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SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE DINAMICA __________________________________________________________________________________________________________

Autor: VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

126

PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO

2-1 .- El anillo tiene un radio interior de 55 mm yun radio exterior de 60 mm y se encuentra colocadoentre dos ruedas y , cada una de 24 mm deradio exterior. Si la rueda gira con una velocidadconstante de 300 RPM y hay rodamiento,determine: a) la velocidad angular del anillo y dela rueda y b) la aceleracin de los puntos A y Bque estn en contacto con .

Solucin

Los tres cuerpos tienen movimiento alrededor de ejesfijos (ver figura P2-1a).

1).- Clculo de las velocidades angulares:

1030

*300 (rad/seg)

24024*10 A A r V (mm/seg)

57.12460

240

CA

A

r V

(rad/seg)

12030

*4

RPM

22055*4 CB B r V (mm/seg)

8.2824

220

B

B

r

V (rad/seg)

27530

*24

220

RPM

2).- Clculo de las aceleraciones de A y B:

P2-1

AB

P2-1a

ne

ne '


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127

nnn A A eeer a 69.23024.0*100 22

(m/seg2)

7.23 Aa (m/seg 2)

nnn B B eeer a '9.19'024.0*8.28' 22

(m/seg2)

9.19 Ba (m/seg2)

2-2 .- El engranaje est conectado con elengranaje como se indica. Si parte delreposo y tiene una aceleracin angular constantede = 2 rad/seg 2, determine el tiempo para que

obtenga una velocidad angular de = 50rad/seg.

Solucin1).- Por movimiento de rodadura de losengranajes de y (ver figura P2-2a):

5.02.0

5.0*

2.0*

B

B

V

V

12550*5.22.05.0 rad/seg

2).- Clculo del tiempo para que seaigual a 125 rad/seg :

t t t 21250

5.62t seg

P2-2

A

B

P2-2a


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128

2-3 .- Una placa rectangular se sostiene mediantedos barras de 150 mm como se muestra.Sabiendo que en el instante que se indica lavelocidad angular de la barra AB es de 4 rad/segen sentido de las manecillas del reloj.Determinar: a) la velocidad angular de la placay b) los puntos de la placa con una velocidadigual o menor que 150 mm/seg.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular de la placa,utilizando el mtodo de los centros instantneos develocidad nula (Ver figura P2-3a, dimensiones enm):

6.015.0*4 AB AB B r V m/seg

32.0

6.0

iBC

B

BGD r

V rad/seg

k BDG 3 (rad/seg)

2).- Clculo de la distancia de los puntos con velocidad igual o menor a 150 mm/seg:

r r V BGD 315.0 05.0r m

Los puntos que tienen igual o menor de 150 mm/seg de la velocidad, sern aquellos puntos que estn a unadistancia r 50 mm del centro instantneo C i de la placa.

2-4 .- En el instante indicado, el brazo AB tiene una velocidad angular AB = 0.5 rad/seg. Determine lavelocidad angular del cubo de basura en este instante, usando el mtodo de los centros instantneos develocidad nula.

P2-3

P2-3a

X

Y


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129

C i

Solucin

1).- Determinacin del centroinstantneo de velocidad nula (ver figuraP2-4a, dimensiones en m):

4.0i BC r m

346.0iCC r m

2).- Clculo de la velocidad angular delcubo de basura:

45.09.0*5.0 BV m/seg

125.1

4.0

45.0

iBC

B BC

r

V rad/seg

389.0346.0*125.1 iC C BC C r V m/seg

31.025.1389.0

DC

C CD r

V rad/seg

k CD 31.0 (rad/seg)

2-5 .- Una rueda de 60 mm de radio se conecta a unsoporte fijo D por medio de las dos barras AB y BD.En el instante indicado, la velocidad del centro A dela rueda es de 300 mm/seg a la izquierda,

determnese utilizando el mtodo de los centrosinstantneos de velocidad nula: a) la velocidadangular de cada barra y b) la velocidad del pasador B.

P2-4

AB

P2-4a

P2-5


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130

0 , 2 4 m

Solucin

1).- Obtencin de los centros instantneos develocidad nula (ver figura P2-5a) y clculoselementales:

840245

74.73 1212 C C

C C tg mm

7802

AC mm

875245

74.73cos 22

DC DC

mm

6252 BC mm

2).- Clculo de las velocidades:

560

300 rad/seg

385.0780300

2 AC V A

AB rad/seg k AB 385.0 (rad/seg)

625.240625*385.02 BC V AB B mm/seg ji senV B 74.73cos74.73625.240 jiV B 374.67231 (mm/seg)

963.0250

625.240 DBV B

BD rad/seg

k BD

963.0 (rad/seg)

2-6 .- Las barras 1 y 2 (ver figura P2-6) estn articulados entre si en A. Encuentre la velocidad angular dela barra 1 y la velocidad del punto B cuando las barra estn alineados por primera vez, usando el mtodo delos centros instantneos de velocidad nula, si 2 = 0.2 rad/seg (constante). Sugerencia: para encontrar estconfiguracin, dibuje una serie de diagramas de 1 y 2 , cuando 2 gira en sentido antihorario desde la

posicin mostrada y se evidenciara el alineamiento de 1 y 2.

P2-5a


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131

4 m

VA

C i B

Y

X

O

A

Solucin

1).- Diagrama para el instante de inters:

2).- De acuerdo al diagrama P2-6a, el centroinstantneo se encuentra en B, luego:

0 BV

16.08.0*2.02 OA A r V m/seg

04.0416.0

1 BA

A

r V

rad/seg

k 04.01 (rad/seg 2)

2-7 .- En el dibujo simplificado de un rodamiento de bolas, que aqu se muestra, el dimetro del anillointerior es de 2.5 plg y el dimetro de cada bola es de0.5 plg. El anillo exterior est estacionario,mientras que el anillo interior tiene velocidadangular de 3600 RPM. Determnese: a) la velocidad

del centro de cada bola, b) la velocidad angular decada bola y c) el nmero de vueltas por minuto quecada bola realiza en el anillo exterior.

P2-6

1

2

X

Y

P2-6a

2.5 plg

P2-7

O

2


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132

C i

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular de las bolas (de uno solo, ver figura P2-7a):

24.47125.2

*30

*3600

OA P r V plg/seg

48.9425.024.471

iP C

P

r V

rad/seg

900030

*48.942 RPM

2).- Clculo de la velocidad del centro de cada bola:

62.23525.0

*48.942 iGC G r V plg/seg

3).- El nmero de vueltas que da cada bola:

08.1575.162.235

OG

GG r

V rad/seg 1500

30*08.157

G RPM

2-8 .- Para la figura, en el instantemostrado, hallar: a) Usando el mtodo delos centros instantneos de velocidad nula,la velocidad angular de A, b) la aceleracin

angular de A. Utilizar los siguientes datosr A = 0.3 m, r B = 0.2 m, CD = 5 m y V B =0.2 m/seg constante, adems el disco Arueda sin deslizar

.

Solucin

P2-7a

P2-8

C


8/111



133

C3

D

VBVD

VC

C

60 45

15

45

60

30

5 m

C

C2 B C 1

X

Y

1).- Determinacin de los centros instantneos (ver figura P2-8a):

Por ley de senos:

1205

451522

sen senC C

sen DC

494.12 DC m

082.42 C C m

4.01 DC m

3.03 C C m


12.02.0

1 BC V B

B rad/seg (antihorario)

4.04.0*11 DC V B D m/seg

2677.0494.1

4.0

2 DC V D

CD rad/seg

093.1082.4*2677.02 C C V CDC m/seg

64.33.0

093.1

2 DC V C

A rad/seg (antihorario)

3).- Clculo de la aceleracin angular de A.-

a).- Clculo de la aceleracin de D, como parte de B:

iiir i BC a B DC B B D 2.02.0*14.02.0 221212 (m/seg 2)

b).- Clculo de la aceleracin de C, como parte de DC:

DC CD DC CD DC r r xk aa 2

P2-8a


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134

X'B

B' BC

C'

O

X

Y

ji ji xk aa

CD DC 2

2

2

25*2677.0

2

2

2

25 2

jia CDCDC 5355.3253.05355.3453.0 (1)

c).- Clculo de la aceleracin de c, como parte de A:

ji j seni AC a A A AC 15.026.03030cos3 (2)

(1) = (2) e igualando componentes:

ACD 26.05355.3453.0 453.026.05355.3 ACD

A A 15.0453.026.0253.0 706.0.11.0 A

42.6 A rad/seg2 (horario)

2-9 .- Los engranajes 1 y 2 representados en la figura, tienen 25 y 50dientes respectivamente. La barra 3 tiene2 pies de longitud y el radio de paso de 2 es de 1 pie. Determine la velocidad del

punto A cuando = 90. Si X BO = 2 sen(0.2 t) en pies, con t en seg y en t = 0, =0.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad de B en = 90:P2-9

1

2

3

A

2 pie

BO

XOB

C

VB

P2-9a


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135

732.130cos2' OBr pies

268.1732.02' B X piesSi:

t sen X B 2.02268.1'

093.1t seg

t X B 2.0cos26.1' 974.0' B X pie/seg

2).- Clculo de la velocidad de C cuando = 90:

BC BC r xk V V 3

ji xk iV C 732.1974.0 3

jiiV C 33 732.1974.0 (pie/seg)

Igualando componentes:

iV C 974.003 (pie/seg)

3).- Clculo de la velocidad angular de 2:

974.01974.0

2 OC

C r V

rad/seg k 974.02 (rad/seg)

4).- Clculo de la velocidad de A:

a).- Clculo del radio de paso del engranaje 1:

5.01*50

251

2

1

2

1 r

Z

Z

r

r pies

b).- Clculo de la velocidad angular de 1:

948.15.0

974.012211 r r rad/seg


11/111



136

2 pies

A'A

B

C

Y

X

Ci

A

G

k 948.11 (rad/seg)

c).- Determinacin de la velocidad del punto A:

ji xk r xV AO A 974.05.0948.1'1 (pie/seg)2-10 .- El engranaje tiene un movimientoangular = 2 rad/seg y = 4 rad/seg 2 en elinstante mostrado en la figura. Determine lavelocidad y aceleracin angulares del enlaceranurado BC para el instante indicado. Si el

perno A est fijo al cilindro.

Solucin

Sea A punto coincidente con A, pero perteneciente a CB.

1).- Clculo de la velocidad y aceleracin de Acomo parte del engranaje (ver figura P2-10a):

j xk r xk V iAC A 2.12

iV A 4.2 (pie/seg) (1)

GAGAG A r r xk aa 2

j j xk ia A 5.045.044*7.0

jia A 28.4 (pie/seg2) (2)

2).- Clculo del movimiento de A, tomandocomo punto base B (ver figura P2-10b):

P2-10

G0.7 pies

0.5 pies

P2-10a

P2-10b


12/111


13/111


14/111



139

C i

Vo

Vo

C1 C2VC1

VC2

C i

Y

X

El hombre que sera atropellado es el bajo, por que la distancia del centro del carrete al hombre disminuyegradualmente (ver figura P2-11a).

2).- Clculo del tiempo en que tardar en atropellar al hombre bajo:

a).- Clculo de V C2:

00

20 222 V

RV

R RV RV

C (Unidad de velocidad)

VC2 es constante, por que tiene magnitud y direccin constante

b).- Clculo de tiempo en que tardar en atropellar:

0022 V V V V C H

C (Unidades de velocidad)

02

2 5V R

V r

t

H C

H C (Unidades de tiempo)

2-12 .- En el instante indicado = 60 y la barra AB est sujeta a una aceleracin de4 m/seg 2 cuando la velocidad es de 8m/seg. Determine en ese instante: a)usando el mtodo de los centrosinstantneos de velocidad nula, lavelocidad angular de la barra CD y b) laaceleracin angular de la barra CD.

P2-11a

P2-12


15/111



140

60

60

120

30

60

30

V

Ci

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular de la barra CDusando el mtodo de los centros instantneo develocidad nula (ver figura P2-12a):

385.1552.08

CiBV

BC rad/seg

62.43.0*385.15 CiC V BC C m/seg

385.153.062.4

DC V

C CD rad/seg

k CD 4.15 (rad/seg)

2).- Clculo de la aceleracin angular de CD:

a).- Clculo de la aceleracin de C, tomando como punto base B:

BC BC BC BC BC r r xk aa 2

j seni j seni xk ia BC C 6060cos3.0*4.156060cos3.04 2

jia BC BC C 62.6115.057.3526.04 (1)

b).- Clculo de la aceleracin de C, tomando como punto base D:

j sen

i

j sen

i xk r r xk a DC DC DC DC DC C

60

60cos3.0*4.15

60

60cos3.0 22

jia BC DC C 62.6115.057.3526.0 (2)


57.3526.026.057.31 DC BC 14.6726.026.0 DC BC (3)62.6115.015.062.61 DC BC DC BC (4)

En (3) reemplazando (4):

11.12914.6752.0 DC DC rad/seg 2

P2-12a


16/111



141

VA

k DC 11.129 (rad/seg2)

2-13 .- Usando el mtodo de los centros instantneosde velocidad nula, encuentre la velocidad del punto Ben la figura, que est obligado a moverse en la guamostrada. La velocidad de es 0.3 rad/seg (horario)en el instante indicado.

Solucin

1).- Determinacin del centro instantneode velocidad nula del bloque (ver figuraP2-13a):

375.0iAC r m

175.0iBC r m


3.01*3.001 A A r V m/seg

3).- Clculo de la velocidad angular de :

8.0375.0

3.02

iAC

A

r V

rad/seg

k 8.02 (rad/seg)

4).- Clculo de la velocidad de B:

14.08.0*175.02 iBC B r V m/seg

P2-13

43

4

3

P2-13a

0.5 m

1 m


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142

O

Y

iV B 14.0 (m/seg)

2-14.- En la figura representada, lacorredera A sube con una velocidad

constante V A. Por el mtodo escalar oanlisis del movimiento plano entrminos de un parmetro, deducir laexpresin de la aceleracin angular de la

barra AB.

Solucin

1).- Representacin grafica (ver figura P2-14a), para uninstante cualquiera:

2).- Clculo de la aceleracin de la barra AB.-

Si:

tg bY b

Y tg A

A (1)

Derivando (1), dos veces respecto al tiempo:

22 cossecb

V bY A A

222 secsec2* btg bY A

Para 0 A

Y :

02 2 tg

cos

cos2 42

senb

V A

b

P2-14

P2-14a


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19/111



144

2-16 .- Un tambor de radio 90 mm estmontado sobre un cilindro de radio 150 mm,se arrolla sobre l una cuerda de cuyoextremo E se tira con una velocidadconstante de 300 mm/seg, haciendo que elcilindro ruede sobre la placa . Sabiendoque sta se mueve hacia a la derecha con unavelocidad constante de 180 mm/seg, calcular:a) la velocidad del centro del cilindro y b) laaceleracin del punto D del cilindro.

Solucin1).- Clculo de la velocidad de A (movimiento derodamiento):

Si:

iV E 3.0 (m/seg) y iV D 18.0 (m/seg)

DE D E r xk V V

i j xk ii 06.018.006.018.03.0

Igualando la componente en i :

206.018.03.0 rad/seg

Luego:

j xk ir xk V V DA D A 15.0218.0

iiV A 3.018.0 iV A 48.0 (m/seg) 48.0 AV m/seg

2).- Clculo de la aceleracin de D; si : aBt = 0 ( VE cte) y aDt = 0 ( VD cte):

nn Bt t B B eaeaa 0

nn Dt t D D eaeaa 0

DA DA D A r r xk aa 2 j xi jaia n D A 415.015.0

P2-16

Y

X


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145

Y

X

D

A

BO


6.0n Da m/seg 2 ja D 6.0 (m/seg 2)

2-17 .- Un mecanismo intermitente para arrastre decinta perforada consiste en la pieza DAB (B, A y Dse encuentran en una lnea) accionada por lamanivela OB. La lnea de trazos representa latrayectoria de la ua D. Hallar la aceleracin de est,en el instante representada, en que OB y CA estn

ambos horizontales; si OB tiene una velocidad derotacin horaria constante de 120 RPM.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad de A y velocidad angularde DAB (ver figura P2-17a):

48.142.0

05.0 sen

566.12430

*120 OB rad/seg

j jV B 6283.005.0*4 (m/seg)

ji xk V jV DAB B A 194.005.0

Igualando componentes y operando:

0194.00 DAB DAB

jV V B A 6283.0 (m/seg)

k k CA 0264.5125.06283.0

( rad/seg )

2).- Clculo de la aceleracin angular de DAB y aceleracin de D:

P2-17

X

Y

P2-17a

ji jV DAB DAB A 05.06283.0194.0


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22/111



147

1 DA

AD

CA

D

a

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular del engranaje en :

Si:

DC DC C r r xV //0

Por el teorema de adicin (ver figura P2-18a):

AD DA (1)

a).- Clculos elementales (ver figura P2-18b):

senb sena

senbb

sen sen

aa sen

y:

sena senb sena senb

Desarrollndole trigonomtricamente:

sena senb senb coscos

ab sen senb coscos

Luego:

ab senb

tg

cos

ab y senb sen coscos

P2-18

P2-18a

P2-18b


23/111

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE DINAMICA


24/111



149

k senab

21 (Unidades de aceleracin)

3).- Clculo de la aceleracin del diente C del engrane .-

Si el movimiento de C es alrededor de un punto fijo D:

0 DC DC C r x xr xa

Si:

sen

b y ji senr DC cos

jbibr DC cot

Luego:

jbib xk senab

a C cot2

1

ji

senbab

sena

ba C

cos2

1

2

j senbibaaba C cos2

1 (Unidades de aceleracin)

2-19 .- El carrete cnico rueda sobre lasuperficie de la placa. Si el eje AB tiene unavelocidad angular de 1 = 3 rad/seg y unaaceleracin angular 1 = 2 rad/seg

2 en elinstante indicado, determine la velocidadangular y la aceleracin angular del carrete eneste instante.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular de respecto a .-

C

P2-19

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE DINAMICA150


25/111



150

1 AB

AB

a).- Si:

AC AC C r r xV //0

b).- Por el teorema de adicin (ver figura P2-19a):

AB AB (1)

En (1):

k sen jk j AB 2020cos1


20cos AB

y 201 sen AB

201

sen AB

Luego:

2424.820cot320cot1 rad/seg j24.8 (rad/seg)

2).- Clculo de la aceleracin angular de respecto a :

Derivando (1) respecto al tiempo:

AB AB AB AB x

k sen j sen

k sen j sen

xk k 2020cos20

2020cos20

1111

jik jk j xk k 20cot220cot9220cot220cot332

ji 495.573.24 (rad/seg 2) 33.25 rad/seg 2

P2-19a

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE DINAMICA 151


26/111

SO UC O O O S C __________________________________________________________________________________________________________


151

O

H

H

2-20 .- El engranaje est fijo al cigeal ,mientras que el engranaje est fijo a , y elengranaje est libre para girar. Si el cigeal estgirando con 1 = 80 rad/seg alrededor de su eje,determine las magnitudes de la velocidad angularde la hlice y la aceleracin angular de . Si r A =0.4 pies y r B = 0.1 pies.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad angular de la hlice:

Si el engranaje , tiene un movimiento alrededor deun punto fijo O (ver figura P2-20a):a).- Clculo de la velocidad de 1 y 2 como partede :

01011 0 r xr xV H H

k j x jk V H H

4.01.01

iV H H

4.01.01

Luego:

04.01.0 H H

(1)

02022 r xr xV H H

k j x jk V H

H 4.01.02

iV H H

4.01.02 (2)

b).- Clculo de la velocidad de 2 como parte de :

ik x jk r x jr xV A 324.0801322 (pie/seg) (3)

(2) = (3):

P2-20

O

P2-20a



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__________________________________________________________________________________________________________


152

324.01.0 H H

(4)

c).- Resolviendo las ecuaciones (1) y (4):

04.01.0 H H

324.01.0 H H

40328.0 H H rad/seg

En (1):1604 H

H (rad/seg); luego k j 16040 (rad/seg)

La velocidad angular de la hlice es:

j H 40 (rad/seg)

2).- Clculo de la aceleracin angular del engranaje en :

k x j x H H

H H

1604000

i6400 (rad/seg 2)

2-21 .- La barra AB est unida mediantearticulaciones esfricas al collarn A y al disco giratorio de 320 mm de dimetro. Sabiendo que eldisco gira en el plano ZX en sentido contrario almovimiento de las manecillas del reloj, a unavelocidad constante = 4 rad/seg, determine lavelocidad del collarn A.

Solucin

De la figura )16.0,0,5.0()0,4.0,0( B y A

1).- Clculo de la velocidad de B:

A

C

O

P2-21



28/111

__________________________________________________________________________________________________________


153

ik x jr xV CB B 64.016.04 (m/seg)


Si: jV V A A

a).- La velocidad angular de AB, considerando que n es la nica que acta en AB:

16.04.05.0

64.0 Z Y X BAn B A

k ji

ir xV V

k ji jV Y X X Z Z Y A 5.04.016.05.04.016.064.0


Y Z Z Y 4.06.164.04.016.0 (1)

A Z X V 5.016.0 (2)

Y X Y X 45

05.04.0 (3)

b).- Si: 0. BAn r

016.04.05.0 k jik ji Z Y X

016.04.05.0 Z Y X (4)

(1) y (3) en (4):

0064.0256.04.0625.0 Y Y Y

235.0256.0089.1 Y Y rad/seg

En (1): 506.1 Z rad/seg

En (3): 294.0 X rad/seg

En (2): 8.0 AV m/seg jV A 8.0 (m/seg)



29/111

__________________________________________________________________________________________________________


2-22 .- El disco en la figura gira a = 10 rad/seg en sentido antihorario (mirando desde arriba susuperficie horizontal). Un disco ms pequeo rueda radialmente hacia fuera a lo largo de un radio OD de

. En el instante mostrado, el centro C de est a 4 pies del eje de rotacin de , y est distancia crece a

razn de 2 pies/seg. Determine la velocidad y aceleracin del punto E que se encuentra en la parte superiorde en el instante dado.

Solucin

El cuerpo tiene un movimiento general en el espacio:

1).- Clculo del movimiento angular de .-

a).- Clculo de la velocidad angular de respecto al marco inercial:

i).- ji xk r xV OGG 40410 (pie/seg)

ii).- ji jieeV C 40210*42 (pie/seg) (1)

k x jr xV V GC GC

40

jik x jk jV C 401040

(2)(1) = (2):

j22 (rad/seg)

k j 102 (rad/seg)

P2-22

G

10 pieX

Z

D



30/111

__________________________________________________________________________________________________________


b).- Clculo de la aceleracin angular de :

i j xk x 20210

00

(rad/seg 2)

2).- Clculo de la velocidad de E, respecto al marco inercial:

k xk j jir xV V CE C E 102402 jiV E 404 (pie/seg)

3).- Clculo de la aceleracin de E.-

Si:

jieea C 404002

0

20

(pie/seg

2)

Luego:

CE CE C E r x xr xaa

i

E k xk j xk jk xi jia

2

1021022040400

k jia E 480400 (pie/seg 2)

2-23 .- Varias barras se sueldan juntas para formarel brazo gua del robot mostrado en la figura, queest unido a una articulacin esfrica en O. La

barra OA desliza en una ranura recta inclinada,mientras la barra OB desliza en una ranura paralelaal eje Z. Sabiendo que en el instante mostrado

k V B 180 (mm/seg) constante, determine: a) lavelocidad angular del brazo gua, b) la aceleracinangular del brazo gua y c) la aceleracin de C.(dimensiones en mm).

Solucin

Se trata de un movimiento del cuerpo rgidoalrededor de un punto fijo en :

1).- Clculo de la velocidad angular del cuerpo:P2-23

z

y

x



31/111

__________________________________________________________________________________________________________


Si:

OB B r xk V 18.0

j xk jiV Z Y X B 24.0 k ik X Z 24.024.018.0 Igualando componentes y operando:

024.00 Z Z

75.024.018.0 X X rad/segTambin:

A A V jiV 25

1 y OA A r xV

k x jiV Y A 2.075.0 Igualando componentes y operando:

335.075.02.05

1 A A V xV m/seg

5.12.05

2 Y Y AV rad/seg

Luego:

ji 5.175.0 (rad/seg)

2).- Clculo de la aceleracin angular del brazo gua :

a).- Si: j ja B

135.024.0

18.0 2 (m/seg 2) (1)

Adems:

OBOB B r x xr xa (2)


157


32/111


k i j xk jir x X Z Z Y X OB 24.024.024.0

jik x jir x x B

V

OB 135.027.018.05.175.0

En (1) y (2):

k ji j X Z 24.0135.024.027.0135.0


125.124.027.00 Z Z rad/seg 2

024.00 X X

b).-Si: k aa jia nt A 25

1 (3)

Adems:

OBOA A r x xr xa (4)

ik xk jr x Y Y OA 2.02.0125.1

jik x jir x OA 15.03.02.05.175.0

k ji x jir x x AV

OA 5625.015.03.05.175.0

En (3) y (4):

k ik a jia Y nt 5625.02.025

1


005

t t a

a y 02.0

5

2 Y Y

t a rad/seg 2

k 125.1 (rad/seg 2)

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE DINAMICA __________________________________________________________________________________________________________158


33/111


3).- Clculo de la aceleracin de C:

OC OC C r x xr xa (5)

jik ji xk r x OC 1125.009.004.008.01.0125.1 (m/seg 2)

k ji x jir x OC 04.008.01.05.175.0

k jir x OC 09.003.006.0 (m/seg)

k ji x jir x x OC 09.003.006.05.175.0

k jir x x OC 1125.00675.0135.0 (m/seg 2)

Luego:

k jia C 1125.00675.01125.0135.009.0

k jia C 1125.018.0225.0 (m/seg 2)

309.0C a m/seg2

2-24 .- El extremo C de la barra doblada se apoyasobre el plano horizontal mientras que los puntos

extremos A y B estn restringidos a moverse a lolargo de ranuras. Si en el instante indicado A seest moviendo hacia abajo con una rapidez de V A = 4 pies/seg, determine la velocidad angular de la

barra y las velocidades de los puntos B y C.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad de B, tomando como

punto base o conveniente a A:

8.04.00

4 Z Y X AB A B

k ji

k r xV V

P2-24


159


34/111


k ji jV X X Z Y B 44.08.04.08.0


04.08.0 Z Y (1)

B X V 8.0 (2)

10044.0 X X rad/seg

En (2):

8 BV pie/seg jV B 8 (pie/seg)

2).- Clculo de la velocidad de C, tomando como punto base o conveniente A:

122

4 Z Y X AC AC

k ji

k r xV V

k ji jV iV Y X X Z Z Y CY CX 42222


Z X CX V 2 (3)

X Z CY V 2 (4)

842204220 Y Y Y X rad/seg

En (1):

164.08*8.0 Z Z rad/seg

Luego:

k ji 16810 (rad/seg)

En (3):



35/111


40328 CX V pie/seg

En (4):

421016*2 CY V pie/seg

Luego:

jiV C 4240 (pie/seg)

2-25 .- La varilla BC de longitud 600 mm estconectada mediante rtulas a un brazo rotatorio AB ya una corredera C que desliza por la gua fija ED.Sabiendo que la longitud de AB es 100 mm y queste gira a la velocidad constante 1 = 10 rad/seg,hallar la velocidad de la corredera C cuando = 90.

Solucin

De la figura, para = 90:

),0,1.0()0,3.0,0( Z C y B m

k Z jiCB 3.01.0

2222 3.01.06.0 Z

51.0 Z m1).- Clculo de la velocidad de B:

i j xk r xV AB B 1.0101 (m/seg)2).- Clculo de la velocidad de C, tomando como punto base o conveniente B:

a).- Si:

51.03.01.0 Z Y X BC AB BC C

k ji

ir xV k V V

Resolviendo e igualando componentes:

P2-25

1


161


36/111


Z Y 3.051.010 (1)

X Z X Z 1.551.01.00 (2)

Y X C V 1.03.0 (3)

(2) en (1):

96.13 X Y (4)

b).- Si el movimiento angular es perpendicular a CB:

0 BC AB r

051.03.01.0 k jik ji Z Y X

051.03.01.0 Z Y X (5)

Reemplazando en (5), (2) y (4):

588.0601.30601.2588.09.01.0 X X X X

163.0 X rad/seg

En (4):471.196.1489.0 Y rad/seg

En (3):

196.0471.1*1.0163.0*3.0 C V m/seg k V C 196.0 (m/seg)

2-26 .- El cilindro hidrulico produce unmovimiento horizontal limitado del punto A. SiVA = 4 m/seg cuando = 45, hallar el mdulode la velocidad de D y la velocidad angular de

ABD para est posicin; usando el mtodo de loscentros instantneos de velocidad nula.

P2-26



37/111


Ci

VA

Solucin

1).- Determinacin del centro instantneo de velocidad nula y clculos elementales (ver figura P2-26a).-

a).- Por la ley de senos:

22

*4.0

25.04.045

25.0

sen

sen sen

77.10823.26 y

Luego:

77.6323.2690

b).- Por ley de csenos:

77.108cos25.0*4.0*225.04.0 222 AO

536.0 AO m

536.0 AC i m

77.63cos6.0*536.0*22.04.0536.0 222 DC i 603.0 DC i m

2).- Clculo de los movimientos pedidos:

46.7536.04

AC V

i

A ABD rad/seg

5.4603.0*46.7 DC V i ABD D m/seg

2-27.- En el instante representado, la manivela OB tiene unavelocidad angular horaria = 0.8 rad/seg y se encuentra en

posicin horizontal. Hallar las correspondientes magnitudes dela velocidad del rodillo A en la ranura de 20 y de la velocidaddel punto C equidistante de A y B, usando el mtodo de loscentros instantneos de velocidad nula.

Solucin

1).- Determinacin del centro instantneo (ver figura P2-27a) yclculos elementales:

P2-26a

P2-27


163


38/111


20

70

VB

O

2 5 0

m m

Ci

433.025.05.0 22 AO m

158.020433.0 tg CiO m

461.0158.0433.0 22CiA m

60cos25.0*408.0*2408.025.0 222CiC

356.0CiC m


2.025.0*8.0 OB B r V m/seg

49.0408.0

2.0

iBC

B BA r

V rad/seg

226.0461.0*49.0 iAC BA A

r V m/seg

174.0356.0*49.0 iC C BAC r V m/seg

2-28 .- La rotacin de la palanca OA gobierna elmovimiento del disco circular en contacto con ella,a cuyo centro se le comunica una velocidadhorizontal V. Hallar la expresin de la velocidadangular de OA en funcin de X.

Solucin

1).- Determinacin de la posicin de C en funcin deun parmetro (ver figura P2-28a):

cscr X X r

sen (1)

Derivando (1) dos veces respecto al tiempo:

cotcscr X

P2-27a

P2-28

C

P2-28a



39/111


O

X

Y

CCi

VC

cos

2

r sen X

Reemplazando: V X

tg senr V (Unidades de velocidad angular)

2222**

r X X

r V

r X

r X r

r V

(Unidades de velocidad angular)

2-29.- El gran carrete de cable para transporte de energa rueda cuesta arriba por accin del vehculo deservicio del modo que se muestra. El vehculo parte del reposo con X = 0 respecto al carrete y se acelerauniformemente a 0.6 m/seg 2. Calcular, para el instante en que X = 1.8 m, la aceleracin del punto P delcarrete que se indica.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad de C (del cable) :

Si:

OOiC

C iC C

OiC

OOiC O

C iC

C C iC C

V r

r V

r

V r V

r V r V

Luego:

X X X C 5.01000500

Tambin:

P2-29

X

Y

P2-29a


165


40/111


A CB

r r r/2

08.18.1*5.0*6.0*222 C C aX V (m/seg)2 04.1C V m/seg

2).- Clculo del movimiento angular del gran carrete:

08.25.0

04.1C C

V

i

C rad/seg k 08.2 (rad/seg)

j j xk jr r xk aa iC C iC C iC C 5.008.25.008.2 222

ji jaia nC t C 16.25.0

Igualando componentes en i :

2.15.06.0 rad/seg k 2.1 (rad/seg 2)

3).- Clculo de la aceleracin de P:

ji ji xk jr r xk aa iP C iP C iC P 326.42.1326.42

jii j ja P 326.4326.42.12.1326.4

jia P 2.1126.3 (m/seg 2) 348.3 P a m/seg 2

2-30.- El engranaje 1 y la manivela 2 tienenvelocidades angulares 0 (rad/seg) y aceleracionesangulares 0 (rad/seg 2) en el instante mostrado en lafigura, en las direcciones indicadas. Encuentre losvectores, velocidad angular y aceleracin angular delos engranajes 3 y 4 en el mismo instante, si 2 esta articulada a 1, 3 y 4.

Solucin

1).-Clculo del movimiento angular de 3.-

a).- Por rodamiento:

jr ir xk r xV A 00111

B B r xV V 131

P2-30

1

2

3 4

r /2 r

X

Y

P2-30aX

Y

4

3

2

1

1 2



41/111


Luego:

jr

jr ir

xk V V B 3031 22

(1)Tambin:

jr ir xk r xV AB B 002 23

23

(2)

(1) = (2):

03030 523

2 r r r

k 03 5 rad/seg

b).- Se sabe, que la aceleracin tangencial del engranaje 1 en 1 es igual a la aceleracin tangencial delengranaje 3 en 1:

ir jr ir i xr k r r xa A A 2002001211111

jr a t 011 (3)

Tambin:

ir ir xk a B2

3

2

3 200

1231313 B B B r r xk aa

ir ir xk ir jr a

225

223

23 2

0320013

ir jr r a 203013 11223

jr

r a t

3013 223

(4)


167


42/111


(3) = (4):

30300 2

1

2

5

22

3 r r r

k 03 5 (rad/seg 2)

3).- Clculo del movimiento angular de 4.-

a).- Si:

ir xk jr r xV V B B 25

23

00232

jr V 02 4

Luego:

jr jr ir xk jr r xk V V C C 4040242

44 (5)

Tambin:

jr ir xk r xV AC C 022 33 (6)

(5) = (6):

04004 34 r r r

k 04 (rad/seg)

b).- Si:

ir ir xk jir r r xaa B B B 2252523 2

000202

232323

jr jr r a t 00023 425

23

(7)

Tambin:



43/111


jr ir ir ir xk r r xa AC AC C 020200222 3333

ir ir xk ar r xk aa C C C C 2

042

2

42424

jr r ir r a 04202024 33

jr r a t 0424 3 (8)

(7) = (8):

04040 34 r r r k 04 (rad/seg 2)

Nota.- Para engranajes se demuestra (una vez ms):

33 y 44 ; por que son funcionescompletamente generales del tiempo en movimientosen el plano.

2-31.- En el dispositivo que se muestra, la barra ABest girando con una velocidad angular de 5 rad/seg enel sentido de las agujas del reloj: Cules sern lasvelocidades angulares de la barra BD y del cuerpoEFC? Determinar la velocidad de H respecto a EFC.Sugerencia: Todo los puntos de BD se trasladan en

EFC; qu implica esto para los movimientosangulares de BD y EFC?

Solucin

Sea H un punto del cuerpo EFC coincidente con H dela barra BD.1).- Clculo de la velocidad de H, tomando como

punto base o conveniente C (ver figura P2-31a):

306.060 1 sen sen

30cos8.160cos 1

30cos8.1306.0

601

1 sentg

11 5.06.05.112.3 26.11 m y 42.1 m

23.160 sen m y 71.060cos m

P2-31a

P2-31

1


169

L


44/111


Luego:

ji xk j seniV V EFC EFC

H H 23.171.03030cos

jV iV V EFC EFC

H EFC EFC

H H

71.05.023.1866.0 (1)

2).- Clculo de la velocidad de H, tomando como punto base o conveniente A:

j seni xk j xk r xk V V BD BH BD B H 3030cos26.16.05

jiV BD BD H

09.163.03 (2)

EFC BD por que ambos cuerpos no cambian de orientacin entre ellos.

(1) = (2), igualando componentes y operando:

5.0*63.0323.1866.0 BD BD EFC H V (3)

866.0*09.171.05.0

BD BD EFC

H V (4)

19.126.15.11026.1 4 BD BD BD x rad/seg

284.419.109.119.171.05.0 EFC

H EFC

H V x xV m/seg

ji j seniV EFC

H 142.271.33030cos284.4 (m/seg)

2-32.- El cono de revolucin ruedauniformemente sobre el cono de revolucin fijo y realiza una vuelta completa alrededor de cadacuatro segundos. Calcular el mdulo de la

aceleracin angular del cono .

Solucin


Si: P2-32

C



45/111


OC OC C r r xV //0

Por el teorema de adicin (ver figura P2-32a):

z Z

(1)

k k sen jk j z z

367.31367.31cos22

(2)

Por enunciado del problema:

242

z rad/seg

En (2), igualando componentes y operando:

z 854.022

(3)

252.0

22

z

(4)

(3) en (4):

703.42

52.0854.0 z z z

rad/seg

En (3):

68.5 rad/seg

2).- Clculo de la aceleracin angular de , derivando (1) respecto al tiempo :

P2-32a

Z

Z


171

00


46/111


k j xk x z z z

52.0854.0703.42

i31.6 (rad/seg 2)

31.6 rad/seg 2

2-33.- Hallar la velocidad y la aceleracin del pasadorB de la rueda en . Adems hallar la velocidad angularde la barra en la que desliza el pasador B, cuando: =

30, la velocidad de C es constante e igual a 7 m/seg, yla rueda rueda sin deslizar.

Solucin

1).- Clculo de la velocidad y aceleracin angulares dela rueda:

667.116.07

AC

C

r V

rad/seg

k 667.11 (rad/seg)

00 ir a C

2).- Clculo de la velocidad y aceleracin de B en :

ji ji xk ir xV V CBC B 942.4949.1122

6.06.0

77 (m/seg) (1)

ji jir a CB B 747.57747.5722

6.0*667.11 22 (m/seg 2)

3).- Clculo de la velocidad angular de en .-

Sea: B punto perteneciente a la barra , coincidente con el punto B de la rueda.

ji sen xk ji senV V V V B B B B 30cos30330cos30'

P2-33

C

X

Y



47/111


j senV i senV V B B B

30330cos30cos330 (2)

(1) = (2):

30cos*949.1130cos330 senV B

30*949.430330cos sen senV B

625.28737.73 rad/seg

k 625.2 (rad/seg)2-34.- El cursor y la horquilla A reciben una

velocidad ascendente de 0.2 m/seg durante unintervalo de su movimiento, produciendo eldeslizamiento del extremo B por la ranura del discogiratorio. Hallar la aceleracin angular de la barracuando pasa por la posicin z = 75 mm. El disco giraa la velocidad angular constante de 2 rad/seg.

Solucin

La barra AB tiene un movimiento general en el espacio.

1).- Clculo de la velocidad angular de la barra AB:

Si:

k i A AB A A AB AB 2 (1)

a).- Clculo de la velocidad de B, respecto a O en :

jii jV B 2*1.0 (2)

b).- Clculo de la velocidad de B, como parte de la barra AB:

k j xk ik r xV V A AB AB AB A B 075.01.022.0

k jiV A

AB A

AB B

1.02.0075.02.0 (3)

O

mm125

P2-34

P2-34a


173

(2) = (3) igualando componentes y operando:


48/111


201.02.0 A

AB A

AB rad/seg

15.02075.0 m/seg

Luego en (1):

k i AB 22 ( rad/seg) 83.2 AB rad/seg

2).- Clculo de la aceleracin angular de AB:

Derivando (1) respecto al tiempo:

i xk i x A

AB A A

AB A A

AB AB 220

ji A

AB AB 4 (rad/seg2) (4)

a).- Clculo de la aceleracin de B, respecto a O:

i ji ja B 2*15.0*24*1.022

jia B 4.06.0 (5)

b).- Clculo de la aceleracin de B, como parte de la barra AB:

AB AB AB AB AB A B r x xr xaa 0

k j x jir x A

AB AB AB 075.01.04

k jir x A AB A AB AB AB

1.0075.03.0

k jik j xk ir x AB AB 2.015.02.0075.01.022


kji


49/111


k ji

k ji

r x x AB AB AB 3.08.03.0

2.015.02.0

202

k jia A

AB A

AB B

1.03.0075.08.06.0 (6)

(5) = (6), igualand o componentes en z y operando :

31.03.00 A

AB A

AB rad/seg2

En (4):

ji AB 43 (rad/seg 2) 5 AB rad/seg 2

2-35.- La rueda de radio r puede giraralrededor del eje acodado CO, el cual giraa su vez en torno al eje vertical a la

velocidad constante de p rad/seg. Si larueda rueda sin deslizamiento a lo largo dela circunferencia horizontal de radio R,determinar las expresiones de la velocidadangular y de la aceleracin angular de la rueda. El eje x permanece siemprehorizontal.

Solucin1).- Clculo de la velocidad angular de en

:

pCO

COCO

(1)

a).- clculo de la velocidad de O, en el

cuerpo rgido (en rodamiento):

jr x pr xV CO

DOO

P2-35

C iD

P2-35a

C


175

jrxksenjpkV cos


50/111


jr xk sen j pk V CO

O cos

i x sen pr r V COO

(2)

b).- Clculo de la velocidad d e O, respecto al eje vertical :

k j sen senr R xk sen j p s x pV O coscos i sen senr R pseni senr R pV O coscos

i senr R pi sen senr R pV O 22cos (3)(2) = (3):

psenr pR psenr r CO

k pr

R p

r R

COCO (Unid. de velocidad angular)

Luego en (1):

k sen j pk pr

R cos

k senr

R j p cos (Unidades de velocidad angular)

2).- Clculo de la aceleracin angular de en :

Derivando (1) respecto al tiempo en :00

p x pCOCO

(CO

= 0 por que depende de p)

i pr

Rk

r R

xk sen j p coscos 2 (Unidades de aceleracin angular)

2-36.- La barra CD presiona contra ABdndole una velocidad angular. Si lavelocidad angular de AB en = 5rad/seg, determine la rapidez necesaria

V de CD, para cualquier ngulo.

P2-36


Solucin

DC se encuentra en movimiento de traslacin cuyos puntos tienen una trayectoria rectilnea X y AB tiene


51/111


DC, se encuentra en movimiento de traslacin, cuyos puntos tienen una trayectoria rectilnea X y AB tieneun movimiento alrededor de un eje fijo, cuyo movimiento angular es la variacin de en el tiempo.

1).- Poniendo el movimiento de C en funcin de un parmetro :

X tg

2

tg X

2 tg X 2 (1)

2).- Derivando (1), respecto al tiempo:

2sec0 X tg X

2

22 sec2sectg tg

X X

Luego:

22

102 sen sen

V 2csc10V (Unid. de velocidad)

2-37.- Las dos poleas de correas trapezoidales formanun conjunto nico que gira alrededor de O. En ciertoinstante, el punto A de la correa pequea lleva una

velocidad V A = 1.5 m/seg, el punto B de la poleagrande posee una aceleracin aB = 45 m/seg 2, talcomo se indica en la figura P2-37. Hallar el mdulode la aceleracin de C en ese instante.

Solucin

Las poleas se estn moviendo alrededor de un eje fijo.

1).- Clculo de la velocidad angular y aceleracinangular de las poleas:

20075.05.1

r V A rad/seg

P2-37

VA

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE DINAMICA _____________________________________________________________________________________________________

154

511245a B rad/seg 2


52/111


5.1124.0 R

rad/seg

2).- Clculo del mdulo de la aceleracin de C:

22222 OC OC nt C r r aaa

587.14936.0*2036.0*5.112 222C a m/seg 2

6.149C

a m/seg 2

2-38.- La leva circular se monta excntricamenterespecto al cojinete fijo en O y gira con velocidadangular constante en sentido antihorario. La levahace que la horquilla A y la barra de mando unidaa ella oscilen en la direccin horizontal X. Escribirlas expresiones de la velocidad V X y la aceleracinaX de la barra de mando en funcin del ngulo ,medido ste desde la vertical. Las superficies decontacto de la horquilla son verticales.

Solucin

La horquilla y la barra de mando tiene unmovimiento de traslacin, y la leva tiene unmovimiento alrededor de un eje fijo, adems nosestn pidiendo la componente en X del movimientode C, que viene a ser el movimiento de la barra demando.

1).- Clculo de la componente en la direccin X de la velocidad de C:

ji senb xk r xV OC C cos

j senibV C cos Luego:

cosbV X (Unid. de Velocidad)

2).- Clculo de la componente en la direccin X de la aceleracin de C:

b

C

P2-38

X

Y


155

jisenbra cos22


53/111


ji senbr a OC C cos

Luego:

senba X 2 (Unid. de aceleracin)

2-39.- Los extremos A y C de las barras articuladasestn controlados por el movimiento vertical de losvstagos de los mbolos de los cilindros hidrulicos.Durante un corto intervalo del movimiento, A poseeuna velocidad ascendente de 3 m/seg y C unadescendente de 2 m/seg. Hallar la velocidad de B enel instante en que Y = 150 mm.

Solucin

Los extremos A y C pertenecen a cuerpos que estn enmovimiento de traslacin, y las barras CB y AB estnen movimiento general en el plano:

1).- Clculo de la velocidad de B tomando como punto base C:

CBCBC B r xk V V

j seni xk jV CB B 2323cos25.02

ji senV CBCB B 223cos25.02325.0 (1)2).- Clculo de la velocidad de B tomando como punto

base A:

AB AB A B r xk V V

j seni xk jV AB B 8383cos25.03

ji senV AB AB B 83cos25.038325.0 (2)

(1)=(2) e igualando componentes:

8325.02325.0 sen sen ABCB ABCB 54.2 (3)

P2-39

X

Y

P2-39a


156

83cos25.03254.2*23cos25.0 AB AB


54/111


024.95554.0 AB AB rad/seg

En (2) (1):

jiV B 275.324.2 (m/seg) 968.3 BV m/seg

2-40.- En el instante representado a = 150 mm y b = 125mm y la distancia a + b entre A y C disminuye a razn de0.2 m/seg. Hallar la velocidad comn V de los puntos B

y D en ese instante, usando el mtodo de los centrosinstantneos de velocidad nula.

Solucin

El cuerpo BD se encuentra en movimiento detraslacin, y las barras AB y CD en movimiento generalen el plano.

1).- Por condicin del problema:

C AC A

C A V V V iV 2.0

C AC A V V iiV iV 2.02.0 (1)

2).- Determinacin del centro instantneo y clculoselementales (ver figura P2-40a):

3).- Clculo de la velocidad de C y de B:

Si:

2.0 A

AB

V y

3.0C

CDV

D BC

CD D

A AB B

V V V bV

V aV

125.0*3.0

*

15.0*2.0

*

C A V V 4167.075.0 (2)

(1) en (2):

P2-40a

P2-40


157

1286.04167.075.015.0 C C C V V V m/segLuego:


55/111


Luego:

4286.03.01286.0

CD rad/seg y 0536.0125.0*4286.0 V V B m/seg

2-41.- Se muestra dos semicilindros estacionarios Fe I, sobre los cuales ruedan los cilindros G y H. Siel movimiento es tal que la recta CA tiene unavelocidad angular constante de 2 rad/seg en elsentido de las agujas del reloj. a) Usando el mtodode los centros instantneos de velocidad nula,encuentre la velocidad angular del cilindro Hrelativo al terreno y b) Determine la aceleracinangular del cilindro H relativo al terreno.

Solucin

Los tres cuerpos en movimiento, tienenmovimiento general en el plano; los cilindrosestn rodando sobre cilindros estacionarios.

1).- Determinacin de los centros instantneos y

clculos elementales:

Por ley de senos:

6045757.2 33

sen Dc

sen Bc

sen

977.13 Bc m

42.23 Dc m

977.03 Ac m

92.03 C c m2).- Clculo de la velocidad de C y A:

84.192.0*23 C cV AC C m/seg

954.1977.0*23 AcV AC A m/seg

3).- Clculo de la velocidad angular de H y G:

P2-41

IF

CA

P2-41a


56/111


159

2-42.- Se muestra un mecanismo con dosdeslizadores. En el instante de inters el deslizador Ati l id d d 3 / t l d 1 7


57/111


tiene una velocidad de 3 m/seg y est acelerado a 1.7m/seg 2. Si la barra AB tiene 2.5 m de longitud,determine: a) La velocidad angular de la barra AB,usando el mtodo de los centros instantneos develocidad nula y b) La aceleracin angular de la barraAB.

Solucin

Los dos deslizadores se encuentran en movimiento detraslacin y la barra A en movimiento general en el

plano.1).- Determinacin del centro instantneo y clculos

elementales (ver figura P2-42a):

Por ley de senos:

15020105.2 11

sen Bc

sen Ac

sen

92.41 Ac m

2.71 Bc m

2).- Clculo de la velocidad angular de AB yvelocidad de B:

609.092.43

1 AcV A

AB rad/seg

k AB 609.0 (rad/seg)

385.41 Bc AB B r V m/seg

P2-42

B

A

P2-42a P2-42b


160

3).- Clculo de la aceleracin angular de AB.-

a) Aceleracin de B tomando como punto de referencia O (ver figura P2 42b):


58/111


a).- Aceleracin de B, tomando como punto de referencia O (ver figura P2-42b):

n BOt BO B er er a 2

ji senr

V j senia B BO B 10cos101010cos6.1*

2

jia BO BO B 84.11278.009.2576.1 (1)

b).- Aceleracin de B, tomando como punto base a A:

AB AB AB AB A B r r xk aa 2

j seni j seni xk ia AB B 6060cos5.2*371.06060cos5.27.1

jia AB AB B 803.025.1464.017.27.1 (2)


48.45496.4803.025.184.11278.0 AB BO AB BO

09.2496.448.45576.117.2236.1 AB AB

75.14 AB rad/seg2

k AB 75.14 (rad/seg2)

2-43.- El rodillo en B que se mueve en la gua

parablica est articulada a la barra 1, como se

muestra en la figura. La barra 1 est articulada a 2

en A. La velocidad angular de 2 se muestra en este

instante. Encuentre la velocidad de B en esemomento; usando: a) El mtodo de los centrosinstantneos de velocidad nula y b) El mtodovectorial.

SolucinP2-43

2

A


161

El rodillo en B se comporta como una partcula, la barra OA tiene un movimiento alrededor de un eje fijoy la barra AB tiene un movimiento general en el plano


59/111


y la barra AB tiene un movimiento general en el plano.

1).- Usando el mtodo de los centros instantneos develocidad nula.-

a).- Determinacin el centro instantneo (ver figura P2-43a) y clculos elementales:

Si:

X dX dY

y 11 dX dY

tg X

45

Por ley de senos:

87.12613.845

5

sen

Bc

sen

Ac

sen

ii

1 Ac i m y 657.5 Bc i m

b).- Clculo de las velocidades de A y B:

6.03*2.00 aOA A r V m/seg

6.016.0

AcV

i

A AB rad/seg

394.3657.5*6.0 BcV i AB B m/seg

ji jiV B 4.24.222

22

394.3

(m/seg)

2). - Usando el mtodo vectorial:

ji xk V A 6.032.0

P2-43a


162

ji xk V r xk V V AB A AB AB A B 54

53

5 jiV AB AB B 36.04 (1)


60/111


Si:

ji jiV AB AB B 36.0422

22


AB BV 36.02

2

AB BV 422

AB AB AB

AB

36.04

436.0

1

6.0 AB rad/seg

Luego en (1):

jiV B 6.0*36.06.0*4

jiV B 4.24.2 (m/seg) 394.3 BV m/seg

2-44.- El rodillo A se mueve por una ranura parablica con una velocidad s = 3 m/seg y s =

1 m/seg 2 en el instante mostrado en el diagrama.El cilindro est conectado con A mediantela biela AB. Hallar: a) Usando el mtodo de loscentros instantneos de velocidad nula, lavelocidad angular de la barra AB y b) Usando laecuacin general de la cinemtica del cuerporgido, para cada caso; las aceleraciones

angulares del cilindro y de la barra AB.

P2-44


163

Solucin

El rodillo se comporta como una partcula, el cilindro tiene un movimiento alrededor de un eje fijo y la


61/111


j j y barra AB tiene un movimiento general en el plano.

1).- Determinacin del centro instantneo de velocidadnula de AB (ver figura P2-44a) y clculos elementales:

Por ley de senos:

sen Ac

sen seni5.2

159.0

963.457189.0 sen

037.119

04.3 Ac i m


987.004.33

AcV

i

A AB rad/seg

8883.09.0*987.0 BcV i AB B m/seg y 8883.09.0* CB B r V m/seg

Luego:

987.0 AB rad/seg

Esto se da, si la orientacin angular () de una lnea del cilindro, respecto a un marco es igual a la de la barra como se indica en la figura, las velocidades angulares de ambos cuerpos, sern iguales (propiedad delas velocidades angulares)

3).- Clculo de las aceleraciones angulares:

a).- Clculo de la aceleracin de B, como punto de :

OBOBOB B r ji sen xk r r xk a 22 987.0963.45cos963.459.0

jia B 609.0647.063.0626.0 (1)

P2-44a


164

b).- Clculo de la aceleracin de B, como parte de la barra AB:

Si:


62/111


jie s

e sac

nc

t A 9

12

X

dX dY

dX dY

dX Y d

c

8

1

12

32

2

2

y 82

2

dX Y d

Para, X = 0:

8

641

812

30

2

X

c

Luego:

ji jia A 728*9 (m/seg 2)

AB AB AB A AB AB AB AB A B r ji sen xk ar r xk aa 22 15cos155.2

jii jia AB AB B 353.263.0647.0415.272

jia AB AB B 647.0647.69415.237.0 (2)

(1) = (2) e igualando componentes y operando:

AB AB 858.3597.1415.237.063.0626.0 (3)

AB AB 647.0647.69609.0858.3597.1647.0 64.2112.105858.4 AB AB rad/seg 2

En (3):


165

08.8564.21*858.3597.1 rad/seg 2

2-45.- Para la configuracin dada determnese: a) O


63/111


Para la configuracin dada determnese: a)

usando el mtodo de los centros instantneos develocidad nula, la velocidad de A, y b) laaceleracin de A.

Solucin

El rodillo en A y la deslizadora en B secomportan como partculas y la barra AB tieneun movimiento general en el plano.

1).- Determinacin del centro instantneo (verfigura P2-45a) y clculos elementales:

Por ley de senos:

Ac sen

Bc sen sen

ii

12015445

464.1 Bc i m

9.4 Aci m


05.2464.1

3

Bc

V

i

B AB rad/seg

05.109.4*05.2 AcV i AB A m/seg

jiV A 22

22

05.10 (m/seg)

3).- Clculo de la aceleracin de A:

Si:

ji jieV

eV a nc

Bt B B 5.422

92

2

(m/seg 2)

O

P2-45

P2-45a


64/111


167

Ac sen

Bc sen sen

11

10560715


65/111


42.231 Ac m

12.261 Bc m

3.12 Bc m


115.012.26

3

1 AcV A

AB rad/seg

69.242.23*115.0* 1 BcV AB B m/seg

07.23.169.2

2 BcV B

C rad/seg

k C 07.2 (rad/seg)

3).- Clculo de la aceleracin angular de C:

a).- Clculo de la aceleracin de B, como parte de la barra AB:

AB AB AB AB A B r r xk aa 2

j sen

i

j sen

i xk

j sen

ia AB B

60

60cos115.0

60

60cos7

30

30cos2 2

jia AB AB B 5.308.1062.6778.1 (1)

b).- Clculo de la aceleracin de b, como parte del cilindro C:

ji ji xk er r xk a C nc

BcC BcC B 2

222

2

22

22

22

2 3.43.1*07.2

3.1

jia C C B 92.019.192.019.1 (2)

P2-46a

X

Y


168

(1) = (2) e igualando componentes y operando:

C ABC AB 1517.0097.092.019.1062.6778.1


66/111


C C 92.019.1152.0097.05.308.1

798.1263.0649.0152.0097.0 C C C rad/seg

k C 798.1 (rad/seg2)

2-47.- La biela AC est conectada con unengranje D y est guiada por un collar B. Elcollar B solo puede girar en el plano de losengranajes. Si la velocidad angular de AC es de5 rad/seg en el sentido de las agujas del relojCul ser la velocidad angular del engranaje Drelativa al terreno? El dimetro de paso delengranaje D es de 0.6 m.

SolucinLa biela AC y el engranaje D tienen movimientogeneral en el plano y el collar B un movimientoalrededor de un eje fijo.

1).- Clculo de la velocidad de C como parte delengranaje D:

ji xk r xk V DciC DC 22223.0

jiV D DC 212.0212.0 (1)

2).- Clculo de la velocidad B (pertenece a AC, perocoincidente con B) como parte de la biela AC:

'' CB AC C B r xk V V

Si:

jir CB 55.02.0'

Luego:

P2-47a

P2-47


169

ji xk V V C B 55.02.05' jiV D D B 212.01212.075.2' (2)


67/111


3).- Clculo de la velocidad de B, tomando como punto base B:

0

''

0

' BB AC B

B B B r xk V V V

jiV V B

B B 2222'' 55.02.0

55.0

55.02.0

2.0 jiV V B B 94.0342.0'' (3)


D BV 212.075.2342.0 ' D BV 212.0194.0 '

144.3289.0212.01

75.2212.0363.0 D

D

D

879.10 D rad/seg

2-48.- El perno P est rgidamente sujeto a la barraAB y desliza en la ranura del brazo OC. Losextremos A y B de la barra AB estn sujetos a dos

bloques que se mueven en ranuras, como se muestra.En la posicin indicada, el bloque A se mueve haciala derecha a una velocidad de 2 pie/seg y con una

aceleracin de 25 pie/seg 2. Determine la velocidad yla aceleracin angulares del brazo ranurado OC,usando coordenadas polares en OC.

Solucin

Los bloques se comportan como partculas, la barraOC tiene un movimiento alrededor de un eje fijo y la

barra AB tiene un movimiento general en el plano.

1).- Orientacin de los vectores unitarios de las coordenadas polares en OC (ver figura P2-48a).-

2).- Clculo de la velocidad y aceleracin de P tomando como punto de referencia O:

a).- Identificacin de los parmetros, que definen el movimiento:

P2-48


170

eB?

?

2452

piestg


68/111


A O

e P?? b).- Velocidad y aceleracin de P:

eeV P 2 (1)

eea P 222 2 (2)

3).- Clculo de la velocidad y aceleracin de P, tomando como punto de base o conveniente A.-Si:

ee xeer xV V b AB AP AB A P 222

eeV AB AB P 222 (3)

eeee xeer r xaa ABb AB AP AB AP AB A P 222225 22

eea AB AB AB AB P 22 222522 (4)4).-Clculo del movimiento angular de la barra AB, tomando como punto base A y conociendo la direccinde la velocidad y aceleracin de B:

ee xeer xV eV V b AB AB AB A B B 332 ee AB AB 233


32

023 AB AB rad/seg b AB e32

(rad/seg)

AB AB AB AB A B r r xaa 2

eeee xeaeaa ABb AB A B B 3333 2

eeea AB AB AB AB B 22 332533


P2-48a


171

78.8094

*3325 AB AB rad/seg b AB e78.08 (rad/seg 2)Luego:


69/111



34

2 AB pie/seg

333.0234

2

rad/seg bOC e333.0 (rad/seg) (horario)


60.494

*278.82252333.0*34

*2 rad/seg 2

bOC e60.4 (rad/seg2) (antihorario)

2-49.- El carro 1 en la figura viaja de izquierda a

la derecha, sus ruedas traseras 2 ruedan con

velocidades angulares constantes de 0.2 rad/seg.

Las ruedas delanteras 3 ruedan sobre lasuperficie parablica mostrada. Las ruedas tienenun radio de 0.4 m y su eje se halla fijo al carro.

Encuentre la velocidad angular de carro 1 en elinstante dado.

Sugerencia 43.632 tg dX dY

.

Solucin

Los cuerpos se encuentran en movimiento general en el plano.

1).- Clculo de la velocidad de A, por rodamiento de 2:

i j xk r xk V Ac A 08.04.02.012 (m/seg)

P2-49

C1

C2


172

VB2).- Determinacin de la direccin de la velocidad de B y delvector posicin de A a B (ver figura P2-49a):

4.0,1 A


70/111


0.179

0.358

=63.43

0.4m

C2(1,1)

179.1,642.0 B

jir AB 779.0642.1 (m)

j seniV V B B 43.6343.63cos

jiV V B B 894.0447.0 (m/seg)3).- Clculo de la velocidad angular de 1.-Si:

ji xk ir xk V V AB A B 779.0642.108.0 11

ji j seniV B 642.1779.008.043.6343.63cos 1


1642.143.63 senV B 1779.008.043.63cos BV

111

1 642.1558.116.0779.008.0

642.1243.63

tg tg

05.01 rad/seg k 05.01 (rad/seg)

2-50.- En el instante mostrado en la figura, la barra 1 tiene 1 = (rad/seg) y 1 = /3 (rad/seg

2),

el engranaje 2 tiene 2 = 2 (rad/seg) y 2 = / 2 (rad/seg 2). En este instante, determinar lasaceleraciones de cada uno de los puntos de contactoen los dientes.

Solucin

La barra 1 y el engranaje 2 tienen movimiento

alrededor de un eje fijo, pero el engranaje 3 tiene un

P2-49a

x

y

P2-50


71/111


174

b).- Aceleracin de 1:

jiii xk r r xa OO 3999322

121111 (plg/seg 2)


72/111


c).- Aceleracin de 3:

ii xk jir r xk aa 349339 232132313313

jia 33 3138 (plg/seg 2) 33 3 t a (plg/seg 2) (2)

(1) = (2):

233 33 rad/seg 2

Luego:

jia 3138 23 (rad/seg 2)

04.13623 a plg/seg 2

2-51.- El punto O est articulado al marco dereferencia (ver figura P2-51). Los radios de paso

de los engranajes 1 y 2 son de 0.2 m . Las

velocidades angulares de 3 y 4 son de 2 rad/seg,

horario para 3 y antihorario para 4 y ambas son

constantes. Encuentre la magnitud de la aceleracinmxima experimentada por cualquier punto de 1 .

Solucin

Los engranajes 2 , 3 y el mecanismo 4 tienen movimiento alrededor de un eje fijo, pero el engranaje

1 tiene movimiento general en el plano.

1).- Clculo de la velocidad y aceleracin angulares de 1 (ver figura P2-51a).-

P2-51

3

2

4

1

X

Y


175

y

2B1i

Si:

i j xk r xk V O 8.04.02141 (m/seg)


73/111


O

W

B4

x1i j xk r xk V O 2.16.02232 (m/seg) (1)

Tambin:

ii j xk ir xk V V 1112112 2.08.02.08.0 (2)

(1) = (2):

102.08.02.1 11 rad/seg k 101 (rad/seg)Como las velocidades angulares son constantes la aceleracin angular de 1 , ser nula la quedemostraremos.-

Si:

k k 4

144

11

Derivndole con respecto al tiempo en :

0

0

4

0

21

0

211 k xk

2).- Clculo de la aceleracin de un punto isimo de la superficie del engranaje 1 (donde se encontrar laaceleracin mxima).-

Si:

j jr a O 6.14.04121 (m/seg 2)

Luego:

j seni jr aa ii cos2.0*1006.11211

j senia i 206.1cos20

P2-51a


176

Para: 0

064.206.120 010 a jia i m/seg 2


74/111


Para: 90

6.216.21 9090 ii a ja m/seg 2

6.21 mxa m/seg2 de un punto de 1 con otro en contacto de 3

2-52.- Cul es la velocidad angular de la barra AD? Cul es el mdulo de la velocidaddel punto C de la barra AD? En el instante deinters la barra BE est vertical. Si: V = 0.6m/seg y BE = 1 rad/seg.

Solucin

La corredera A se comporta como una

partcula, la barra AD tiene un movimientogeneral en el plano y la barra BE tiene unmovimiento alrededor de un eje fijo.

1).- Clculo de la velocidad de E, coincidentecon C:

i j xk r xV BE BE E 33 (m/seg)

2).- Clculo de la velocidad de C, tomandocomo punto base A:

ji xk ir xk V V AD AC AD AC 22

22

26.0

jiV AD ADC 226.0 (1)3).- Clculo de la velocidad de C, tomando como marco mvil a la barra BE:

jiV iV V V BE

C BE

C E C 22

22

3

P2-52

E

BE


177

jV iV V BE

C BE

C C 22

322

(2)



75/111



AD BE

C BE

C AD V V 222

2

6.32232*22

26.0

AD AD AD 273.1 AD rad/seg

En (1):

ji jiV C 8.12.1273.1*2273.1*26.0 (m/seg) 163.2C V m/seg2-53.- Una partcula P se mueve en una ranuradel engranaje con una velocidad V = 2 m/seg y

una aceleracin V = 1.2 m/seg 2 ambasrelativas al engranaje. Hallar el vectoraceleracin para la partcula relativa al sistemade referencia XYZ anclado al terreno en laconfiguracin que se muestra.

Solucin

La barra OC tiene un movimiento alrededor deun eje fijo y el engranje un movimiento

general en el plano con rodamiento.

1).- Clculo de la velocidad y aceleracin delcentro C del engranaje:

jk xir xV OC C 056.07.008.01 (m/seg) (1)

11

C

P

P2-53


178

k k xir r xa OC OC C 7.008.07.002.0 2211

k x ja C 31048.4014.0 (m/seg 2) (2)


76/111


2).- Clculo del movimiento angular del engranaje:

De (1), por rodamiento:

1867.03.0

056.02

ciC

C

r V

rad/seg

Si:

k jer

er a nc

t C 7.01867.0*3.0

3.02

2

22

2

k x ja C 3

2 1048.43.0 (m/seg 2) (3)

(2) = (3) e igualando componentes en j :

0467.0014.03.0 22 (rad/seg 2) i0467.02 (rad/seg 2)

3).- Clculo de la aceleracin de P en , si P pertenece al engranaje, pero coincidente con P:

P P P P V xaaa 2' 2

Donde:

jV a P 2.1 (m/seg2)

k k xiar r xiaa C CP CP C P 15.01867.015.00467.0 2'22'2'

k x j xk x j xa P 3333

' 1071.91071048.423.5107014.0

(m/seg2

)

k j xiV x P 7468.023734.02 2 (m/seg 2)

Luego:


179

k k x j x ja P 7468.01071.91072.1 33

kja P 737.0207.1 (m/seg 2)


77/111


k ja P 737.0207.1 ( g )

2-54.- La rueda D en la figura tiene una velocidadangular horaria constante de 2 rad/seg, est conectada

por el eslabn DC al bloque . El extremo B de la

barra AB desliza en una ranura vertical en el bloque

.Para la posicin mostrada, encuentre la velocidad

angular y la aceleracin angular de la barra AB . Si el

bloque se traslada.

Solucin

El bloque tiene un movimiento de traslacin

rectilnea, el disco D y la barra AB tienenmovimiento de rotacin alrededor de un eje fijo y la

barras DC tiene movimiento general en el plano.

1).- Clculo de la velocidad y aceleracin de B,tomando como punto de referencia A:

ji xk r xV

AB AB AB B 13

12

13

513

jiV AB AB B 512 (1)

AB AB AB AB B r r xk a 2

ji ji xk a AB AB B 125125 2

jia AB AB AB AB B 22 125512 (2)

2).- Clculo de la velocidad y aceleracin de B, tomando como marco mvil ; si B es un punto

coincidente con B, pero perteneciente a , luego C B V V ' y C B aa ' :

P2-54


78/111


181

(1) = (3):

ji jV AB AB B 512 Igualando componentes:


79/111


0 AB y 0 BV

jaiV xaaa B B AB BC B 1220

(4)

(2)=(4):

11212 AB AB rad/seg 2 k AB (rad/seg 2)

2-55.- En el instante t un camin se est moviendocon una velocidad constante V = 1.7 m/seg. Elvolquete del camin tiene en ese instante una

velocidad angular constante de 0.1 rad/seg con unngulo = 45. Un cilindro de 300 mm de radiorueda sin deslizar por el volquete con una velocidadangular 1 de 1 rad/seg y acelera a un ritmo 1 de0.5 rad/seg 2, ambas relativos al volquete. Culessern la velocidad y aceleracin del centro C delcilindro relativos al terreno en ese instante t? Endicho instante la distancia d es de 5 m.

Solucin

El camin se encuentra en movimiento de traslacin, el volquete y el cilindro en movimiento general en el

plano.

1).- Clculo del movimiento del punto conveniente O y del marco mvil volquete :

iV O 7.1 (m/seg) y 0Oa

k 1.0 (rad/seg) y 0

2).- Clculo del movimiento del centro C del cilindro respecto al volquete (por rodamiento) :

ji ji jir r r ciC OciOC 748.3323.33.05 22222222 (m)

P2-55

Y

CX

O

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE DINAMICA ______________________

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284607572-Solucionario-Cuerpo-dinamica.pdf