Definicicion de martriz notacion y orderUnamatrizes una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamadoselementos) ordenados enfilasycolumnas, donde una fila es cada una de las lneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las lneas verticales. A una matriz conmfilas yncolumnas se le denomina matrizm-por-n(escritomn). Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el nmero de filas primero y el nmero de columnas despus.

Comnmente se dice que una matrizm-por-ntiene unordende m n ("orden" tiene el significado de tamao). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

Dada la matriz:

que es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] es el 7

La matriz:R=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]es una matriz 19, o un vector fila con 9 elementos.Operaciones con matricesSUMA:

Propiedades-AsociativaDadas las matrices mn A, B y C(A + B) + C = A + (B + C)

-ConmutativaDadas las matrices mn A y BA + B = B + A

-Existencia de matriz cero o matriz nulaA + 0 = 0 + A = A

PRODUCTO POR UN ESCALAR:Dada una matrizAy unescalarc, suproductocAse calcula multiplicando el escalar por cada elemento deA

PropiedadesSean A y B matrices y c y d escalares.

-Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

-Asociatividad: (cd)A = c(dA)

-Elemento Neutro: 1A = A

-Distributividad:

-De escalar: c(A+B) = cA+cB

-De matriz: (c+d)A = cA+dA

PRODUCTO DE DOS MATRICES:Elproductode dos matrices se puede definir slo si el nmero de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el nmero de filas de la matriz derecha. SiAes una matrizmnyBes una matriznp, entonces suproducto matricialABes la matrizmp(mfilas,pcolumnas).

Por ejemplo:

PropiedadesSi los elementos de la matriz pertenecen a uncuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:-Propiedad asociativa: (AB)C=A(BC).

-Propiedad distributiva por la derecha: (A+B)C=AC+BC.

-Propiedad distributiva por la izquierda:C(A+B) =CA+CB.

-En general, el producto de matrices tiene divisores de cero:Si A.B = 0,No necesariamenteABson matrices nulas-El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificacin:Si A.B = A.C,No necesariamenteB=C.-El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir,AB BA. La divisin entre matrices, es decir, la operacin que podra producir el cocienteA / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto dematriz inversa, slo aplicable a lasmatrices invertibles.

SiAes una matrizm x ryBes una matrizr x n, entonces el productoABes la matrizm x ncuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en elrengln"i" y en la columna "j" deAB, considerar solo elrengln"i" de la matrizAy la columna "j" de la matrizB. Multiplicar entre si los elementos correspondientes delrenglny de la columna mencionados y luego sumar los productos restantes.

Ejemplo:

ComoAes una matriz 2 x 3 yBes una matriz 3 x 4, el producto AB es una matriz 2 x 4. Para determinar, por ejemplo, el elemento en elrengln2 y en la columna 3 deAB, solo se consideran elrengln2 deAy la columna 3 deB. Luego, como se ilustra acontinuacin, los elementos correspondientes (en tipo negro) se multiplican entre si y se suman los productos obtenidos.

(2*4) + (6*3) + (0*5) = 26

yasobtenemos el siguiente resultado:

(1*4) + (2*0) + (4*2) = 12(1*1) + (2*1) + (4*7) = 27(1*4) + (2*3) + (4*5) = 30(1*3) + (2*1) + (4*2) = 13 (2*4) + (6*0) + (0*2) = 8(2*1) + (6*1) + (0*7) = -4(2*3) + (6*1) + (0*2) = 12

Clasificacin de matricesMatriz filaUna matriz fila est constituida por una sola fila.

Matriz columnaLa matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangularLa matriz rectangular tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su dimensin mxn.

Matriz cuadradaLa matriz cuadrada tiene el mismo nmero de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nulaEn una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferiorEn una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonalEn una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidadUna matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Matriz simtricaUna matriz simtrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimtrica o hemisimtricaUna matriz antisimtrica o hemisimtrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLN1. Intercambio de dos renglones2. Multiplicacin de todos los elementos de un rengln por una constante distinta de cero3. Multiplicacin de un rengln por una constante no nula y el producto sumarlo al correspondiente elemento de cualquier otro rengln.

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta enotra matriz mas facil de estudiar. En concreto, siempre sera posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que denimos a continuacion. Sea A una matriz y F una la de A. Diremos que F es nula si todos los numeros de F coincidencon el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verica las siguientes propiedades: 1. Todas las las nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.2. El pivote de cada la no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la la de encima.Por ejemplo, entre las matrices:

A = 1 0 0 B= 1 4 3 C= 1 0 -3 0 1 0 0 1 8 0 1 4 0 1 7 0 0 0

A no es escalonada, mientras que B y C s lo son.Dada una matriz escalonada E se dene el RANGO de E, que representamos por rg(E), como el nnumero de las no nulas de E.En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg(B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no esta escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg(In) = n.La siguiente cuestion que abordaremos es la denicion de rango para una matriz cualquiera que no este escalonada. La idea ser la la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada medianteSi A es cualquier matriz, entonces una SUB MATRIZ de A es cualquier matriz S obtenida al eliminarde A algunas de sus las y columnas. Por ejemplo, la matriz Ai j obtenida al suprimir la i-esima la y la j-esima columna es una submatriz de A. Notese que aunque A no sea cuadrada contiene gran cantidadde submatrices que s lo son y a las que tiene por tanto sentido calcularles su determinante.

Teorema 1.2. El rango de una matriz cualquiera A coincide con el orden mas grande que tengan las submatrices cuadradas de A con determinante no nulo.Concretamente, el resultado anterior nos dice que rg(A) = k si y solo si: (i) Existe S submatriz cuadrada de A de orden k con jSj 6= 0,(ii) Si Ses cualquier submatriz cuadrada de A de orden mayor que k, entonces jSj = 0. Aplicaremos el resultado anterior de la siguiente manera. Sea A una matriz de orden nm. Por una propiedad conocida del rango sabemos que rg(A) minfn;mg, lo que nos proporciona una estimacionn de lo grande que puede ser el rango de A. Supongamos que n = minfn;mg. Para ver si el rango de A es n buscamos submatrices cuadradas de A de orden n y que tengan determinante no nulo. Si encontramos alguna entonces rg(A) = n. De lo contrario rg(A) n1. Para ver si el rango de A es n1 buscamos submatrices cuadradas de A de orden n1 y que tengan determinante no nulo. Si encontramos alguna entonces rg(A) = n1. De lo contrario rg(A) n2. As seguiramos hasta calcular el rango de A. Esta forma de calcular el rango sera especialmente util para matrices con parametros.