2.7 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

7/31/2019 2.7 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

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UNIDAD 2ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Matemticas V

-EcuacionesDiferenciales Lineales

de Orden Superior.


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Definiciones Bsicas

Ecuacin diferencial. Una ecuacin diferencial es aquella ecuacin que contiene

derivadas o diferenciales.

Orden. El orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada mas alta contenida en

ella.

Superior:Que excede a otras cosas en calidad o cantidad, Excelente,muy bueno.


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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Estas son las famosasfrmulas de Eulerque vamos a necesitar en este captulo. Adems,

veremos algunas ecuaciones de orden superior a dos.

Dada la ecuacin diferencial lineal de segundo orden y" + f(x)y' + g(x)y = O es naturalsuponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la ecuacin.De hecho, as va a

hacerse, usando el siguiente cambio: z = y'~ z'= y", para que las constantes de integracin

aparezcan en su momento.

Ejemplo 1

Dada la ecuacin: y x = y reducirla a una ecuacin de primer orden y

encontrar su solucin.

La ecuacin es entonces: x z = z, de primer orden.

Integrando:

=

Inz = ln x + ln c

O sea z = c1xdx

Como z = y dy = c1xdx

Y= c1

+ c2

Es la solucin general de la ecuacin lineal de segundo orden

comprobacin: derivando la solucin:

Y = c1x

Y= c1

Pero c1=

y =

y xy = y


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Principio de superposicin o linealidad

Teorema 1. Principio de superposicin o linealidad. Sean y (x) y yz (x) soluciones de la

ecuacin diferencial lineal homognea y"+f(x)y'+ g(x)y= O en un intervalo, entonces: y=

c, y(x), y= c2Yix) Y y= c ,y,(x) + C2Yz(X) son tambin solucin en el intervalo. Donde C"C2

E: R. COROLARIO. Una ecuacin' diferencial lineal homognea siempre tiene una solucin

y= O, Y es la solucin trivial de la ecuacin.

NOTA. Este teorema no se aplica si la ecuacin no es homognea (ver ejemplo 4) o no es

lineal (ver ejemplo5).

Ejemplo 5.

Las funciones y2= 2x y Y

2= 4 son soluciones de la ecuacin diferencial no lineal:

Y y + y2

= 0

Sin embargo la funcin y= + 2 no es solucion.


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Ahora tenemos la solucin de ecuaciones diferenciales de orden dos o superior. En las

primeras siete secciones de este captulo se analizan la teora fundamental y cierta clase

de ecuaciones lineales. El modo de eliminacin para resolver sistemas de ecuaciones

lineales se introduce en la seccin 4.8 porque este mtodo simplemente desacopla un

sistema en ecuaciones lineales de cada variable descendiente.

Esta observacin es una continuacin del breve anlisis de sistemas dinmicos que se

presento al final. Un sistema dinmico cuya regla o modelo matemtico es una ecuacin

diferencial lineal de n-esimo orden

an(t) y(n)

+ an-1(t)y(n-1)

a1(t)y+ a0(t)y = g(t)

se dice que es un sistema lineal de n-esimo orden. Las n funciones dependientes del

tiempo y(t), y(t) y(n-1)

t son las variables de estado del sistema. Recuerde que sus valores

en el tiempo t dan el estado del sistema. La funcin g tiene varios nombres: funcin de

entrada, funcin de fuerza o funcin de excitacin. Una solucin y (t) de la ecuacin

diferencial se llama salida o respuesta del sistema. Bajo las condiciones establecidas en el

teorema, la salida o respuesta y(t) se determinan de manera nica por la entrada y el

estado del sistema prescritos en el tiempo t0 es decir, por las condiciones iniciales y(10)

y(t0) . . . y(n-1)

(t0)

para que un sistema dinmico sea un sistema lineal es necesario que se cumpla en el

sistema el principio de su superposicin es decir, la respuesta del sistema a una

superposicin de entradas es una superposicin de salidas, ya se analizaron algunos de los

sistemas lineales simples en la seccin se examinan sistemas lineales en los que los

modelos matemticos son ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Solucin general; ecuaciones no homogneas:

Sea y p cualquier solucin particular de la ecuacin diferencial lineal no homognea de n-

esimo orden en un intervalo l, y sea y1, y2 yn un conjunto fundamental de soluciones dela ecuacin diferencial homognea asociada en l. entonces la solucin general de la

ecuacin en el intervalo es

y = c1y1(x) + c2y2(x) cnyn(x) + yp,

Donde las cp, i = 1, 2, n son constantes arbitrarias.

Significado geomtrico de una ecuacin diferencial es extensin directa del

correspondiente al primer orden. Si tenemos una familia de curvas planas que depende de

n parmetros independientes C1, C2. Cn y entre su ecuacin y las primeras derivadas.

P (x,y, C1, C2. Cn = 0

+

y= 0


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+ 2

y+

+

y

n= 0

+

y

(n)= q

Eliminamos la n parmetros, obtenemos la ecuacin diferencial de la familia:

F(x, y, y, y, . . . , y(n)

) = 0

La ecuacin de la familia es la solucin general de esta ecuacin y cada una de sus curvas

es una curva integral.

.- La ecuacin se llama equidimencional en x y el cambio de variableindependiente x t = in x

Dado por

X = et

Y=

y

Y =

(),

Y=

+ (-1)

n-1(n-1)!

,

La reduce a una autnoma, ya que:

F8x,y,y,y, ) = F *x.1, y,x-1

, x-2

(-y), + = 0

Sera equivalente a

F~ (y,y,) = F(1,y,y, y ) =0,

Cuyo orden quede rebajarse con el cambio (t, y) (y, u = y), por ser

autnoma.


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BIBLIOGRAFIA

Nombre del libro: Ecuaciones diferenciales

Nombre del autor: Isabel Carmona Jover

Editorial: Longman de Mxico editores, S.A. de C.V.

Nombre del libro: Ecuaciones diferenciales. Con problemas con valor en la frontera sptima edicin

Autor: Dennis G. Zill

Editorial: D.R. 2009 por cengage learning Editores, S.A. de C.V.

Nombre del libro: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Autor: Juan M. Aguirregabiria

Editorial: Universidad del pas vasco, servicio editorial zerbitzua

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