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calculo
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7/17/2019 2
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UNAD
UNIVERSIDAD ABIERTA Y ADISTANCIA
Ingeniería ambiental
ECAPMA
TRABAJO COLABORATIVO FASE II
CALCULO INTERAL
Pre!enta"# a$
T%t#r$ E"gar Orle& M#ren#
Pre'ara"# '#r$
Cla%"ia Patri(ia N#!!a Fig%er#a
COD$ )*+,+-*./*0
S#gam#!#1 B#&a(2
3*)+
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1.
∫0
1
ln ( x)dx=−1
∫0
1
ln ( x)d x
Calcular la integral indefnida
∫ ln ( x ) dx= xln( x)− x+C
∫ ln ( x ) dx
Aplicar integración por partes ∫uv' =uv−∫ u' v
u=ln ( x ) u' =1
x v
' =1v= x
¿ ln ( x ) x−∫ 1
x x dx
¿ xln ( x )−∫1
dx
∫1dx= x
¿ xln ( x )− x
Agregar una constante a la solución
¿ xln ( x )− x+C
Calcular los límites:
∫0
1
ln ( x)dx :∫0
1
ln ( x)dx=−1−0
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F ( x)(¿¿)
x→a+¿¿( F ( x ))−lim
¿¿
x→b−¿¿
∫a
b
f ( x)dx= F (b )− F (a )= lim¿ ¿
•
lim x→ 0
( xln ( x )− x )=0
lim x→ 0
(+ xln ( x )−lim x →0
+ x )
lim x→ 0
(+ xln ( x ) )=0
lim + x→ 0(
ln ( x)1
x )
lim + x→ a
(
f ( x )
g ( x) )=lim +
(
f ' ( x )
g ' ( x) ) x →a
Condición ¿−∞
∞
(ln ( x)
1
x )=¿ lim +
x →0( (ln ( x)) '
1
x ' )
lim + ¿
ln ( x )=1
x
d
dx=¿
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ln ( x )d
dx=¿
Aplicar la regla de derivación
ln ( x )=1
x
d
dx=¿
¿ 1
x
d
dx ( 1 x )=−1
x2
d
dx ( 1 x )
1
x= x
−1
=d
dx ( x−1 )
Aplicar la regla de la potencia:
∫ xadx=
xa+1
a+1, a≠−1
¿−1 x−1−1
Simplifcar:
¿− 1 x
2
¿ lim + x→ 0(
1
x
−1
x2 )
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Simplifcar:
¿=lim + (− x)
¿−0
¿0
lim x→ 0
(+ ( x ) )=0
¿0−0
¿0
•
lim x→ 1
( xln ( x )− x )=−1
lim x→ 1
(− xln ( x )−lim x →1
− x )
lim x→ 1
−( x )=1
lim x → a
x
¿a
¿1
lim x→ 1
(−ln ( x ) )=0
¿0
¿1∗0
¿0
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lim x→ 1
−( x )=1
¿1
¿0−1
¿−1
¿−1−0
¿−1
2.
∫2
∞1
( x−1)2 dx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)
u= ( x−1)du=1dx
¿∫ 1
u21du
¿∫ 1
u2 du
1
u2=u
−2
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∫u−2
du
Aplicar la regla de la potencia:
∫ xadx=
xa+1
a+1
, a≠−1
¿ u
−2+1
−2+1
Sustituir en la ecuación: u=( x−1)
¿( x−1)−2+1
−2+1
Simplifcar:
¿− 1
x−1
Agregar constante:
¿− 1
x−1 +C
Calcular los límites: ∫2
∞1
( x−1)2 dx :
−1
∫2
∞1
( x−1)2 dx=0−¿ )
F ( x)(¿¿)
x→a+¿ ¿( F ( x ))−lim¿
¿
x→b−¿¿
∫a
b
f ( x)dx= F (b )− F ( a)=lim¿
¿
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• lim
x→ 2 ( −1
x−1 )=−1
Sustituir la variable:
( −1
2−1 ) Simplifcar: ¿−1
• lim
x → ∞ ( −1
x−1 )=0
Sustituir la variable:
( −1
∞−1 ) Simplifcar: ¿0
¿0−(−1)
¿1
3.
∫−∞
∞
e−5 x=∞
Calcular la integral indefnida: ∫e−5 x
dx=e
−5 x
5 +C
∫e−5 x
dx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)
u=−5 X du=−5 dx,dx=(−1
5 )du
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∫eu(−1
5 )du
∫ −eu
5 du
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿−1
5∫ e
udu
Aplicar la regla de integración: ∫eudu=e
u
¿−1
5 eu
Sustituir en la ecuación U =−5 x
¿−1
5 e(−5 x)
Simplifcar:
¿ e(−5 x)
5
Agregar constante:
¿ e
(−5 x)
5 +C
Calcular los límites: ∫
−∞
∞
e−5 x
dx=∫−∞
∞
e−5 x
dx=0−(−∞)
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F ( x)(¿¿)
x→a+¿¿( F ( x ))−lim
¿¿
x→b−¿¿
∫a
b
f ( x)dx= F (b )− F (a )= lim¿ ¿
• lim
x →−∞
e(−5 x)
5 =−∞
c∗f ( x )=¿¿¿
lim x → a
¿
lim x →−∞
e(−5 x)
5
lim x→ a [ f ( x)
g( x ) ]¿lim f ( x)
x →a
lim x→ a
g ( x),donde lim
x → a
g( x )≠0
e
¿lim
x→−∞(¿¿−5 x )
lim x →−∞
(5)
¿
• lim
x →−∞
e(−5 x)
5 =∞
Usar la continuidad de e x
en x=−∞
¿ e∞
Simplifcar:
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¿∞
•lim
x →−∞
(5)=5
lim x→ a
c=c
¿5
¿−∞
5 Simplifcar ¿−∞
• lim
x → ∞
(−e
−5 x
5 )=0
¿e−∞
¿−∞
•lim
x → ∞
(5)=5
¿−0
5
¿−0
¿0
¿0−(−∞)
¿∞
4.
∫2
5
4+ x
√ x2
−4
dx=(√ 21 )+4 ln (5+√ 21
2
)
Calcular la integral indefnida:
∫ 4+ x
√ x2−4dx=4 ln(√1−
4
x2 x
2 +
x
2)+∫√ x2−4+C
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Aplicar la regla de la suma:
¿∫ 4
√ x2−4
dx+∫ x
√ x2−4
∫ 4+ x
√ x2−4dx=4ln(√
1− 4
x2 x
2 +
x
2 )∫ 4+ x
√ x2−4
dx
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿4∫ 1
√ x2−4
dx
por√ bx2−a sustituir x= √ a
√ bsec(u)
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)
x=2 sec (u ) :dx= 2
cos (u ) tan (u ) du
¿4∫ 1
√ (2 sec (u ) )2
−4
2
cos (u ) tan (u ) du
¿4∫
2tan(u)cos
(u)√ 4 sec2 (u )−4
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
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¿4∗2∫
tan(u)cos(u)
√ 4 sec2 (u )−4
4 sec2 (u )−4=4
(4 sec
2u
4
−1
)¿4∗2∫
tan(u)cos(u)
4 (4 sec2 (u)
4 −1)
¿4
∗2
∫
tan(u)cos (u)
2 (√ sec2 (u )−1)
Usando la siguiente identidad: sec2 x=1+ tan
2 x
¿4∗2∫
tan(u)cos(u)
2√ −1+1+ tan2u
¿4∗2∫tan(u)cos(u)
4 (4 sec2 (u)
4 −1)
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿4∗2
1
2∫
tan(u)cos(u)
√ −1+1+ tan2(u) du
¿4∗2 1
2∫
tan(u)cos (u)
√ tan2(u)
du
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√ tan2 (u )=( tan (u ) ) , tanu=≥0
¿4∗2 1
2∫
tan(u)cos(u)tan(u)
du
¿4∗2 1
2∫ 1
cos (u)du
Usando la siguiente identidad:1
cos ( x)=sec ( x)
¿4∗2 1
2∫ sec(u)du
tan (u )+sec(u)sec (u ) du=ln(¿)
∫¿
tan (u )+sec(u)du
¿ 4∗21
2 ln ¿
Sustituir en; arcsec 12 x
arcsec( 12 x )arcsec( 12 x )
tan (¿)+ (sec(¿))¿
¿4∗2
1
2 ln ¿
Simplifcar
¿4 ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2)
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∫ x
√ x2−4
=√ x2−4
Aplicar integración por sustitución:
∫f (g ( x ) )∗g
' ( x ) dx=
∫f ( u ) duu=g ( x)
u= x2−4 ;du=2 xdxdx=
1
2 x du
¿∫ x
√ x
1
2 x du
¿∫ 1
2√ udu
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿1
2∫ 1
√ u
1
√ u=u
−0.5
¿1
2∫u
−0.5du
Aplicar la regla de la potencia:
∫ xadx=
xa+1
a+1, a≠−1
¿ 1u−0.5+1
2−0.5+1
Sustituir en : x2−4
¿1
2( ( x
2−4 )−0.5+1
−0.5+1 )
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¿√ x2−4
¿4 ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2)+√ x2−4
Aplicar la constante:
¿4 l n(√1− 4
x2 x
x +
x
2)+√ x2−4+C
Calcular los límites: ∫2
5
4+ x
√ x2−4
dx=4 ln( 5+√ 212 )+(√ 21 )−0
F ( x)(¿¿)
x→a+¿¿( F ( x ))−lim
¿¿
x→b−¿¿
∫a
b
f ( x)dx= F (b )− F (a )= lim¿¿
•
lim
x →2+4ln( √1− 4
x2 x
x+ x
2)+√ x2−4=0
¿
¿ lim x→ 2
4 ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2)+ lim
x →2
√ x2−4
¿ lim x→ 2
4 ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2)=0
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c∗f ( x )=¿¿¿
lim x → a
¿
¿4 lim x →2+(ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2 ))❑
¿ lim x→2+( ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2))
❑
=1
¿ √1−
4
222
2 +
2
2
¿1
¿4 ln(1)
¿4
∗0
¿0
¿ lim x→ 2
4 ln (√ x2−4 )=0
¿√ 22−4
¿0
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¿0+0
¿0
•
lim
x→5+4ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2)+√ x2−4=4
ln( 5+√ 212 )+√ 21
¿ lim x→ 5
4 ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2)+ lim
x →5
√ x2−4
¿ lim x→ 5
4 ln(√1− 4
x2 x
x +
x
2 )=4 ln( 5+√ 212 )
c∗f ( x )=¿¿¿
lim x → a
¿
¿4 lim x →5 (ln(√
1− 4
x2 x
x +
x
2 ))=5
2+√ 21
¿ √1−
4
525
2 +
5
2
¿5
2 +√ 21
2
¿4 ln( 52+ √ 21
2 )
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¿4 ln( 5+√ 21
2 )
¿lim x→ 5
4 ln
(√ x
2
−4
)=√ 21
¿√ 52−4
¿√ 21
¿4 ln
(5+√ 21
2
)+√ 21
−0
¿√ 21+4 ln(5+√ 21
2 )
5.
∫ sec2 (√ x)√ x
dx=2tan (√ x )+C
∫ sec2 (√ x)√ x
dx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)
u=(√ x ) :du=
1
2√ x du=
1
2u dx dx=2udu
∫ sec2 (u )u
2u du
¿∫2 sec2 (u )du
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Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿2∫ sec2 (u )du
Aplicar la regla de integración:¿2
∫sec
2 (u )du=tanu
¿2tan(u)
Sustituir en la ecuación: u=√ x
¿2tan(√ x)
Agregar una constante a la solución
¿2tan (√ x )+C
6.
∫1
4
¿ 1
1+ x2 dx=2+ln (4 )−ln (9)
∫1
4
¿ 1
1+ x2 dx
Calcular la integral indefnida ∫1
4
¿ 1
1+ x2 dx=2√ x−2 ln (√ x+1 )+C
∫ 1
1+√ xdx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)
u=(√ x )du= 1
2√ xdxdu=
1
2u dxdx=2udu
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¿∫ 1
1+u 2udu
¿∫ 2− 2
u+1du
Aplicar la regla de la suma:
¿∫ 2du−∫ 2
u+1du
∫2du=2u
∫2du
Integral de una constante ∫ f (a)dx= x∗f (a)
¿2u
∫2 2
u+1du=2 ln (u+1)
∫2 2
u+1 du
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
2∫ 1
u+1 du
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g ' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)
v=u+1:dv=1dudu=1dv
¿2∫ 1
v 1dv
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¿2∫ 1
v dv
Aplicar la regla de integración: ∫ 1
v dv=ln v
¿2 ln (v)
Sustituir en la ecuación v=u+1
¿2 ln (u+1)
¿2u−2 ln (u+1)
Sustituir en la ecuación: u=√ x
¿2 (√ x )−2 ln ((√ x )+1)
Agregar una constante a la solución:
¿2 (√ x )−2 ln ((√ x )+1 )+C
Calcular los límites:
1
1+ x2 dx=¿∫1
4
1
1+ x2 dx=4−ln (9)−(2ln (4 ))
∫1
4
¿
F ( x)(¿¿)
x→a+¿ ¿( F ( x ))−lim
¿¿
x→b−¿¿∫a
b
f ( x)dx= F (b )− F ( a)=lim¿
¿
•
lim
x→1+(2 (√ x )−2 ln ((√ x )+1) )=2−ln(4 )
¿
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lim
x →1+(2 (√ x )−lim x→ 1
+2ln( (√ x )+1 ))=2−ln(4 )
¿
lim x →1+(2 (√ x ))=2
¿
Sustituir la variable
¿2∗√ 1 Simplifcar ¿2
(lim x →1
+2 ln ((√ x )+1 ))=ln(4 )
(lim x →1
+2 ln ((√ x )+1 ))
Calcularln( lim x →1
+ ((√ x)+1 ))
lim x→ 1
+( (√ x )+1 )=2
Sustituir la variable:
¿ (√ 1 ) +
Simplifcar ¿2
¿2 ln (2)
¿ ln (4)
¿2−ln (4)
•
lim
x →4−(2(√ x )−2 ln ((√ x )+1) )=4−ln (9)
¿
lim
x →4+(2 (√ x )−lim x →4
+2ln ( (√ x )+1) )=4−ln(9)
¿
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lim x →4+(2 (√ x ))=4
¿
Sustituir la variable
¿2∗√ 4 Simplifcar ¿4
(lim x →4
+2 ln ((√ x )+1 ))=ln(9)
(2 lim x→ 4
+ ln ((√ x )+1 ))
Calcularln( lim x→ 4
+ ((√ x)+1 ))
(lim x →4
−((√ x )+1 ))=3
(lim x →4
−((√ x )+1 ))
Sustituir la variable=
¿ (√ 4 )+1
Simplifcar
¿3
¿2 ln (3)
Simplifcar
¿ ln (9)
¿4−ln (9)
¿4−ln (9 )−(2−ln (4))
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¿2+ln (4)−ln (9)
7.
∫0
π 2
¿ sin2 ( x )cos ( x ) dx=1
3
Calcular la integral indefnida: ∫sin2 ( x )cos ( x ) dx=
sin3( x )3
+C
∫sin2 ( x )cos ( x ) dx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)
u=sin ( x ):du=cos ( x )dxdx= 1
cos ( x )du
¿∫ u2 (cos ) x
1
cos ( x)du
¿∫ u2du
Aplicar la regla de la potencia:
∫ xadx=
xa+1
a+1, a≠−1
¿u
2+12+1
Sustituir en la ecuación u=sin ( x )
¿sin
2+1( x)2+1
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¿sin
3( x)3
Agregar una constante
¿sin
3( x)3 +C
Calcular los límites:
¿ sin2 ( x ) cos ( x ) dx=¿1
3−0
¿sin2 ( x ) cos ( x ) dx=¿∫0
π
2
¿
∫0
π
2
¿
•
lim
x →0+sin
3( x)3
¿0
¿
lim x →0
+(sin3 x )
lim x→ 0
+3
¿ lim x→ 0
+(sin3 x )=0
lim x→ a
[ f ( x ) ]b ¿ [ lim x →a
f ( x)]b,cuandobesunaconstantereal
¿( lim x→ 0
+(sin ( x)))3
¿ lim x→ 0
+(sin ( x))=0
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¿03
¿0
¿ lim x→ 0
+ (3 )=3
¿ lim x→ a
c=C
¿3
¿0
3
Simplifcar
¿0
•
lim
x → π
2−
sin3( x)3
¿1
3
lim
x →π
2
−(sin3 x )
lim
x → π
2
−3
¿ lim x→
π
2
−(sin3 x )=1
lim x→ a [ f ( x ) ]
b
¿ [lim x →a f ( x)]
b
,cuandobesunaconstantereal
¿ lim
x → π
2
−(sin ( x))=1
7/17/2019 2
http://slidepdf.com/reader/full/2563db84b550346aa9a925a3a 29/39
¿13
¿1
¿ lim
x →
π
2
−(3 )=3
Sustituir la variable
¿3
¿1
3
¿1
3−0
Simplifcar
¿1
3
8.
∫ xe x
2−1
dx=e
x2−1
2 +C
∫ xe x
2−1
dx
Aplicar integración por sustitución:
∫f (g ( x ) )∗g
' ( x ) dx=
∫f ( u ) duu=g ( x)
u= x2−1 :du=2 ( x )dxdx= 1
2 ( x ) du
¿∫ xeu 1
2 x du
7/17/2019 2
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¿∫ eu
2 du
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿ 1
2∫ e
udu
Aplicar la regla de integración ∫eudu=e
u
¿1
2 e
u
Sustituir en la ecuación:u= x
2−1
¿1
2 e
( x2−1)
Simplifcar
¿ e
x2−1
2
Agregar una constante a la solución
¿ e
x2−1
2 +C
9.
∫ 1
x
2
+4 x+
13dx=
arctan( x+23 )3
+C
∫ 1
x2+4 x+13
dx
7/17/2019 2
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¿∫ 1
( x+2 )2+9
Aplicar integración por sustitución:
∫f (g ( x ) )∗g
' ( x ) dx=
∫f ( u ) duu=g ( x)
u= ( x+2 ) ;du=1dxdx=1du
¿∫ 1
u2+9
1du
¿∫ 1
u2+9
du
orb x2! sustituiren: x=√ a
√ bu
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)
u=3 (v )du=3dv
¿∫ 1
(3 v )2+93dv
¿∫ 1
(3 v )2+3dv
!actor¿
1
3 v2+3
¿∫ 1
3 ( v2+1 )dv
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
7/17/2019 2
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¿1
3∫ 1
v2+1
dv
Usar la integral ∫ 1
v2+1
dv=arctan (v )
¿1
3 arctan (v)
Sustituir en ¿1
3 u ,u=( x+2 )
¿1
3 arctan ( 13 ( x+2 ))
Simplifcar
¿
arctan( ( x+2 )3 )
3
Agregar la constante a la solución
¿
arctan
( ( x+2 )
3
)3 +C
10.
∫ 1
4− x2=
arctan"( x2 )2
+C
∫ 1
4− x2
"or b x2! sustituir x=√ a
√ bu
Aplicar integración por sustitución:
7/17/2019 2
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∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)
x=2(u)dx=2du
¿∫
1
4−2u2
2du
¿∫ 1
2−2u2 du
2−2u2=2( 2u
2
2 )
¿∫ 1
2(1−2u
2
2 ) du
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿1
2∫ 1
1−2u
2
2
du
¿1
2∫ 1
1−u2du
Usar la integral ∫ 1
1−u2 du=arctan "(u)
¿1
2 arctan"(u)
Sustituir en u=1
2 x
7/17/2019 2
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¿1
2 arctan"( 12 x )
Simplifcar
¿arctan"
( x
2 )2
Agregar una constante a la solución
¿
arctan"( x2 )2
+C
11.
∫ x (√ ( x+1 ) )dx=2 ( x+1 )
5
2
5 −
2 ( x+1 )3
2
3 +C
∫ x (√ ( x+1 ) )dx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)
u= x+1du=1dxdx=1du
¿∫ x (√ u )1du
¿
∫ x (√ u ) du
u= x+1→x=u−1
¿∫ (u−1 ) (√ u) du
#$pandir (u−1 ) (√ u ) du
7/17/2019 2
http://slidepdf.com/reader/full/2563db84b550346aa9a925a3a 35/39
Aplicar la regla de la suma: ∫ f ( x ) !g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx!∫ g ( x ) dx
¿∫ u3
2 du−∫ (√ u ) du
¿∫ u
3
2 du=2u
5
2
5
¿∫ u3
2 du
Aplicar la regla de la potencia:
∫ xadx=
xa+1
a+1
, a≠−1
¿ u
3
2+1
3
2+1
Simplifcar
¿2u
5
2
5
∫ (√ u ) du=2u
3
2
3
∫ (√ u ) du
Aplicar la regla de la potencia:
∫ xadx=
xa+1
a+1, a≠−1
¿ u
0.5+1
0.5+1
7/17/2019 2
http://slidepdf.com/reader/full/2563db84b550346aa9a925a3a 36/39
Simplifcar
¿2u
3
2
3
¿2u
5
2
5 −
2u3
2
3
Sustituir en la ecuación u= x+1
¿2 ( x+1 )
5
2
5 −
2 ( x+1 )3
2
3
Agregar una constante a la solución
¿2 ( x+1 )
5
2
5 −
2 ( x+1 )3
2
3 +C
12.
∫ 2
x x
2−3 x−10dx=2
(2 ln
( x+2
)7 +5 ln
( x−5
)7 )+C
∫ 2 x
x2−3 x−10
dx
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿2
∫
x
x2−3 x−10
%omar la &racción parcial¿2∫ 2
7( x+2)+
5
7( x−5)dx
Aplicar la regla de la suma: ∫ f ( x ) !g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx!∫ g ( x ) dx
7/17/2019 2
http://slidepdf.com/reader/full/2563db84b550346aa9a925a3a 37/39
¿2(∫ 2
7( x+2)dx+∫ 5
7( x−5)dx)
∫ 2
7( x+2)dx=
2 ln ( x+2)7
∫ 2
7( x +2)dx
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿ 2
7∫ 1
x+2 dx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)
u= x+2du=1dxdx=1du
¿ 2
7∫ 1
u 1 dx
¿ 27∫ 1
u dx
Aplicar la regla de integración ∫ 1
udu=ln (u)
¿ 2
7 ln (u)
Sustituir en la ecuación u= x+2
¿ 2
7 ln ( x+2)
Simplifcar
7/17/2019 2
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¿2 ln ( x+2)
7
∫ 5
7( x−5)dx=
5 ln ( x−5)7
∫ 5
7( x−5)dx
Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx
¿5
7∫ 1
x−5 dx
Aplicar integración por sustitución:
∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)
u= x−5du=1dx dx=1du
¿5
7∫ 1
u 1 du
¿5
7∫ 1
u du
Aplicar la regla de integración: ∫ 1
u=ln (u)
¿5
7 ln (u)
Sustituir en la ecuación
u= x−5
¿5
7 ln ( x−5)