.24. EmmyNoether,unailustremujermatemtica,naciel23demarzode1882

ymuriel14deabrilde1935.a)Cuntosaostenaalmorir?b)Cuntosaoshanpasadodesdeelaodesumuerte?c)Cuntosaosfaltanparacelebrarelcentenariodesumuerte?Cuntosmeses?Cuntosdas?

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8 Resolucindeproblemas:2deESO3.EMOCIONESYRESOLUCINDEPROBLEMAS3.1.Eureka!YasabesqueArqumedesestabaen labaeracuandoexclam Eureka!pueshabadescubiertounaimportantepropiedadde loscuerpossumergidos.Algoparecidoocurreenmuchasocasiones.Tumismo,sitrabajasenunproblema, luegotu inconscientecontinuatrabajandoy,derepente,cuandomenosloesperasEureka!Tieneslasolucin.Estasituacin,estaemocinpositivaygratificante,tambinrecibeelnombredeAj!En laHistoriade laCienciaseconocenmuchasdeestassituaciones.Buscaalgunay reflexionasobrecmotesientesalresolverunproblema,queenunprimermomento,parecaimposible.3.2.BloqueosPerotambinpuedenapareceremocionesnegativas,alasquellamaremosbloqueos.Muchasveces,alintentarresolverunproblemas,stenospareceimposible,nosdesanimamos,entranganasdedejarlotodo.Estoesunbloqueo.Peroesolepasaatodoelmundo.Hayquesacarfuerzasycontinuar.Buscarlacausadelbloqueo.Veamosalgunosproblemassencillosqueresultancomplicadospuesenellossueleproducirseunbloqueo.Intentaprimeroresolverlosyluego,sinotesalen,leelaayuda.25. Sinlevantarellpizunecon4trazosrectosestosnuevepuntos.

o o o

o o o

o o o

Dibujaentucuadernonuevepuntoscomolosdelafigurayintentaunirlos,con4trazossinlevantarellpiz.

Recuerda,loprimeroescomprenderelenunciado.Pruebaahacerlo.Lohasconseguido?Estupendo.Noloconsigues,intntalounpocoms.

Bloqueo:Sinoloconsiguesesporqueestspresuponiendoalgoquenosehadichoyesquenopuedessalirdelrecintolimitadoporlospuntos.Haztrazosmslargosyloconseguirsenseguida.26. Con 3 palillos, todos iguales, puedes construir un tringulo equiltero. Con 5 palillos puedes

construir2 tringulosequilteros,cmopodemos construir cuatro tringulosequilteros igualescon seis palillos con la condicin de que el lado de cada tringulo sea lalongituddelpalillo?

Experimenta, juegaconelproblema.Lohasconseguido!Entoncesnohastenidounbloqueo.

Bloqueo:Nadiehadichoquenopudierassalirdelplano.Ahestelbloqueo.Loconsiguesconuntetraedroregular.

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9 Resolucindeproblemas:2deESO4.JUEGOSYPROBLEMASTe gusta jugar? Para ser un buen jugador en juegos de estrategiapuedesutilizarlastcnicasquehasaprendidoconlaresolucindeproblemas.Fases:Loprimero,naturalmente,comprenderbien las reglasdel juego,queessimilaracomprenderelenunciado.Losegundo,jugar,hastaencontrarunaestrategiaganadora. Luego jugaryver si tuestrategiaes realmentebuena.Porltimo,generalizar,intentarmejorarlaestrategia.ActividadespropuestasUtilizatodoloquehasaprendido.27. Yahoraunjuego!Lastresenraya

Sejuegadedosendos.Copiaenelcuadernolatablasiguiente:

497 315 69 77

115 33 90 22

225 161 46 55

355 142 135 213

Unapersonaescogedosnmeros,unodelconjuntoA={2,3,5,7}yotrodelconjuntoB={11,45,71,23}.Losmultiplicamentalmente,yponesumarca(ounaficha,ounabolitadepapel)sobreelnmeroresultante.Laotrapersonahacelomismocuandoletoqueelturno.Ganaquienponetresmarcasenlnearecta.

Ahoraajugar!28. Otrotablerodejuego:

Realizaelmismojuegodelaactividadanteriorconesteotrotablero,yconlosgruposdenmeros:A={2,5,7,4}yB={3,11,9,1}.

63 7 21 6

22 4 15 5

45 2 55 44

12 36 18 77

Inventaconotrosnmerostupropiotablerodejuegos.

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10 Resolucindeproblemas:2deESO29. OtrojuegoEsun juegodecalculadoraypuedeserun juegocooperativo;un juegoenelqueseponenencomnlasdiferentesestrategiasysediscutesobreelmejorprocedimiento,elmssencillooelmsoriginal.Constade cuatro fichas como lasde la figura,donde se indican las teclasque estpermitidopulsar,yelresultado,enrojo,alquehayquellegar.

2 4

+ / =

34

5 6

x /

+ =

147

1 0

+ x =

123

3 7

+ x =

93

Eljuegoconsiste,enprimerlugar,enobtenerelresultadoenlacalculadora. Debesanotartodos losmtodosencontrados.Piensayanotaentucuadernoculesel

procedimientoqueteharesultadomseficaz. Escribe,utilizandoparntesis,lasexpresionesquehautilizadolacalculadora. Modificaeljuegoconfeccionandonuevasfichas,modificandostasconotrasteclasycon

otrosresultados.30. Hagamosmagia!Dileaunapersonaquepienseunnmerodetrescifras,queescribaesenmeroy,denuevo, lastrescifras,paraformarunnmerodeseiscifras.Pdelequelodividaentre7,luegoentre11yluegoentre13.Sequedarsorprendidaalcomprobarqueelresultadoeselnmeroqueescribi.Sabesporqu?31. Resuelveelcrucigrama:Cpialoentucuadernoyresulvelo.

x x = 24

x x x

x x = 35

x x x

x x = 30

= = =

6 50 84

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11 Resolucindeproblemas:2deESOCURIOSIDADES.REVISTA

ELLAS Y ELLOS INVESTIGAN PARA RESOLVER PROBLEMAS

LAREINADELASCIENCIASDELS.XIXMary Somerville dedic su vida al estudio de las ma-temticas y la fsica. Tradujo al ingls La Mecnica Celeste de Laplace, uno de los tratados cientficos ms importantes de su poca. Escribi numerosas obras y artculos, viaj por Europa y se relacion con los principales cientficos. La Reina Victoria le conce-di una pensin vitalicia en reconocimiento a su traba-jo. Fue una mujer feliz. Mirad lo que escribi: Tengo 92 aos..., mi memoria para los aconteci-mientos ordinarios es dbil pero no para las ma-temticas o las experiencias cientficas. Soy todav-a capaz de leer libros de lgebra superior durante cuatro o cinco horas por la maana, e incluso de resolver problemas"

El progreso que ahora disfrutamos ha sido posible gracias a la iniciativa y al trabajo de miles de hombres y mujeres. Superaron retos y resolvieron problemas para los que necesitaron muchos conocimientos

matemticos

CONSTRUYERON PUENTES QUE NOS COMUNICAN

DISEARON AVIONES QUE SOBREVUELAN OCANOS

BARCOSQUESURCANLOSMARES

LA ELECTRICIDAD QUE LLEGA A TODAS PARTES

LA INFORMTICA QUE NOS INVADE

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12 Resolucindeproblemas:2deESORESUMEN

Problema Esunasituacinenlaquehayunobjetivoqueconseguirsuperandounaseriedeobstculossiemprequeelsujetoqueafrontalasituacinnoconozcaprocedimientosoalgoritmosquelepermitanalcanzarelobjetivo.

Fases en la resolucindeunproblema

Fase1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema.Fase2:Buscaunabuenaestrategia.Fase3:Llevaadelantetuestrategia.Fase4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Comprueba laestrategia.

Algunasestrategias Estimaelresultado. Experimenta,juegaconelproblema. Hazlomsfcilparaempezar. Hazundiagrama,unesquema... Mirasituproblemasepareceaalgunoqueyaconozcas. Escogeunabuenanotacin.

Emociones y resolucindeproblemas

Emocinpositiva:Ideafeliz.Aja!Eureka!Emocinnegativa:Bloqueo

Juegosdeestrategia Paraserunbuenjugadorenjuegosdeestrategiapuedesutilizar lastcnicasquehasaprendidoconlaresolucindeproblemas.

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13 Resolucindeproblemas:2deESOEJERCICIOSYPROBLEMASde2deESO

1. Elhoteldeloslos:Unhoteltieneinfinitaspuertastodascerradas,unclientegraciososelevantaporlanocheylasabretodas.Unsegundoclientecierralaspares.Untercerclientemodificalasquesonmltiplodetres,siestabiertalacierraysiestcerradalaabre.Elcuartolomismodecuatroencuatroyassucesivamente.Cmoestnlaspuertasporlamaana?

Ayudaysolucin:Veanotandolaspuertasquesevanquedandoabiertashastacomprobarqueson:1,4,9,16...Cmosonesosnmeros?2. Elradiode laTierraesde6.240kmaproximadamente.Rodeamos la

tierra con un cable. Cunto deberamos aumentar la longitud delcable para que se separase por el ecuador una distancia de dosmetros?Menosde15m?Msde15mymenosde15km?Msde15km?

3. La invitacin: Juan invita a Marta y a Elena a merendar. Prepara una limonada y se dispone aservirla.Marta laquiereconpoco limnyElenaconmucho.Juanhapuestoelzumode limnyelaguaen jarras igualesycon lamismacantidad.Paracomplacerasus invitadastomaunvasode lajarracon limny loechaen ladelagua,yacontinuacin tomaunvasodelmismo tamaode lamezclayloechaenladellimn.Habrmslimnenlajarradelaguaoaguaenlajarradellimn?

Ayuda:Paraempezarhazlomsfcil.Piensaendosbolsas igualesunaconbolasnegrasy laotraconbolasrojas.4. "Loscachorros":Unmuchachotieneuncestodecachorrosyleregala

aunaamiga lamitadmsmediocachorro,de loque lequeda ledaaunamigo lamitadmsmedio,asuprima lamitadque lequedamsmedio,yasuprimo lamitadque lequedamsmedioy lequedauncachorro.Cuntoscachorrostenaelcesto?

Ayuda:Hazunesquema5. Queremosponerunburletealrededordelbordedetumesadetrabajo.Elmetrodeburletevalea

uneuro.Estimalasdimensionesdetumesa.Cuntocostaraponerlo?6. Unamigodiceaotro:

Elproductodelasedadesdemistreshijases36,ylasumaeselnmerodelacasaenlaquevives.Adivinasquedadestienen?

No,mefaltaundato. Tienestodalarazn,lamayortocaelpiano.

Quedadtienenlashijas?

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14 Resolucindeproblemas:2deESO7. Enunatramadecuatroporcuatro,cualeselmayornmerodeladosquepuedetenerunpolgono

convrticesenpuntosdelatrama?Generalizaaotrastramas.8. Construir figuras de cartulina que mediante un solo corte

podamosdividirencuatrotrozosiguales.9. Cmo repartir equitativamente 8 litros entre dos utilizando

nicamentetresjarrasde8,5y3litros.10. Estimacuntomidetuhabitacindelargo,dealtoydeancho.Si

quierespintarlayelbotedepintura cuesta5,2,ydiceen lasinstruccionesquepuedespintar conl,10m2, cunto costarpintarla?

11. MonedasOrdenadasMueveslotresmonedasparaconseguirqueeltringuloquededeestaforma:

F.J.Martnez

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15 Resolucindeproblemas:2deESOPARAELPROFESORADO

En laenseanzade lasmatemticasesconveniente,comoafirmabaFreudenthal,hacermatemticasenlaclasedematemticasyunaformadeconseguirlo,esorganizarclasesderesolucindeproblemasoproponerpequeasinvestigaciones.Al investigara losbuenosresolutoresdeproblemassehanobtenidodosconclusiones:Laprimeraesquelacapacidadpararesolverproblemasmejoraconlaprctica, lasegundaesqueelanlisisde losmtodosmatemticos,ascomoeldelasdistintasestrategiasqueintervienenenlaresolucindeproblemastambinmejoradichacapacidad.Hayestudiosqueconfirmanquelaenseanzaexpresadelasetapas,cadencias,tcnicasyestrategiasconsiguemejoresresultadosquelameraprcticaespontnea.Espreciso resolvermuchosproblemas.Esaayuda slopuede sereficaz si seejerce sobreproblemasconcretosynocomoprerequisitoterico.Trabajaren laresolucindeproblemases lomejorquesepuedeproporcionaraunapersona,yaqueayudaaequiparalapersonaparasuactividadintegral,nosolamenteenloqueserefiereasuscapacidadesmatemticas.Elmundoevolucionarpidamente,ytenemos laobligacindeprepararpersonasqueenelfuturovanaenfrentarseasituacionesdesconocidas.Losprocesosmentalesnosehacenobsoletos.Unproblemamatemticoesunasituacinenlaquehayunobjetivoqueconseguirsuperandounaseriedeobstculos,siemprequeelsujetoqueafronta lasituacinnoconozcaprocedimientosoalgoritmosquelepermitanalcanzarelobjetivo.Unproblematienedistintacalificacinenfuncindelapersonaqueseloplantee,yesevidentequeloquesonproblemasparaunosno losonparaotros.Ascuandounapersonasabe los rudimentosdellenguajealgebraico,unproblemaquepuedaresolverseplanteandounaecuacindeprimerosegundogradoounsistemadeecuacionesnoesunproblema,sinounejercicioalqueseleaplicaunareglafijaquees lanotacinalgebraicay losalgoritmospara resolver lasecuacionesque resultan.Tambinesdistintounproblemadeuna investigacin,quealserunprocesomsabierto,es lapersonaquienseplanteaelobjetivoquequiereconseguir.As,cuandounestudianteal resolverunproblema sehacepreguntas,intentandogeneralizarelresultadoomodificarlascondicionesiniciales,estrealizandounainvestigacin.Podemospuesdistinguirentreejercicio,problema,einvestigacin.Laheurstica,trminointroducidoporPolyaensulibroCmoplantearyresolverproblemas,esel"artederesolverproblemas"ytratadedesvelarelconjuntodeactitudes,procesosgenerales,estrategiasypautasquefavorecenlaresolucindeproblemasengeneralyenparticulardelosproblemasmatemticos.DecaPolya:Elprofesordematemticasnodeberacontentarsecondispensarelsaber,sinoquetambindeberaintentardesarrollarenlosestudianteslacapacidaddeutilizaresesaber;deberainsistirenelsaberhacer,enlasactitudesadecuadas,enloshbitosintelectualesdeseables.Polyaconsideralaresolucindeproblemascomounprocesolinealenelqueestablececuatrofases:

1.Comprenderelproblema,2.Concebirunplan,3.Ejecutarunplan,y4.Examinarlasolucinobtenida.

En cadaunadeestas faseshayuna seriedepautaso sugerenciasheursticasquepretenden fijar laatencinsobreaspectosconcretosdelproblema,parasugerirideasquepermitanavanzarensuresolucin.

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16 Resolucindeproblemas:2deESOEnEspaaen1991sepublicaParapensarmejordeMigueldeGuzmnenelquesedestacalaidentificacindelosdistintostiposdebloqueos,laimportanciadelaactividadsubconscienteenelprocesoderesolucindeproblemas,eldesarrollodelacreatividad,ylaimportanciaderealizarunprotocoloenelprocesoderesolucin.Aconsejabaensearmatemticasbasndose fundamentalmenteen laocupacinactivaconproblemasalrededorde loscontenidosquesepretende impartir.EnCmohablar,demostraryresolverenMatemticas(2003)reflexionasobrelaorganizacindeunaclasedeproblemasylastcnicasquelafacilitancomoeltorbellinodeideasoeltrabajoengrupo.Unaformaaconsejableparalasclasesderesolucindeproblemasesorganizarenellaeltrabajoengrupos.Existenmuchasformasdeorganizareltrabajoengrupo,porloqueantesdeproponercualquieractividadgrupaldebemosasegurarnosqueelalumnadoconocealgunastcnicasbsicas.Sinoesasgranpartedelarentabilidadesperadasepierdeanteunmalrepartoderesponsabilidades,unadeficienteorganizacin,unaincorrectaadministracindeltiempo,etc.Gruposnidemasiadograndes,nidemasiadopequeos,podranestar formadosporunasseisosietepersonas.Enungrupodebehaberunapersonaresponsableyunapersonasecretaria:

Lapersona responsable tienedos funciones,dinamizadoraparamantener el intersdelgrupoycuidarquenadiesequedesinparticiparyorganizadorapreocupndosedeplanificarlostiemposylastareasasignadasacadafasedeltrabajo.

Lapersonasecretariaseocupadeanotartodaslasideasquevayansurgiendoenelgrupoysistematizarlastareasquesevayandesarrollandoyesportavozencargndosedeexponerlasconclusionesdesuequipoatodalaclase.

Cadaunade lasfuncionesdescritasnodebenasociarsesiempreaunamismapersonasinoqueesrecomendableunsistemadealternancia.Papeldelprofesorado:Enunaclasederesolucindeproblemas,nuestralaboresdinamizaralosdistintosequipos,supliendo lasdeficienciasyayudandoen losprimerosmomentosa lasorganizadorasensusfunciones.Cuandounprofesorounaprofesoraplanteauntrabajoengrupopararesolverproblemasdebe:

Elegirproblemasconunenunciadoatractivoyqueresultemotivador. Graduardemaneraconvenienteladificultaddelproblema. Analizardetenidamentelosbloqueosquepuedansurgirenlaresolucindelproblemay

utilizarlosmtodosadecuadosparasuperarlos. Percibir lasdificultadesqueeltrabajoengrupoplanteacomotalycontarconrecursos

paraactuarfrentealosobstculosqueperturbansubuenfuncionamiento. Procurarestablecerunambienteadecuadodentrodelaulaquefavorezcaactitudesposi

tivashaciaelaprendizaje.Peroelaprendizajedelaresolucindeproblemasesunprocesoalargoplazo.Noesunobjetivooperativoevaluablemedianteunexamen.Parasabermsentraen:http://innovacioneducativa.upm.es/pensamientomatematico/node/91

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2.1 Problemas