2º PROBLEMAS RESUELTOS T 1 CINEMATICA Y DINÁMICA

FÍSICA 2º BACHILLERATO UNIDAD 1: CINEMÁTICA Y DINÁMICA PROBLEMAS RESUELTOS 1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA

UNIDAD 1: CINEMÁTICA Y DINÁMICA PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Un jugador de béisbol utiliza una maquina lanza dora para ayudarse a mejorar su promedio de bateo. Coloca la máquina de 50 kg sobre un estanque congelado. La maquina dispara horizontalmente una bola de béisbol de 0.15 kg con una velocidad de 36i m/s. ¿Cuál es la velocidad de retroceso de la maquina? Datos: mM= 50kg mB=0.15kg vb=36im/s Puesto que no hay fuerzas exteriores, la cantidad de movimiento permanece constante:

despuesantes PPrr

=

Aplicando la definición de cantidad de momento lineal, deducimos que:

BbmmiMb vmvmvmm +=+ )( Inicicialmente 0=iv Despejamos de la ecuación la velocidad de la maquina y operamos para obtener el resultado:

iix

m

vmv

m

bbm 108.0

50

3615.0 −=−=−

=

2.-Un automóvil de 1800 kg detenido en un semáforo es golpeado por atrás por un auto de 900 kg y los dos quedan enganchados. Si el coche m ás pequeño se movía a 20 m/s antes del choque, ¿cuál es la velocidad de la masa enganc hada después de éste? Datos: m1= 1800 kg m2=900 kg v1=20 m/s Como no hay fuerzas externas, el momento lineal permanece constante.

cteP =r

vmmvmvm )212211 +=+ Se despeja la velocidad final y se opera para obtener el resultado:



m1

m2

smmm

vmvmv /67.6

900·1800

20·9000·1800

21

2211 =+=++

=

3.- Un coche de 1500 kg que viaja hacia el este con rapidez de 25 m/s choca con una camioneta de 2500 kg que viaja al norte a una rapid ez de 20 m/s. Encuentre la dirección y magnitud de la velocidad de los vehículos chocados después de la colisión, suponiendo que los vehículos experimentan una colisión perfect amente inelástica. Datos: m1= 1500 kg v1= 25 m/s m2= 2500 kg Hay que tener en cuenta que trabajamos en dos ejes, por lo que todos los cálculos habrá que realizarlos en éstos. Eje X: Como el momento lineal es constante despejamos Vfx y la calculamos:

fxxx vmmvmvm )( 212211 +=+ 02 =xv

smmm

vmv X

fx /375.925001500

25·1500

21

11 =+

=+

=

Ahora, hacemos lo mismo en el eje Y:

FYYY vmmvmvm )( 212211 +=+

smmm

vmv Y

FY /5.124000

20·2500

21

11 ==+

=

Por ultimo calculamos el valor de Vf y el ángulo que forma con el eje X:

smvvv fyfxf /62.1522 =+=

º1.53375.9

5.12 === arctgv

varctg

FY

fxθ



4.- Una bola de boliche de 7 kg se mueve en línea r ecta a 3 m/s. ¿Qué tan rápido debe moverse una bola de ping-pong de 2.45 g en una líne a recta de manera que las dos bolas tengan el mismo momento? Datos: mb= 7 kg vb= 3 m/s mp= 2,45·10-3 kg Aplicando la formula de momento lineal, calculamos el que posee la bola de boliche:

skgmmvPb /213·7 === Con el momento lineal de la bola de boliche, calculamos la velocidad de la pelota de ping-pong:

PPP VPP = smM

PV

P

PP /4.8571

10·45.2

213

=== −

5.- Un niño bota una gran pelota sobre una acera. E l impulso mecánico entregado por la acera a la pelota es de 2 Ns durante 1/800 s de con tacto. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida por la acera sobre la pelota? Datos: I= 2 Ns T= 1/800 s Se aplica la formula de impulso mecánico, y de ella se despeja la fuerza ejercida:

tFI ·= Nt

IF 1600

8001

2 ===



vp

vn

6.- Un niño de 40 kg parado sobre un lago helado ar roja una piedra de 0.5 kg hacia el este con una rapidez de 5 m/s. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la velocidad de retroceso del hielo. Datos: mN = 40 kg mP = 0.5 kg vp= 5 m/s Dado que inicialmente no hay movimiento, P = 0. Por tanto en el estado final será:

0=+ PPNN vmvm Por tanto despejando la velocidad del niño, obtendremos su velocidad de retroceso:

smm

vmv

N

PPN /0625.0

40

5·5.0 −=−=−

=

7.- Un pitcher dice que puede lanzar una pelota de béisbol con tanta cantidad de movimiento como una bala de 3g moviéndose con una r apidez de 1500m/s. Si una pelota de béisbol tiene una masa de 0.145kg, ¿cuál debe se r su rapidez, si la declaración del pitcher es valida? Datos: mb = 3 g = 3·10-3 kg vb = 1500 m/s mp= 0.145 kg Dado que el bateador dice que es capaz de tener la misma cantidad de movimiento, lo primero, será calcular la cantidad de movimiento de la bala:

skgmvmP bbb /5.41500·10·3 3 === − Una vez calculado, lo aplicamos a la bola de béisbol, despejamos la velocidad y la calculamos:

PPp vmP = smm

Pv

P

PP /03.31

145.0

5.4 ===



v1 vf

8.- Un patinador de hielo de 75 kg que se mueve a 1 0 m/s choca contra un patinador estacionado de igual masa. Después del choque los d os patinadores se mueven como uno solo a 5 m/s. La fuerza promedio que un patinador p uede experimentar sin romperse un hueso es de 4500 N. Si el tiempo de impacto es de 0 .1 s, ¿se rompe algún hueso? Datos: m1 = 75 kg v1 = 10 m/s m2 = 75 kg v2 =0 vf = 5 m/s Dado que ambos patinadores son iguales, reduciremos los calculos a un solo patinador. Primero calcularemos las cantidades de movimiento del patinador antes y después del choque:

skgmvmPI /75010·7511 === skgmvmP ff /3755·751 ===

Una vez calculado esto, y teniendo en cuenta que en el impulso mecánico, la fuerza es considerada como la variación de momento lineal, calculamos la fuerza que produce el impacto:

Nt

PP fi 375010

375750Im =−=

∆−

=

9.- Una bala de 10 g se dispara a un bloque de made ra estacionario de masa 5 kg. El movimiento relativo a la bala se detiene dentro del bloque. La rapidez de la combinación bala mas madera inmediatamente después del choque e s de 0.6 m/s. ¿Cuál es la rapidez original de la bala? Datos: mb =10 g = 0.01kg mb = 5 kg vf = 0.6 m/s Dado que no hay fuerzas externas, el momento lineal se mantiene constante: ft vmvm =11

Despejando v1 y calculando, obtenemos la velocidad de la bala.

smm

vmv FT /6.300

01.0

6.0·01.5

11 ===



V2

V1

V

10.- Un defensa de 90 kg que corre al este con una rapidez de 5 m/s es tracleado por un oponente de 95 kg que corre hacia el norte con una rapidez de 3m/s. Si la colisión es perfectamente inelástica, calcule: a) La velocidad y dirección de los jugadores inmed iatamente después de la tacleada b) La energía mecánica perdida como resultado de la colisión. Tome en cuenta la energía faltante. Datos: m1 = 90 kg m1 = 5i m/s m2=95 kg v2=3j m/s Analizamos el movimiento en dos ejes y realizamos las operaciones por separado: Eje X:

xtvmvm =11 smii

m

vmv

tx /43.2

185

5·9011 ===

Eje Y:

yt vmvm =22 smjj

m

vmv

ty /54.1

185

3·9522 ===

Una vez calculadas las velocidades en los ejes, hallamos la velocidad final y el ángulo que forma una de ella con la velocidad final.

º36.3243.2

54.1 === arctgv

varctg

x

yθ smv f /87.254.143.2 22 =+=



M1

m2

vf

11.- Dos automóviles de igual masa se aproximan a u n cruce. Un vehiculo viaja con una velocidad de 13 m/s hacia el este y el otro viaja a l norte con rapidez V 2i. Los vehículos chocan en el cruce y se quedan pegados. Dejando mar cas paralelas de patinazo a un ángulo de 55º hacia el noreste. El límite de veloci dad para ambos caminos es de 35 millas/hora y el conductor del vehículo que se diri ge al norte dice que estaba dentro del límite de velocidad cuando ocurrió el choque. ¿Dice la verdad? Datos: vmáx = 35 mill/hora = 60 km/h v1 =13 m/s v2 = ? m1 = m2

Para realizar este problema, debemos realizarlo por separado en ambos ejes: Eje X: Aplicando el momento lineal, obtenemos la primera ecuación de la velocidad:

⇒= º55cos211 fmvvm º55cos21 fvv =

Eje Y: Planteamos el mismo procedimiento que en el Eje X:

⇒= º55222 senmvvm f º5522 senvv f=

Sustituimos la primera ecuación en la segunda y comprobamos la velocidad:

smv

v f /33.11º55cos2

13

º55cos21 ===

smsenv /56.18º5533.11·22 ==

Por tanto el conductor mentía ya que supera la velocidad



12.- Una bala de 12 g se dispara contra un bloque d e madera de 100 g inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Después del impacto el bloque se desliza 7.5 m antes de detenerse. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0.65, ¿cuál es la velocidad de la bala inmediatamen te antes del impacto? Datos: mb = 12g = 0.012 kg mm = 0.1 kg x = 7.5 m µ = 0.65 Lo primero es calcular la aceleración que tiene el cuerpo, utilizando la fuerza de rozamiento.

NNFr 637.08.9·1.0·65.0 === µ 237.61.0

637.0 −=== msm

Fa r

Utilizando las ecuaciones de cinemática, hallamos la velocidad inicial del bloque en función del tiempo.

atvv imf −= tvim 37.6=

Sustituyendo la expresión anterior en ecuación de espacios y operando, hallamos el tiempo que se mueve.

22 37.62

137.6 tte −= s

et 35.2

37.6

2 ==

Sustituimos el tiempo calculado para hallar el valor de la velocidad inicial del bloque.

smvim /1535.2·37.6 == Con la velocidad inicial solo falta calcular la velocidad de la bala utilizando la ecuación de cantidad de movimiento.

smvm

mmv im

t

/14015·012.0

112.0211 ===

13.- Un jugador de golf golpea la bola de masa 0.16 kg con una fuerza de 40 N. Si el tiempo de choque del palo con la bola es de 0.1 s, calcula r: a) El impulso que le comunica a la bola b) la velocidad con que sale disparada la bola Datos: mb = 0.16 kg F = 40 N t = 0.1s

a) El impulso mecánico sera: NstFI m 41.0·40· ==∆=

b) La velocidad de la bola sera:

smm

Iv m

b /2516.0

4 ===



14.- Un proyectil de masa 0.05 kg que se mueve con una velocidad de 400 m/s penetra una distancia de 0.1 m en un bloque de madera firmement e sujeto al suelo. Se supone que la fuerza desaceleradora es constante. Calcular: a) La desaceleración b) La fuerza desaceleradora c) El tiempo que dura la desaceleración d) Impulsión de choque Datos: m = 0.05 kg v = 400 m/s x = 0.1 m Primero calculamos el tiempo que dura la desaceleracion y la propia desaceleracion mediante las ecuaciones de espacios y velocidades del MRUA:

tvtve )(2

100 −+= tve 02

1= sv

et 4

0

10·5400

1.0·22 −=== 20 /800000 smt

va =

−=

Una vez calculado esto, hallamos la fuerza desaceleradora: NamF 40000800000·05.0· ===

Y por último, el impulso mecánico del choque:

NstFI m 2010·5·40000· 4 === − 15.- La velocidad con que se mueve un cuerpo a lo l argo de una recta viene dada por la ecuación v = t 2+4t+2 (S.I.). Si en el instante t = 2s, la posición es 4m, calcula su posición en el instante t = 3s y la expresión que proporciona l a aceleración en función del tiempo. Datos: v = t2+4t+2 t = 2s x = 4m t = 3s x = ? Primero, realizamos la integral indefinida de la ecuación de la recta, y acto seguido, calculamos el termino independiente sustituyendo t=2 y x=4 en la ecuación.

Cttt

dtvdtx +++=++== ∫ ∫ 223

)24tt( 23

2 C+++= 483

84

3

31−=C

Una vez calculado el término independiente, sustituimos este en la ecuación y también t=3 s para calcular el espacio:

mx 6.223

31618

3

27 =−++=

Por ultimo, para hallar la expresión de la aceleración en funcion del tiempo derivamos la primera ecuación:

22

42)24( −+=++== mst

dt

ttd

dt

dva



16.- La aceleración de un cuerpo que se mueve en lí nea recta viene dada por la expresión a = 5 - t (m/s 2). Escribe la expresión de la posición sabiendo que en el instante inicial su velocidad es cero y está en el origen de coordenada s. Datos: a = 5-t ms-2

t = 0 v = 0 x = 0 Realizamos la integral indefinida de la ecuación y sustituimos t = 0 y v = 0 para hallar C:

Ct

tdttadtv +−=−== ∫ ∫ 25)5(

2

C+−=2

00·50 0=C

La ecuación de la velocidad quedaría asi:

25

2ttv −=

Realizamos el mismo proceso para hallar la ecuación de posición:

Ctt

dtt

tvdtx +−=−== ∫ ∫ 62

5)

25(

322

0=C

Por tanto la ecuación quedará:

62

5 32 ttx −=

17.- La velocidad de un móvil viene dada por la sig uiente expresión: v = 3t 2i - 2tj (m/s). Calcular la aceleración y la posición para t = 1s, sabiendo que en el instante inicial el móvil esta en el origen. Datos: v = 3t2i-2tj (m/s) t = 0 x = 0 t = 1 x = ? a = ? Primero realizamos la derivada de la ecuación, para hallar la aceleración:

jtidt

dva 26 −== 2

1 26 −−= msjia s

Ahora realizamos la integral indefinida de la ecuación de la velocidad y calculamos el termino independiente con t=0 y x=0

Cjtitdttjitvdtx +−=−== ∫ ∫

232 )23( 0=C

Por último sustituimos t=1 en la ecuación y hallamos el valor de x:

mjix −=



18.- El vector posición de una partícula es el sigu iente: r = (t-1) i+ (t 2+2t-1) j (m/s). a) Escribir la ecuación de la trayectoria b) ¿A que distancia del origen se encuentra a los 3 s? Datos: r = (t-1) i+ (t2+2t-1) j (m/s) t = 3s Primero separamos el vector posición en sus componentes:

12

12 −+=

−=

tty

tx

Ahora despejamos t en la primero y la sustituimos en la segunda y obtenemos la ecuación de la trayectoria:

1+= xt 242 ++= xxy Para hallar la distancia, usamos el vector posición y sustituyendo el tiempo obtenemos la distancia vectorial, y haciendo el módulo de estos, obtenemos la magnitud:

jir 1423 += mr 14.14142 223 =+=

19.- Un cuerpo se mueve en línea recta de forma que su aceleración corresponde a la expresión a= 4+6t m/s 2. En el instante inicial su posición es de 4 m y su velocidad es de 2m/s. Calcular la ecuación de su posición. Datos: a = 4+6t m/s2

t = 0 v = 2 x = 4 Realizamos la integral indefinida de la ecuación y calculamos el termino independiente con t=0 y v=2

∫ ∫ ++=+== Cttdttadtv 234)64( C=2

Realizamos el mismo proceso para hallar la ecuación de posición:

Ctttttvdtx +++=++== ∫ ∫ 22234( 322 C=4

Por tanto la ecuación de posición queda asi:

mtttx 422 32 +++=



20.- Una partícula se mueve de tal forma, que el ve ctor posición depende del tiempo de acuerdo con: r = (4-t) i+ (t 2+2t) j+ (6t 3-3t) km. Calcula la aceleración para t=1s. Datos: r = (4-t) i+ (t2+2t) j+ (6t3-3t) km t = 1s Primero realizamos la derivada del vector posición:

skmtjtidt

drv /)318()22( 2 −+++−==

Y ahora volvemos a derivar para hallar el vector aceleración y sustituimos t =1s

tkjdt

dva 362 +== 2

1 /362 skmja s +=

21.- Una partícula se mueve con una aceleración a=4 i+6jm/s 2. En el instante inicial, la velocidad es nula, siendo la posición inicial 0m. C alcular el vector posición y vector velocidad en cualquier instante. Datos: a = 4i+6j m/s2

vi = 0 t = 0 Realizamos la integral indefinida de la ecuación, y calculamos el termino independiente:

∫ ∫ ++=+== Ctjtidtjiadtv 64)64( C=0

El vector velocidad será: smtjtiv /64 +=

Para hallar el vector posición, volvemos a realizar la integral indefinida y acto seguido calculamos el término independiente:

mjtitdttjtivdtr 22 32)64( +=+== ∫ ∫ C = 0

22.- Un móvil tiene una velocidad de v = 3t 2i+4t2 j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración. Datos: v = 3t2i+4t2 m/s Primero realizamos la derivada de la velocidad respecto del tiempo:

2/86 smtjtidt

dva +==

Ahora calculamos el modulo de las componentes y obtenemos la aceleración tangencial: 222 /1086 sma =+=

La aceleración normal es cero.



24.- Un cuerpo está suspendido de un dinamómetro su jeto del techo de un ascensor. a) SI el ascensor tiene una aceleración hacia arrib a de 1.2 m/s 2 y el dinamómetro indica 220.5 N, ¿cuál es el verdadero peso de cuerpo? b) ¿En que circunstancias indicará 171.5 N? c) ¿Qué indicará si se rompe el cable del ascensor? a) a =1.2 ms-2 F = 220.5 N Según el segundo principio de la dinámica se cumple que:

maPF =− despejando: maFmg −= 5.220)2.1( =+gm kgm 20=

Como pide el peso: NmgP 196==

b) F = 171.5 N Aplicando el segundo principio de la dinámica:

maFP =− Despejamos la aceleración, sustituimos y calculamos:

225.120

5.171196 −=−=−= msm

FPa

c) El dinamómetro marcará 0N ya la aceleración será la gravedad. 25.- La posición s de una partícula que se desplaza en línea recta esta definida por la relación s=t 3-6t2-15t+40 (S.I.). Calcular: a) El tiempo para el cual la velocidad será cero. b) Posición y espacio recorrido por la partícula en ese tiempo. c) Aceleración de la partícula en ese instante d) Espacio recorrido entre t=4s y t=6s Datos: s = t3- 6t2 - 15t + 40 (S.I.) Primero calculamos la derivada de la ecuación:

15123 2 −−== ttdt

dsv

Y ahora lo aplicamos al caso v = 0 y calculamos el tiempo para el cual se cumple: 015123 2 =−− tt st 5=

Ahora sustituimos el tiempo en las ecuaciones de espacio y velocidad: ms 60405·155·65 23 −=+−−= 0155·125·3 2 =−−=v

Calculamos la derivada de la velocidad y con la ecuación sustituimos t=5s

126 −== tdt

dva a=18ms-2

Calculamos por separado con ambos tiempos y restamos las distancias: Para t=4 s =-52m Para t=6 s =-50m El espacio recorrido es de 2m

F

P



26. La aceleración de una partícula está definida p or donde a está expresada en m/s2 y s en metros. La partícula comienza sin velocidad ini cial en la posición s = 0. Determinar: a) La velocidad cuando s = 2 m. b) La posición en la cuál la velocidad sea otra vez nula c) La posición en donde la velocidad es má xima.

Sol: a) v = 9,16 m/s b) s = 5 m. c) s = 2,88 m.



27.- El movimiento de una partícula viene dado por s = 2t3-15t2+36t-10 donde s (cm) y t(s). Calcular: a) Posición, velocidad y aceleración cuando t=4s b) El instante, posición y aceleración en el que v= 0 c) La posición y el espacio total recorrido para c uando a=0 Datos: s = 2t3-15t2+36t-10 a) Realizamos la derivada de la ecuación y sustituimos para hallar la velocidad

36306 2 +−== ttdt

dsv smv /6=

Ahora volvemos a realizar el mismo procedimiento y calculamos la aceleración:

3012 −== tdt

dva 218 −= msa

b) sustituimos v=0 en la ecuación de velocidad , y calculamos el tiempo y que posteriormente sustituimos en la ecuación inicial de espacio y en la de aceleración:

363060 2 +−= tt Para t=3 x=17m a=6ms-2 y para t=2 x=18m a=-6ms-2 c) Realizamos el mismo procedimiento: sustituimos a = 0, calculamos el tiempo y lo sustituimos en las otras dos ecuaciones:

30120 −= t t = 2.5s x = 17.5m v = -1.5m/s

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