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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada

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Unidad II

CCOORRRRIIEENNTTEE AALLTTEERRNNAA 1. INTRODUCCIN

Las instalaciones elctricas normalmente utilizan corriente alterna como fuente de energa para alimentar a las diferentes cargas conectadas a ellas. En el presente captulo se analizarn los parmetros elctricos ms importantes que permiten evaluar su comportamiento, como valor eficaz, valor medio, verdadero valor eficaz, representacin en el dominio del tiempo, representacin fasorial, caractersticas de las cargas resistivas, inductivas y capacitivas, circuitos en serie, paralelo, mixto y potencia alterna.

2. REGMENES DE CORRIENTE ALTERNA

2.1 RGIMEN ESTABLE O PERMANENTE

Flujo de cargas constantes a largo del tiempo, la corriente elctrica que recorre el conductor es constante en magnitud y direccin.

Este fenmeno se expresa mediante una funcin lineal de la forma:

nmxy += , en el que la pendiente es cero )0m( = y la funcin se reduce a ny = . Se trata de una funcin constante en la que a todos los valores de la variable independiente x (en nuestro caso x= tiempo t) le corresponde el mismo valor de la variable dependiente y.

La magnitud de la corriente elctrica en rgimen permanente es

amperios,nI =

La expresin grfica que determina esa funcin matemtica de la intensidad constante a lo largo del tiempo queda determinada por la representacin de las coordenadas cartesianas de todos sus puntos tal como se indica en la figura 2.1

Matemtica Aplicada TECSUP - PFR

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Figura 2.1 Corriente continua, rgimen estable

2.2 RGIMEN PERIDICO

Flujo de cargas variables peridicamente en el cual la corriente elctrica que recorre el conductor toma una serie de valores distintos que se repiten peridicamente. Para determinar el fenmeno el fenmeno fsico de una corriente elctrica peridica se hace una abstraccin que corresponde a una funcin no lineal. Llamamos onda a la expresin grfica de una variacin peridica representada en amplitud y tiempo. La amplitud es el valor mximo que toma la onda.

Figura 2.2 Diversas ondas de rgimen peridico


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El rgimen peridico a su vez puede ser pulsatorio, alterno o alterno puro. a) Pulsatorio

Aquel cuya direccin del flujo de cargas elctricas es siempre la misma en todo el circuito, pero su magnitud vara peridicamente. No presentan alternancia negativa.

Figura 2.3 Formas de ondas peridica pulsatorio

b) Alterno

Aquel cuya direccin del flujo de cargas es contraria en diversas partes de un mismo circuito. Este rgimen se llama alterno puro cuando los dos semiperiodos o alternancias tienen la misma rea y por lo tanto el valor medio de la corriente es nulo. La corriente alterna senoidal pertenece al de corrientes de rgimen alterno puro, cuya expresin matemtica es la funcin seno. En general, no hay ambigedad ni en el concepto ni el tipo de rgimen, si omitimos la palabra senoidal al decir: corriente alterna es aquella cuya expresin matemtica es la funcin seno. En el caso que se trate de una corriente alterna no senoidal, se indica expresamente: alterna no senoidal.


20

Figura 2.4 Corrientes peridicas alternas

2.3 RGIMEN TRANSITORIO

Flujo de cargas variables sin seguir una ley peridica en el que la corriente tiende a extinguirse por cesar la causa que lo produzca. Este rgimen se presenta como intermedio entre los dos anteriores, se define tambin como el periodo de tiempo que tarda una seal en alcanzar el rgimen permanente. La expresin matemtica que nos permite el anlisis numrico se consigue mediante operaciones de clculo superior.

Figura 2.5 Intensidad de rgimen transitorio y permanente 3. PRODUCCIN DE UNA CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

Consideremos el alternador elemental representado en la figura 2.6, constituido por una bobina abcd que gira a la velocidad angular sobre un eje XX a la que acoplamos en sus extremos dos anillos AA.


21

Si el campo es perpendicular al eje XX, el flujo que atraviesa la bobina en funcin del ngulo que forma su normal con la direccin del flujo vale:

= cos.S.

Obsrvese que el flujo es una funcin cosenoidal y si en vez de una espira fueran N espiras que giran con una velocidad angular uniforme y sin prdidas, la expresin del flujo total instantneo en todas las espiras es:

tcos.S..N =

Si derivamos y aplicamos la ley de Faraday en la que la f.e.m. es la derivada del flujo con respecto al tiempo tenemos:

tsen..S..Ndtd

e =

=

Que es la f.e.m. senoidal, cuyo valor mximo le corresponde para 1tsen = , es

decir, instante 4/Tt = , al que le corresponden 90 o /2 radianes.

Por lo tanto de la ecuacin anterior se deducen las frmulas de los valores instantneos y mximos de la f.e.m. inducida cuyas expresiones son:

F.e.m. instantnea: tsen.Ue mx = F.e.m. mxima: mxmx ..NU =

Figura 2.6 Alternador de f.e.m. senoidal


22

4. REPRESENTACIN GRFICA DE UNA ONDA SENOIDAL

La onda senoidal es aquella expresin grfica que representa a la funcin seno, senxy = .

En matemticas decimos que un senoide se engendra por la proyeccin sobre cualquier eje fijo de un vector giratorio,OA , tal y como se indica en la figura 2.7, en la que el punto A recorre la circunferencia con un movimiento circular uniforme de velocidad angular .

Como la velocidad angular es el ngulo descrito en la unidad de tiempo, se tiene:

t= (rad); (1radin=57,2958)

A la velocidad angular , se le llama tambin velocidad elctrica o pulsacin y tiene por expresin:

f2= (rad/s)

A los ngulos de la funcin senoidal les llamamos ngulos elctricos para distinguirlos de los reales o geomtricos descritos por la espira o por el rotor de una mquina elctrica.

Figura 2.7 Generacin y representacin de una onda senoidal 5. CICLO, FRECUENCIA Y PERIODO DE UNA ONDA SENOIDAL

a) Ciclo

Es una oscilacin completa de una seal alterna peridica, que puede ser por ejemplo una tensin o una corriente alterna senoidal, como indica la figura 2.8.

Amax

ft2senAtsenAa mxmx ==

2 0

23 2


23

Figura 2.8 Ciclo de una onda alterna senoidal

b) Periodo Es el tiempo que dura el ciclo. Su unidad es el segundo (s).

c) Frecuencia

Indica el nmero de ciclos transcurridos en un segundo. Su unidad es el hertz (Hz).

Hz

sciclo

f

periodo

ciclo Unf

==

=

Figura 2.9 Seal de tensin de 60 Hz

f = 3 ciclos / 1/20 s = 60 ciclos / s = 60 Hz 6. VALOR MXIMO Y PICO-PICO

a) Valor mximo (Up)

Es el valor pico o de cresta de una onda alterna senoidal (figura 2.9)

Tf

1=

t

F

1 ciclo

1 ciclo

T 2T


24

b) Valor pico-pico (Upp)

Se define como dos veces el valor pico o mximo (figura 2.9)

7. VALOR MEDIO

El valor medio de una onda alterna senoidal pura es cero, dado que la semionda positiva es igual y de signo contrario a la semionda negativa. De ah que el valor medio se refiera a una semionda tal como se indica en la figura 2.10. El valor medio de una senoide simtrica se define como la media algebraica de los valores instantneos durante un semiperiodo. Tambin podemos decir que el valor medio es una ordenada tal que el rea del rectngulo a que da lugar es igual al rea del semiperiodo. Se representa aadiendo el subndice med a la letra mayscula de la magnitud de que se trate, Umed, Imed, Pmed, etc. Tiene por expresin matemtica:

Demostracin

El rea del semiperiodo tiene por expresin: =

2/T

0mx tdtsen.UA

El valor medio resulta de dividir el rea por la base: 2/TAUmed =

De donde:

[ ]

mxmxmxmx

mx2/T0

mx2/T

0mxmed

U.2

2U.4

T2

.T

U.4.TU.2.2

))1()1((U

.T2

)tcos(U

.T2

tdtsenUT2

U

=

=

=

=

+

=

==

Por lo que el valor medio en funcin del valor mximo para una f.e.m. o una intensidad vale:

Upp = 2 Up = 2Umx

mxmed U2

U

=


25

mxmed

mxmed

I.2

I

U.2

U

=

=

Figura 2.10 Representacin de los valores medio y mximo 8. VALOR EFICAZ

Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendra una corriente continua que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia. En la literatura inglesa se conoce como r.m.s. (valor medio cuadrtico). En general, el valor eficaz de una magnitud variable en funcin del tiempo se define como la raz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantneos alcanzados durante un periodo o ciclo completo. Su expresin matemtica es:

=T

0

2ef dteT

1U


26

Para una seal senoidal, el valor eficaz de la tensin y de la corriente son:

2

UU mxef =

2

II mxef =

A la tensin eficaz se le conoce, tambin, como Urms.

Uef = Umx / 2 = 0,707 Umx = 0,707 Umx

Ejemplo: Si la tensin pico de un circuito es de 100 V; el valor eficaz o rms es: Uef = Urms = 0,707 x 100 = 70,7 V Esto significa que un resistor conectado a una fuente de seal alterna de 100 V producir el mismo calor que si se colocara en una fuente de 70,7 V de seal continua.

Forma de Onda Valor Eficaz

t

U

T 2T

+A

-A

2A

Urms =

t

U

T 2T

+A

-A

AUrms =

3A

Urms =

Tabla 2.1 Valores eficaces ms utilizados

Demostracin

De la igualdad: =T

0

2ef dteT

1U


27

===2

0

22mx

2T

0

2mx

T

0

2mx

T

0

2 d.sen.Udt.tsen.Udt)tsen.U(dte

Como: )2cos1(21

sen2 = , tenemos:

===

=

.U)02(2

U)2sen.

21

.(2

U)02(

2U

d.2cos2

Ud

2U

d)2cos1(21

.U

2mx

2mx2

0

2mx

2mx

2

0

2

0

2mx

2mx

2

0

2mx

Sustituyendo en la igualdad anterior:

2

UU

2U

.U.21

U

mxef

2mx2

mxef

=

=

=

9. FACTOR DE CRESTA Y DE FORMA

a) Factor de cresta Es el cociente entre el valor mximo de una onda senoidal y su correspondiente valor eficaz.

Este dato es necesario cuando se trata de juzgar sobre la rigidez dielctrica o sobre los tiempos de los interruptores y cortocircuitos fusibles frente a los fenmenos de cortocircuito. En todos estos casos hay que trabajar con el valor mximo en vez de con el valor eficaz.

b) Factor de forma

Es el cociente entre el valor eficaz de una onda sinusoidal y su valor medio durante un semiperiodo. Este factor nos da idea de la forma de onda.

2UU

.c.Fef

mx ==

11,1UU

.f.Fmed

ef ==


28

Los factores de amplitud y de forma, de ondas distintas a la senoidal, se calculan siguiendo el mismo proceso, hasta que se obtienen los valores de la tabla 2.2

Tabla 3.2 Factor de cresta y de forma de distintos tipos de ondas

10. VERDADERO VALOR EFICAZ

Cuando un tcnico se enfrenta a la reparacin de una avera, la primera reaccin suele ser comprobar la tensin y corriente de alimentacin. Lo ms probable es que la mayora de multmetros no indiquen problema alguno. Pero, puede confiar en las medidas de su multmetro?

Cada vez se utilizan ms ordenadores, variadores de velocidad y en general otros tipos de equipamiento que consumen corriente en forma de impulsos cortos (cargas no lineales), en lugar de hacerlo a un nivel constante. Este tipo de equipo, que se caracteriza por llevar electrnica en sus etapas de entrada, hace que las lecturas de la mayora de multmetros (de respuesta promedio) sean inexactas. Las cargas lineales, que constan de resistores, bobinas y condensadores, consumen siempre una corriente de forma sinusoidal, de manera que no suponen ningn problema. Pero la medida de formas de onda distorsionadas provocadas por equipamiento como el mencionado ms arriba es un caso diferente. Las medidas sobre este tipo de forma de onda distorsionada con un multmetro de respuesta promedio, proporciona lecturas que pueden llegar a suponer un error de hasta el 50%.

La gran mayora de instrumentos de medida son de "respuesta promedio" al medir el valor promedio de la seal rectificada y la multiplican por un factor constante para proporcionar un valor de verdadero valor eficaz calculado. Esto slo es cierto para ondas sinusoidales, pero no para formas de onda distorsionadas. Los multmetros de verdadero valor eficaz proporcionan lecturas correctas para cualquier forma de onda dentro de las especificaciones del instrumento. Por tanto, siempre que se trate de cargas no lineales utilice un multmetro de verdadero valor eficaz. En el siguiente cuadro se muestran tres seales de corriente, con diferente grado de distorsin y sus verdaderos valores eficaces:

Forma de onda

Senoidal Rectangular Semicircular Triangular Semielptica

Factor de cresta

2 1,00 1,22 3 1,22

Factor de forma

1,11 1,00 1,04 1,35 1,04


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Seal 1 Seal 2 Seal 3

Verdadero valor eficaz (A) 22,0 21,3 16,8

Valor medio (A) 22,0 19,5 12,4

Factor de forma (F.f. = Irms/Imed) 1,11 1,21 1,50

Factor de cresta (F.c. = Imx/Irms) 1,41 1,46 1,86

Error (%) 0 9 26

Tabla 3.3 Seales con diferentes grados de distorsin y sus verdaderos valores eficaces

11. VALOR INSTANTNEO

El valor instantneo de una onda senoidal es el que toma la ordenada en un instante determinado. Puntos 1; 2; 3; 4; ..; de la figura 2.11. Se escribe con la letra minscula del smbolo de la magnitud elctrica que represente la senoide, por ejemplo, u, i, p, etc. Para calcular el valor instantneo de una onda, por ejemplo, de fem, basta con sustituir en su expresin matemtica el valor de t o de y operar.

Ejemplo Dada la onda de tensin: == sen.Utsen.Uu mxmx Calcule los valores instantneos para 0, 30, 45, 90 y 270

V00sen.Uu mx1 == VU.5,030sen.Uu mxmx2 == VU.707,045sen.Uu mxmx3 == VU90sen.Uu mxmx4 == VU270sen.Uu mxmx5 ==

I (A)

+ 40

- 40

t(s)

I (A)

t(s)

I (A)

+ 40

- 40

t(s)

+ 40

- 40

Seal 1 Seal 2 Seal 3


30

Figura 2.11 Valor instantneo de una onda senoidal

Ejercicio Una onda de intensidad alterna senoidal tiene por expresin algebraica:

At100sen.12i = . Calcule: a) La frecuencia b) El periodo c) El valor de la intensidad en el instante t=5 ms, operar en grados y radianes. d) El valor de la intensidad para =150 e) El valor medio f) El valor eficaz

Solucin a) De la ecuacin se observa que la velocidad angular es: s/rad 100=

Luego, la frecuencia se calcula a travs de: Hz 502

1002

f =

=

=

b) El periodo se determina por: ms 20s 02,0

501

f1

T ====


31

c) Para t=5 ms= s1053 , operando en radianes, se tiene que:

[ ] [ ] A 12rad5,0sen.12)s(105)s/rad(100sen.12i 3 === (Valor mximo) Operando en grados se tiene:

rad5,0360 rad2

=

= 902

360.5,0

Luego el valor instantneo es: A 1290sen.12sen.12i === (Valor mximo)

d) El valor medio se determina por: A 639,712.

2I.

2I mxmed =

=

=

e) El valor eficaz se calcula por: A 485,8

212

2I

I mxef ===

12. EXPRESIN GENERAL DE UNA ONDA SENOIDAL

Para la onda senoidal de la figura 2.12, su ecuacin general es:

)t(sen.Uu mx +=

Figura 2.12 Expresin general de una onda senoidal

mxU

T

)t(sen.Uu mx +=

f2=

=2

T

T1

f =


32

Donde: u: Valor instantneo del senoide Umx: Valor mximo, valor pico o amplitud : Velocidad angular (rad/s)

T: Periodo (s) : ngulo de fase

Si se tienen dos ondas senoidales:

)t(sen.Uu 11mx1 += y )t(sen.Uu 22mx2 += , el grfico se presenta en la figura 2.13

Figura 2.13 Ondas senoidales desfasadas

Ejercicio En la figura mostrada:

2

1

1u

2u

u

t

: Desfasaje entre u1 y u2

u1 est adelantada respecto de u2

u2 est retrasada respecto de u1


33

Determine: a) Las ecuaciones de las ondas de tensin y corriente instantneas. b) El valor de la tensin y corriente para un tiempo de 5 ms. c) El tiempo para el cual la corriente alcanza un valor de 1,4 A.

13. REPRESENTACIN FASORIAL DE UNA SENOIDE

Una onda senoidal se puede representar por un vector giratorio o fasor que gira en sentido antihorario con una velocidad angular .

mxU

)t(sen.Uu mx +=

t

2

Figura 2.14 Representacin fasorial de una onda senoidal

1

2

4

0

-1

-2

-3

-4

V A

10 20-10 30t(ms)

)t(u

)t(i


34

14. REPRESENTACIN DE UNA SENOIDE A TRAVS DE NMEROS

COMPLEJOS

De la igualdad: 444 3444 21

u

mxmx)t(j

mx )t(sen.Uj)tcos(.UeU +++=+

Se observa que: [ ])t(jmx eUimagu +=

= tj

U

jmx e.eUimagu 43421 [ ]tje.Uimagu =

Figura 2.15 Representacin de una onda senoidal con nmeros complejos

Si: )t(sen.Uu 11mx1 += [ ]tj11 e.Uimagu = )t(sen.Uu 22mx2 += [ ]tj22 e.Uimagu = Podemos sumar estas ondas y obtenemos:

)t(sen.Uuuu 3Rmx21R +=+= [ ]tjR3 e.Uimagu =

Figura 2.16 Suma de favores

= /UU mx

mxU

= jmx e.UU

1

1U

2U

RU

2 3

21R UUU +=


35

Luego: 11mxj

1mx1 /Ue.UU 1 ==

22mxj

2mx2 /Ue.UU 2 ==

3Rmxj

RmxR /Ue.UU 3 ==

Ejemplo 1 Se describen dos corrientes senoidales de la forma:

)3/t(sen.220i

tsen.210i

2

1

+=

=

Encuentre la expresin de la suma de estas corrientes.

Solucin Obsrvese que = 60rad 3/ , luego:

2100/210e.210I 0j1 ===

610j210)60jsen60(cos22060/220e.220I 3/j2 +=+===

610j220III 21R +=+=

417,37)610()220(I 22R =+=

== 89,40220610

tan 1

= 89,40/417,37IR

[ ]tjR e.89,40/417,37imagi =

)89,40t(sen.417,37iR +=

Nota: El procedimiento tambin se puede realizar con corrientes eficaces y se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo 2 Las siguientes tres corrientes senoidales fluyen hacia un nodo:

tsen.23i1 = )30t(sen.25i2 += )120t(sen.26i3 = Encuentre la expresin de la corriente senoidal resultante que deja el nodo.


36

Solucin

Sabiendo que la corriente eficaz es: 2

III mxef == , entonces:

30/3I1 ==

5,2j33,430sen.5j30cos.530/5I2 +=+==

196,5j3)120(sen.6j)120cos(.6120/6I3 =+==

696,2j33,4IIII 321R =++=

1,5)696,2()33,4(I 22R =+=

=

= 91,31

33,4696,2

tan 1

= 91,31/1,5IR

212,721,5IRmx ==

)91,31t(sen.212,7iR =

Ejercicio Una onda de tensin tiene como valor eficaz 220 V y su periodo es de 20 ms. Dicha seal se aplica a un elemento predominantemente capacitivo (la corriente adelanta la tensin), circulando una corriente de 5 A eficaces y desfasada respecto de la tensin 2,5 ms. Se pide: a) Cules son las expresiones instantneas de la tensin y corriente? b) Cul es el valor de la tensin y corriente en 10 ms?

15. TIPOS DE CARGAS EN UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA

Los tipos de carga se diferencian por su comportamiento de las ondas de tensin y corriente a travs de ella. En el siguiente grfico observamos la onda de corriente atrasada de la onda de tensin en 90 grados, a ello se le define como desfase. Las cargas que a continuacin se definirn se caracterizarn por su adelanto o retrazo de la corriente respecto a la tensin.


37

Figura 2.17 Ondas de tensin y corriente desfasadas 90

a) RESISTENCIA Es la oposicin que presenta un componente al paso de la corriente. Se le caracteriza porque toda la energa que recibe la convierte en calor.

Por ejemplo, las lmparas de incandescencia, planchas, calentadores de agua, hornillas de cocina, etc., se les denominan cargas resistivas.

Estos tipos de cargas se caracterizan porque la onda de tensin y la onda de corriente estn en fase, segn se muestra en la figura:

Figura 2.18 Circuito resistivo de corriente alterna b) REACTANCIAS

Se denomina reactancia a la forma de oposicin que presenta la corriente en circuitos de alterna, diferencindose por el desfasaje que experimenta la tensin y corriente. Existen dos tipos de reactancia, la inductiva presentes en los inductores (motores) y la capacitiva presentes en los condensadores.

? t

u

i

3601800

= 90

U

I = 90

?

? t

u

i

3601800

UI

= 0?

90 270

ui


38

1. REACTANCIA INDUCTIVA

Segn la ley de Lenz, un inductor se opone a cambios en la corriente. Como la corriente alterna cambia constantemente, el inductor se opone a estos cambios disminuyendo la corriente. La frecuencia limita la amplitud de la corriente en un valor igual a L = 2 f L ohmios.

Donde: Si f aumenta XL aumenta Si f disminuye XL disminuye En corriente continua la frecuencia f = 0 Hz entonces XL = 0. En la siguiente figura se observa la onda de tensin y corriente:

Figura 2.19 Desfase de la corriente y tensin en un circuito inductivo

2. REACTANCIA CAPACITIVA

La corriente alterna en un condensador provoca que sus placas se carguen originando que la corriente elctrica diminuya, es decir, se oponga al flujo de la corriente. La frecuencia limita la amplitud de la corriente en un valor igual a 1/C = 1/(2fC) ohms.

XL = L = 2 f L f Hz L H XL

XC = 1/ C = 1/2 f C f Hz C F XC

? t

uL

iL

3601800

= 90

UL

IL = 90

?

ui


39

Donde: Si f aumenta XC disminuye Si f disminuye XC aumenta En corriente continua la frecuencia f = 0 Hz entonces XC = . En la siguiente figura se observa la onda de tensin y corriente:

Figura 2.20 Desfase de la corriente y tensin en un circuito capacitivo

c) IMPEDANCIA Es la oposicin total que presenta un circuito al paso de la corriente alterna.

Figura 2.21 Impedancia en un circuito AC

CL jXjXRZ += )XX(jRZ CL += = /ZZ

Si: XL > XC >0 Circuito inductivo (i atrasada)

? t

uC

iC3601800

= 90

UC

IC = - 90

?

ui


40

Figura 2.22 Desfase de la corriente y tensin en un circuito inducitivo

Si: XL < XC


41

17. CIRCUITO PARALELO

Figura 2.25 Circuito paralelo AC

Ejercicios

1. Una fuente de tensin alterna est alimentando a una reactancia inductiva de 20 enseriada con una reactancia capacitiva de 10 . Se cambia la fuente por una de doble frecuencia que la anterior y de 350 V de valor nominal mximo. Si LC=5, 62910-5 henrio-faradio. Determine:

a) La frecuencia de la segunda fuente. b) El valor de la inductancia y capacitancia. c) El valor de intensidad de corriente instantnea que entrega la segunda

fuente al circuito.

2. Calcule la impedancia equivalente entre a y b:

3. Encuentre la inductancia de la bobina, si la tensin aplicada, en voltios, al

circuito es )t3185,628(sen2843,28)t(u = produciendo una circulacin de corriente, en amperios, que viene dada por la ecuacin:

)29,12t3185,628(sen982,3)t(i += .

60/2

120/2

10j10

5j

45/072,7

69,33/606,3

3j2 +

U 1Z 2Z 3Z

I

1I 2I 3I

321 IIII ++=

321EQ Z1

Z1

Z1

Z1

++=

321EQ YYYY ++=

Y admitancia


42

18. POTENCIA ELCTRICA

Si: tsenUu mx =

)t(senIi mx = Luego: )t(sen.tsenI.Up mxmx =

Simplificando: )t2cos(2I.U

cos2I.U

p mxmx

activa Potencia

mxmx =44 344 21

p = u.i Potencia instantnea

Frecuencia f

2010

LF100

i(t)

u(t)

u i

2

t

u i


43

=

== cos.I.Ucos

2

I

2

Ucos

2I.U

P efefmxmxmxmx

Luego: Finalmente podemos construir el tringulo de potencias:

2 t

2I.U mxmx

cos2I.U mxmx

p

Frecuencia 2f

= cos.I.UP Potencia activa

= sen.I.UQ Potencia reactiva

I.US = Potencia aparente

SP

cos = Factor de potencia


44

Donde:

Nota: El clculo vectorial de la potencia aparente se puede efectuar si conocemos la tensin y corriente en forma fasorial. As:

Ejemplo La tensin a la que est sometida una carga es = 20/110U V y la corriente que fluye por ella es = 15/5,2I A. Determine: 1. El tipo de carga (inductiva o capacitiva). 2. El factor de potencia. 3. La potencia aparente de la carga.

Solucin a) Como se aprecia en los datos, la tensin adelanta la corriente, por lo tanto; la

carga es de naturaleza inductiva. b) El ngulo de desfasaje es == 35)15(20 , por lo tanto; el factor de

potencia es 819,035coscos == en atraso. c) La potencia aparente de la carga se determina por la relacin vectorial

A)15/5,2)(V 20/110(I.US * == , es decir VA35/275S =

Ejercicio

Se aplica a un circuito una tensin )10t377(sen170u += . Esto da lugar a que

fluya una corriente descrita por )20t377(sen14,14i = . Determine el factor de potencia y la potencia media que entrega el circuito.

19. MTODOS DE SOLUCIN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

SINUSOIDAL EN RGIMEN ESTABLE

a) Mtodo de las corrientes de malla

En el siguiente circuito se conocen 5432121 Z,Z,Z,Z,Z,U,U y se desea calcular 321 I,I,I

*I.US =


45

Aplicando la ley de mallas se obtienen las siguientes ecuaciones:

354242

34243212

221211

I)ZZ(IZ U

IZI)ZZZ(IZ0

IZI)ZZ(U

++=

+++=

+=

Donde:

1121 ZZZ =+ Impedancia propia de la malla 1

22432 ZZZZ =++ Impedancia propia de la malla 2

3354 ZZZ =+ Impedancia propia de la malla 3

122 ZZ = Impedancia mutua de las mallas 1 y 2

234 ZZ = Impedancia mutua de las mallas 2 y 3

Ordenando las ecuaciones:

3332232

323222112

2121111

IZIZ U

IZIZIZ0

IZIZU

+=

+=

=

Se resuelve y se calcula 321 I,I,I

Ejemplo En el siguiente circuito determine las corrientes de malla, la potencia total generada y la potencia que absorbe el condensador 2.

1U 2U

1Z

2Z

3Z

4Z

5Z

1I 2I 3I


46

b) Teorema de thevenin

Cualquier red activa de dos terminales se puede sustituir por una fuente de tensin equivalente asociado con una impedancia equivalente en serie.

vaco de Tensin:UTH b y a entre vista eequivalent pedanciaIm:ZTH

Fuentes de tensin se cortocircuitan y las de corriente se ponen en circuito abierto. Ejemplo En el circuito de la figura determine, empleando el teorema de Thevenin, la

corriente en la carga 5,7j10ZL = , conectada entre a y b.

0/100

2U

1 10j

1I 2I 3I

5j

2 1

5j1U

10/1102C

THU

THZ

0/100

5j

20j LZ

5j

a

b20j

LI


47

20. PROBLEMAS

1. Encuentre los valores promedio y eficaz de cada forma de onda:

2. En cada una de las grficas, las curvas son ondas seno o partes de ellas. Encuentre los valores promedio y efectivo de cada una de las ondas.

3. Una fuente senoidal de t377sen170)t(u = se aplica a un circuito RL serie. Se encuentra que el circuito absorbe 720 W cuando fluye una corriente de 12 A. Calcule:

a) El factor de potencia del circuito. b) La impedancia. c) La inductancia del circuito en henrios.

t(s)

Im

-Im

02T T

2T3 2T

(a)

Im

02T T

2T3 2T

(b)

Um

0

(a)

2 3 4

u(t)

)rad(

Um

0

(b)

2 3 4 )rad(

u(t)

Um

0

(c)

2 3 4 )rad(

u(t)

4

49


48

4. Una fuente senoidal de t377sen141)t(u = se aplica dos ramas en paralelo. La expresin en el tiempo de la corriente de la primera rama es

)3

t(sen07,7)t(i1

= y de la segunda rama es

)6

t(sen10)t(i2

+=.

Calcule:

a) La corriente resultante entregada por la fuente en amperios efectivos. b) La expresin del valor instantneo de la corriente resultante. c) La potencia total suministrada por la fuente. d) La potencia aparente del circuito. e) El factor de potencia del circuito.

5. Un circuito est formado por una resistencia de 9 y una reactancia

inductiva conectada en serie de 12 . Cuando se aplica una tensin de u(t) al circuito, se encuentra que la corriente de estado permanente resultante es

t377sen3,28)t(i = . Calcule:

a) La impedancia compleja. b) La expresin en el tiempo de la tensin aplicada. c) La inductancia en henrios.

6. Cuando se aplica una tensin de 120 Vrms a un circuito RL en serie, se

encuentra que ocurre una disipacin de potencia de 1 200 W y un flujo de

corriente dado por )t377(sen3,28)t(i = . Determine:

a) La resistencia del circuito en ohmios. b) La inductancia del circuito en henrios.

7. Un circuito est compuesto por una resistencia de 6 y una reactancia

capacitiva en serie de 8 . Se aplica al circuito una tensin de t377sen141)t(u = . Calcule:

a) La impedancia compleja. b) Los valores efectivo e instantneo de la corriente. c) La potencia entregada al circuito. d) La capacitancia en faradios.

8. Se aplica una tensin senoidal a tres ramas a tres ramas en paralelo que

conducen las siguientes corrientes de rama:

)45t(sen14,14)t(i1 = )60tcos(3,28)t(i2 = )60t(sen07,7)t(i1 +=

Calcule la expresin en el tiempo de la corriente de entrada.


49

9. Se aplica una tensin senoidal tsenUm a tres ramas en paralelo. Dos de las corrientes de rama son:

)37t(sen14,14)t(i1 = )143t(sen28,28)t(i2 =

Se encuentra que la corriente que entrega la fuente es )8,12t(sen3,68)t(i += . Calcule:

a) El valor efectivo de la tercera rama. b) La expresin de la corriente instantnea de la tercera rama.

10. Una onda de tensin t120sen170)t(u = produce una corriente neta de )30t120cos(07,7t120sen14,14)t(i ++= . Calcule:

a) El valor efectivo de la corriente. b) La potencia suministrada por la fuente.

11. Una tensin de t1000sen150)t(u = se aplica a los terminales de un circuito RLC en serie donde = 40R , L=0,13 H y C=10 F. Calcule:

a) El valor rms de la corriente en estado permanente. b) La expresin de la tensin instantnea que aparece en los terminales del

capacitor. c) La expresin de la tensin instantnea que aparece en los terminales del

inductor. d) La potencia suministrada por la fuente. e) El factor de potencia del circuito.

12. Una tensin de 0/100 Vrms se aplica al arreglo en serie de 1Z y 2Z donde = 30/20Z1 . La tensin efectiva a travs de 1Z es V30/40 . Encuentre

la componente reactiva de 2Z .

13. En el circuito de la figura la tensin de la fuente es tsen141)t(u = . Calcule:

a) La tensin abU en notacin fasorial. b) La tensin bcU en notacin fasorial

4a

3

5j

2j

b

c


50

14. La reactancia inductiva en serie con Z en el circuito de la figura tiene un valor de 25 . Un voltmetro conectado a los terminales de Z registra una lectura de 179 V cuando fluyen 4 A por Z . Se sabe que la potencia disipada por el circuito es 320 W. Calcule:

a) El factor de potencia del circuito. b) La reactancia del circuito. c) La componente reactiva de Z .

15. Una funcin de excitacin senoidal con una frecuencia de 2 rad/s se aplica al circuito de la figura. Calcule:

a) La impedancia conectada a los terminales de entrada. b) El tipo, ubicacin y valor del elemento del circuito el cual debe usarse

con el propio circuito con el fin de que la impedancia presentada a la entrada sea puramente resistiva.

c) La expresin fasorial de la tensin a travs de la capacitancia de 0,1 F cuando el voltaje aplicado sea t2sen14,14)t(u = y se cumpla la condicin del inciso b.

16. En el siguiente circuito, calcule:

a) La corriente de lnea rms. b) La tensin rms a travs de la rama en paralelo. c) La potencia disipada. d) El factor de potencia.

A4Lx

ZV0/100

F1,0

5H5

100 H1

F10 H35,2t377sen14,14


51

17. El circuito de la figura se encuentra en estado senoidal permanente.

a) Determine el fasor de tensin abU . b) A qu valor debe ajustarse la frecuencia angular en radianes de la

tensin con el fin de que )t(ucb e i(t) estn en fase.

18. En el circuito de la figura se cumple la siguiente relacin:

)135t(sen24)t(uab += )60t(sen34)t(ubc +=

)150tcos(4)t(ucd =

a) Encuentre el fasor de tensin adU . b) Escriba la ecuacin de )t(uad . c) Si )165t(sen2)t(i += , encuentre la potencia promedio

suministrada por la fuente.

2H

45

F101

t4sen3 u(t) 5

a

b

c

)t(i

Z1

Z3

Z2

a b

cd

)t(i

u(t)


52

ANOTACIONES:

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

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