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Pontificia Universidad Catolica De Chile
Departamento De Matematicas
Mat 1103-1: Algebra y Geometrıa - Primer Semestre 2011
Profesor: Alejandro Ramirez
Ayudante: Jorge Sandoval Ulloa - [email protected]
Ayudantıa 2
1. Probar que ∀ a, b ∈ R, se cumple que:
a) si a + b > 0, entonces:
a2 + b2
a + b≥ a + b
2
b) Si a, b son positivos y ab = 1, entonces a + b ≥ 2, y demuestre ademas que la igualdad solo se producesi a = b
Solucion:
a) Sabemos que:(a− b)2 ≥ 0
a2 − 2ab + b2 ≥ 0
Por lo tanto:
a2 + b2 ≥ 2ab
Si completamos el cuadrados en el miembro derecho sumando a2 + b2 a ambos lados:
a2 + b2 ≥ 2ab/ + a2 + b2
2(a2 + b2) ≥ a2 + 2ab + b2
2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
Como a + b > 0, entonces podemos dividir por el:
2(a2 + b2) ≥ (a + b)2/ : (a + b)
2(a2 + b2)
a + b≥ a + b
Si dividimos a ambos lados por 2:
a2 + b2
a + b≥ a + b
2
1
Que es lo que querıamos demostrar.
b) Como ab = 1, implica que ni a ni b son 0, por lo tanto podemos dividir por a, luego, b = 1a.
Ademas sabemos que:(a− 1)2 ≥ 0
Desarrollando el cuadrado:a2 − 2a + 1 ≥ 0
Reordenando:a2 + 1 ≥ 2a
Dividiendo a ambos lados por a (Recordamos que a 6= 0), nos queda:
a +1
a≥ 2 (1)
Pero 1a
= b, reemplazando en (1) nos queda:
a + b ≥ 2
Que es lo que querıamos demostrar.
La igualdad se produce cuando (a− 1)2 = 0, o sea cuando a = 1 = b
2. Sean a, b, c ∈ R+, demuestre que:
1
a3 + b3 + abc+
1
a3 + c3 + abc+
1
b3 + c3 + abc≤ 1
abc
Solucion:
Sabemos que:(a− b)2 ≥ 0
⇔ a2 − 2ab + b2 ≥ 0 / + ab
⇔ a2 − ab + b2 ≥ ab
Como a, b, c son positivos, podemos multiplicar por (a + b), nos queda:
⇔ (a + b)(a2 − ab + b2) ≥ (a + b)ab
Identificamos al lado derecho una suma de cubos:
⇔ a3 + b3 ≥ (a + b)ab / + abc
2
⇔ a3 + b3 + abc ≥ (a + b)ab + abc
Factorizando al lado derecho:
⇔ a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) /()−1
⇔ 1
a3 + b3 + abc≤ 1
ab(a + b + c)(1)
Analogamente se obtiene que:1
b3 + c3 + abc≤ 1
bc(a + b + c)(2)
Y tambien:1
a3 + c3 + abc≤ 1
ac(a + b + c)(3)
Si sumamos las tres deigualdades se obtiene que:
1
a3 + b3 + abc+
1
b3 + c3 + abc+
1
a3 + c3 + abc≤ 1
ab(a + b + c)+
1
bc(a + b + c)+
1
ac(a + b + c)
Factorizamos el lado derecho de la desigualdad:
⇔ 1
a3 + b3 + abc+
1
b3 + c3 + abc+
1
a3 + c3 + abc≤ 1
a + b + c(
1
ab+
1
bc+
1
ac)
Si sacamos minimo comun denominador al lado derecho
⇔ 1
a3 + b3 + abc+
1
b3 + c3 + abc+
1
a3 + c3 + abc≤ 1
a + b + c(a + b + c
abc)
Simplificando el lado derecho:
⇔ 1
a3 + b3 + abc+
1
b3 + c3 + abc+
1
a3 + c3 + abc≤ 1
abc
Que es lo que querıamos demostrar.
3. Resolver:
|x + |x− 2||(x + 2)|x− 2|
> 1
Solucion:
Vemos los puntos importantes, como los puntos de cambio de signo de los factores, las raıces de los
3
argumentos de los valores absolutos o puntos de indefinicion de la expresion (recordemos que los pun-tos donde se produzca alguna indefinicion, ya sean divisiones por cero o raıces de numeros negativos lossacamos de antemano de toda solucion posible que encontremos),en este caso son dos, el 2 y el− 2.Luego cortamos la recta real en tres ”trozos”, y separamos los casos.
Caso 1: x < −2Para este caso tenemos que |x− 2| = 2− x , reemplazando luego en la inecuacion nos queda:
|x + |x− 2||(x + 2)|x− 2|
=|x + 2− x|
(x + 2)(2− x)=
|2|(4− x2)
=2
(4− x2)> 1
Luego, como 2− x > 0 y x < −2⇒ 4− x2 < 0, por lo tanto multiplicando por (4− x2), cambia el ordende la desigualdad:
2 < 4− x2
O sea, x2 < 2⇒ −√
2 < x <√
2, es decir, la condicion es incompatible con el caso y no hay solucion.
Caso 2: −2 < x < 2
Tenemos que |x− 2| = 2− x. Nuevamente:
|x + |x− 2||(x + 2)|x− 2|
=|x + 2− x|
(x + 2)(2− x)=
|2|(4− x2)
=2
(4− x2)> 1
Y como 4−x2 > 0, entonces multiplicamos por el a ambos lados y no se altera el orden de la desigualdad.
2 > 4− x2
⇔ x2 > 2
Es decir, o x >√
2 o bien x < −√
2, por lo que si intersecamos esta solucion con el conjunto en el cualestamos trabajando en este caso nos queda que la solucion de este es:
x ∈ (−2,−√
2) ∪ (√
2, 2)
Caso 3: x > 2
Tenemos que |x− 2| = x− 2. Entonces, en la expresion nos queda:
|x + |x− 2||(x + 2)|x− 2|
=|x + x− 2|
(x + 2)|x− 2|=
|2x− 2|(x + 2)|x− 2|
=2|x− 1|
(x + 2)|x− 2|> 1
Ahora, como x > 2 ⇒ |x + 1| = x + 1 ∧ |x− 2| = x− 2Por lo tanto tenemos que:
4
2|x− 1|(x + 2)|x− 2|
=2(x− 1)
(x + 2)(x− 2)> 1
⇔ 2(x− 1)
(x + 2)(x− 2)− 1 > 0
⇔ 2(x− 1)− (x + 2)(x− 2)
(x + 2)(x− 2)> 0
⇔ 2(x− 1)− (x2 − 4)
(x + 2)(x− 2)> 0
⇔ −x2 + 2x + 2
(x + 2)(x− 2)> 0
⇔ x2 − 2x− 2
(x + 2)(x− 2)< 0
Dado que x > 2, entonces tenemos que tanto (x+ 2) como (x−2) son cantidades siempre positivas, luegopara encontrar la solucion de este caso tenemos que buscar el intervalo donde el numeradorsea negativo y luego intersecarlo con el intervalo de trabajo (x > 2).
Para ello buscamos las raıces de la ecuacion cuadratica: x2 − 2x− 2 = 0, la cuales son 1−√
3 y 1 +√
3,luego como el coeficiente que acompana al x2 es positivo, la funcion cuadratica asociada toma valoresnegativos en el intervalo comprendido entre las soluciones. A continuacion un grafico para apoyo visual:
Bueno, entonces el intervalo donde la expresion es negativa es (1−√
3, 1 +√
3), si luego intersecamos conel intervalo de trabajo (x > 2) , tenemos que el intervalo solucion de este caso es:
x ∈ (2, 1 +√
3)
5
Finalmente la solucion de la inecuacion es la union de las soluciones de los tres casos por separado,es decir:
Sol : x ∈ ((−2,−√
2) ∪ (√
2, 2)) ∪ ∅ ∪ (2, 1 +√
3)
O sea:x ∈ (−2,−
√2) ∪ (
√2, 2) ∪ (2, 1 +
√3)
4. Resolver:|x2 − 1|(2x− x2) ≤ 0
Solucion:Lo primero que hay que recordar es que ∀x ∈ R la expresion |x2 − 1| es positiva, por lo que la unicaopcion para que la expresion de la lado izquierdo sea negativa es que (2x− x2) sea menor que cero. Por lotanto resolvemos:
(2x− x2) ≤ 0
⇔ x2 − 2x ≥ 0
⇔ x(x− 2) ≥ 0
Ahora hacemos la tabla correspondiente con las raıces de la funcion x2 − 2x.
(−∞, 0] (0, 2) [2,∞)x - + +
(x− 2) - - ++ - +
Como andamos buscando los valores de x que hagan la expresion x2−2x ≥ 0, el conjunto que nos sirve es:
(−∞, 0] ∪ [2,∞)
Y dado que la inecuacion original era de menor o igual, entonces ademas incluımos las raıces de la funcionx2 − 1, es decir {−1, 1}, pero como −1 esta incluido en el intervalo (−∞, 0], tenemos que finalmente lasolucion es:
(−∞, 0] ∪ [2,∞) ∪ {1}
6
