Jess Reynaga Obregn

Prueba de asociacin de dos variables cuantitativas continuas distribuidas como la curva normal

Descripcin

Esta prueba se aplica en diseos de investigacin en los que a un nico grupo de individuos se les han medido simultneamente dos variables cuantitativas continuas que tienen distribucin semejante a la de la curva normal.

En esta prueba se calcula una medida de resumen llamada coeficiente de correlacin de Pearson, simbolizado como r p, que permite identificar la .forma en que se asocian las dos variables cuantitativas continuas.

Una vez calculado, el coeficiente de correlacin de Pearson puede tener valores que varan entre - 1 hasta + 1, pasando por el cero.

Cuando el valor resultante es cercano a +1 se dice que ambas variables se asocian directamente de manera muy estrecha; por ejemplo: si a un grupo de personas se les midieran simultneamente sus concentraciones de glucosa y colesterol y se encontrara que los valores bajos de glucosa y los valores bajos de colesterol se corresponden y que tambin los valores altos de glucosa se corresponden con los valores altos de colesterol se dira que existe una asociacin directa.

Cuando el valo r resultante es cercano a - 1 se dice que ambas variables se asocian inversamente de manera muy estrecha; por ejemplo: si a un grupo de personas se les midiera simultneamente su ingesta de fsforo y su densidad sea y se encontrara que los valores altos de ingestin de fsforo se corresponden con valores bajos en la densitometra sea se dira que existe una asociacin inversa (las bebidas de cola contienen altas concentraciones de cido fosfrico como estabilizante).

Cuando el coeficiente de correlacin de Pearson calculado tiene un valor cercano a cero se dice que ambas variables no presentan asociacin.

En la prueba se plantean las siguientes hiptesis estadsticas:

Hiptesis estadstica nula: Hiptesis estadstica alterna:

Ha: rp = O (cero) Ha r p ;1: O

En vista de que la hiptesis estadstica nula (Ho) significa que las dos variables no se asocian, el propsito de la prueba es eval uar la posibil idad de rechazar a dicha hiptesis. El rechazo de la Ha ocurre cuando el valor del coeficiente de correlacin de Pearson calculado con los datos supera a un valor crtico del coeficiente de correlacin de Pearson que se encuentra en tablas ad hoc.

Si la Ha es rechazada se concluye que probablemente exista una real asociacin entre la pareja de variables en estudio.

Esta prueba de anlisis estadstico exige el cumplimiento de la siguiente condicin : la distribucin de ambas variables debe ser semejante a la de la curva normal. En el caso de que no se cumpla la condicin o que de entrada luna o ambas variables sean discretas, la prueba alterna de anlisis estadstico que se debe utilizarse es la denominada de Spearman.

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Ejemplo desarrollado Para ilustrar el procedimiento de la prueba de anlisis estadstico se usarn los siguientes datos:

Individuo

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Sumatorias

Puntuaciones de un grupo de 10 individuos en pruebas de ansiedad y de depresin

Puntuacin Puntuacin en prueba de en prueba de

ansiedad depresin

X y X2 i f-----8.2 6.4 67.24 40.96

7.9 5.8 62.41 33.64

6.3 4.9 39.69 24.01

9 1 7.2 82.81 51.84

5.4 3.9 29.16 15.21

10.3 93 106.09 86.49

4.8 3.1 23.04 9.61

6.5 4.2 42.25 17.64

8.3 7.1 68.89 50.41

7.5 5.3 56.25 28.09

xy 52.48

45.82

30.87

65.52

2106

95.79

14.88

27.30

58.93

39.75

74.3 57.2 577.83 357.9 452.4

9

e '0

7 JI!I JI!I .;

JI!I QI l5. l1li QI O l1li 5 iIIII

111 II1II

3 4.5 6.5 8.5 10.5

Ansiedad

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Al observar la tabla de datos y su correspondiente grfico se confirm que se haba estudiado a un solo grupo de personas y que se requera evaluar el tipo de asociacin entre las puntuaciones que cada una obtuvo en las pruebas de ansiedad y de depresin.

Por el momento, el grfico mostraba una aparente asociacin de tipo directo; es decir, los individuos con puntuaciones bajas en la prueba de ansiedad tambin tenan puntuaciones bajas en la prueba de depresin. Complementariamente, las personas con altas puntuaciones en la prueba de ansiedad tenan altas puntuaciones en la prueba de depresin.

Luego de revisar la relacin de los valores se procedi a la verificacin de que se satisfaca la condicin de de que ambas variables cuantitativas continuas tenan una distribucin semejante a la de la curva normal. Para ello, a cada variable se le realiz el clcu lo de su sesgo y de su curtosis a travs del mtodo de momentos, encontrndose lo siguiente:

Variable cuantitativa continua: Sesgo: Curtosis:

Puntuacin de ansiedad 0.0017 2.1635

Puntuacin de depresin 0.4443 2.5100

Co nside rando que los valores, tanto del sesgo como de la curtosis, para ambas variables se encontraron en los intervalos de semejanza a los val ores de la curva normal: se decidi plantear las siguientes hiptesis estadsticas sobre el valor del coeficiente de correlacin de Pearson.

Hiptesis estadstica nula: Hiptesis estadstica alterna:

Ho:rp=o Ha:rp;tO

A continuacin se determin el valor del coeficiente de correlacin de Pearson calculado (r p calculado) mediante la siguiente frmula:

Los clculos condujeron al siguiente resultado:

r = (10)(452.4)-[(74.3)(572)J = p ~ [(10)(577.83) -(743)2J [(10)(357.9) -(572)2J +0.97

Tal resultado, descriptivamente hablando, indicaba una intensa asociacin de tipo directo entre ambas variables; es decir, las ms altas puntuaciones en una de las variables correspondieron a las ms altas puntuaciones en la otra y, complementariamente, las ms bajas puntuaciones en una variable correspondieron a las ms bajas puntuaciones de la otra.

En vista de que el propsito de la prueba era evaluar la posibilidad de rechazar a la Ho, se hizo una comparacin del va lor calculado con un valor crtico tabular.

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En seguida se muestra un fragmento de la tabla de valores criticas para rp Algunos valores crticos del coeficiente de correlacin de Pearson

al nivel de significancia de 0.05

Grados de

libertad 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Significancia 005

0.997

0.950

0.878

0.811

0754

0.707

0.666

0.632

0.602

0.576

0.553

0.532

0.514

En la tabla de valores criticos se localizaron los grados de libertad para el tamao del grupo mediante la frmulaG.L.=n-2 =10-2=8

El valor critico para el nivel de significancia de 0.05 fue de 0.632.

Como el valor calculado de r p fue de 0.97 y, por ello, super al valor critico , entonces se rechaz la hiptesis estadstica nula Ha: r p = O; en otras palabras, se rechaz la suposicin de que no habia asociacin estadsticamente significativa entre ambas variables.

Lo anterior, permiti concluir que, al menos para el grupo estudiado, exista asociacin directa entre las puntuaciones obtenidas por los sujetos en las escalas de ansiedad y de depresin y que el riesgo de equivocarse al establecer tal conclusin era menor a 0.05 (equivalente a 5%); lo anterior se simboliz as : la Ha fue rechazada ( p < 0.05).

Procedimiento

1. Confirmar que el propsito del estudio consiste en evaluar la asociacin entre dos variables cuantitativas continuas medidas a un grupo de individuos.

2. Elaborar un cuadro y una grfica de correlacin para caracterizar la forma de la asociacin de ambas variables.

3. Verificar que se cumple la condicin de que ambas variables se distribuyen como la curva normal. Para ello puede utilizarse el clculo del sesgo y de la curtosis de ambas variables, por

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ejemplo con el mtodo de momentos.

4. Mediante la siguiente frmu la, determinar el valor de r p calculado

En caso de no disponer de un programa de cmputo que efecte los clculos, uti lizar una tabla auxiliar de trabajo como la siguiente:

Individuo

2

3

4

5

N

N

N

N

N

Sumatorias

5. Mediante la frmula

Valores de la Valores de la variable variable

X y X2

G.L. == n-2

ubicar el valor a rebasar en la tabla de valores crticos de de rp

y2 xy

6. Rechazar a la Ha si el valor de r p calculado excede al valor crtico de la tabla. En caso contrario sealar que no fue posible rechazarla .

7. De acuerdo al paso anterior, establecer la conclusin referente a si ambas variables parecen tener una asociacin significativa o no.

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Problema resuelto

Los sigUIentes datos fueron recogidos por un investigador:

Paciente

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Sumatorias

Valores de la variable glucosa

X

84

85

81

98

f-- 80 79

69

65

71

L-_ 94

806

I 280 260

b "O 240

~ 220

"O u

200 ..

l 180 L 60

Valores de la variable

colesterol y X2

237

233

238

227

232

208

195

194

201

271

2,236 65,950

..

..

..

..

70 80 90 Glucosa (xl

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l xy

505,222 182,039

100

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Encontr que las variables eran cuantitativas continuas y, adems, que se distribuan como la curva normal porque los siguientes valores le permitan afirmarlo:

Variable cuantitativa continua: Sesgo: Curtosis:

Glucosa 0.16 0.40 .----

Colesterol 2.16 2.50

Mediante la frmula

encontr que el valor de r p calculado era de 0.80

Mediante la frmula G.L. = n - 2 encontr que el valor crtico a rebasar era de 0.632

Co nsiderando que el valor de r p calculado rebasaba al valor de r p crtico concluy los siguiente: es posible rechazar a la Ho (p < 0.05)

Finalmente, el investigador inform que en el grupo de sus diez pacientes exista una asociacin estadsticamente significativa y que el ri esgo de equivocarse al afirmar tal conclusin era menor a 0.05

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Problemas a resolver

A continuacin se presentan dos tablas con datos de 20 mujeres y de 20 hombres.

Considere a las variables cuantitativas como si fueran continuas y suponga que ambas tienen distribucin semejante a la de la curva normal.

Existe asociacin estadsticamente significativa entre el coeficiente intelectual y el tamao del cerebro?

Tabla de valores de las mujeres

... : c!~~~:~~i~!S ( :' : de mega

.. i Coeficiente : r~~~:~ ~~ ~~(? ... _, ....... S?~nero r in~el_E!ctual . . . .... ~.~t::~r::'~rL

Femenino 133 817 . . . . . . .. ". ' . ......... ..... ~ ... . . . ................... -.-. ,_ .- .. .

2 Femenino 137 952 . H ..... . .. .

. . . '. :

3 Femenino 99 929 .... . ......... ... .... , .. . ... , ....... , ..... ..

4 Femenino 138 ... . ; 991 0

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Tabla de valores de los hombres

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Tabla de valores crticos del coeficiente de correlacin de Pearson a los niveles de significancia de 0.05 y de 0.01

Grados 0.05 0.01 Grados 0.05 0.01 de de

li bertad libertad 1 0.997 0.9999 35 0.325 0.418 2 0.950 0.990 36 0.320 0.413 3 0.878 0.959 38 0.312 0.403 4 0.811 0.917 40 0.304 0.393 5 0.754 0.874 42 0.297 0.384 6 0.707 0.834 44 0.291 0.376 7 0.666 0.798 45 0.288 0.372 8 0.632 0.765 46 0.284 0.368 9 0.602 0.735 48 0.279 0.361

10 0.576 0.708 50 0.273 0.354 11 0.553 0.684 55 0.261 0.338 12 0.532 0.661 60 0.250 0.325 13 0.514 0.641 65 0.241 0.313 14 0.497 0.623 70 0.232 0.302 15 0.482 0.606 75 0.224 0.292 16 0.468 0.590 80 0.217 0.283 17 0.456 0.575 85 0.211 0.275 18 0.444 0.561 90 0.205 0.267

f----19 0.433 0.549 95 0.200 0.260 20 0.423 0.537 100 0.195 0.254 21 0.41 3 0.526 125 0.174 0.228 22 0.404 0.515 150 0.159 0.208 23 0.396 0.505 175 0.148 0.193 24 0.388 0.496 200 0.138 0.181 25 0.381 0.487 300 0.113 0.148 26 0.374 0.479 400 0.098 0.128 27 0.367 0.471 500 0.088 0.115 28 0.361 0.463 1,000 0.062 0.081 29 0.355 0.456 30 0.349 0.449 32 0.339 0.436 34 0.329 0.424

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