2.Integración · segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x =1 es 5x ... 33. (2003-M4;Jun-B-1) Dadas la parábola de ecuación

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque I: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 3 y 4: Integral Indefinida y Definida

1

EJERCICIOS BLOQUE I: ANÁLISIS DE FUNCIONES (INTEGRACIÓN)

1. (2001-M1-A-1) (2.5 puntos) Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola 2xy = y la recta 1=y en dos regiones de igual área mediante una recta ay = . Halla el valor de a .

2. (2001-M1-B-1) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( )⎩⎨⎧

−>+−−≤+

=1221105

2 xsixxxsix

xf

a) (1 punto) Esboza la gráfica de f . b) (1.5 puntos) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje de abscisas

y la recta 3=x . 3. (2001-M2;Jun-A-2) Considera la función ( ) ℜ→+∞,0:f definida por ( ) xLnxxf = .

Calcula: a) (1.5 puntos) ( )∫ dxxf .

b) (1 punto) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto ( )0,1 .

4. (2001-M2;Jun-B-1) (2.5 puntos) De la función ℜ→ℜ:f se sabe que ( ) 222 ++=′′ xxxf y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto ( )2,1P . Halla la expresión de f .

5. (2001-M2;Jun-B-2) (2.5 puntos) Halla el área del recinto

rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte

curva tiene como ecuación x

xy−+

=1

22.

6. (2001-M3-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 12 −= xxf .

a) (0.5 puntos) Esboza la gráfica de f . b) (1 punto) Estudia la derivabilidad de f .

c) (1 punto) Calcula ( )∫2

0dxxf .

7. (2001-M3-B-1) Considera la función ( ) ℜ→+∞− ,1:f definida por

( ) ( )⎩⎨⎧

>≤<−−

=1

111xsixLnx

xsixaxf

a) (1 punto) Determina el valor de a sabiendo que f es derivable.

b) (1.5 puntos) Calcula ( )∫2

0dxxf .

8. (2001-M3-B-2) (2.5 puntos) Determina la función ℜ→ℜ:f sabiendo que su derivada

segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa 1=x es 035 =−− yx .

9. (2001-M4-B-1) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) xxxxf 1292 23 −−−= .

a) (1 punto) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . b) (1.5 puntos) Determina los extremos relativos α y β de f con βα < y calcula

( )∫β

αdxxf .



2

10. (2001-M5-A-1) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−−

<−=

01

01

1

2 xsixmx

xsixxf

a) (1.25 puntos) Determina m sabiendo que f es derivable.

b) (1.25 puntos) Calcula ( )∫−1

1dxxf .

11. (2001-M5-B-1) Considera la función [ ] ℜ→4,0:f definida por ( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤−

≤<+

≤≤

=

434

311

16104

2

xsix

xsix

xsix

xf

a) (1 punto) Esboza la gráfica de f . b) (1.5 puntos) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

12. (2001-M6-A;Sept-2)

a) (0.5 puntos) Dibuja el recinto limitado por la curva xy cos21+= , con los ejes de

coordenadas y la recta π=x . b) (2 puntos) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

13. (2001-M6-B;Sept-2) Calcula el área encerrada entre la curva xxy 43 −= y el eje de abscisas.

14. (2002-M1-A-1) Sea ℜ→Df : la función definida por ( )( )2

1xLnx

xf = .

a) (1 punto) Determina el conjunto D sabiendo que está formado por todos los puntos ℜ∈x para los que existe ( )xf .

b) (1.5 puntos) Usa el cambio de variable xLnt = para calcular una primitiva de f .

15. (2002-M1-B-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ −+−+ dx

xxxx

1322

2

23

16. (2002-M1-A-1) a) (1.5 puntos) Determina la función ℜ→ℜ:f sabiendo que ( ) 23 62 xxxf −=′ y que

su valor mínimo es 12− . b) (1 punto) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de

inflexión de su gráfica.

17. (2002-M2-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 4−= xxxf .

a) (0.75 puntos) Esboza la gráfica de f . b) (0.75 puntos) Estudia su derivabilidad en 4=x . c) (1 punto) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

18. (2002-M2-B-2) (2.5 puntos) Esboza el recinto limitado por los ejes coordenados y las gráficas

de las funciones 1=y e xLny = . Calcula su área.

19. (2002-M3;Sept-A-1) Consideremos ( ) ( )∫=x

dttfxF0

.

a) (1.5 puntos) Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:



3

i) ( ) 0=αF . ii) ( ) 0=′ αF . iii) F es creciente en ( )α,0 .

b) (1 punto) Calcula ( )1F siendo ( )1

1+

=t

tf .

20. (2002-M3;Sept-B-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ −−+1

0 2

3

213 dx

xxx

.

21. (2002-M4;Jun-A-2) (2.5 puntos) Determina un polinomio ( )xP de segundo grado sabiendo que

( ) ( ) 120 == PP y ( )312

0=∫ dxxP .

22. (2002-M4;Jun-B-2) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) xexxf −= . Esboza el recinto limitado por la curva ( )xfy = , los ejes coordenados y la recta 1−=x . Calcula su área.

23. (2002-M5-A-2) (2.5 puntos) Calcula una primitiva de la función f definida por

( )32

1022

2

−++

=xx

xxxf para ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. y

3−≠x . 24. (2002-M6-B-2) (2.5 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de la parábola

( ) 22 2 −−−= xy , la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa 3=x , el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Calcula su área.

25. (2003-M1;Sept-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 3x

exf = . a) (1 punto) ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de

coordenadas? Halla la ecuación de dicha recta tangente. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f , la

recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. 26. (2003-M1;Sept-B-1) (2.5 puntos) Sea ( ) ℜ→+∞,0:f la función definida por

( ) ( ) xLnxxf 1−= . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23,1 .

27. (2003-M2-A-2) (2.5 puntos) Se sabe que la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) cbxaxxf ++= 2 tiene máximo absoluto en el punto de abscisa 1=x , que su gráfica pasa por el punto ( )4,1 y que

( )∫− =3

1 232dxxf . Halla ba, y c .

28. (2003-M2-B-2) (2.5 puntos) En la figura adjunta

puedes ver representada en el intervalo [ ]2,0 la gráfica

de la parábola de ecuación 4

2xy = . Halla el valor de

m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales

29. (2003-M3-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 222 +−= xxxf .



4

a) (0.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 3=x .

b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , la recta tangente obtenida y el eje OY .

30. (2003-M3-B-2) (2.5 puntos) Se sabe que la función ( ) ℜ→3,0:f es derivable en todo punto de

su dominio, siendo ( )⎩⎨⎧

<<+−≤<−

=′323201

xsixxsix

xf y que ( ) 01 =f . Halla la expresión

analítica de f . 31. (2003-M4;Jun-A-1) (2.5 puntos) Sea ( ) ℜ→− 1,1:f la función definida por ( ) ( )21 xLnxf −= .

Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( )1,0 . 32. (2003-M4;Jun-A-2) (2.5 puntos) Se sabe que la función ℜ→ℜ:f definida por

( ) cbxaxxxf +++= 23 tiene un extremo relativo en el punto de abscisa 0=x y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa 1−=x . Conociendo además que

( )∫ =1

06dxxf , halla ba, y c .

33. (2003-M4;Jun-B-1) Dadas la parábola de ecuación 21 xy += y la recta de ecuación xy +=1 , se pide:

a) (1.5 puntos) Área de la región limitada por la recta y la parábola. b) (1 punto) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

34. (2003-M5-A-2) (2.5 puntos) Determina el valor positivo de λ para el que el área del recinto

limitado por la parábola 2xy = y la recta xy λ= es 1. 35. (2003-M5-B-1) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 3 xxf = .

a) (0.5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1=x . b) (0.5 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida. c) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

36. (2003-M6-A-2) (2.5 puntos) Sea la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) 462 3 +−= xxxf .

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al máximo relativo de la función.

37. (2003-M6-B-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:, gf definidas por ( ) 26 xxf −= y ( ) xxg =

a) (0.75 puntos) Dibuja el recinto acotado que está limitado por las gráficas de f y g . b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

38. (2004-M1-A-2) Considera la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) xxxf = .

a) (0.75 puntos) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

b) (1.75 puntos) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.

39. (2004-M1-B-1) (2.5 puntos) Halla la función ℜ→ℜ:f tal que su gráfica pase por el punto ( )1,0M , que la tangente en el punto M sea paralela a la recta 032 =+− yx y que ( ) 23xxf =′′ .



5

40. (2004-M1-B-2) Considera la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) xx eexf −+= 4 . a) (1 punto) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus

extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas 0=x y 2=x .

41. (2004-M2;Sept-A-2) (2.5 puntos) Halla el área de la superficie sombreada.

42. (2004-M2;Sept-B-2) (2.5 puntos) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la

recta xy 2= y por las curvas 2xy = e 2

2xy = .

43. (2004-M3-A-1) (2.5 puntos) Calcula ∫− −+0

2 2 321 dx

xx.

44. (2004-M3-B-2) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) ( ) xexxf 21−= . Calcula

la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( )2,1 e .

45. (2004-M4-A-1) Considera la integral ∫ +=

9

1 11 dx

xI .

a) (1.5 puntos) Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables tx =+1 .

b) (1 punto) Calcula I .

46. (2004-M4-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 132

31 2 ++= xxxf .

a) (1 punto) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada 1=y , teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.

b) (1.5 puntos) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f , la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

47. (2004-M5-A-2) (2.5 puntos) Considera las funciones ( ) ℜ→+∞,0:f y ℜ→ℜ:g definidas,

respectivamente, por ( ) xLnxf = y ( ) xxg 21−= . Calcula el área del recinto limitado por las rectas 1=x y 2=x y las gráficas de f y g .

48. (2004-M5-B-2) (2.5 puntos) Determina b sabiendo que 0>b y que el área del recinto limitado

por la parábola de ecuación 2

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= bxy y los ejes coordenados es igual a 8 .

49. (2004-M6;Jun-A-1) De la función ( ) ℜ→+∞− ,1:f se sabe que ( )( )21

3+

=′x

xf y que

( ) 02 =f .



6

a) (1.25 puntos) Determina f . b) (1.25 puntos) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( )1,0 .

50. (2004-M6;Jun-B-2) (2.5 puntos) Determina b sabiendo que 0>b y que el área de la región

limitada por la curva 2xy = y la recta bxy = es igual a 29

.

51. (2005-M1;Jun-A-2) Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función

ℜ→ℜ:f definida por ( ) xexxf 2= y a su función derivada f ′ . a) (1 punto) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f ′ . b) (1.5 puntos) Calcula el área de la región sombreada.

52. (2005-M1;Jun-B-2) Considera la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) 2

xexf−

= . a) (0.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa 0=x . b) (1.75 puntos) Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f ,

la recta de ecuación 2=x y la recta tangente obtenida en a).

53. (2005-M2-A-2) (2.5 puntos) Calcula la integral ∫ −−+−+ dx

xxxxx

21103

2

23

.

54. (2005-M2-B-2) Se sabe que la función [ ) ℜ→+∞,0:f definida por

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−

≤≤=

8432

802

xsix

xxsiax

xf es continua en [ )+∞,0 .

a) (0.5 puntos) Halla el valor de a .

b) (2 puntos) Calcula ( )∫10

0dxxf .

55. (2005-M3-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) ( )⎩⎨⎧

>−≤+

=02042

2 xsixxsix

xf

a) (1 punto) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.

b) (1.5 puntos) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.

56. (2005-M3-B-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫− +0

12 dxxLn .

57. (2005-M4-A-2) Considera la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) 452 +−= xxxf .



7

a) (0.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 3=x .

b) (1.75 puntos) Calcula el área de la región acotada que está limitada por el eje de ordenadas, por la gráfica de f y por la recta tangente obtenida.

58. (2005-M4-B-2) Calcula las siguientes integrales:

a) (0.5 puntos) ( )∫ + dxx 15cos b) (0.5 puntos) ( )∫+

dxx 32

1 c) (1.5 puntos) ∫ −1

0

3 dxex x

59. (2005-M5-A-1) Se sabe que la gráfica de la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) cxbxaxxf +++= 23 es

la que aparece en el dibujo. a) (1.25 puntos) Determina f . b) (1.25 puntos) Calcula el área de la región sombreada.

60. (2005-M5-B-2) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) ( )xsenxxf 22= . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( )1,0 .

61. (2005-M6;Sept-A-1) De una función ℜ→ℜ:f se sabe que ( ) 20 =f y que ( ) xxf 2=′ .

a) (1 punto) Determina f . b) (1.5 puntos) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f , por el eje de

abscisas y por las rectas de ecuaciones 2−=x y 2=x .

62. (2005-M6;Sept-B-2) Considera la integral definida ∫ −+=

8

3 111 dxx

I .

a) (1.25 puntos) Exprésala aplicando el cambio de variable tx =−+ 11 . b) (1.25 puntos) Calcula I .

63. (2006-M1-A-2) Sea f la función definida por ( )⎩⎨⎧

<≥−

=− 0

012

xsiexxsie

xf x

x

a) (1 punto) Estudia la derivabilidad de f en 0=x y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto.

b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y la recta 1−=x .

64. (2006-M1-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−>+

−≤−=11

12 xsix

xsixa

xf

a) (0.75 puntos) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. b) (0.5 puntos) Esboza la gráfica de f . c) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas

y las rectas 02 =+x y 02 =−x .



8

65. (2006-M2;Sept-A-2) Calcula:

a) (1.5 puntos) ∫ −−− dx

xxx

251605

2

2

b) (1 punto) ( ) ( )∫ −⋅− dxxxtgx 332 2

66. (2006-M2;Sept-B-2) (2.5 puntos) Halla la función ℜ→ℜ:f sabiendo que ( ) 612 −=′′ xxf

y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 2=x tiene de ecuación 074 =−− yx .

67. (2006-M3;Jun-A-2) Sea ∫+

=2

0 2

3

1dx

xxI .

a) (1.25 puntos) Expresa I aplicando el cambio de variable 21 xt += . b) (1.25 puntos) Calcula el valor de I .

68. (2006-M3;Jun-B-2) (2.5 puntos) El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones

axy

2

= e xay = , con 0>a , vale 3 . Calcula el valor de a .

69. (2006-M4-A-1a) (1.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función dada por ( ) bxaxf += 2 . Halla los

valores de a y b sabiendo que ( ) 66

0=∫ dxxf y que la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la función f en el punto de abscisa 3 vale 12− .

70. (2006-M4-A-2) Calcula ( )∫ −− dxex x12 .

71. (2006-M4-B-2) (2.5 puntos) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función

( ) xsenxf = y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas 0=x y π=x . 72. (2006-M5-A-2) Sea [ ] ℜ→4,0:f una función tal que su función derivada viene dada por

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<≤+−

<<=′4382

3032

xsix

xsixxf

a) (1.75 puntos) Determina la expresión de f sabiendo que ( )3

161 =f .

b) (0.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1=x .

73. (2006-M5-B-2) (2.5 puntos) Sean las funciones f y [ ) ℜ→+∞,0:g , dadas por ( ) 2xxf = y

( ) xxg λ= , donde λ es un número real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo que el

área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es 31

.

74. (2006-M6-A-2) Sea ( ) ℜ→2,0:f la función definida por

( ) ( )⎩⎨⎧

<<−≤<

=21210

xsixLnxsixLn

xf

a) (1 punto) Estudia la derivabilidad de f en el punto 1=x .

b) (1.5 puntos) Calcula ( )∫′51

1dxxf .



9

75. (2006-M6-B-2)

a) (0.75 puntos) Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas 2115

xy

+= e 12 −= xy

b) (1.75 puntos) Calcula el área de dicho recinto. 76. (2007-M1;Sept-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 2−= xxxf .

a) (1 punto) Estudia la derivabilidad de f en 2=x . b) (0.5 puntos) Esboza la gráfica de f . c) (1 punto) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

77. (2007-M1;Sept-B-1) (2.5 puntos) Determina una función ℜ→ℜ:f sabiendo que su derivada

viene dada por ( ) 62 −+=′ xxxf y que el valor que alcanza f en su punto de máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo).

78. (2007-M1;Sept-B-2) Sea ( ) ℜ→+∞− ,1:f la función definida por ( ) ( )1+= xLnxf .

a) (1 punto) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0=x .

b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta 1=x .

79. (2007-M2;Jun-A-2) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas mediante

( ) 23 3xxxf += y ( ) 3+= xxg a) (1.25 puntos) Esboza las gráficas de f y g calculando sus puntos de corte. b) (1.25 puntos) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas

de f y g .

80. (2007-M2;Jun-B-2) Dada la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) ( )21 xLnxf += , halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

81. (2007-M3-A-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g definidas por

( ) 1−= xexf y ( ) xexg −= 1 a) (1.25 puntos) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte. b) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g .

82. (2007-M3-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) ( )23−= xxxf .

a) (1 punto) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . b) (0.5 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de f . c) (1 punto) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

83. (2007-M4-A-2) Sea ∫ −= dx

eI x2

2.

a) (1 punto) Expresa I haciendo el cambio de variable xet = . b) (1.5 puntos) Calcula I .

84. (2007-M4-B-2) Sea ( ) ℜ→− 0,2:f la función definida por ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−−

−≤<−=

012

122

xsix

xsixxfβ

α



10

a) (1.5 puntos) Determina α y β sabiendo que f es derivable.

b) (1 punto) Calcula ( )∫−

−

1

2dxxf .

85. (2007-M5-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( )⎩⎨⎧

≥<+

= − 001

xsiexsix

xf x

α

a) (1 punto) Determina el valor de α sabiendo que f es derivable. b) (0.5 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de f .

c) (1 punto) Calcula ( )∫−1

1dxxf .

86. (2007-M5-B-2) Calcula: a) (1 punto) dxxx

∫ ++

143

2 b) (1.5 puntos) ( )∫ 40

2cosπ

dxxx

87. (2007-M6-A-1) (2.5 puntos) Determina la función ℜ→ℜ:f sabiendo que ( ) 12 −=′′ xxf y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0=x es la recta 1=y .

88. (2007-M6-A-2) (2.5 puntos) Calcula 0>β para que el área del recinto limitado por las gráficas

de las funciones ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g definidas por ( ) 2xxf = y ( ) 22 2β+−= xxg sea 72 (unidades de área).

89. (2007-M6-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 2xxf = .

a) (0.75 puntos) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1=x .

b) (1.75 puntos) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f , la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX . Calcula su área.

90. (2008-M1-B-1) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) dcxbxaxxf +++= 23

Se sabe que f tiene un máximo local en ,1=x que el punto ( )1,0 es un punto de inflexión de su gráfica

y que ( ) .49

1

0=∫ dxxf Calcula cba ,, y .d

91. (2008-M1-A-2) (2.5 puntos) Dadas las funciones [ ) ℜ→+∞,0:f y [ ) ℜ→+∞,0:g definidas

por ( ) xxf = y ( ) 3 xxg = . Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y .g 92. (2008-M1-B-2) Sea ( ) ℜ→+∞,0:g la función dada por ( ) xxg ln= ( ln denota logaritmo

neperiano).

a) (0.75 puntos) Justifica que la recta de ecuación xe

y 1= es la recta tangente a la gráfica

de g en el punto de abscisa .ex = b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ,g el eje de abscisas

y la recta tangente del apartado anterior.

93. (2008-M2;Sept-A-2) Dada la función ℜ→ℜ:g , definida por ( ) 12 2 −+= xxxg

a) (1 punto) Esboza la gráfica de .g

b) (1.5 puntos) Calcula ( ) .2

0∫ dxxg

94. (2008-M2;Sept-B-2) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas por

( ) 12 −= xxf y ( ) 22 += xxg



11

a) (0.5 puntos) Esboza las gráficas de f y .g b) (2 puntos) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

95. (2008-M3;Jun-A-2) (2.5 puntos) Calcula ( )( )∫−

− −−

1

2 2 1xxxdx

96. (2008-M3;Jun-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función dada por ( ) xexf 2−=

a) (1 punto) Justifica que la recta de ecuación exy 2−= es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa .2

1−=x b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ,f el eje de ordenadas

y la recta tangente del apartado anterior.

97. (2008-M4-A-2) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas por ( ) xxxf 43 −= y ( ) 63 −= xxg

a) (0.75 puntos) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y .g b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

98. (2008-M4-B-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫ +1

01ln dxxx ( ln denota logaritmo neperiano).

99. (2008-M5-A-2) (2.5 puntos) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones dadas por

( ) 2xxf = y ( ) axg = (con 0>a ) Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es 3

4 . Calcula el valor de la constante .a

100. (2008-M5-B-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫e

dxxx1

2 ln ( ln denota logaritmo neperiano).

101. (2008-M6-A-2) Considera las funciones ( ) ℜ→2,0: πf y ( ) ℜ→+∞,0:g definidas por

( )xxsenxf 3cos

= y ( ) xxxg ln3= ( ln denota logaritmo neperiano).

a) (1.25 puntos) Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando 3π=x (se puede

hacer el cambio de variable xt cos= ). b) (1.25 puntos) Calcula ( )∫ dxxg .

102. (2008-M6-B-2) Sea ℜ→ℜ:g la función definida por ( ) .2341 xxxxg +−=

a) (0.5 puntos) Esboza la gráfica de .g b) (0.75 puntos) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de

abscisa .2=x c) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de

abscisas. 103. (2009-M1-A-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:, gf definidas por ( ) xxf = ,

( ) .6 2xxg −= a) (1 punto) Esboza el recinto limitado por sus gráficas. b) (1.5 puntos) Calcula el área de dicho recinto.



12

104. (2009-M1-B-2) La recta tangente a la gráfica de la función ℜ→ℜ:f , definida por ( ) ,32 −+= nxmxxf en el punto ( )6,1 − , es paralela a la recta de ecuación xy −= . a) (1.25 puntos) Determina las constantes m y n . Halla la ecuación de dicha recta

tangente. b) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta

tangente anterior y el eje de ordenadas.

105. (2009-M2;Sept-A-2) La curva 2

21 xy = divide al rectángulo de vértices ( )0,0=A ,

( )0,2=B , ( )1,2=C y ( )1,0=D en dos recintos. a) (0.75 puntos) Dibuja dichos recintos. b) (1.75 puntos) Halla el área de cada uno de ellos.

106. (2009-M2;Sept-B-2) (2.5 puntos) Sea f la función definida por ( )494 x

xxf−

= .

Halla la primitiva F de f que cumple ( ) .30 =F (Sugerencia: utiliza el cambio de variable

2

23 xt = ).

107. (2009-M3;Jun-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) 1−= xxxf .

a) (0.5 puntos) Esboza la gráfica de .f b) (0.75 puntos) Comprueba que la recta de ecuación xy = es la recta tangente a la

gráfica de f en el punto de abscisa .0=x c) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha

tangente.

108. (2009-M3;Jun-B-2) Considera la curva de ecuación .33 xxy −= a) (0.5 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

.1−=x b) (2 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta .2=y

109. (2009-M4-A-2) Sea ( ) ℜ→∞+,0:f la función definida por ( ) ( )xxf ln1+= , siendo ln la

función logaritmo neperiano.

a) (1 punto) Comprueba que la recta de ecuación xe

y 11+= es la recta tangente a la

gráfica de f en el punto de abscisa .ex = b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ,f el eje de abscisas y

la recta tangente del apartado a).

110. (2009-M4-B-2) Se consideran las funciones [ ) ℜ→∞+,0:f y ℜ→ℜ:g definidas por

( ) xxf 3= , ( ) 2

31 xxg =

a) (0.5 puntos) Haz un esbozo de sus gráficas. b) (2 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.

111. (2009-M5-A-2)

a) (1.25 puntos) Calcula ∫ dxxsenx .



13

b) (1.25 puntos) Sean las funciones ℜ→ℜ:, gf definidas por ( ) 12 +−= xxf , ( ) 1−= xxg . Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas.

112. (2009-M5-B-2) Las dos gráficas del dibujo corresponden a la

función ( ) ℜ→∞+,0:f definida por ( ) ( )xx

xf ln22+= y

a la de sus derivada ( ) ℜ→∞+′ ,0:f (ln denota logaritmo neperiano).

a) (0.5 puntos) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de .f ′

b) (2 puntos) Calcula el área de la región sombreada.

113. (2009-M6-A-2) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas por ( ) xxxf += 2 ,

( ) 2=xg . a) (1 punto) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g . Esboza dichas

gráficas. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

114. (2009-M6-B-2) (2.5 puntos) Calcula un número positivo a , menor que ,4 para que el recinto

limitado por la parábola de ecuación 2xy = y las dos rectas de ecuaciones 4=y e ay = ,

tenga un área de 328

unidades cuadradas.

115. (2010-M1-A-2) (2.5 puntos) Sea ( ) ℜ→∞+− ,2:f la función definida por

( ) ( )2ln += xxf . Halla una primitiva F de f que verifique ( ) .00 =F ( ln denota el logaritmo neperiano).

116. (2010-M1-B-2) (2.5 puntos) Calcula el valor de 0>a sabiendo que el área del recinto

comprendido entre la parábola axxy += 2 y la recta 0=+ xy vale 36 unidades cuadradas.

117. (2010-M2;Jun-A-2) (2.5 puntos) Calcula ( ) .2

0dxxsen∫

π

Sugerencia: Efectúa el cambio .tx =

118. (2010-M2;Jun-B-2) Considera la función f dada por ( ) xxf −= 5 y la función g definida

como ( )x

xg 4= para .0≠x

a) (1 punto) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte.

b) (1.5 puntos) Calcula el área de dicho recinto.

119. (2010-M3-A-2) (2.5 puntos) Dada la función f definida por ( )45

32 +−

=xx

xf para 1≠x

y .4≠x Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ,f el eje de abscisas y las rectas .3,2 == xx

120. (2010-M3-B-2) Considera la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) .2 xxxf −=

a) (1 punto) Esboza su gráfica.



14

b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ,f el eje de abscisas y la recta de ecuación .3=x

121. (2010-M4-A-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:, gf definidas por ( ) 22 xxf −= y

( ) .xxg = a) (1 punto) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y .g

122. (2010-M4-B-2) Dada la función ( ) ℜ→∞+,0:f definida por ( ) ,ln xxf = donde ln es la

función logaritmo neperiano, se pide: a) (0.75 puntos) Comprueba que la recta de ecuación 21 eexy ++−= es la recta normal a

la gráfica de f en el punto de abscisa .ex = b) (1.75 puntos) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de ,f el eje de abscisas

y la recta normal del apartado (a).

123. (2010-M5;Sept-A-2) Sea ∫ −+= .

15 dx

eI

x

a) (1 punto) Expresa I haciendo el cambio de variable .2 xet −= b) (1.5 puntos) Determina .I

124. (2010-M5;Sept-B-2) Considera la función ℜ→ℜ:f dada por ( ) .42 += xxf

a) (0.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa .1=x

b) (1.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de ,f el eje de ordenadas y la recta de ecuación 32 += xy . Calcula su área.

125. (2010-M6-A-2) (2.5 puntos) Sea la función f dada por ( )xx

xf+

= 21

para 1−≠x y

.0≠x Determina la primitiva F de f tal que ( ) .11 =F 126. (2010-M6-B-2) Sean ℜ→ℜ:, gf las funciones definidas por ( ) 322 +−= xxxf y

( ) .121 2 += xxg

a) (1 punto) Esboza las gráficas de f y ,g y halla su punto de corte. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el

eje de ordenadas. 127. (2011-M1-A-2) (2.5 puntos) Calcula el valor de 0>b , sabiendo que el área de la región

comprendida entre la curva xy = y la recta bxy = es de 34

unidades cuadradas.

128. (2011-M1-B-2) (2.5 puntos) Sea ( ) ℜ→∞+,0:f la función definida por ( ) ( )( )xxxf ln1−= , donde ln denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva

de f cuya gráfica pasa por el punto ( ).1,1P 129. (2011-M2;Sept-A-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:, gf definidas por ( ) 26 xxxf −= y

( ) xxxg 22 −=



15

a) (0.75 puntos) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y .g

130. (2011-M2;Sept-B-2) Sean ℜ→ℜ:, gf las funciones definidas por ( ) 441 2 +−= xxf y

( ) 12 −= xxg a) (0.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa .2−=x b) (1.75 puntos) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta

5+= xy . Calcula el área de este recinto.

131. (2011-M3-A-2) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas por ( ) xxf 34−= y ( ) 2xxg =

a) (1 punto) Esboza las gráficas de f y g . Determina sus puntos de corte. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g .

132. (2011-M3-B-2) (2.5 puntos) Calcula:

( )∫ 20

cosπ

dxxx

133. (2011-M4-A-2) (2.5 puntos) Calcula un número positivo a , menor que 2, para que el recinto

limitado por la parábola de ecuación 2

21 xy = y las dos rectas horizontales de ecuaciones

ay = e 2=y , tenga un área de 3

14 unidades cuadradas.

134. (2011-M4-B-2) Dada la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) 132 2 −+−= xxxf

a) (0.5 puntos) Prueba que las rectas 1+−= xy e 13 −= xy son tangentes a su gráfica. b) (2 puntos) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas

mencionadas en el apartado anterior.

135. (2011-M5-A-2) (2.5 puntos) Determina la función ( ) ℜ→∞+,0:f tal que ( )x

xf 1=′′ y su

gráfica tiene tangente horizontal en el punto ( ).1,1P 136. (2011-M5-B-2) (2.5 puntos) Calcula:

∫ −++ dxxxxx

22

23

137. (2011-M6;Jun-A-2) Sea ( ) ℜ→∞+− ,1:f la función definida por ( ) ( )1ln += xxf , donde

ln denota la función logaritmo neperiano. a) (0.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f , el eje OY y la recta 1=y .

Calcula los puntos de corte de las gráficas. b) (1.75 puntos) Halla el área del recinto anterior.

138. (2011-M6;Jun-B-2) (2.5 puntos) Halla:



16

( )( )∫ +−dx

eee

xx

x

112

Sugerencia: efectúa el cambio de variable .xet =

139. (2012-M1-A-2) Sean ℜ→ℜ:, gf las funciones definidas por ( ) ( )xxf sen= y ( ) ( )xxg cos= respectivamente.

a) (0.75 puntos) Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo .2

,0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

b) (1.75 puntos) Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las

rectas 0=x y .2π

=x

140. (2012-M1-B-2) (2.5 puntos) Sea la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) ( ).cos2 xxxf =

Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( ).0,π 141. (2012-M2-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) xxxf 43 −=


b) (0.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta ,2−−= xy determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

c) (1 punto) Calcula el área del recinto anterior.

142. (2012-M2-B-2) Sean ℜ→ℜ:, gf las funciones definidas por ( ) xxxf 22 −= y ( ) xxxg 42 +−= respectivamente. a) (0.75 puntos) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto

que limitan. b) (1.75 puntos) Calcula el área de dicho recinto.

143. (2012-M3;Jun-A-2) Sea ∫ −+=

1

0 11dx

xxI

a) (1.75 puntos) Expresa la integral I aplicando el cambio de variable xt −= 1 . b) (0.75 puntos) Calcula el valor de I.

144. (2012-M3;Jun-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( )4

9 2xxf −=


b) (1.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f , la recta 52 =+ yx y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

145. (2012-M4;Sept-A-2) Sea f una función continua en el intervalo [ ]3,2 y F una función

primitiva de f tal que ( ) 12 =F y ( ) .23 =F Calcula:

a) (0.75 puntos) ( )∫3

2dxxf

b) (0.75 puntos) ( )( )∫ −3

275 dxxf

c) (1 punto) ( )( ) ( )∫3

2

2 dxxfxF



17

146. (2012-M4;Sept-B-2) Sea la función f definida por ( )1

22 −

=x

xf para 1−≠x y .1≠x

a) (1.25 puntos) Halla una primitiva de f. b) (1.25 puntos) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de

abscisas y la gráfica de f en el intervalo [ ]k,2 sea ( ),2ln donde ln denota el logaritmo neperiano.

147. (2012-M5-A-2) Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por

las rectas ,4xy = xy 48−= y la curva .2 2xxy −= a) (0.5 puntos) Realiza un esbozo de dicho recinto. b) (2 puntos) Calcula su área.

148. (2012-M5-B-2) (2.5 puntos) Calcula los valores de a y b sabiendo que la función

( ) ℜ→∞+,0:f definida por ( ) ( ),ln2 xbaxxf += donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en 1=x y que

( ) ( )4ln8274

1−=∫ dxxf

149. (2012-M6-A-2) (2.5 puntos) Sea la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) ( ) .1 2 xexxf −−= Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( )0,1− .

150. (2012-M6-B-2) Sean las funciones ℜ→ℜ:f y [ ) ℜ→∞+,0:g definidas por

( )4

2xxf = y ( ) xxg 2= respectivamente.

a) (0.75 puntos) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto que limitan.


151. (2013-M1-A-2) Sean f y g las funciones definidas por ( ) xxf −= 2 y ( )1

2+

=x

xg para

1−≠x . a) (0.5 puntos) Calcula los puntos de corte entre las gráficas de f y g . b) (0.5 puntos) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. c) (1.5 puntos) Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g .

152. (2013-M1-B-2) (2.5 puntos) Calcula ∫+

4

2 1dx

ee

x

x

. Sugerencia: se puede hacer el cambio de

variable .xet = 153. (2013-M2;Sept-A-2)

a) (2 puntos) Determina la función ℜ→ℜ:f tal que ( ) ( ) xexxf −+=′ 12 y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.

b) (0.5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0=x .

154. (2013-M2;Sept-B-2) Sea ℜ→ℜ:g la función definida por ( ) 562 −+−= xxxg . a) (0.75 puntos) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de

abscisa 4=x . b) (1.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta 022 =+− yx .

Calcula el área de este recinto.



18

155. (2013-M3-A-2) (2.5 puntos) Sea ( ) ℜ→∞+,0:g la función definida por

( )xx

xg+

=1

.

Determina la primitiva de g cuya gráfica pasa por el punto ( )0,1P .

Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable xt = .

156. (2013-M3-B-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫ 20

2π

dxxsenx .

157. (2013-M4-A-2) (2.5 puntos) Halla ∫ ++ dx

xx

11

.

Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable xt = . 158. (2013-M4-B-2) Sea ( ) ℜ→∞+,0:g la función definida por ( ) ( )xxg ln= (donde ln denota

el logaritmo neperiano). a) (1.25 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta 1=y . Calcula

los puntos de corte entre ellas. b) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto anterior.

159. (2013-M5-A-2) (2.5 puntos) De la función ℜ→ℜ:f definida por

( ) dcxbxaxxf +++= 23 se sabe que alcanza un máximo relativo en 1=x , que la gráfica

tiene un punto de inflexión en ( )0,0 y que ( )451

0=∫ dxxf . Calcula cba ,, y d .

160. (2013-M5-B-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ +−

4

2 2

2

56dx

xxx

.

161. (2013-M6;Jun-A-2) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas mediante

( ) ( )2−= xxxf y ( ) 4+= xxg .

a) (1.25 puntos) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g . 162. (2013-M6;Jun-B-2) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:g la función definida por ( ) ( )1ln 2 += xxg

(donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

163. (2014-M1;Jun-A-2) Sean ℜ→ℜ:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas respectivamente

por ( )2x

xf = y ( ) 211x

xg+

=

a) (1 punto) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.


164. (2014-M1;Jun-B-2) (2.5 puntos) Sea f la función definida por ( ) ( )1ln += xxxf para 1−>x (ln denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por

el punto ( ).0,1



19

165. (2014-M2-A-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫− −1

14ln dxx (ln denota el logaritmo neperiano).

166. (2014-M2-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) .322 ++−= xxxf a) (0.5 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa .2=x b) (0.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de ,f la recta 072 =−+ yx y

el eje OX, calculando los puntos de corte. c) (1.25 puntos) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

167. (2014-M3-A-2) (2.5 puntos) Determina una función derivable ℜ→ℜ:f sabiendo que

( ) 11 −=f y que ( )⎩⎨⎧

≥−<−

=′01022

xsiexsixx

xf x.

168. (2014-M3-B-2) Considera el recinto limitado por las siguientes curvas

.4,2, 22 =−== yxyxy a) (1 punto) Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto.

169. (2014-M4;Sept-A-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ −−1

0 2

2

.422

dxxx

x

170. (2014-M4;Sept-B-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ 40 2 .

cos

π

dxx

x (Sugerencia: integración por partes).

171. (2014-M5-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) .33 23 +−−= xxxxf

a) (0.75 puntos) Halla, si existe, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es .3 xy −=

b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado anterior.

172. (2014-M5-B-2) (2.5 puntos) Sea ( ) ℜ→− 3,1:f la función definida por ( ) ( )( ).319−+

+=

xxxxf

Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( ).0,1

173. (2014-M6-A-2) (2.5 puntos) Calcula ( ).2∫ + xxxdx

(Sugerencia: cambio de variable xt = )

174. (2014-M6-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) ).cos(xexf x=

a) (1 punto) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa .0=x

b) (1.5 puntos) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( ).0,0

175. (2015-M1-A-2) (2.5 puntos) Calcula el valor de 1>a sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola axxy +−= 2 y la recta xy = es .3

4

176. (2015-M1-B-2) Sea f la función definida por ( ) ( )11

2

2

−+

=xx

xxf para 0≠x y 1≠x y sea F

la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( )( )2ln,2P ( ln denota logaritmo neperiano).



20

a) (0.5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de F en el punto .P b) (2 puntos) Determina la función .F

177. (2015-M2-A-2) Sea f la función definida por ( ) ( )xxxf

2ln

= para 0>x (ln denota la función

logaritmo neperiano) y sea F la primitiva de f tal que ( ) .21 =F a) (0.5 puntos) Calcula ( ).eF ′ b) (2 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa

.ex =

178. (2015-M2-B-2) Sean [ ) ℜ→∞,0:f y ℜ→ℜ:g las funciones definidas por ( ) xxf 2= y ( ) .2

21 xxg =

a) (0.75 puntos) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y .g Haz un esbozo del recinto que limitan.


179. (2015-M3;Sept-A-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫π

0

2 .dxxsenx

180. (2015-M3;Sept-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) .42 −= xxf

a) (0.75 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de .f b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta .5=y

181. (2015-M4;Jun-A-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ −+− .

22

2

dxxxx

182. (2015-M4;Jun-B-2) (2.5 puntos) Determina la función ( ) ℜ→∞,0:f sabiendo que

( ) ( )xxf ln=′′ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto ( )2,1P (ln denota la función logaritmo neperiano).

183. (2015-M5-A-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫ +− 22 xx

dx (Sugerencia: tx =+ 2 ).

184. (2015-M5-B-2) (2.5 puntos) Sea g la función definida por ( ) ( )xxg ln= para 0>x (ln denota la función logaritmo neperiano). Calcular el valor de 1>a para el que el área del recinto limitado por la gráfica de ,g el eje de abscisas y la recta ax = es 1.

185. (2015-M6-A-2) Sea f la función definida por ( ) ( )xxf ln= para 0>x (ln denota la función logaritmo neperiano).

a) (0.5 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta .1=y b) (0.5 puntos) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta .1=y c) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto citado.

186. (2015-M6-B-2) (2.5 puntos) Calcula ( )∫ .2 dxxsene x

187. (2016-M1-A-2) (2.5 puntos) Calcula el valor de 0>a para el que se verifica .120 2 =+∫ dx

xxa



21

188. (2016-M1-B-2) (2.5 puntos) Considera la función ℜ→ℜ:f dada por ( ) mxxxf +−= 2 siendo .0>m Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta mxy −= y calcula el valor de m para que el área de dicho recinto sea .36

189. (2016-M2;Jun-A-2) (2.5 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una

función f en el punto de abscisa 1=x sabiendo que ( ) 00 =f y ( ) ( )11 2

+−

=′xxxf para .1−>x

190. (2016-M2;Jun-B-2) Sea ( ) ℜ→∞+,0:f la función dada por ( ) ( )xxf ln= (ln representa logaritmo neperiano).

a) (0.5 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa .1=x

b) (2 puntos) Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f , la recta 1−= xy y la recta .3=x Calcula su área.

191. (2016-M3-A-2) Considera la función f dada por ( )xxxxf ln

+= para .0>x

a) (1.5 puntos) Halla todas las primitivas de f .

b) (0.5 puntos) Halla ( )∫3

1dxxf

c) (0.5 puntos) Determina la primitiva de f que toma el valor 3 para .1=x

192. (2016-M3-B-2) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función dada por ( ) ( ) .1

222 +

=x

xxf Calcula el

área del recinto limitado por la gráfica de ,f el eje de abscisas y las rectas 0=x y .1=x

193. (2016-M4-A-2) (2.5 puntos) De la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) ,bxaexf x −= donde

ℜ∈ba, se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en 0=x y que ( ) .231

0−=∫ edxxf

Halla los valores de a y .b 194. (2016-M4-B-2) (2.5 puntos) Considera la función ℜ→ℜ:f definida por

( ) ( ) ,233m

xmxxf −= con .0>m Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de f y el

eje .OX

195. (2016-M5;Sep-A-2) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) .4xxf = Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de f formando con ella un recinto con

área .58

196. (2016-M5;Sep-B-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ +dx

xx

1 (sugerencia: xt = ).

197. (2016-M6-A-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ ++++ dx

xxx

121212

(sugerencia: 12 += xt ).

198. (2016-M6-B-2) (2.5 puntos) Determina la función ℜ→ℜ:f tal que

( ) ( ),22 xsenxf −=′′ ( ) 10 =f y .02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πf



22

199. (2017-M1-A-2) Sea f la función definida como ( ) ( ) ( )xxxf ln2+= para 0>x , donde ( )xln representa al logaritmo neperiano de .x

a) (1.75 puntos) Calcula ( )∫ dxxf

b) (0.75 puntos) Encuentra la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( ).0,1

200. (2017-M1-B-2)

a) (2 puntos) Halla ( ) dxxx

∫+

233

2

1 (sugerencia 31 xt += ).

b) (0.5 puntos) Halla la primitiva cuya gráfica pasa por ( ).0,2

201. (2017-M2-A-2) (2.5 puntos) Calcula dxx∫ +

3

0 311

(sugerencia 3 xt = ).

202. (2017-M2-B-2) (2.5 puntos) Calcula ( )

dxxx

∫ ++1

0 2

2

11

203. (2017-M3;Jun-A-2) Considera la región limitada por las curvas 2xy = e xxy 42 +−= . a) (0.75 puntos) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas

curvas. b) (0.75 puntos) Expresa el área como una integral. c) (1 punto) Calcula el área.

204. (2017-M3;Jun-B-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ +

16

1 4 xxdx

(sugerencia 4 xt = ).

205. (2017-M4-A-2) Considera la función dada por ( ) xxf += 3 para [ ].3,3−∈x

a) (0.5 puntos) Expresa la función f definida a trozos.

b) (2 puntos) Halla ( )∫−3

3dxxf

206. (2017-M4-B-2) (2.5 puntos) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) ( ).arctan xxxf = Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( )π,0 .

207. (2017-M5-A-2) Sea .12

18

0dx

xI ∫ ++=

a) (1.25 puntos) Expresa I aplicando el cambio de variable .12 ++= xt b) (1.25 puntos) Calcula el valor de I.

208. (2017-M5-B-2) Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por

( ) 22 −= xxf para 1≥x , la recta 5−= xy y el eje de abscisas. a) (0.75 puntos) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la

gráfica de f y las rectas. b) (0.75 puntos) Expresa mediante integrales el área del recinto anterior. c) (1 punto) Calcula el área.

209. (2017-M6;Sept-A-2) (2.5 puntos) Determina la función ℜ→ℜ:f tal que ( ) xxexf =′′ ,

cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas y tiene un extremo relativo en .1=x



23

210. (2017-M6;Sept-B-2) Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta

xy = , la gráfica 3

1x

y = y la recta .3=x

a) (0.5 puntos) Haz un esbozo del recinto descrito. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto.

c) (0.5 puntos) Si consideras la gráfica x

y 1= en lugar de 3

1x

y = , el área del recinto

correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

211. (2018-M1;Jun-A-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:, gf dadas por ( ) 26 xxxf −= y

( ) .22 xxxg −=

a) (1.25 puntos) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.


212. (2018-M1;Jun-B-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:, gf definidas por

( ) 23 xxf −= y ( ) .4

2xxg −=

a) (1 punto) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1=x y comprueba que también es tangente a la gráfica de g . Determina el punto de tangencia con la gráfica de .g

b) (0.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la recta xy 24 −= y las gráficas de f y g . Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).

c) (0.75 puntos) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

213. (2018-M2-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) .2 xexf −= a) (0.75 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa .2=x b) (0.5 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f , el eje de ordenadas y la

recta .3=+ yx c) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto indicado.

214. (2018-M2-B-2) Considera la función ℜ→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞− ,

2: ef definida por ( ) ( )exxf += 2ln ,

donde ln denota logaritmo neperiano. a) (0.75 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de f calculando sus puntos de corte con los

ejes coordenados. b) (1.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y los ejes de

coordenadas.

215. (2018-M3-A-2) (2.5 puntos) Determina la función ( ) ℜ→+∞,1:f sabiendo que

( )( )21

1−

=′′x

xf y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa 2=x es .2+= xy

216. (2018-M3-B-2) Sea ℜ→ℜ:f la función definida por ( ) .2

cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxxf



24

a) (1.75 puntos) Calcula ( ) .∫ dxxf

b) (0.75 puntos) Encuentra la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( ).1,0

217. (2018-M4;Sept-A-2) (2.5 puntos) Considera la función f definida por ( ) ( ) bxxxaxf −= ln para 0>x ( ln denota la función logaritmo neperiano). Determina a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en 1=x y que

( ) ( )∫ −=2

192ln8dxxf

218. (2018-M4;Sept-B-2) Considera la función ℜ→ℜ:f definida por ( ) .2xexf −= a) (0.75 puntos) Determina el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es

.2 xey −= b) (0.5 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f , la recta xey 2−= y el eje

de ordenadas. c) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

219. (2018-M5-A-2) Siendo ,1>a considera el rectángulo de vértices ( ) ( ) ( )1,,1,1,0,1 aCBA y

( )0,aD . La gráfica de la función f definida por ( ) 2

1x

xf = para 0≠x divide al rectángulo

anterior en dos recintos. a) (0.5 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de f y del rectángulo descrito. b) (2 puntos) Determina el valor de a para el que los dos recintos descritos tienen igual

área.

220. (2018-M5-B-2) (2.5 puntos) Calcula ( )

∫ +2ln

0 11 dxex donde ln denota logaritmo neperiano

(sugerencia xet = ).

221. (2018-M6-A-2) Considera las funciones ℜ→ℜ:, gf definidas por ( ) 32 +−−= xxxf y ( ) .xxg =

a) (1.25 puntos) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) (1.25 puntos) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

222. (2018-M6-B-2) Se sabe que la función [ ) ℜ→+∞,0:f dada por

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−−

≤≤

=8

432

80

2

xsix

x

xsiax

xf

es continua.

a) (0.5 puntos) Determina .a

b) (2 puntos) Para 8=a , calcula ( )∫10

0.dxxf



25

223. (2019-M1;Jun-A-2) (2.5 puntos) Sea la función ( ) ℜ→+∞,0:f definida por ( ) x

x

eexf

−+

=11

.

Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( ).1,1 (Sugerencia: cambio de variable xet = ).

224. (2019-M1;Jun-B-2) Considera las funciones ( ) ,,2: ℜ→+∞−f definida por ( ) ( )2ln += xxf

(ln denota la función logaritmo neperiano) y ,: ℜ→ℜg definida por ( ) ( ).321

−= xxg

a) (1 punto) Esboza el recinto que determinan la gráfica de ,f la gráfica de ,g la recta 1=x y la recta .3=x (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos

gráficas). b) (1.5 puntos) Determina el área del recinto anterior.

225. (2019-M2-A-2) (2.5 puntos) Calcula ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + dxx

x 1ln2

(ln denota la función logaritmo neperiano).

226. (2019-M2-B-2) Sean las funciones [ ] ℜ→π,0:, gf definidas por ( ) ( )xsenxf = y

( ) ( ).2xsenxg =

a) (1 punto) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas 0=x y

.3π

=x

227. (2019-M3-A-2) (2.5 puntos) Dado un número real ,0>a considera la función ,: ℜ→ℜf dada por ( ) ,2 axxxf −= y la recta .2axy = Determina a sabiendo que el área

del recinto limitado por la gráfica de f y la recta anterior es .36

228. (2019-M3-B-2) Sea ℜ→⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

6,0: πf una función continua y sea F la primitiva de f que

cumple ( )3

0 π=F y .

6ππ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛F Calcula:

a) (1 punto) ( ) ( )( )∫ −60

cos3π

dxxxf

b) (1.5 puntos) ( )( ) ( )∫ 60

π

dxxfxFsen

229. (2019-M4;Sept-A-2) (2.5 puntos) Determina la función ( ) ℜ→+∞,0:f sabiendo que es

derivable, que su función derivada cumple ( ) ( )xxxf ln

=′ (ln denota la función logaritmo

neperiano) y que la gráfica de f pasa por el punto ( ).0,1 230. (2019-M4;Sept-B-2) Sea la función ℜ→ℜ:f dada por ( ) .

2xxexf −= a) (1.25 puntos) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados y

los extremos relativos de f (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).



26

b) (1.25 puntos) Determina 0>a de manera que sea 41

el área del recinto determinado por

la gráfica de f en el intervalo [ ]a,0 y el eje de abscisas.

231. (2019-M5-A-2) Sea f la función definida por ( )12

4

−=

xxxf para .1,1 −≠x

a) (2 puntos) Halla todas las funciones primitivas de .f b) (0.5 puntos) Calcula la primitiva que pasa por ( ).0,2

232. (2019-M5-B-2) Considera las funciones [ ] ℜ→− ππ,:, gf definidas por ( ) ( )xxf cos= y ( ) ( ).xsenxg = a) (1 punto) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de

corte. b) (1.5 puntos) Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de f y de g en el

intervalo .4

,4

3⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

ππ

233. (2019-M6-A-2) Sea ℜ→ℜ:f la función dada por ( )⎩⎨⎧

>+−≤−+−

=486486

2

2

xsixxxsixx

xf

a) (1.5 puntos) Calcula los puntos de corte entre la gráfica de f y la recta .42 −= xy Esboza el recinto que delimitan la gráfica de f y la recta.

b) (1 punto) Calcula el área del recinto anterior. 234. (2019-M6-B-2) (2.5 puntos) Considera la función ℜ→ℜ:f dada por ( ) ,4 2 axxf +−=

siendo 0>a un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta .0=y Calcula a sabiendo que el área del recinto es .18

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2.Integración · segunda es constante e igual a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x =1 es 5x ... 33. (2003-M4;Jun-B-1) Dadas la parábola de ecuación