Solución de un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas aplicando la Regla De Cramer

Autores:Rosy Marcela Palomino MartínezIván de Jesús Sánchez Piedrahíta

La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes.

Ejemplo:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

Para resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer:

Paso 1:Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos

Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x, y y de z, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:

De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4

Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x, y y z.

Esta expresión es una determinante de tercer orden porque tiene tres filas y tres columnas.

Paso 2 :Resolver la determinante del sistema ( )El valor de una determinante de tercer orden se halla aplicando la Regla de Sarrus.

2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.

Se multiplican entre si los tres números por que pasan las diagonales principales y secundarias 2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

2 3 4 = 2 6 8

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Diagonales Principales

Diagonales Secundarias

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 4 = 2 6 8 = - 48 + 72 + 96

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Los productos de los números que hay en las diagonales principales se escriben con su propio signo.

Se multiplican los términos de las diagonales secundarias.

2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Los productos de los números que hay en las diagonales secundarias se escriben con el signo cambiado.

2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24

4 9 -4 2 3 4

2 6 8

Finalmente se efectúa la operación correspondiente.

24 -120

-96

Siendo éste el valor de la determinante de todo el sistema.

Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos

La determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones.

De esta manera nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

3 3 4 = 5 6 8

4 9 -4

En este caso los coeficientes de x fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 4 :Resolver

3 3 4 = 5 6 8 = - 72 + 180 + 96

4 9 -4

3 3 4

5 6 8

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60

4 9 -4

3 3 4

5 6 8

Luego se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60

4 9 -4

3 3 4

5 6 8

108 - 156

- 48

Se realiza la operación la cual dio como resultado -48 que será el valor de la determinante de x.

Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos

La determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones.

De esta manera nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2 3 4 = 2 5 8

4 4 -4

Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 6 :Resolver

2 3 4 = 2 5 8 = - 40 + 32 + 96

4 4 -4

2 3 4

2 5 8

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24

4 4 -4

2 3 4

2 5 8

Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24

4 4 -4

2 3 4

2 5 8

- 8 +16 - 40

8 - 40

- 32

Se realiza la operación la cual dio como resultado – 32 el cual será el valor de la determinante de y.

Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos

La determinante de z equivale a colocar en la columna de los coeficientes de z los términos independientes de las ecuaciones.

De esta manera nos quedaría así:

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2 3 3 = 2 6 5

4 9 4

Aquí los coeficientes de z fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 8 :Resolver

2 3 3 = 2 6 5 = 48 + 54 + 60

4 9 4

2 3 3

2 6 5

Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24

4 9 4

2 3 3

2 6 5

Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24

4 9 4

2 3 3

2 6 5

102 -12 - 114

102 - 126- 24

Se realiza la operación la cual dio como resultado –24 el cual será el valor de la determinante de z.

Paso 9:Hallar el valor de x.

El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).

Es decir

De esta manera

=

Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

= Siendo éste el valor de x.

Paso 10:Hallar el valor de y.

El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).

Es decir

De esta manera

=

Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

= Siendo éste el valor de y.

Paso 11:Hallar el valor de z.

El valor de z se obtiene dividendo el valor de la determinante de z ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ).

Es decir

De esta manera

=

Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

= Siendo éste el valor de z.

Paso 12:Reemplazar los valores de x,y y z en la primera ecuación del sistema.

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2( )+3( )+4( )

1 + 1 + 1 = 3

Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Paso 13:Reemplazar los valores de x,y y z en la segunda ecuación del sistema.

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

2( )+6( )+8( )

1 + 2 + 2 = 5

Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Paso 14:Reemplazar los valores de x,y y z en la tercera ecuación del sistema.

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( )

2 + 3 - 1= 4

Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x, y y z satisfacen todas las ecuaciones

Por lo tanto para el sistema

2x + 3y + 4z = 3

2x + 6y + 8z = 5

4x + 9y – 4z = 4

La solución es:

x = y =

z =