223_pdfsam_Calculo de Varias Variables - Ron Larson y Bruce Edwards - Novena Edicion

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SECCIN 13.2 Lmites y continuidad 89

Lmite de una funcin de dos variables

Grficamente, esta definicin del lmite implica que para todo punto endisco de radio el valor est entre y como se muestra en la figura 13.20.

La definicin del lmite de una funcin en dos variables es similar a la definicin dlmite de una funcin en una sola variable, pero existe una diferencia importante. Para deteminar si una funcin en una sola variable tiene lmite, slo se necesita ver que se aproximelmite por ambas direcciones: por la derecha y por la izquierda. Si la funcin se aproxima mismo lmite por la derecha y por la izquierda, se puede concluir que el lmite existe. Sembargo, en el caso de una funcin de dos variables, la expresin

significa que el punto puede aproximarse al punto por cualquier direccin. el valor de

no es el mismo al aproximarse por cualquier direccin, o trayectoria o camino almite no existe.

EJEMPLO 1 Verificar un lmite a partir de la definicin

Mostrar que

Solucin Sea y Se necesita mostrar que para cada existe uentorno de tal que

siempre que se encuentre en el entorno. Primero se puede observar que

implica que

As que se puede elegir d= e y el lmite queda verificado.

< .

x a2 y b2

x a2fx,y a x a

0 0,L a.fx,y x

limx,ya,b

x a.

x0,y0,

limx,yx0,y0

fx,y

x0,y0x,y

x,y x0,y0

L ,L fx,y,x,y x0,y0NOTA

(x0,y0)x (x1,y1)

y

L +

L

L

Disco de radio

Para todo en el crculo de radio elvalor de se encuentra entre y

Figura 13.20

L .L fx,y

,x,y

DEFINICIN DEL LMITE DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Sea una funcin de dos variables definida en un disco abierto centrado enexcepto posiblemente en y seaL un nmero real. Entonces

si para cada existe un tal que

siempre que 0 < x x02 y y0

2< .fx,y L <

> 0 > 0

limx,yx

0,y

0 fx,y L

x0,y0,x0,y0,f

lm

lm

lm


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900 CAPTULO 13 Funciones de varias variables

Los lmites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respectola suma, diferencia, producto y cociente que los lmites de funciones de una sola variabl(Ver teorema 1.2 en la seccin 1.3.) Algunas de estas propiedades se utilizan en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2 Clculo de un lmite

Calcular

Solucin Usando las propiedades de los lmites de productos y de sumas, se obtiene

y

Como el lmite de un cociente es igual al cociente de los lmites (y el denominador no 0), se tiene

EJEMPLO 3 Verificar un lmite

Calcular

Solucin En este caso, los lmites del numerador y del denominador son ambos 0, ptanto no se puede determinar la existencia (o inexistencia) del lmite tomando los lmitdel numerador y del denominador por separado y dividiendo despus. Sin embargo, por grfica de (figura 13.21), parece razonable pensar que el lmite pueda ser 0. En conscuencia, se puede intentar aplicar la definicin de lmite a Primero, hay que obsevar que

y

Entonces, en un entorno de (0, 0), se tiene lo que, para (x,y)(0, 0) implica

Por tanto, se puede elegir y concluir que

limx,y0, 0

5x2y

x2 y2 0.

5

< 5.

5x2 y2 5y

5y x2

x2 y2

fx,y 0 5x2y

x2 y2

0 < x2 y2 < ,

x2

x2 y2 1.y x

2 y2

L 0.

limx,y0, 0

5x2y

x2 y2.

2.

limx,y1, 2

5x2y

x2 y2

10

5

5.

limx,y1, 2

x2 y2 12 22

10

limx,y1, 2

5x2y 5122

limx,y1, 2

5x2yx2 y2

.

Superficie:

f(x,y) =x2 +y2

5x2y

y32 4 5

5 4

7

6

5

x

5

z

Figura 13.21

lm

lm

lm

lm

lm

lm


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Con algunas funciones es fcil reconocer que el lmite no existe. Por ejemplo, esclaro que el lmite

no existe porque el valor de crece sin tope cuando se aproxima a a lo largde cualquiertrayectoria (ver la figura 13.22).

Con otras funciones no es tan fcil reconocer que un lmite no existe. As, el siguienejemplo describe un caso en el que el lmite no existe ya que la funcin se aproxima a vlores diferentes a lo largo de trayectorias diferentes.

EJEMPLO 4 Un lmite que no existe

Mostrar que el siguiente lmite no existe.

Solucin El dominio de la funcin

consta de todos los puntos en el planoxy con excepcin del punto (0, 0). Para mostrar qel lmite no existe cuando (x,y) se aproxima a (0, 0), considrense aproximaciones a (0,a lo largo de dos trayectorias diferentes, como se muestra en la figura 13.23. A lo lardel ejex, todo punto es de la forma (x, 0) y el lmite a lo largo de esta trayectoria es

Lmite a lo largo del ejex.

Sin embargo, si se aproxima a a lo largo de la recta se obtiene

Lmite a lo largo de la recta .

Esto significa que en cualquier disco abierto centrado en existen puntos en lque toma el valor 1 y otros puntos en los que asume el valor 0. Por ejempl

en los puntos y y en los punt(0.01, 0.01) y Por tanto, no tiene lmite cuand

x,y 0, 0.f0.001, 0.001.0.1, 0.1,1, 1,fx,y 00.001, 00.01, 0,0.1, 0,1, 0,fx,y 1

ff

x,y0, 0

y x 0.limx,x0, 0x

2

x2

x2 x22

limx,x0, 0 02x2

2

y x,0, 0x,y

1.limx, 00, 0

x2 02

x2 022

limx, 00, 0

12

fx,y x2 y2

x2 y22

limx,y0, 0

x2 y2

x2 y22

0, 0x,yfx,y

limx,y0, 0

1

x2 y2

y

x

3

3

4

z

no existe

Figura 13.22

limx, y0, 0

1

x2 y 2

En el ejemplo 4 se puedeconcluir que el lmite no existe ya quese encuentran dos trayectorias que danlmites diferentes. Sin embargo, si dostrayectorias hubieran dado el mismolmite, no se podra concluir que ellmite existe. Para llegar a tal con-clusin, se debe mostrar que el lmitees el mismo para todas las aproxima-ciones posibles.

NOTA

3

2

3

A lo largo del ejey =x: (x,x) (0, 0)El lmite es 0.

yx

El lmite es1.A lo largo del ejex: (x, 0) (0, 0)

no existe

Figura 13.23

limx, y 0, 0

x2 y 2

x2 y 22

lm

lm

lm lm

lm lm

lm

lm


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Continuidad de una funcin de dos variables

En el ejemplo 2 hay que observar que el lmite de cuandpuede calcularse por sustitucin directa. Es decir, el lmite es

En tales casos se dice que la funcin es continua en el punto

En el ejemplo 3 se mostr que la funcin

no es continua en (0, 0). Sin embargo, como el lmite en este punto existe, se puede eliminla discontinuidad definiendo el valor defen (0, 0) igual a su lmite. Tales discontinuidadse llaman removibles o evitables. En el ejemplo 4 se mostr que la funcin

tampoco es continua en (0, 0), pero esta discontinuidad es inevitable o no removible.

El teorema 13.1 establece la continuidad de las funcionespolinomiales yracionales etodo punto de su dominio. La continuidad de otros tipos de funciones puede extenderse dmanera natural de una a dos variables. Por ejemplo, las funciones cuyas grficas se muetran en las figuras 13.24 y 13.25 son continuas en todo punto del plano.

fx,y x2 y2

x2 y22

fx,y 5x2y

x2 y2

1, 2.ff1, 2 x,y 1, 2

fx,y 5x2yx2 y2

Esta definicin de con-tinuidad puede extenderse apuntosfrontera de la regin abierta con-siderando un tipo especial de lmite enel que slo se permite a tenderhacia a lo largo de trayectoriasque estn en la regin Esta nocin essimilar a la de lmites unilaterales,tratada en el captulo 1.

R.

x0,y0

x,y

R

NOTA

Superficie: f(x,y) = sen(x2 +y2)12

x y

z

La funcinf es continua en todo punto del planoFigura 13.24

y2

2

2x

f(x,y) = cos(y2)e x2 +y2

Superficie:

La funcinf es continua en todo punto en el planoFigura 13.25

DEFINICIN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Una funcin de dos variables es continua en un punto de una reginabierta si es igual al lmite de cuando Es decir,

La funcin es continua en la regin abierta si es continua en todo punto de R.Rf

limx,yx0 ,y0

fx,y fx0,y0.

x0,y0.x,yfx,yfx0,y0Rx

0,y

0f

TEOREMA 13.1 FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES

Si kes un nmero real yfyg son funciones continuas en entonces las fun-ciones siguientes son continuas en

1. Mltiplo escalar: 3. Producto:2. Suma y diferencia: 4. Cociente: si gx0,y0 0fg,f g

fgkf

x0,y0.x0,y0,

lm


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El siguiente teorema establece las condiciones bajo las cuales una funcin compueses continua.

En el teorema 13.2 hay que observar que h es una funcin de dos variables mientras qug es una funcin de una variable.

EJEMPLO 5 Anlisis de la continuidad

Analizar la continuidad de cada funcin.

a) b)

Solucin

a) Como una funcin racional es continua en todo punto de su dominio, se puede concluque es continua en todo punto del planoxy excepto en (0, 0), como se muestra en figura 13.26.

b) La funcin dada por es continua excepto en los puntos en lcuales el denominador es 0, Por tanto, se puede concluir que la funcin continua en todos los puntos excepto en los puntos en que se encuentra la parbo

En el interior de esta parbola se tiene y la superficie representada pla funcin se encuentra sobre el plano xy, como se muestra en la figura 13.27. En

exterior de la parbola, y la superficie se encuentra debajo del planoxy.y < x2

,

y > x2,y x2.

y x2 0.

gx,y 2y x2

f

gx,y

2

y x2fx,y

x 2y

x2 y2

NOTA

xy

f(x,y) =x2 +y2x2y

43

5

La funcin no es continua en (0, 0)Figura 13.26

f

g(x,y) =y x2

y= x2

2

y

x

5

5

4

4

3

2

z

La funcin gno es continua en la parbolayx2

Figura 13.27

TEOREMA 13.2 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN COMPUESTA

Si es continua en y es continua en entonces la funcin com-puesta es continua en Es decir,

limx,yx0,y0

ghx,y ghx0,y0.

x0,y0.g hx,y ghx,yhx0,y0,gx0,y0h

E X P L O R A C I N

Sostener una cuchara a un palmo dedistancia y mirar la propia imagenen la cuchara. La imagen estarinvertida. Ahora, mover la cucharams y ms cerca a uno de los ojos.

En algn punto, la imagen dejar deestar invertida. Podra ser que laimagen ha sido deformada conti-nuamente? Hablar sobre estacuestin y sobre el significado gen-eral de continuidad con otros miem-bros de la clase. (Esta exploracinla sugiri Irvin Roy Hentzel, IowaState University.)

lm


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13.3 Derivadas parciales

Hallar y utilizar las derivadas parciales de una funcin de dos variables.

Hallar y utilizar las derivadas parciales de una funcin de tres o ms variables.

Hallar derivadas parciales de orden superior de una funcin de dos o tres

variables.

Derivadas parciales de una funcin de dos variables

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta: Cmo afectaral valor de una funcin un cambio en una de sus variables independientes? Se puede cotestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separadPor ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un qumicpodra repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizadomientras mantiene constantes las otras variables como temperatura y presin. Para deteminar la velocidad o la razn de cambio de una funcin frespecto a una de sus variablindependientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llamderivacin parcial y el resultado se llama derivada parcial defcon respecto a la variabindependiente elegida.

Esta definicin indica que si entonces para hallar se considera y contante y se deriva con respecto a De manera similar, para calcular se consideraconstante y se deriva con respecto ay.

EJEMPLO 1 Hallar las derivadas parciales

Hallar las derivadas parciales y de la funcin

Solucin Si se consideray como constante y se deriva con respecto ax se obtieneEscribir la funcin original.

Derivada parcial con respecto ax.

Si se considerax constante y se deriva con respecto ay obtenemos

Escribir la funcin original.

Derivada parcial con respecto a .yfyx,y 2x2y 2x3.

fx,y 3x x2y2 2x3y

fxx,y 3 2xy2 6x2y.

fx,y 3x x2y2 2x3y

fx,y 3x x2y2 2x3y.

fy

fx

fy,x.

fx

z fx,y,

DEFINICIN DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Si las primeras derivadas parciales de con respecto a y son lasfunciones y definidas por

siempre y cuando el lmite exista.

fyx,y lim

y0

fx,y y fx,y

y

fxx,y lim

x0

fx x,y fx,y

x

fy

fx

yxfz fx,y,JEAN LE ROND DALEMBERT (1717-1783)

La introduccin de las derivadas parciales

ocurri aos despus del trabajo sobre el

clculo de Newton y Leibniz. Entre 1730 y

1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond

dAlembert publicaron por separado varios

artculos sobre dinmica en los cuales

establecieron gran parte de la teora de las

derivadas parciales. Estos artculos utiliza-ban funciones de dos o ms variables para

estudiar problemas de equilibrio, movimien-

to de fluidos y cuerdas vibrantes.

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lm

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