2doRAZ.MAT..doc

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planteo de ecuaciones

TRMINOS BSICOS

IGUALDAD:tc "IGUALDAD\:"Es la relacin existente entre dos expresiones algebraicas y equivalentes unidas por el signo igual (=)

IDENTIDAD O IGUALDAD INCONDICIONAL:tc " IDENTIDAD O IGUALDAD INCONDICIONAL\:"tc ""Es la igualdad que es cierta para cualquier valor asignado a sus variables.

ECUACIN: tc " ECUACIN\: " Es una igualdad que solo se verifica para determinados valores de sus variables, tales variables son tambin llamadas incgnitas de la ecuacin y los valores de estas incgnitas que verifican la ecuacin son denominadas soluciones de esta ecuacin y forman el conjunto solucin.

AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONEStc " AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES"Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados sern iguales

tc ""1. ECUACIN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE.tc " ECUACIN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE."Una ecuacin de primer grado con una incgnita puede ser siempre reducida a la forma:

ax + b = o

a y b Coeficientes

x Variable o incgnita

MTODO DE SOLUCIN:tc " MTODO DE SOLUCIN\:"1. Se efectan las operaciones indicadas si las hay

2. Se hace la transposicin de trminos, reuniendo en un miembro todos los trminos que contengan la incgnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.

3. Se reducen trminos semejantes en cada miembro

4. Se despeja la incgnita dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnitaPRCTICA

Resolver cada una de las ecuaciones siguientes:

01) 7x + 5 2x = 8 + 4x 2

02) 9x 10 - 5x + 12 = x + 6 3x + 10

03) 7 - 3(x+1) = x 3(x-1)04) 5 - (2x+1) = 9 - (2+3x) 05) 5x 2(x 6) = 2x + 2(x 1)

PROBLEMAS

01.- Resolver:

8x + 9 - 12x = 4x - 13 - 5x

a) x = 20b) x = 3 c) x = 7

d) x = 22/3e) x = 21

02.- Resolver:

2 (x - 1) + 3 (x - 2) = 4 (x - 3)

a) x = 4b) x = 1

c) x = 0

d) x = -4e) x = 3

03.- Resolver:

5a + 16a - 80 = 17a + 100 - a

a) a = 1b) a = 36 c) a = 0

d) a = -1e) a = 314.- Encuentre el valor literal de x en:

x(N - M) + N(x+M) = 2M(2N - x)

a) x = 1b) x = 0c) x =

d) x = e) x =

2. PLANTEO DE ECUACIONES Q e IResolver una ecuacin no es adivinar un resultado, es seguir un proceso lgico y matemtico basado fundamentalmente en las propiedades de las operaciones bsicas, cuyo objetivo principal va a ser hallar el valor de la incgnita (variables).

Antes de empezar a plantear las ecuaciones resolvamos algunas ecuaciones a manera de prctica.

En cada uno de los siguientes ejemplos, hallar x.

Ejemplos

1. x + 9 = 182. 3 (x - 2) = 273. 5 (x+8) + 4 (x-6) = 714. 3 (2x+14) + 20 = 6 (3x - 5) 28

1. El cudruplo de un nmero aumentado en 16 es igual a 96. Hallar dicho nmero.

a) 40

b) 10

c) 20

d) 60

e) 34

2. El triple de un nmero aumentado en el quntuplo de dicho nmero es 2808. Cul es el nmero?

a) 251

b) 821

c) 321

d) 351

e) 45

3. Cul es el nmero que excede a 84 tanto como es excedido por 260?

a) 172

b) 160

c) 140

d) 136

e) 194

4. El dinero que tiene Carito, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. Cunto tena Carito?

a) 200

b) 300

c) 380

d) 430

e) 480

5. Hallar un nmero que disminuido en sus 5/8 nos da 240

a) 600

b) 530

c) 800

d) 640

e) 960

6. La suma de 5 nmeros consecutivos es 60. Cul es el mayor de estos nmeros?

a) 16

b) 10

c) 15

d) 12

e) 14

7. La suma de tres nmeros pares consecutivos es 60. Cul es el menor nmero?

a) 18

b) 20

c) 16

d) 2

e) 14

8. Un nio tena s/ 85 soles, si gast el cudruplo de lo que no gast. Cunto gasto?

a) 34 solesb) 92

c) 96

d) 68

e) 74

9. Betty tiene el triple que Ana y Carmen s/. 6 ms que Betty. S entre las tres tienen s/. 62. Cunto tiene Carmen?

a) 30

b) 8

c) 24

d) 36

e) 32

10. En un corral el nmero de gallos es el cudruplo del nmero de gallinas, si se venden 4 gallos y 4 gallinas, entonces el nmero de gallos es 6 veces el nmero de gallinas. Cuntas aves haban inicialmente?

a) 33

b) 63

c) 40

d) 50

e) 95

11. En una caja registradora hay 2400, en billetes de 10 soles y 100 soles. Si hay doble nmero de las primeras que de las segundas. Cuntos billetes hay de 10 soles hay?

a) 20

b) 60

c) 30

d) 10

e) 40

12. Una yuca pesa 8 Kg. Ms media yuca. Cunto pesa yuca y media?

a) 16

b) 32

c) 24

d) 48

e) 12

13. Entre cerdos y gallinas que tengo cuento 86 cabezas y 246 patas. Cuntos cerdos tengo?

a) 25

b) 38

c) 37

d) 43

e) 54

14. Si ganara s/. 880 tendra 9 veces lo que me quedara si perdiera s/. 40. Cunto tengo?

a) 120

b) 400

c) 260

d) 155

e) 180

1. Qu nmero dividido por 43 dar como resultado 24?

a) 1720b) 1032c) 67

d) 1038e) 3451

2. Un nmero aumentado en 53 es igual a 71, encuentra dicho nmero

a) 36

b) 18

c) 36

d) 14

e) 23

3. Qu nmero es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del nmero

a) 160

b) 300

c) 320

d) 480

e) 360

4. Cul es el nmero cuyo 3/4 exceden en 420 a su sexta parte?

a) 640

b) 750

c) 680

d) 500

e) 720

5. Si al cuadrado de la cantidad que tengo le disminuyo el doble de la misma me quedara S/. 24 soles. Cunto tengo?

a) 6

b) 4

c) 5

d) 3

e) 7

6. El cudruplo de la tercera parte de un nmero, aumentado en su novena parte es igual a 13. Indicar el triple de dicho nmero.

a) 21

b) 24

c) 27

d) 30

e) 337. Aumentado un nmero en su centsima parte, se obtiene 707. Cul es el nmero?

a) 701b) 1400c) 350

d) 700e) 1500

8. Disminuyendo el doble de un nmero de 25, se obtiene 1. Cul es el nmero?

a) 15

b) 12

c) 16

d) 13

e) 14

9. Dividir 260 en 2 partes, tales que el duplo del mayor dividido entre el triple del menor nos da 2 de cociente y 40 de residuo. Hallar el mayor de ellos.

a) 200b) 180

c) 150

d) 190e) 195

10. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro y un gato, cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato cinco. Cuntos perros hay?

a) 4

b) 6

c) 5

d) 10e) 12

11. Ana tiene el triple de pasteles que Tomas. Diego tiene la mitad que Tomas. Ana tiene 16 pasteles ms que Tomas.

Cuntos pasteles tiene Toms?

a) 4

b) 24

c) 32

d) 8 e) 5

12. Me falta para tener 486 soles el dobl de lo que me falta para tener 384 soles. Cunto tengo?

a) 300b) 184

c) 292

d) 164e) 196

13. Csar y Ana pesan juntos 125 Kg. La diferencia entre 2 veces el peso de Ana y tres veces el peso de Csar es 45Kg. Cunto pesa Csar?

a) 84 Kg.b) 41

c) 53

d) 49e) 45

14. La copa intercontinental de ftbol se juega cada ao entre el campen Sudamericano y el campen Europeo. Hasta 1999, se haban jugado 38 veces, los equipos Suramericanos han ganado 6 juegos ms que los europeos. Cuntas veces han ganado los europeos?

a) 22

b) 16

c) 6

d) 24

e) 2315. Un granjero compr 5 caballos y 3 burros, si hubiera comprado un caballo menos y un burro ms habra gastado s/. 500 soles menos. En cunto difieren el precio de un caballo y el de un burro?

a) s/. 5 000b) 1 000c) 2 500

d) 15 000

e) N.A.3. PLANTEO SOBRE EDADES

EDADES

En estos problemas intervienen personas cuyas edades se relacionan a travs del tiempo. Estas relaciones se traducen en una o ms ecuaciones.

La informacin que contiene el problema le debe organizar con ayuda de diagramas que faciliten en el planteo de las ecuaciones.

CUANDO INTERVIENE UN SUJETO

Utilizaremos un diagrama lineal que representar el transcurso del tiempo.

x m

x x + n

m + n

se deduce

CUANDO INTERVIENEN VARIOS SUJETOS

Utilizaremos un cuadro de edades, con el propsito de razonar ordenadamente.

PasadoPresenteFuturo

Yo222532

T273037

l141724

Se cumple:

1. La diferencia de edades de 2 personas a travs del tiempo es constante.

27

30 -

22

25

5 = 5 ( Se deduce

La suma en aspa (simtricamente) es constante.

22 25 = 52

+

( ( ( Se deduce

27 30 = 52

RELACIN CON EL AO DE NACIMIENTO

Si la persona ya cumpli ao:

+ Edad =

Si la persona an no cumple aos:

+ Edad = - 1

ACTIVIDADES EN AULA

1. La suma de las edades de los Padres de Luis es 60 aos. Si la edad del Pap excede en 6 aos a la edad de Mam. Cules son las edades de los Padres de Luis?

2. La suma de las edades de Carlos y Jos es 36 aos y la diferencia de las mismas es 4 aos. Cules son las edades?

3. Dentro de 40 aos tendr el triple de la edad que tuve hace 10 aos. Cuntos aos tengo?

4. Hace 4 aos la edad de Mara era el cudruple de la edad de Luis, pero dentro de 5 aos ser el triple. Hallar la diferencia de edades actuales.

5. La edad de Sebastin ser dentro de 4 aos, un cuadrado perfecto. Hace 8 aos, su edad era la raz cuadrada de ese cuadrado. Qu edad tendr Sebastin dentro de 8 aos?

6. Si el doble de la edad de Jeniffer se le quita 13 aos, se obtendra lo que me falta para tener 50 aos. Cuntos aos me falta para cumplir el doble de lo que tena hace 5 aos?

7. Cundo tu tenas la mitad de la edad que yo tengo, yo tena la edad que t tienes, y cundo tu tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades ser de 8 aos. Qu edad tengo?

8. Yo tengo el doble de tu edad, pero el tiene el triple de la ma. Si dentro de 6 aos l va a tener el cuadruple de la edad que t tengas. Dentro de cuntos aos tendr 20 aos?

1. Si mi edad hace p aos fue q. Qu edad tengo actualmente?2. Qu edad tiene July, si cuando se le pregunt, respondi: Si la edad que tengo ms 7 aos y medio se le resta la edad que tengo menos 7 aos y medio se obtiene mi edad?

a) 18 aosb) 15

c) 30

d) 21e) 12

3. Dentro de 40 aos la edad de Richard ser el doble de su edad actual. Qu edad tiene?

a) 30b) 40

c) 50

d) 35e) 454. En 1949, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1954 la edad del padre fue el quntuplo de la edad de su hijo. Cul es la edad del padre en 1981?

a) 95 aosb) 58

c) 72

d) 77e) 68

5. Dentro de 15 aos la suma de las edades de 3 personas sumarn 90 aos. Cunto han sumado hace 5 aos?a) 30b) 45

c) 60

d) 50e) 556. La edad de Juan excede a la edad de Pedro en 8 aos y dentro de 5 aos la relacin de sus edades ser de 6 a 5. Calcular la edad actual de Juan?

a) 40b) 41

c) 42

d) 43e) 48

7. Hace 12 aos las edades de A y B estaban en la relacin de 3 es a 2, actualmente sus edades estn en la relacin de 5 es a 4. Cul es la edad actual de A?

a) 18 b) 25

c) 30

d) 32e) 36

8. Un padre le dice a su hijo:

Hace 8 aos mi edad era el cudruplo de la edad que t tenas, pero dentro de 8 aos solo ser el doble. Qu edad tiene el hijo?a) 8b) 14

c) 16

d) 24e) 32

9. Dentro de 5 aos, t tendrs la edad que ahora tengo. Qu edad tendrs cuando mi edad y tu edad sean proporcionales a 13 y 8?a) 6b) 8

c) 10

d) 12e) 1410. Hallar la edad de Katia, si sabemos que al restarle 12 aos obtenemos el triple de dicha edad disminuida en 48 aos.

La edad de Katia

si al restarle

12 aos

obtenemos

el triple de dicha edad

disminuida

en 48

1. SERIES

DIFERENCIANDO CONCEPTOS

SUCESIN

Es una secuencia de trminos regidos por una ley de formacin: Por ejemplo:

t1; t2; t3; t4; t5; ; tnSERIE

Es la suma de los trminos de una sucesin. Al resultado de efectuar la serie se le llama valor de la serie. Por ejemplo:

t1 + t2 + t3 + t4 + . + tnSerie aritmtica

Es una serie de razn constante por diferencia. La forma general es:

S = t1 + t2 + t3 + ..... + tn

S = (t1 + t2)

Donde:tn = t1 + (n-1) r

S: suma o valor de la serie.

n : nmero de trminos

t1: primer trmino

tn : ltimo trmino

r : razn aritmtica.

Ejemplo:

Hallar el valor de la serie.

S = 2 + 7 + 12 + 17 + .... + 197

Solucin:

Calculando el nmero de trminos:

tn = t1 + ( n 1) r

197 = 2 + (n 1) 5

195 = (n 1) 5d

39 = n 1

n = 40

Efectuando la suma:

S = (t1 + tn)

S = (2 + 197)

S = 199.20

S = 3980

SERIE GEOMTRICA

Es una serie de razn constante por divisin. La forma general es:

S = t1 + t2 + t3 + .... tnS = t1 + t1 q1 + ..t1qn-1

S = t1

Donde:

tn = t1 qn-1

t1 : primer trmino

q : razn geomtrica

tn : ltimo trmino


S : suma de la serie

Ejemplo:

S = 3 + 6 + 12 + 24 + ..... + 1536

tn = t1 qn-1

1536 = 3.2n-1512 = 2n-12 9 = 2n-1n = 10

Luego se halla la suma:

S = t1

S = 3

S = 3069

SUMA LMITE

Es la suma de todos los trminos de una progresin geomtrica decreciente infinita. Esto sucede cuando la razn es una fraccin menor que la unidad. La forma general es:

S = t1 + t2 + t3 + ..

S =

Ejemplo: Hallar el valor de E

E = 6 + 2 + + +....

Solucin:

E = 9

SERIES NOTABLES

1. La suma de los n primeros nmeros naturales.

S = 1 + 2 + 3 + 4 +..... + n

S = n ( n + 1) /2

2. Suma de los n primeros nmeros pares.

S = 2 + 4 + 6 + 8 + .... 2n

S = n ( n + 1)

3. Suma de los n primeros nmeros naturales impares.

S = 1 + 3 + 5 + ..... + (2n 1 )

S = n24. Suna de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales.

S = 12 + 22 + 32 + .... + n2S = n (n + 1) (2n + 1) /6

5. Suma de los cubos de los n primeros nmeros naturales.

S = 13 + 23 + 33 + ..... + n3S = [n (n + 1) / 2]26. Suma de los n primeros productos binarios.

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n (n + 1)

S = n (n+1) (n + 2)/3

7. Suma de los n primeros productos ternarios.

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... n(n+1) (n+2)

S = n (n+1) (n+2) (n+3)4

1. Calcular:

P = 1 + 2 + 3 + ....+ 60

2. Efectuar:

Q = 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + 80

3. Efectuar:

S = 1 + 3 + 5 + ...... + 89

4. Efectuar:

P = 1 + 4 + 9 + ..... + 400

5. Sabiendo que la suma de 30 nmeros enteros consecutivos es 1665, hallar la suma de los 30 nmeros consecutivos siguientes:

6. Efectuar:

P = -1 + 2 3 + 4 - ....... 89 + 90

7. Efectuar:

S = (n+1) + (n+2) + (n+3) +.(n+n)

8. Eva y Adn leen sendas voluminosas novelas. Eva lee 60 pginas por da y Adn 10 pginas el primer da y cada da que pasa 10 pginas ms que el da anterior. Si empezaran el primero de febrero. En qu da llegarn a la misma pgina?

1. Hallar:

S = 4+7+10+....+61+64+67

2. Calcular:

3. Calcular:

4. Calcular:

5. Efectuar:

Q = 1 + 8 + 27 + .....+ 8000

6. Efectuar:

S = 2 + 6 + 12 + 20 + ..... + 210

7. La suma de 40 nmeros consecutivos es 1140. Hallar el valor del nmero mayor.

8. Hallar n en:

2. SUMATORIAS

NOCIONES PREVIAS

Dada la serie numrica:

a1 + a2 + a3 + ..... + an se puede representar usando el smbolo ( llamado sumatoria, definida de la siguiente manera:

(k, n ( N y k < n)

Se lee: Sumatoria de a; desde I=k hasta =n.

Donde i toma valores enteros desde k hasta n y cada valor de i ingresa un trmino de la serie.

Ejemplos:

PROPIEDADES:

n sumandos

donde B : constante

Ejemplo:

+ 5 + ....+ 5 = 6 (5) = 30

6 sumandos

Donde k: constante

Ejemplo:

Ejemplo:

Propiedad Telescpica:

Ejemplo:

SUMATORIAS NOTABLES1. Suma de los primeros nmeros N.

2. Suma de los primeros nmeros pares

3. Suma de los primeros nmeros impares

4. De los cuadrados

5. De los cubos

6. De productos binarios

7. De productos ternarios

1. Calcular:

B = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 169 40

a) 809b) 810c) 820

d) 830e) 903

2. Determine:

A = 1 + 3 + 5 + 7 + ........ + 47

a) 547 b) 574c) 575

d) 576e) 600

3. Efecte:

Z = 2 + 4 + 6 + ..... + 20

a) 100b) 110c) 120

d) 130e) 140

4. Hallar n:

1 + 2 + 3 + .......... + n = 105

a) 13b) 14c) 15

d) 16e) 18

5. Hallar:

S = 1(3) + 2(4) + 3(5) + ..... + 20(22)

a) 3290b) 3390c) 3480

d) 4000e) 6000

6. Hallar:

a) 15/16b) 16/17c) 18/19

d) 20/21e) 30/31

7. Hallar x

1 + 3 + 5 + 7 +. + (2x + 5) = 3025

a) 50b) 52c) 51

d) 53e) 54

8. Sabiendo que:

1 + 2 + 3 + 4 + .. + n = 406

Hallar n

a) 25b) 26c) 27

d) 28e) 29

1. La sucesin 3; 6; 9; 12; ... consta de 20 trminos y la sucesin 3; 5; 7; 9; 11;.... tiene 30 trminos. Cuntos trminos de las dos sucesiones son iguales?

a) 9b) 10c) 11

d) 12e) 13

2. El segundo trmino de una P.A. es 7 y el sptimo trmino es 22; hallar la suma de los 10 primeros trminos.

a) 173b) 174c) 175

d) 176e) 177

3. Hallar la suma de los 15 primeros trminos de una serie aritmtica cuyo trmino central es 24.

a) 300b) 330c) 360

d) 370e) 380

4. Calcular la suma de los infinitos trminos dados:

a) 3/16b) 4/17c) 5/18

d) 6/19e) 7/20

5. Se contrata a Manuel para cavar en busca de fsiles, prometindole pagar una suma por el primer fsil que encuentre y que luego se le ir duplicando dicha suma por cada nuevo fsil encontrado. Si encuentra 12 fsiles y recibe en total 12 285 soles. Cunto le pagaron por el quinto fsil hallado?

a) 30b) 40c) 45

d) 47e) 48

6. Cul es la suma de todos los nmeros impares de dos cifras?

a) 5100b) 2750c) 2475

d) 2525e) 2550

7. Sabiendo que:

A = 1 + 2 + 3 + .... + 50

B = 1 + 3 + 5 + .... + 69

Hallar A B

a) 2b) 22c) 32

d) 42e) 50

8. Un comerciante recorri 100 metros el primer da, 200 metros el segundo da, 300 metros el tercer da y as sucesivamente. Luego de unos das, lleg a un pueblo que distaba del punto de partida 32500 metros, Cuntos das estuvo caminando?

a) 5b) 10c) 15

d) 20e) 25

TIPOS DE SERIE

1. SERIE ARITMTICA:

CONCEPTO

Es una continuacin ordenada de nmeros, en la cual se cumple que cada trmino es igual a su anterior aumentado en una cantidad constante llamada razn.

Serie:

En donde:

a1 = Primer trmino

a2 = Segundo trmino

:

:

an = Ensimo trmino

Razn (r)

r = a2 a1r = a3 a2r = an a(n-1) TIPOS DE SERIE ARITMTICA

a) Serie aritmtica creciente

Cuando la razn resulta ser positiva, en este caso cada trmino resulta ser mayor que el trmino anterior.

Ej: 3 + 5 + 7 + 11 = 26

b) Serie aritmtica decreciente

Cuando la razn resulta ser negativa; en este caso cada trmino resulta ser menor que el trmino anterior.

Ej: 30 + 25 + 20 + 15 = 90

Sea la siguiente serie aritmtica:

a1 + a2 + a3 + + a(n-1) + ana1 = Primer trmino

an = Ensimo trmino

n = Nmero trminos

r = razn

FORMULAS:

Para calcular el trmino ensimo (an)

an = a1 + (n - 1)r

Para calcular el nmero de trminos (n)

n =

Para calcular la suma de trminos (S)

SA =

Para calcular el trmino central (TC)

TC =

Nota: n debe ser impar.

2. SERIE GEOMTRICA:

CONCEPTO

Es una continuacin ordenada de nmeros en la cual se cumple que cada trmino se obtiene multiplicando al anterior una cantidad constante llamada razn.

Serie:

a1 = Primer trmino

a2 = Segundo trmino

:

:

an= Ensimo trmino

Razn (r)

r =

r =

:

:

r =

TIPOS DE SERIE GEOMTRICA:a) Serie geomtrica creciente

Cuando la razn es mayor que la unidad.

Ej: 3 + 9 + 27 + 81 + 243

b) Serie geomtrica decreciente

Cuando la razn es menor que uno pero mayor que cero.

Ej: 1000 + 500 + 250 + 125

Sea la siguiente serie geomtrica:

a1 + a2 + a3 + a4 + + ana1 = Primer trmino

an = Ensimo trmino

n = Nmero trminos

r = razn

FORMULAS:

Para calcular el trmino ensimo (an)

an = a1 . rn-1Para calcular la suma de trminos (S)

S =

Para calcular el trmino central (TC)

TC =

Nota: n debe ser impar

PRINCIPALES SERIES NOTABLES

1. Suma de los n primeros nmeros naturales:

1 + 2 + 3 + 4 + + n =


Ej:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + + 20

S = =

2. Suma de los n primeros nmeros pares:

2 + 4 + 6 + 8 + 2n = n(n+1)


Ej:

S = 2 + 4 + 6 + 8 + + 20

S = 2 + 4 + 6 + 8 + + 2

S = ( ) [ ( ) + 1]

S =

3. Suma de los n primeros nmeros impares:

1 + 3 + 5 + 7 + + (2n -1) = n2n : nmero de trminos

S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 61

S = 1 + 3 + 5 + 7 +

S = ( )2 = 4. Suma de los n primeros nmeros cuadrados perfectos.

12 + 22 + 32 + + n2 =


Ej:

S = 1 + 4 + 9 +16 + + 625

S = 12 + 22 + 32 + 42 + + 252S =

S = 5. Suma de los n

Primeros cubos perfectos

12 + 23 + 33 + 43 + + n3 =


S = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + + 1000

S = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + + 103S =

S =

15. Calcular:

S = 0,1 + 0,3 + 0,5 + + 8,7

a) 147, 5

b) 193,6

c) 191,2

d) 183,4

e) 154,3

16. Calcular:

S = 0,01 + 0,04 + 0,09 + + 16

a) 136,2

b) 175,5

c) 181,8

d) 221,4

e) 164,4

17. Hallar el valor de x en:

1 + 3 + 5 + + (2x - 13) = 324

a) 17

b) 19

c) 21

d) 24

e) 32

18. Hallar:

S = (13 + 12) + (23 + 12) + (33 + 12) + + (93 + 12)

a) 2312

b) 2415

c) 2133

d) 2416

e) 28158

19. Hallar x

29 + 31 + 33 + 35 + + x = 3525

a) 123

b) 119

c) 117

d) 121

e) 125

20. Dada:

Sn = 1 + 2 + 3 + + (n + 1)

Hallar:

S = S1 + S2 + S3 + + S30

a) 2680

b) 5310

c) 5480

d) 5430

e) 5455

21. Hallar el resultado de efectuar la serie:

S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 +

Sabiendo que tiene 100 sumandos.

a) 6675

b) 6645

c) 6895

d) 6915

e) 6924

22. Hallar n si:

49 + 64 + 81 + + n

La suma de los trminos de la sucesin es 433.

a) 529

b) 400

c) 576

d) 676

e) 900

23. Con 406 canicas, un nio form un tringulo.

Cuntas bolas formaran la base?

a) 18

b) 24

c) 28

d) 32

e) 40

24. La suma de los terceros trminos de dos P.A. cuyas razones se diferencian en 2 es 33. Hallar la suma de los 10 primeros trminos de una nueva P.A. que se forma al sumar trminos correspondientes de las dos P.A. antes mencionadas sabiendo adems que la suma de los trminos anteriores al primero de las primeras P.A. es -3.

a) 550

b) 620

c) 580

d) 630

e) 610

25. Hallar el total de palitos que forman la pirmide.

a) 8099

b) 4364

c) 9456

d) 3948

e) 14350

26. Richy compra el da de hoy 19 cajas de manzanas y ordena que cada da que transcurra se compre una caja ms que el da anterior. Cuntas cajas compr en total, si el penltimo da se compraron 43 cajas?

a) 413

b) 814

c) 317

d) 819

e) 563

27. En el siguiente arreglo numrico, hallar la suma de los trminos de la fila 20.

F1 : 1

F2 : 3 5

F3 : 7 9 11

F4 : 13 15 17 19

F5 : 21 23 25 27 29

a) 7000

b) 8000

c) 1250

d) 4320

e) 3560

28. Calcular:

S = 1 + 3 + 6 + 12 + + 1536

a) 3071

b) 3074

c) 3070

d) 3064

e) 3069

29. Alex le dijo a su hija Lady: Te voy a pagar una suma por el primer tringulo que encuentres de la siguiente figura, y luego te ir duplicando dicha suma por cada nuevo tringulo que encuentres. Si Alex le pag 4092 soles en total. Cunto le pag por el cuarto tringulo?

a) 512

b) 216

c) 16

d) 32

e) 64

16. Calcular:

S = 12 + 32 + 52 + + 192a) 1260

b) 1330

c) 1680

d) 1335

e) 1440

17. Hallar:

S = 1 4 + 9 16 + 25 - .

a) 930

b) -740

c) -820

d) -910

e) -790

18. Hallar: a + b + c + x

Si se cumple que:

a) 17

b) 23

c) 14

d) 20

e) 24

19. De un libro se arrancan 61 hojas de la parte final. Si se sabe que en la numeracin de stas (hojas arrancadas) se han usado 365 tipos. Hallar la cantidad total de hojas de dicho libro.

a) 120

b) 110

c) 210

d) 240

e) 180

20. Cuando la suma de los 10 primeros trminos de una P.A. es igual a 4 veces la suma de los cinco primeros, Cul es la razn geomtrica entre el primer trmino y la diferencia comn?

a) 2/3

b) 1/5

c) 1/2

d) 2/7

e) 5/9

21. Se deben almacenar 810 postes cilndricos en un espacio abierto, formando as el primero lecho horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse. Cuntos lechos pueden formarse?

a) 81

b) 27

c) 35

d) 44

e) 20

22. Se tiene la siguiente sucesin:

1, 5, 15, 34, 65, 111

Hallar:

a : El trmino de nmero ordinal 20.

b : La suma de los 20 primeros trminos.

a) 4010 ; 22125

d) 7050 ; 180

b) 315 ; 1510

e) 3290 ; 35710

c) 2050 ; 21215

23. Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurra el ciclo, el gastaba mayor nmero de tizas por semana. As la primera semana gasto 11 tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y as sucesivamente. Si el ciclo dur 38 semanas; y cada caja de tizas contiene 15 tizas. Cuntas abri el profesor durante el ciclo para completar su dictado?

a) 121

b) 122

c) 123

d) 120

e) 124

24. Las edades de cinco personas estn en progresin geomtrica; siendo 220 el producto de las edades. Cul es la edad de la persona intermedia?

a) 16

b) 8

c) 32

d) 64

e) 4

25. Dada: f(x) =

Calcular:

S = f(1) + f(2) + f(3) + + f(49)a) 134 560

b) 164 150c) 136 420

d) 230 400

e) 143 250

26. Calcular el valor de S:

S = 9 + 12 + 17 + 24 + + 177

a) 814

b) 910

c) 873

d) 913

e) 923

27. Calcular S en:

S = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + (20 sumandos)

a) 15400

b) 24350c) 17200

d) 3540

e) 44320

28. Calcular la suma de la sucesin:

3; 14; 39; 84; ; 3615

a) 12300

b) 14320c) 15480

d) 15760

e) 17380

29. El siguiente arreglo tiene 20 filas. Cunto sumaran todos sus trminos?

2

2 2

2 4 2

2 6 6 2

2 8 12 8 2

a) 221 1

b) 219 1c) 221 1

d) 218 1

e) 220 1

30. El costo de una yegua se vincula al nmero de clavos que lleva en las herraduras, cotizando el primero clavo en 3 dlares, el segundo clavo en 9 dlares, el tercer clavo en 27 dlares y as sucesivamente siempre triplicando hasta el ltimo clavo. Determine el costo de la yegua, si en total la yegua lleva 8 clavos.

a) $ 9 840

b) 3 280c) 29 520

d) 12 680

e) 9 06

CAPACIDAD:

RAZONAMIENTO Y COMPRENSIN TAREA

VALOR - ACTITUD

RESPONSABILIDAD - RESPETODESTREZASCONTENIDOS MTODOSMICROACTITUDES

MATEMTICA RECREATIVA

Son situaciones matemticas divertidas y amenas que conllevan a pensar y razonar, siendo la actividad ms importante en el aprendizaje del Alumno -.

Para su comprensin y solucin, no se necesita ser un Doctor, Magister, Licenciado y/o Estudiante de la Matemtica para poder solucionar y/o demostrar solo existen dos maneras: Primero, forzando a las definiciones matemticas; y Segundo, siendo una regla de juego matemtico y es aqu donde podemos notar lo interesante y la importancia que tendr para los efectos de motivacin del Alumno .Pedaggicamente, aqu les presento una DIDACTICA MATEMTICA, el cual les permitir tener una clase interesante, alegre y divertida... y consigo el aprendizaje fructfero del Alumno

EMBED Equation.DSMT4

Escrito por EMBED Equation.DSMT4

DEMOSTRAR QUE 5 = 2 + 2?

EMBED Equation.DSMT4

DEMOSTRAR QUE 1+1 =1?

Supongamos a = b

Multiplicamos "a" (a.a = a.b

Restamosb2 (a2 - b2 =ab - b2

(a+b)(a-b) = b(a-b)

a+b = b

como se sabe que a = b

b +b = b

b(1+1) )= 1.b

1+1 = 1

Increble Cundo Fue?

+n

-m

Dentro de n aos

Hace

m aos

Hoy tengo

7 aos

3 aos

Ao

Actual

Ao

Nac.

Ao

Actual

Ao

Nac.

Prctica todo lo aprendido en los siguientes problemas Papayita!

Leonhard Euler

(1707-1783)

Cientfico ms importante de Suiza y uno de los tres matemticos ms grandes de la poca moderna (los otros dos son Gauss y Riemann). Quiz fue el autor ms prolfico de todos los tiempos.

A pesar de que este notable cientfico suizo sufri una ceguera total durante los ltimos 17 aos de su vida, logr aumentar considerablemente la produccin de sus obras, que para entonces era ya prodigiosa.

.

Trata de cultivar la verdad en relacin con los otros y tambin en relacin contigo mismo. Slo la verdad nos har llegar a la perfeccin, porque ella nos hace conocer lo que realmente somos.

John Venn Euler

Fue un matemtico britnico que se hizo famoso por sus diagramas lgicos. Los diagramas de Venn se emplean a menudo para ensear matemticas elementales.

"Educar no es dar carrera para vivir, sino templar

el alma para las dificultades de la vida."

ACTIVIDADES EN AULA

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

Educar es formar personas aptas para gobernarse as mismas y no para ser gobernadas por otros.

Vamos amiguitos sigamos aprendiendo

El cerebro no es un vaso por llenar, sino una lmpara por encender.

Con los que debes conversar, es con aquellos que te puedan hacer mejor.

ACTIVIDADES EN AULA

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

El egosta no reconoce ms que un derecho: el suyo.

+2

+2

+2

-5

-5

-5

En el cerebro existen 100 millones de neuronas.

Y en el cerebro existen 100 trillones de interconexiones en serie.

x3

x3

x3

x3

x EMBED Equation.3

x EMBED Equation.3

x EMBED Equation.3

1

2

3

4

87

88

89

90

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Documents

2doRAZ.MAT..doc