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DIFERENCIACION TOTAL ~ PARCIAL EN ESPACIOS NO NORMABLES
J. M. García Lafuente
Universidad de Valladolid
l. Introducción. Es conocido que el Cálculo Diferencial cl á sico de Fréchet
en espacios normados no tiene una extensión canónica a espacios vectoriales t~
pológicos generales. Es más, han proliferado tanto las definiciones de diferen
ciación en el marco general de los espacios no normables (incluidos los espa
cios vectoriales de convergencia) , que el verdadero problema de la teoría ha
sido precisamente la clasificación de estas definiciones y la elaboración de
una teoría unificada.
En este sentido, especial importancia tienen los trabajos de Averbukh y
Smolyanov ( [2] , (3) , (4) ) y de Frolicher y Bucher ( (7) ) por cuanto su
ponen de generalidad en el estudio de varias definiciones de diferenciación en
en espacios vectoriales topológicos y el trabajo de Keller ( (10]) que hace
también una amplia incursión en el ámbito de 1os espacios de convergencia. A
dichos trabajos nos referiremos para todos los conceptos no definidos en el
presente trabajo. Para la teoría general de los espacios de convergencia, ver
la completa monografía [ 6) .
En el presente trabajo investigamos relaciones entre diferenciación total
y parcial de funciones definidas en espacios producto, cuando los espacios de
aplicaciones lineales continuas son provistos indistamente de topologías local
mente convexas o de estructuras de convergencia.
2. Definiciones y terminología. Sean E y F espacios localmente convexos,
Xc. E un con,; unto abierto no vacío y f X ~~ F una función continua. Dire-
mos que f admite derivada direccional según la dirección h E. E en el punto
x •X s1 existe un elemento Df(x)h € F tal que
173
-1 lim t ( f(x+h) - f(x) )
€18 Df(x)h ( 1)
y f se dice que es di ferenciable Gateaux-Lévy en x €X si para todo h €E
existe Df(x)h satisfaciei1do (1) y además la aplicación derivada
Df(x) E ----) F definida p0r h ~ Df(x)h es lineal continua, es decir
Df(x) € .:t(E F')
Denotaremos ¡j, (E F') el espacio vectorial de aplicaciones lineales conA
tinuas de E en F dotado, bien de la topología de la convergencia uniforme
sobre una familia A de conjuntos acotados de E o bi~n de alguna de las es-
tructuras de conver~encia A = A c Aqb , 11 , e , de las que puede encontrarse
un más detallado estudio en [10) y [ 8] .
La función f se dice que es difercnciable de clase 1 e A
(escrito 1
f(C A
si es diferenciable Gateaux-Lévy en todo punto x €X y además la aplicación
derivada
Df : X ----) .,;;f. (E F) A
( 2)
c.efinida por x ~ Df(x) es continua. Es interesante notar que si A= A es s
la familia de todos los conjuntos finitos de E (topología débil en ~(E F) ),
la condición (2) no aporta nada sobre la condición (1), mientras que si E es
normable y A= Ab es la familia de todos los conjuntos acotados de E (topolo-1
gía fuerte en ~(E F) ) , la condición f € C implica que f es continuamente Ab
diferenciable en el sentido clásico de Fréchet.
3. Diferenciación Total y Parcial. Sean E , ... E , F 1 n
espacios local-
mente convexos y sea E = TTE i
cada función continua f : X ~
define la inyección continua
·ª j. (X.) l. l.
·ª Ji
Para cada
F y cada
E i
----) E
conjunto abierto
punto a (a , 1
dada por
X. l. ª· 1.+l
no vacío
... '
a ) n
a ) n
Xc E ,
€X , se
La aplicación a
foj. definida en el conjunto abierto l.
.a_-1 Xi. =(j.J (X) e E. , se llama
1 1
aplicación parcial i-ésima de f en el punto a . Si la aplicación parcial
i - ésima de f en el punto ªi € Xi es diferenciable Gateaux-Lévy en el punto
174
a. , diremos que f admite derivada parcial i-ésima en a . La derivada de 1
fo j. en el punto ª· 1 se denota por D f(a) E: 'ci(E .' F) • Es sencillo compro-
1 ª· 1 1
bar la siguiente
Proposi...ci...ón 1. Si... /\ E: t /\ c , 1
/\ , rr , e} y f : X----) F es uno opLLco-qb
ci_ón de clase C , poro coda Í\
o E: X , i... = 1, ••• ,n , Lo funci...ón · f ·C.dr:iLte de-·
ri...vado porci...oL i...-ési...mo en o y además f .o
• J. L
es de clase
El resultado central del trabajo es el si~uiente reciproco de la proposi-
ción precedente
T eo~ma 2. Sea /\ E: { /\ c
Í\ , IT , 8 } qb
y seo f : X ----+ F uno opLi...cocLón
tal que para cado x E X y codo L = 1, ••• ,n , Lo opLi...coc Lón porcLoL i...-ésLmo.
de f en x es dLferencLabLe G&teaux-Lévy y Lo opLLcacLón
defi...ni...do por
ferenc i...oc i...ón
o f X.
L
X ---4 .;f, (E F) Í\
X 1--+ 0 f(x) X.
es conti...nuo. Entonces
L
Df(o) (h) L O f(o) pr. (h) X. L
L
es vóLi_jQ poro cado o E X y codo h E E
1 f E: e
Í\ y Lo fórmula de dL-
Se puede demostrar incluso que si E , ... , E son espacios metrizables 1 n
(resp. metrizables y tonelados), el teorema precedente sigue válido sustitu-
yendo la estructura de conver~encia /\ por la topolo~ia /\k (resp. Í\ s
de
la convergencia uniforme sobre los conjuntos compactos de E (resp. conjuntos
finitos de E )
En particular, si E , ... , E 1 n
son espacios de Banach, el Teorema 1 con-
tiene como caso particular el análogo teorema de diferenciación total y parcial
175
de la teoría clásica de la diferencial de Fréchet que, sc~6n se sabe, establece
la existencia de derivada total de f siempre que la aplicaci6n D f sea con
tinua para cada i = 1, ... ,n .
BIBLIOGRAFIA
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