3 Demostración Prueba y Demostraciones Falsas Lorenzo

8/18/2019 3 Demostración Prueba y Demostraciones Falsas Lorenzo

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DEMOSTRACIÓN Y

PRUEBATipos de demostraciones


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Demostración

¿Qué es una demostración? ¿qué significa demostrar?

Demostrar: (Del lat. demonstrāre).

1.tr. Manifestar, declarar.2.tr. Probar, sirviéndose de cualquier género de demostración.

3.tr.Fil. Mostrar, hacer ver que una verdad particular estácomprendida en otra universal, de la que se tiene entera certeza.

Probar: (Del lat. probāre)Justificar, manifestar y hacer patente la certeza de un hecho o la verdad de

algo con razones, instrumentos o testigos


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Demostración¿Qué se puede demostrar? ¿Cuáles de estas afirmacionespuedes demostrar? Hazlo

• Hoy hace un día bonito• Si corro mucho llego antes

• Existe un número que es el más grande de todos• Si llueve, la calle se moja• X es el más alto de la clase• 1+1= 2

Se trata en general de demostrar quesi se verifica A entonces se verifica B.


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Elementos de una demostración

•Premisas: Aquello que se presupone cierto antes deabordar la demostración (“conocimientos previos”)

• Proposición (o tesis): Es el conocimiento que se trata dedemostrar

•Fundamentos: Es el conocimiento usado para demostrarla veracidad de la proposición

•Procedimiento: Es la vía de razonamiento usada parademostrar la veracidad de la proposición


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Tipos de demostraciones

1. Demostración hacia delante (directa)

2. Demostración marcha atrás (indirecta)

3. Demostración por contraposición4. Demostración por reducción al absurdo

5. Demostración por inducción

6. Demostración por distinción de casos7. Demostración por contraejemplo


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• Examina los elementos de la situación A, a fondo, conun ojo puesto en la situación B.Mira los elementos que figuran en A y las cosas que de ellospuedes deducir, para tratar de entresacar las que tienen que vercon los elementos que han surgido de tu exploración de B

• Este examen tal vez te lleve directamente a deducir laverdad de la situación B que es lo que estabasbuscando,pero lo más probable, es que de A sepas cómo concluir unascuantas cosas, C, D, E…, y que tal vez de alguna de ellas, por

ejemplo D, sepas deducir V que te parece que te lleva más cerca deB,…

• Procediendo así posiblemente llegas finalmente a B.


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Ejemplo 1:

Demuestra que si n es impar, también su cuadrado es impar.

Toma un entero impar n arbitrario:

n = 2k + 1, para algún entero k (axioma)

Entonces, n2=(2k+1)2=4k2+4k+1 = 2(2k2 + 2k) + 1 (inferencia)

par

Luego, n2 es impar (como se quería demostrar)

Ejemplo 2:

Demostrar que para cualquier número natural n es cierto que n 5 - nes múltiplo de 10.



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• Ponemos nuestra atención primeramente en B (afirmación ala que queremos llegar).

• Con un ojo puesto en A, vamos tratando de buscarsituaciones intermedias, E, F, G…, de las que B se podríadeducir

• Vamos mirando ahora si alguna de estas podría estarrelacionada con la situación A (se podría deducir A de ellas).

• Cuando la encontramos, nos cercioramos de que el caminoinverso al que hemos encontrado, ahora de A a B, escorrecto.

Esto es..

Transformamos B y llegamos a algo fácil de probar usando A oque ya sabemos que es cierto. Luego probamos eso intermedio.


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Ejemplo 3:

Demostrar que si a y b son impares positivos, a·b es impar

Ejemplo 4:

Demostrar que si e son números “reales” positivos,

se cumple que: · ≤

+

2



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3. Demostración por contraposición(demostración “supongamos que no”)

Queremos demostrar que A implica B.

Esto es equivalente a demostrar que…

Si no se cumple B, no se cumple A(¬B ⇒ ¬A)

¿Qué lógica hay detrás de esta forma de trabajar?

• Si llueve (A) la calle se moja (B)• Si la calle no está mojada (¬B)…


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Ejemplo 5:

Si el cubo de un número es par, el número es par

Ejemplo 6:

Si en un cuadrilátero no hay ningún ángulo obtuso, es decir,

de más de 90º, entonces dicho cuadrilátero es un rectángulo.

3. Demostración por contraposición(demostración “supongamos que no”)


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Queremos demostrar que A implica B.

Para ello,

• Suponemos que suceden a la vez A y el contrario de B.

• Tratamos de ver que esta situación nos lleva a unacontradicción.

• Una vez encontrada, ya está demostrado pues A es

cierto por ser la hipótesis así que debe ser falso elcontrario de B (por tanto, B es cierto).

4. Demostración por reducción al absurdo


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Ejemplo 7:

Raíz de dos es un número irracional

Demostrar que no existen dos enteros y , con mcd (,)=1, tal queraíz de dos se exprese como

.

Ejemplo 8:

Si m y n son enteros tales que n+n2

+n3

=m+m2

, entonces n es par

4. Demostración por reducción al absurdo


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5.1. Inducción débil

¿Qué significa demostrar por inducción débil?• Demuestro que la proposición (P) que voy a demostrar

vale para el “primer” elemento.

P(1) cierta

• Demuestro que si vale para un elemento cualquiera, valepara el siguiente.

Supongo P(k) cierta y demuestro que P(k+1) cierta

• Ya está demostrado.

Ejercicio:

Explicad con vuestras propias palabras esta forma dedemostrar


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Ejemplo 9:

Demostrar que, para cualquier número natural, la suma delos primeros números vale:

+ 1

2

Ejemplo 10:

Demostrar por inducción que la suma de las diagonales deun polígono cualquiera de lados es:

− 3

2


5.1. Inducción débil


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• Demuestro que para el primer elemento la proposiciónse cumple.

P(1) cierta• Supongo que se cumple en todos los elementos

anteriores, demuestro que se cumple para el siguiente.

Supongo P(1), P(2), …, P(k ) ciertas y demuestro que P(k+1) cierta

• Ya está demostrado

P(n) cierta para cualquier n natural


5.2. Inducción fuerte


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Ejemplo 11:

Demostrar que para cualquier número natural n distinto de1, se verifica que n es primo, o se puede representar comoproducto de números primos (Teorema Fundamental de laAritmética)


5.2. Inducción fuerte


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6. Demostración por distinción de casos

En muchas ocasiones la situación que propone unademostración es tal que se puede clasificar en un númerofinito de casos posibles, o bien en un conjunto infinito declases de casos y cada uno de ellos se puede tratar

mediante algún “truco” diferente para obtener laconclusión a la que queremos llegar.

Se trata de demostrar que para todos los posibles casosque pueden tener los elementos que se tienen en cuenta,se cumple la propiedad.

El ejemplo 2 nos vale para verlo.


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Ejemplo 12:

Demostrar que la suma de dos números naturales será imparsólo en el caso en que ambos números tengan una paridaddistinta.

Ejemplo 13:

Demostrar que n(n+1)(n+2) es siempre múltiplo de 6.

Ejemplo 14:

Demostrar que si a y b son dos números reales, entonces|a+b|≤|a|+|b|

6. Demostración por distinción de casos


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7. Demostración por contraejemplo

Se trata de encontrar un ejemplo que contradice la tesisque se quiere refutar.

Para demostrar que una cierta proposición no es cierta,por ejemplo “todos los españoles son morenos”, lo másfácil es poner un ejemplo de lo contrario (contraejemplo),es decir, presentar un español rubio.


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Ejemplo 15:

Demostrar que dos figuras formadas por el tangram con elmismo área, tienen también el mismo perímetro.

Ejemplo 16:

Demostrar que es falso que cada número natural impar essuma de los cuadrados de dos números naturales.

Ejemplo 17:

¿Es cierto que si n es un número natural cualquiera,entonces (3n)!+1 es siempre un número primo? Demuestrasi es cierto o no.

7. Demostración por contraejemplo


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Demostraciones falsas

Una demostración es falsa cuando la verdad que pretendedemostrar no ha sido probada.

Motivos:• Premisas incorrectas

• Premisas incoherentes

• Razonamiento incorrecto

• Error en el razonamiento• …


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1. Demostrar que

es igual a

¿Es esta demostración correcta? Fijaos no solo en el contenidosino en los pasos dados.

La afirmación es correcta pero la demostración no(razonamiento incorrecto).

Se pueden “cancelar” factores comunes al numerador ydenominador pero no cifras comunes.



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2. Demostrar que 0=1.

(n+1) 2 = n 2 +2n+1

(n+1) 2 - (2n+1) = n 2

(n+1)2

- (2n+1)-n(2n+1) = n2

-n(2n+1)(n+1) 2 - (n+1)(2n+1) = n 2 -n(2n+1)

(n+1) 2 - (n+1)(2n+1) +(2n+1)

4= n 2 - n(2n+1) +

(2n+1)

4

(n+1) -

2n+1

2

= n -

2n+1

2

(n+1) −2n+1

2= n −

2n+12

n+1 = n

1 = 0


a2 = b2 => a=b , es cierto si a y b tienen el mismo

signo.En este caso no es así. Por ejemplo, para n=1 las

bases de los cuadrados tienen distinto signo

(una es -0,5 y la otra 0,5). Por tanto, no se

pueden quitar los cuadrados.


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3. Demostración de que 2=1

a=b

a2 = a·b

a2

– b2

= a·b – b2

(a-b)(a+b)=b(a-b)

a+b=b

b+b=b

2b=b2=1.

¿Hay error? ¿Dónde?


Al quitar (a – b) lo que estamos haciendo es

dividir ambos miembros por (a – b). Pero en este

caso no se puede porque (a – b)=0 y no se puede

dividir por cero


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4. Demostración de que 1=-1

1 = −1 −1

1= −1 · −1

1=i*i

1=i2

1=-1

¿Hay error?


1 = ±1

En este caso hay que tomar -1


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Los elementos más usados del

lenguaje matemático• ₌ ≠ ≈ < > ≤ ≥

• ∃ Existe (∄ no existe)

• ∃! Existe sólo uno

• ∀ Para todo• # Absurdo, contradicción

• / Tal que, de forma que

• t.q.Tal que

• ∪ Unión

•∩ Intersección• ⊂ Incluido (⊄ : no incluido)

• ⊆ Incluido o coincide

• ∈ Pertenece (∉ no pertenece)


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Los elementos más usados del

lenguaje matemático• ∨ o

• ∧ y

• P ⇒ Q (P implica Q)

Si se verifica P entonces se verifica QQ es condición necesaria para que se cumpla P

• P ⇔ Q (P es equivalente a Q)P se verifica si y sólo si se verifica Q

Q es condición necesaria y suficiente para que se cumpla P

• i.e. Idénticamente, equivalentemente

• ∅ Conjunto vacío

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