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estabilidad
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1
RESPUESTA EN RÉGIMEN PERMANENTE. ESTABILIDAD
2.3
Competencias:Conocer el concepto de precisión, como capacidad del sistema realimentado para seguir las órdenes de mando que le son impuestas, en estado estacionarioClasificar los sistemas por su tipoEstudiar el error estacionario de un sistema ante una entrada escalón, rampa y parabólica en función del tipo del sistema.Determinar la estabilidad de un sistema representado como función de transferencia y espacio de estado
2
El estudio de la respuesta en régimen permanente es determinar el comportamiento del sistema cuando ha transcurrido un tiempo suficientemente largo después de aplicar una señal de entrada. Tal estudio es de interés ya que facilita información sobre la capacidad del sistema para seguir las señales de mando que le son impuestas a su entrada.Llamaremos precisión a la exactitud de un sistema en el seguimiento de una señal de entrada y está representada por su error en régimen permanente.
Idealmente, el deseo del diseñador sería que el sistema no presentase ningún error en régimen permanente a cualquier señal de entrada; sin embargo, en la realidad, cada sistema muestra una cierta incapacidad para seguir determinado tipo de entradas.
3
¿Para qué realimentamos un sistema?
Mejorar la estabilidad - conseguir un sistema estable a partir de uno inestable - mejorar la estabilidad
Precisión en régimen permanente - seguimiento de una señal de referencia sin error en régimen permanente - eliminar el efecto de perturbación sobre la salida del sistema
Respuesta transitoria adecuada - transitorio suficientemente rápido - amortiguamiento adecuado
G(s)Y(s)W(s) E(s)
+-
D(s)V(s)
++
H(s)
4
Error en régimen permanente de un sistema realimentado
G(s)Y(s)W(s)
+-
D(s)V(s)
++
)(lim)(lim0
ssEteestss
Ante un cambio en la referencia o perturbación, ¿Que valor toma el error e(t) cuando se alcance estado estacionario?
(1/2)
H(s)
5
Error en régimen permanente de un sistema realimentado
errorw(t)
v(t)
(2/2)
6
ANÁLISIS DE ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO
Si la salida de un sistema de control en estado estacionario no coincide exactamente con la entrada se dice que el sistema tiene un error en estado estacionario
7
Los errores se pueden atribuir a muchos factores siendo los más importantes: A.-Variación en la entrada
de referencia B.-La imperfección de
componentes, fricción, envejecimiento, deterioro
8
Señal de error
H(s)
G(s)Y(s)W(s) E(s)
+-
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
E s W s H s Y sY s G s E s
1 ( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )1 ( ) ( )
G s H s E s W s
E s W sG s H s
(1/2)
9
Señal de errorEl error en estado estacionario:
)(lim)(lim0
ssEteestss
0
1lim ( )1 ( ) ( )ss s
e s W sG s H s
1 2
(1 )(1 )......( ) ( )(1 )(1 ).....
a bN
K T s T sG s H ss T s T s
Polo en el origen de multiplicidad NN = el tipo de sistema
Un sistema es denominado de tipo 0 si N=0.Un sistema es denominado de tipo 1 si N=1.Un sistema es denominado de tipo 2 si N=2Etc.
Clasificación distinta de la del orden de un sistema
(2/2)
10
Error ante una entrada de referencia escalón
t
y(t)1
GGH
Y(s)sAsW )(
A
w(t)
w(t)
ess
H(s)
G(s)Y(s)W(s) E(s)
+-
(1/2)
11
Error ante una entrada de referencia escalón
00
1lim1 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 1ss s
ps
A A Ae sG s H s s G s H s K
donde 0lim ( ) ( ) (0) (0)p s
K G s H s G H
Coeficiente de error estático de posición (constante de error escalón)
10 NKe pss Si se desea un error estacionario cero para una referencia escalón, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 1 (GH debe tener al menos un polo en s=0). En caso contrario habrá un error estacionario finito inversamente proporcional a Kp.
(2/2)
CONCLUSIÓN: Ante una entrada escalón, un sistema realimentado sin integradores en lazo abierto (tipo 0) produce un error en régimen permanente, que se puede reducir aumentando la ganancia del lazo. Un sistema de tipo 1 o superior sigue a una entrada escalón sin error.
12
Error ante una referencia rampa
G(s)Y(s)W(s) E(s)
+-
H (s)
1GGH
Y(s)2)(sAsW
w(t)=Atw(t)
ess
0t
y(t)
(1/2)
13
Error ante una referencia rampa
20 0
0
0 0
1lim lim1 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( )
lim lim( ) ( ) ( ) ( )
ss s s
s
s sv
A Ae sG s H s s s G s H s
A A As sG s H s sG s H s K
donde0
lim ( ) ( )v sK sG s H s
Coeficiente de error estático de velocidad
(constante de velocidad)
20 NKe vssSi se desea un error estacionario cero para una referencia rampa, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 2 (GH debe tener al menos dos polos en s=0)
0 :2 :1 0 :0
ssv
ssv
ssv
eKNcteecteKN
eKNUn sistema tipo cero es incapaz de seguir una entrada rampa en estado estacionario. El sistema tipo 1 puede seguir a la referencia rampa con un error finito.
(2/2)
Significado de «Posición» y « Velocidad »
Se denomina «posición » a la salida. Se denomina « velocidad» a la razón de cambio de
la salida. Esto significa que, en un sistema de control de
presión: «posición » representa la presión de salida
« velocidad» representa la razón de cambio de la presión de salida
14
15
Error ante una referencia parábola
G(s)Y(s)W(s) E(s)
+-
H (s)
1GGH
Y(s)3)(sAsW
w(t)
ess
0t
y(t)
2)(
2tAtw
(1/2)
16
Error ante una referencia parábola
3 20 0
0
2 2 20 0
1lim lim1 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( )
lim lim( ) ( ) ( ) ( )
ss s s
s
s sa
A Ae sG s H s s s G s H s
A A As s G s H s s G s H s K
donde 2
0lim ( ) ( )a s
K s G s H s
Coeficiente de error estático de aceleración (constante de aceleración)
30 NKe assSi se desea un error estacionario cero para una referencia parábola, el tipo de sistema debe ser mayor o igual al 3 (GH debe tener al menos tres polos en s=0)
0 :3 :2 0 :1 0 :0
ssa
ssa
ssa
ssa
eKNcteecteKN
eKNeKN
Los sistemas tipo 0 y 1 son incapaces de seguir una referencia parábola en estado estacionario. El sistema tipo 2 puede seguir a la referencia parábola con un error finito.
(2/2)
17
Errores en lazo cerrado: cambios en la referenciaResumen
0 0 0 3 cte 0 0 cte 2 cte 0 0 cte 1
cte 0 0 cte 0 2
naceleració rampa escalón sistema Entrada Entrada Entrada error de Constantes Tipo
2
Atr(t)Atr(t)Ar(t)KKKN avp
Para que estos resultados sean válidos, el sistema en lazo cerrado debe ser estable.Ya que el análisis de error se basa en el empleo del teorema del valor final de la transformada de Laplace, es importante primero revisar si sE(s) tiene algún polo sobre el eje j o en el semiplano derecho del plano s.
18
19
Lazo cerrado
( ) ( )( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
G s D sY s W s V sG s H s G s H s
Las características básicas de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado son determinadas por los polos de lazo cerrado. Por tanto, en problemas de análisis es importante ubicar los polos de lazo cerrado en el plano s.
Polos en lazo cerrado Raíces de la ecuación característica
Su localización determina la estabilidad del sistema de control en lazo cerrado.
H(s)
G(s)Y(s)W(s) E(s)
+-
D(s)V(s)
++
20
Estabilidad (BIBO)
Im(s)
Re(s)Plano s
ESTABLE INESTABLE
Polos en el semiplano izquierdo: sistema estable Si por lo menos uno de los polos no está en el semiplano izquierdo: sistema
inestable Polos simples sobre el eje j y ninguna en el semiplano derecho: sistema en
el límite de estabilidad (marginalmente estable) Si por lo menos un polo múltiple está en el eje imaginario: sistema inestable
Un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotadaUn sistema es inestable si cualquier entrada acotada produce una salida no acotada
21
EstabilidadEjemplos
2
2
20( ) estable( 1)( 2)( 3)
20( 1)( ) inestable por el polo 1( 1)( 2 2)
20( 1)( ) límite de estabilidad debido a 2( 2)( 4)
10( )( 10
G ss s s
sG s ss s s
sG s s js s
G ss
2 2 inestable por los polos de orden múltiple 2
)( 4)s j
s
(1/3)
22
EstabilidadEjemplos
Los polos del sistema en lazo cerrado
Sistema estable
(2/3)
Respuesta ante un escalon unitario
23
3 2
3 2
( ) 3 3( ) ( 1)( 2) 3 3 2 3
3 2 3 0( . ) polos
-2.6717 -0.1642 + 1.0469i -0.1642 - 1.0469i
C sR s s s s s s s
s s s Ec caracteristicaLos
24
Programa en MATLAB
N=[0 0 0 3]; D=[1 3 2 3]; T=0:0.1:6; step(N,D,T);grid
25
26
27
EstabilidadEjemplos
Los polos del sistema en lazo cerrado
Sistema inestable
(3/3)
Respuesta ante un escalon unitario
28
29
3030
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Dice si hay o no raíces positivas en una ecuación polinómica sin necesidad de resolverla
• Aplicado a un sistema de control, se puede obtener directamente información acerca de la estabilidad a partir de los coeficientes de la ecuación característica, sin necesidad de determinar los polos del sistema en lazo cerrado
(1/6)
3131
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Procedimiento:
1. Escribir el polinomio en s en la siguiente forma:
0reales
0...
0
011
1
aa
asasasa
i
nn
nn
2. Si cualquiera de los coeficientes es cero o negativo en la presencia de por lo menos un coeficiente positivo, hay una raíz o raíces que son imaginarias o que tienen partes reales positivas. En tal caso el sistema no es estable.
(2/6)
3232
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Condiciones necesarias pero no suficientes para que el sistema sea estable:
• Todos los coeficientes ai tengan el mismo signo.
• Ningún ai=0
3. Si todos los coeficientes son positivos, se agrupan en filas y columnas según la tabla:
(3/6)
3333
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
...000
...000
...11
...11
...
...
010
11
4331
51
11
31512
21
31
11
21311
3
4351
4
11
5412
31
2
11
3211
2
75311
642
agsfs
ccbb
aabb
baabcbb
aabb
baabcs
bbaaaa
aaaaaab
aaaa
aaaaaabs
aaaasaaaas
nnnnnnnnn
nn
nn
nn
nnnn
nn
nn
nn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
El conjunto completo de los coeficientes es triangular.
La cantidad de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna de la tabla.
(4/6)
3434
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación queden en el semiplano izquierdo:
• Todos los coeficientes ai de la ecuación sean positivos
• Todos los términos en la primera columna de la tabla tengan signo positivo. El polinomio tiene tantas raíces con parte real positiva como cambios de signo que se producen en la primera columna de la tabla.
(5/6)
35
CASOS ESPECIAL(1)Si un termino de la primera columna en cualquier fila es cero pero los
términos restantes no son ceros este termino se sustituye por un número
positivo pequeño para encontrar los elementos de la siguiente fila.
3 2
3
2
1
0
2 2 0
1 12 2
# positivo pequeño0
2
s s s
ssss
36
CASOS ESPECIAL(2)Si todos los coeficientes calculados en una fila son cero, esto
indica que en plano complejo “S” hay dos raíces de igual valor con signo opuesto (pueden ser reales o imaginarios)
5 4 3 2
5
4
3
2
1
0
2 24 48 25 50 0
1 24 252 48 50
0 8 0 9624 50
112.60 050
s s s s s
ssssss
INESTABLE
37
CASOS ESPECIALES(2)
Se forma un polinomio auxiliar P(S) con lo coeficientes del ultimo renglón antes de la fila de ceros.
Los coeficientes de “dP/ds” se reemplazan en la fila de ceros.
sssPluego
ssP S
968:
50482
3
24
3838
EJERCICIO 1.-Determinar los parámetros de un sistema para obtener estabilidad
Ejemplo:
Función de transferencia en lazo cerrado
Ks
KsKs
sKsss
KsT
0
2
3
23
181386
187717718
)(
0<K<1386: sistema estable: 3 polos en el semiplano izquierdo
K>1386: sistema inestable: dos cambios de signo en la primera columna: dos polos en el semiplano derecho
(6/6)
K=1386 Limite de estabilidad(marginalmenteEstable)
39
ESTABILIDAD APLICADA A MODELOS EN ESPACIO DE ESTADO Sea:
El sistema es asintóticamente estable si todos los términos de la matriz de transición de estado, tiende a cero cuando el tiempo “t” tiende al infinito. Por consiguiente un sistema presenta estabilidad asintótica
X Ax B
Y Cx D
40
1
11
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) At
X Ax
X Ax
SX s X o AX s
X s SI A X o
X s SI A X o
X s S X o
x t SI A X o
x t t x o
t e
L L
L
41
2
1
2 3
21 1
2 3
2
( ) ......
[ ( )] [ ......]
( ) ...............2!
( ) ( de transicion de estado)At
I A As SI As s s
I A Ass s sAtt I At
t e Matriz
L L
La determinante de [SI-A] se denomina ecuación característica, por consiguiente la estabilidad asintótica se satisface si todas las raíces o valores propios de la det [SI-A] se localizan en el semiplano izquierdo.
42
EJERCICIO 2.-
Se tiene la siguiente ecuación de estado, determinar el intervalo de k para que el sistema sea estable
1
2
3
1
2
3
0 1 0 00 0 1 06 8 6 1
6 0 0
XX X r
k X
XY k X
X
43
HALLAMOS
0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1 0 10 0 6 8 6 6 8 6
SI A
S SS S
S k k S
44
1
3 2
3
2
1
0
det
El denominador es la ecuacion caracteristicadet 0
6 8 6 0
1 86 6
48 66
648 6 0 48 6
6
adj SI ASI A
SI A
SI A
S S S k
SS k
kS
S kk k
0 < k < 8 Para que el sistema sea estable k debe mantenerse en ese intervalo
45
EJERCICIO 3
La función de transferencia en lazo abierto de un servosistema con realimentación unidades:
a) Calcular los coeficientes estáticos de error ( Kp, Kv, Ka ) del sistemab) Obtener el error estacionario del sistema cuando se somete a una entrada polinómica de la forma:r(t) = a0 + a1 t + a 2t2 / 2
46
0 0
0 0
2 2
0 0
)100lim ( ) ( ) lim
( 10)100lim ( ) ( ) lim 10
( 10)100lim ( ) ( ) lim 0
( 10)
p s s
v s s
a s s
a
K G s H sS S
K SG s H s SS S
K S G s H s SS S
b) El error en estado estacionario es infinito. Un sistema tipo 1 no puede seguir una entrada parabólica
47
EJERCICIO 4
Considérese el sistema de la Figura siguiente Si la señal de entrada es de la forma r(t) = 2 - t , calcular el error estacionario
48
2
2
0 0
2
2 20
señal error con entrada R(s) y H(s)=11( ) R( )
1 ( ) ( )2 1R(s)
2 1
lim ( ) lim 251( 6)
( 6)(2 1) 6lim( 6 25) 25
ss s s
ss s
La
E s sG s H s
S S
S Se SE s S
S S
S S SeS S S