3 Determinantes - A topnotch WordPress.com site · En este capitulo desarrollaremos algunas de las propiedades básicas de los determinantes, y veremos cómo pueden ser usadas para

3 Determinantes

3 . 1 Definiciones

\ a 2 i « 2 2 ' S e a A = " 1 Z u n a m a t r i z d e 2 x 2 . E n l a Sección 2 . 7 d e f i n i m o s e l d e t e r

m i n a n t e d e A c o m o

( 1 )

C o n f r e c u e n c i a d e n o t a r e m o s d e t A c o m o

| A | = a n a 1 2

« 2 1 « 2 2 ( 2 )

M o s t r a r e m o s q u e A es i n v e r t i b l e s i y sólo s i de t A ±0. C o m o v e r e m o s , es te i m p o r t a n t e t e o r e m a es válido p a r a m a t r i c e s d e n x n.

E n es te c a p i t u l o d e s a r r o l l a r e m o s a l g u n a s de l a s p r o p i e d a d e s básicas d e l o s d e t e r m i n a n t e s , y v e r e m o s cómo p u e d e n ser u s a d a s p a r a c a l c u l a r i n v e r s a s " y r e s o l v e r s i s t e m a s d e n e c u a c i o n e s l i n e a l e s e n n incógnitas.

D e f i n i r e m o s e l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e n x n por inducción. E n o t r a s p a l a b r a s , u s a r e m o s n u e s t r o c o n o c i m i e n t o d e u n d e t e r m i n a n t e d e 2 x 2 p a r a def i n i r u n d e t e r m i n a n t e d e 3 x 3 ; éste p a r a d e f i n i r e l d e 4 x 4 y así s u c e s i v a m e n t e . E m p e z a r e m o s p o r d e f i n i r u n d e t e r m i n a n t e d e 3 x 3 . *

DEFINIC ION 1 Determinante de 3 x 3 . S e a A = la 2 1

« 3 1

12 « 1 3 \

2 2 a 2 3 ) . E n t o n c e s 1 2 «v</

* E x i s t e n v a r i a s f o r m a s d e d e f i n i r u n d e t e r m i n a n t e y ésta e s u n a d e e l l a s . E s i m p o r t a n t e d a r s e c u e n t a d e q u e " d e t " e s u n a función q u e a s i g n a u n número a u n a m a t r i z cuadrada.

3.1/DEFINICIONES 73

det A=\A\ = an « 2 2 « 2 3 I « 3 2 « 3 3 !

« 2 1

a 3 i

« 2 3

« 3 3 + a . -

« 3 1 « 3 2 I ( 3 )

N o t e m o s e l s i g n o m e n o s a n t e s d e l s e g u n d o término d e l l a d o d e r e c h o d e ( 3 ) .

EJEMPLO 1 S e a A C a l c u l e \A\.

Solución

= 3 - 2 - 5 - 1 9 + 2 - 1 0 = - 6 9

EJEMPLO 2 C a l c u l e

Solución

2 - 3 5 1 0 4 3 - 3 9

2 - 3 5 1 0 4 3 - 3 9

= 2 0 4

- ( - 3 ) 1 4 1 0 - ( - 3 ) + 5

1 0 - 3 9

- ( - 3 ) 3 9

+ 5 3 - 3

2 - 1 2 + 3 ( - 3 ) + 5 ( - 3 ) = 0

E x i s t e u n método más s e n c i l l o p a r a c a l c u l a r d e t e r m i n a n t e s de 3 x 3 . D e l a Ecuación ( 3 ) t e n e m o s

a n a12 al3

« 2 1 « 2 2 « 2 3 = « l l ( « 2 2 « 3 3 _ « 2 3 « 3 2 ) _ « 1 2 ( « 2 1 « 3 3 _ « 2 3 « 3 l )

« 3 1 « 3 2 « 3 3 + a i 3 ( « 2 1 « 3 2 - « 2 2 « 3 l )

Ó | A | = a n « 2 2 « 3 3 + « 1 2 « 2 3 « 3 1 + « 1 3 « 2 1 « 3 2 ~ « 1 3 « 2 2 « 3 1

- « 1 2 « 2 1 « 3 3 - « U « 3 2 « 2 3

E s c r i b i m o s A y j u n t o a e l l a sus p r i m e r a s d o s c o l u m n a s

( 4 )

E n t o n c e s c a l c u l a m o s l o s seis p r o d u c t o s , p o n i e n d o s i g n o m e n o s a n t e s d e l o s p r o d u c t o s c o n f l e c h a s q u e a p u n t a n h a c i a a r r i b a y e f e c t u a m o s l a s u m a . C o n est o o b t e n e m o s l a s u m a d e l a Ecuación ( 4 ) .

74 3/DE TERMINANTES


Solución

S i e s c r i b i m o s

u s a n d o es t e n u e v o método

2 y m u l t i p l i c a m o s c o m o se indicó, o b t e n e m o s

| A | = ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ) + ( 5 ) ( 3 ) ( - 1 ) + ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) - ( - 1)Í2)(2) - 2 ( 3 ) ( 3 ) - ( 4 ) ( 4 ) ( 5 ) = 2 4 - 1 5 + 1 6 + 4 - 1 8 - 8 0 = - 6 9 .

Advertencia. E l método e x p u e s t o a n t e r i o r m e n t e no funciona p a r a d e t e r m i n a n t e s d e nxn s i n±3.

A n t e s d e d e f i n i r d e t e r m i n a n t e s d e nxn, p r i m e r o n o t e m o s q u e e n l a

(« 2 2 a 2 3 \ 1 es l a m a t r i z q u e se o b t i e n e a l e l i m i n a r e l p r i m e r renglón

« 3 2 « 3 3 / , a a \ y l a p r i m e r a c o l u m n a d e A; ( 2 1 2 3 ) es l a m a t r i z q u e o b t e n e m o s s i e l i m i n a -

, " 3 3 \ * / « 2 ! « 2 m o s

3 1 3 3 / « 2 1 « 2 2 \ e l p r i m e r renglón y l a s e g u n d a c o l u m n a d e A y I ) es l a m a t r i z

V « 3 1 « 3 2 /

q u e o b t e n e m o s si e l i m i n a m o s e l p r i m e r renglón y l a t e r c e r a c o l u m n a de A. S i d e n o t a m o s es tas t r e s m a t r i c e s c o m o A / n , M 1 2 y M 1 3 , r e s p e c t i v a m e n t e , y s i A ,, = d e t

A | 2 = — d e t Mn y A n= d e t Ml}, e n t o n c e s l a Ecuación ( 3 ) p u e d e ser e s c r i t a

DEFINICION 2

det A = |A| = a n A n + a 1 2 A 1 2 + a 1 3 A 1 3 ( 5 )

S e a A u n a m a t r i z de nxn y sea M0 l a m a t r i z d e (n — 1) x (n — 1) q u e se o b t i e n e de A, a l e l i m i n a r e l /-ésimo renglón y lay'-ésima c o l u m n a de A. Mu es l l a m a d a e l ij-ésimo menor de A.

,2 - 1 4 x EJEMPLO 4 S e a A = 0 1 5 . E n c u e n t r e M„ y Mn.

\6 3 - 4 /

Solución E l i m i n a n d o e l p r i m e r renglón y l a t e r c e r a c o l u m n a d e A, o b t e n e m o s M n =

Análogamente, s i e l i m i n a m o s e l t e r c e r renglón y l a s e g u n d a c o l u m n a , o b t e -(2 A\

n e m o s M „ = 0 5

31 DÍFIMCtONES 75

1 - 3 5 2 4 0 1 5 9 4 0 2

EJEMPLO 5

S e a A = | ' J | . E n c u e n t r e A f 3 2 y M2¡

1¡

Solución S i e l i m i n a m o s e l t e r c e r renglón y l a s e g u n d a c o l u m n a d e A, e n c o n t r a m o s q u e

, 1 5 6 x , 1 - 3 5 x M}2 = 2 0 3 I ; análogamente M 2 4 = I 1 5 9 1 .

\ 4 2 7 / \ 4 0 2 /

DEFINICION 3

EJEMPLO 6

S e a A u n a m a t r i z de nxn. E l ij-ésimo cofactor d e A, d e n o t a d o A¡¡, está d a d o p o r

¿ « « ( - í r ' i w f c i ( 6 )

E s t o es, e l y-ésimo c o f a c t o r d e >1 se o b t i e n e t o m a n d o e l d e t e r m i n a n t e d e l ij-ésimo m e n o r y multiplicándolo p o r ( — N o t e m o s q u e

i + f í 1 s i i + j e s , 1 ' l - l s i i + j es i

p a r i m p a r

Observación. L a Definición 3 t i e n e s e n t i d o d e b i d o a q u e v a m o s a d e f i n i r u n d e t e r m i n a n t e de n x « s u p o n i e n d o q u e y a s a b e m o s l o q u e es u n d e t e r m i n a n t e d e ( r t - l ) x ( n - l ) .

E n e l E j e m p l o 5 t e n e m o s

A 3 2 = ( - 1 ) 3 + 2 | M 3 2 | = -

A 2 4 = ( - l )

1 5 6 2 0 3 4 2 7

1 - 3 5 1 5 9 4 0 2

C o n s i d e r e m o s a h o r a e l caso d e l a m a t r i z g e n e r a l d e n x n . A q u i

« i i « i ?

« 2 1 « 2 2

( 7 )

76 3/DE TERMINANTES

DEFINICIÓN 4 Determinante de n x n . S e a A u n a m a t r i z d e n x n . E n t o n c e s e l d e t e r m i n a n t e d e A, e s c r i t o d e t A ó | A | , está d a d o p o r

d e t A = | A | = a 1 1 A i 1 + a 1 2 A , 2 + a 1 3 A 1 3 + -n

k = l

L a expresión d e l l a d o d e r e c h o d e ( 8 ) se c o n o c e c o m o u n a expansión por cofac-tores.

Observación. E n l a Ecuación ( 8 ) quedó d e f i n i d o e l d e t e r m i n a n t e m e d i a n t e l a expansión p o r c o f a c t o r e s , p a r a l o c u a l u s a m o s l a s c o m p o n e n t e s d e l p r i m e r renglón d e A . E n l a próxima sección ( T e o r e m a 3 . 2 . 1 ) , v e r e m o s q u e o b t e n e m o s e l m i s m o r e s u l t a d o s i e x p a n d i m o s p o r c o f a c t o r e s e n c u a l q u i e r renglón o c o l u m n a .

EJEMPLO 7 C a l c u l e d e t A d o n d e

A =

Solución 1 3 5 2 0 - 1 3 4 2 1 9 6 3 2 4 8

= a n A 1 1 + a 1 2 A 1 2 + a 1 3 A 1 3 + a 1 4 A 1

- 1 3 4 0 3 4 0 - 1 4 0 - 1 3 1 1 9 6 - 3 2 9 6 + 5 2 1 6 - 2 2 1 9

2 4 8 . 3 4 8 3 2 8 3 2 4

= l ( - 9 2 ) - 3 ( - 7 0 ) + 5 ( 2 ) - 2 ( - 1 6 ) = 1 6 0

E s c l a r o q u e e l cálculo d e l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e n x n p u e d e ser t e d i o s o . P a r a c a l c u l a r u n d e t e r m i n a n t e de 4 x 4 , d e b e m o s c a l c u l a r c u a t r o d e t e r m i n a n t e s d e 3 x 3 . P a r a c a l c u l a r u n d e t e r m i n a n t e de 5 x 5 , d e b e m o s c a l c u l a r c i n c o d e t e r m i n a n t e s d e 4 x 4 , l o c u a l es l o m i s m o q u e c a l c u l a r v e i n t e d e t e r m i n a n t e s de 3 x 3 . A f o r t u n a d a m e n t e e x i s t e n técnicas p a r a s i m p l i f i c a r e n o r m e m e n t e e s t o s cálculos. A l g u n o s d e e s to s métodos serán d i s c u t i d o s e n l a próxima sección. E x i s t e n , s i n e m b a r g o , a l g u n a s m a t r i c e s c u y o s d e t e r m i n a n t e s p u e d e n ser fácilmente c a l c u l a d o s .

DEFINICIÓN 5 U n a m a t r i z c u a d r a d a se l l a m a triangular superior s i t o d a s sus c o m p o n e n t e s p o r d e b a j o d e l a d i a g o n a l s o n c e r o . Será triangular inferior s i t o d a s sus c o m p o -

3.1/DEFINICIONES 7 7

n e n t e s p o r e n c i m a d e l a d i a g o n a l s o n c e r o . U n a m a t r i z se l l a m a diagonal s i t o d o s l o s e l e m e n t o s q u e n o se e n c u e n t r a n e n l a d i a g o n a l s o n c e r o ; así es q u e A = (a¡j) es t r i a n g u l a r s u p e r i o r s i a^ = 0 p a r a i>j, t r i a n g u l a r i n f e r i o r s i a0 = o p a r a i<j y d i a g o n a l s i a¡¡ = 0 p a r a i+j.

EJEMPLO 8

L a s m a t r i c e s A

res s u p e r i o r e s ; C =

y B =

2 3 0 1 0 0 2 4 0 0 1 3 0 0 0 - 2

s o n t r i a n g u l a -

5 0 0 \ 2 3 0 1 y D = l I s o n t r i a n g u l a r e s i n f e r i o r e s ; 1 2 4 /

s o n d i a g o n a l e s . N o t e m o s q u e u n a m a t r i z d i a g o n a l / 2 0 0

ly E= | 0 - 7 0 \ 0 0 - 4

es a l m i s m o t i e m p o t r i a n g u l a r s u p e r i o r e i n f e r i o r

EJEMPLO 9 S e a

A =

« 1 1 0 0 0 « 2 1 « 2 2 0 0 « 3 1 « 3 2 « 3 3 0 « 4 1 a 4 2 « 4 3 « 4 4

t r i a n g u l a r i n f e r i o r . C a l c u l e d e t A.

Solución d e t A = a u A 1 1 + 0 A 1 2 + 0 A 1 3 + 0 A 1 4 = a n A n

a 2 2 0 0 « 3 2 « 3 3 0 « 4 1 « 4 2 « 4 3

a 3 3 0 a 4 3 « 4 4

= a n < z 2 2 a 3 3 a 4 4

= a i i

= a , , a 1 1 " 2 2

E l E j e m p l o 9 p u e d e ser g e n e r a l i z a d o fácilmente p a r a d e m o s t r a r e l s i g u i e n t e t e o r e m a .

TEOREMA 1 S e a A = (a , 7 ) u n a m a t r i z d e « x n t r i a n g u l a r s u p e r i o r * o i n f e r i o r . E n t o n c e s

* L a demostración p a r a e l c a s o d e l a m a t r i z t r i a n g u l a r s u p e r i o r e s más c o m p l i c a d a a e s t a a l t u r a , p e r o será e x a c t a m e n t e l a m i s m a u n a v e z q u e s e p a m o s q u e e l d e t A p u e d e s e r e v a l u a d o e x p a n d i e n d o p o r c u a l q u i e r c o l u m n a ( T e o r e m a 3 .2 .1 ) .

78 3/DE TERMINANTES

d e t A = alía22a33- • -a„ ( 9 )

E s d e c i r : El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes diagonales.

EJEMPLO 1 0 L o s d e t e r m i n a n t e s d e las seis m a t r i c e s d e l E j e m p l o 8 s o n | A | = 2 • 2 • 1 = 4 ; | B | = ( - 2 ) ( 0 ) ( l ) ( - 2 ) = 0 ; | C | = 5 - 3 - 4 = 6 0 ; | D | = 0 ; |7| = 1 ; | E | = ( 2 ) ( - 7 ) ( - 4 ) = 5 6 .

PROBLEMAS 3 . 1 E n los P r o b l e m a s del 1 a l 10 calcule el d e t e r m i n a n t e .

1 0 3 - 1 1 0 3 - 1 4 1. 0 1 4 2. 2 1 4 3. 6 3 5

2 1 0 1 5 6 2 - 1 6 - 1 0 6 - 2 3 1 5 - 2 1

4. 0 2 4 5. 4 6 5 6. 6 0 3 1 2 - 3 0 2 1 - 2 1 4

2 0 3 1 - 3 0 0 0 - 2 0 0 7 0 1 4 2 - 4 7 0 0 1 2 - 1 4 0 0 1 5 ' 5 8 - 1 0 ' 3 0 - 1 5 1 2 3 0 2 3 0 6 4 2 3 0

2 3 - 1 4 5 0 1 7 8 2 0 0 4 - 1 5 0 0 0 - 2 8 0 0 0 0 6

1 1 . M u e s t r e que si A y B son matr ices d iagonales de nxn, entonces det AB= det A det B .

*12 . i M u e s t r e que si A y B son mat r ices t r i angu la re s i n f e r i o r e s , entonces det AB- det A det B.

13. M u e s t r e que , en genera l , n o es c ie r to que det ( , 4+2? ) = det ,4 + d e t B. 14. M u e s t r e que si A es t r i angu la r , entonces det A =/= 0 si y sólo si todas las componentes

diagonales de A son diferentes de cero . 15. D e m u e s t r e el T e o r e m a 1 pa ra u n a m a t r i z t r i a n g u l a r super io r .

*16 . D e c i m o s que los vectores^\y(®\generan el área 1 en el p l a n o pues to que si cons-W V i /

t r u i m o s u n cuadrado c o n tres de sus vértices e n (0, 0), ( 1 , 0), y (0, 1), v e m o s q u e e l

área es 1. ( F i g u r a 3 .1a ) . Más genera lmen te , si ^ x ' ^ y ^ X 2^ son dos vectores l i n e a l -

m e n t e independientes de dos componen te s , entonces generan u n área que se def ine

3.2/PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 79

Figura 3 . 1

c o m o el área del p a r a l e l o g r a m o c o n tres de sus cua t ro vértices en ( 0 , 0 ) (x,v) v ( x ^ . ( F i g u r a 3 .1 b).

( 0 . 1 ) VA yA ,

0 ( 1 . 0 )

( a )

. y 2 ) :

Í V > ( x ' ' - '

0

(b)

Sea A u n a m a t r i z de 2 x 2 . S i k d e n o t a el área generada p o r i^2^,

donde ( y ' ) = A ( 0 ) y ( y 2

2 ) = A ( i ) ' mues t re que k = | d e t A\'. ** 17. Sean u, y u2 dos vectores de dos componen te s y sean yx = A\xx y v 2 = Au 2. M u e s t r e

q u e (área generada p o r v , y v 2 ) = (área generada p o r u, y u2) de t A ¡.

E s t o p r o p o r c i o n a u n a interpretación geométrica del d e t e r m i n a n t e .

Propiedades de los Determinantes

L o s d e t e r m i n a n t e s t i e n e n m u c h a s p r o p i e d a d e s q u e p u e d e n f a c i l i t a r l o s cálcul o s . E m p e z a r e m o s a d e s c r i b i r es tas p r o p i e d a d e s e s t a b l e c i e n d o u n t e o r e m a , d e l c u a l d e d u c i r e m o s l o demás. L a demostración d e es te t e o r e m a es difícil y se pospondrá p a r a l a próxima sección.

TEOREMA 1 Teorema Básico. S e a

u n a m a t r i z d e n x n. E n t o n c e s

n d e t A = anAn + ai2Ai2 + • • + ainAin = £ aikAik

k = l

p a r a i- 1 , 2 , E s d e c i r , p o d e m o s c a l c u l a r d e t A e x p a n d i e n d o p o r c o f a c t o r e s e n cualquier renglón d e A. Más aún:

80 3 DI TERMINANTES

( 2 )

D a d o q u e l a y'-ésima c o l u m n a d e A es j J l 1 , !a Ecuación ( 2 ) n o s i n d i c a q u e

p o d e m o s c a l c u l a r e l d e t A e x p a n d i e n d o p o r c o f a c t o r e s e n c u a l q u i e r c o l u m n a d e A.

( 3 5 2\

P a r a A = 1 4 2 3 1 , v i m o s e n e l E j e m p l o 3 . 1 . 1 q u e d e t A = - 6 9 . S i e x -\ - l 2 4 /

p a n d i m o s e n e l s e g u n d o renglón o b t e n e m o s

EJEMPLO 1

d e t A = 4 A 2 i + 2 A 2 2 + 3 A 2 3

5 2 = 4 ( - l ) 2

2 4 + 2 ( - l ) 2 3 2

- 1 4 + 3 ( - l ) 2

3 5 - 1 2

- 4 ( 1 6 ) + 2 ( 1 4 ) - 3 ( l l ) = - 6 9

Análogamente, s i e x p a n d i m o s e n l a t e r c e r a c o l u m n a , p o r e j e m p l o , o b t e n e m o s

d e t A = 2 A 1 3 + 3 A 2 3 + 4 A 3 3

4 2 = 2 ( - l ) ' + 3 ( - l ) 2

1 2 2 ( 1 0 ) - 3 ( l l ) + 4 ( - 1 4 ) = - 6 9

3 5 - 1 2

• 4 ( - l ) 3 3 5 4 2

I n t e n t e v e r i f i c a r q u e o b t e n e m o s e l m i s m o r e s u l t a d o s i e x p a n d i m o s e n e l t e r c e r renglón o l a p r i m e r a o l a s e g u n d a c o l u m n a .

E n u n c i a r e m o s y d e m o s t r a r e m o s a l g u n a s p r o p i e d a d e s a d i c i o n a l e s d e l o s de t e r m i n a n t e s . E n c a d a caso v a m o s a s u p o n e r q u e A es u n a m a t r i z de n x n* V e r e m o s q u e es tas p r o p i e d a d e s p u e d e n ser u s a d a s p a r a r e d u c i r e n o r m e m e n t e e l t r a b a j o d e c a l c u l a r u n d e t e r m i n a n t e .

P r o p i e d a d 1 S i c u a l q u i e r renglón o c o l u m n a de A es e l v e c t o r c e r o , e n t o n c e s de t A = 0 .

* L a s d e m o s t r a c i o n e s d e e s t a s p r o p i e d a d e s están d a d a s e n términos d e ( l o s r e n g l o n e s d e u n a m a t r i z . S i u s a m o s e l T e o r e m a 1 , l a s m i s m a s p r o p i e d a d e s p u e d e n s e r d e m o s t r a d a s p a r a l a s c o l u m n a s .


Demostración S u p o n g a m o s q u e e l /-ésimo renglón d e A c o n t i e n e únicamente c e r o s . E s d e c i r au=0 p a r a 2 , . . . , n. E n t o n c e s d e t A = anAn+ai2Aa+- • - + ainAin

= 0 + 0 + - • • + 0 = 0 . L a m i s m a demostración f u n c i o n a s i lav'-ésima c o l u m n a es e l v e c t o r c e r o .

EJEMPLO 2 E s fácil v e r i f i c a r q u e

2 3 5 0 0 0 = 0 y 1 - 2 4

- 1 3 0 1 4 2 0 5

- 1 6 0 4 2 1 0 1

= 0

Propiedad 2 S i e l /-ésimo renglón o lay'-ésima c o l u m n a de A se m u l t i p l i c a n p o r l a c o n s t a n t e c, e n t o n c e s d e t A se m u l t i p l i c a p o r c. E s d e c i r , s i l l a m a m o s a e s t a n u e v a m a t r i z B, e n t o n c e s

| B | =

« 2 1

a 1 2

« 2 2

c a , , ca ,

«ni «r,2

« 1 „

« 2 *

ca¡,

a , , a 1 2

« 2 1 « 2 2

« l n

« 2 n

= c | A | ( 3 )

« n i « n 2 « .

Demostración P a r a d e m o s t r a r ( 3 ) e x p a n d i m o s e n e l /-ésimo renglón d e A p a r a o b t e n e r

d e t B = c a i l A i , + c a i 2 A j 2 + - • • cainA¡„ = c(a¡iAn + ai2A¡2 + - • - + ainAin) = c d e t A

U n a demostración análoga f u n c i o n a p a r a l a s c o l u m n a s .

EJEMPLO 3 / l - 1 2 \ S e a A = I 3 1 4 1 . E n t o n c e s d e t A = 16 . S i m u l t i p l i c a m o s e l s e g u n d o

\ 0 - 2 5 /

renglón p o r 4 , t e n e m o s B = [ 1 2 4 1 6 1 y de t fi = 6 4 = 4 de t A . S i se

' 1 - 1 - 6 \ V 0 - 2 5 /

m u l t i p l i c a l a t e r c e r a c o l u m n a p o r - 3 , o b t e n e m o s C = f 3 1 - 1 2 \ 0 - 2 - 1 5 >

d e t C = - 4 8 = - 3 d e t A.

82 3/DE TERMINANTES

Observación. S i u s a m o s l a P r o p i e d a d 2 p o d e m o s d e m o s t r a r ( P r o b l e m a 2 8 ) e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o i n t e r e s a n t e : P a r a c u a l q u i e r e s c a l a r a y c u a l q u i e r m a t r i z A de nxn, d e t a A = a " d e t A.

Propiedad 3 S e a n

E n t o n c e s

d e t C = d e t A + d e t B ( 4 )

E n o t r a s p a l a b r a s , s u p o n g a m o s q u e A, B y C s o n idénticas e x c e p t o p o r l a y'-ésima c o l u m n a y q u e l a y'-ésima c o l u m n a de C es l a s u m a d e l a s y'-ésimas c o l u m n a s d e A y B. E n t o n c e s d e t C = de t A + d e t B. E s t o m i s m o es válido p a r a r e n g l o n e s .

Demostración E x p a n d i m o s d e t C e n l a y'-ésima c o l u m n a p a r a o b t e n e r

d e t C = (au+all)Au+(a2l + a2i)A2i + - • • + (ani+ani)An¡

= (auAu + a2iA2i + ••• + aniAni) + (auAli+a2jA2i + - • • + anjAnj) = d e t A + d e t B

EJEMPLO 4 B = y c

E n t o n c e s de t A = 16 , de t B= 108 y d e t C = 1 2 4 = d e t A + d e t B.

3 2/PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 85

d e t A = c

./-ésimo renglón —

a n a 1 2

« 2 1 a22

a,, a,

a,i a,

« n i « „

= 0 ( d e l a P r o p i e d a d 5 )

EJEMPLO 7 2 - 3 5 1 7 2

- 4 6 - 1 0 = 0 p u e s t o q u e e l t e r c e r renglón es e l p r i m e r renglón m u l

t i p l i c a d o p o r — 2 .

EJEMPLO 8 2 4 1 1 2 - 1 1 0 3

0 - 1 9 - 3 7 3 6 9

c o l u m n a .

= 0 p u e s t o q u e l a c u a r t a c o l u m n a es t r e s veces l a s e g u n d a

Propiedad 7 S i u n múltiplo d e u n renglón ( c o l u m n a ) de A se s u m a a o t r o renglón ( c o l u m n a ) d e A, e n t o n c e s e l d e t e r m i n a n t e n o cambiará.

Demostración S e a B l a m a t r i z o b t e n i d a s u m a n d o c veces e l /-ésimo renglón d e A a l y'-ésimo renglón d e A. E n t o n c e s

d e t B =

« 2 1

« 1 2

a22

i + can a, + cai2

« i n

a 2 r .

+ ca¡„

( d e l a P r o p i e d a d 3 )

86 3/DETERMINANTES

« 1 1 « 1 2

« 2 1 « 2 2

« 1 „

« 2 r .

a„i a„

+

a n « 2 1

« 1 2

« 2 2

ai„ « 2 n

ca ca,

a„, ar

ca,

= d e t A + O = d e t A ( e l c e r o es d e b i d o a l a P r o p i e d a d 6 )

/ l - 1 2N EJEMPLO 9 S e a A = I 3 1 4 I . E n t o n c e s d e t A = 1 6 . S i m u l t i p l i c a m o s e l t e r c e r

V O - 2 5 / renglón p o r 4 y l o s u m a m o s a l s e g u n d o renglón, o b t e n e m o s u n a n u e v a m a t r i z B d a d a p o r

B= 3 + 4 ( 0 ) l + 4 ( - 2 ) 4 + 5 ( 4 ) 1 = 1 3 - 7 2 4 I V 0 - 2 5 / \ 0 - 2 5 /

y de t B= 16 = de t A.

L a s p r o p i e d a d e s q u e p r e c e d e n h a c e n m u c h o más fácil e l cálculo d e d e t e r m i n a n t e s de órdenes e l e v a d o s . S i m p l e m e n t e " r e d u c i m o s p o r renglón" e l d e t e r m i n a n t e , u s a n d o l a P r o p i e d a d 7 , h a s t a q u e e l d e t e r m i n a n t e se r e d u z c a a u n a f o r m a más fácil de e v a l u a r . L o más común es u s a r l a P r o p i e d a d 7 r e p e t i d a m e n t e h a s t a q u e (i) e l n u e v o d e t e r m i n a n t e t e n g a u n renglón ( c o l u m n a ) d e c e r o s , o u n renglón ( c o l u m n a ) sea u n múltiplo d e o t r q renglón ( c o l u m n a ) , e n c u y o c a s o e l d e t e r m i n a n t e es c e r o , o (ii) l a n u e v a m a t r i z sea t r i a n g u l a r d e m o d o q u e su de t e r m i n a n t e sea e l p r o d u c t o d e sus e l e m e n t o s d i a g o n a l e s .

EJEMPLO 1 0 C a l c u l e

1 3 5 2 0 - 1 3 4 2 1 9 6 3 2 4 8

Solución ( v e a e l E j e m p l o 3 . 1 . 7 . )


T e n e m o s y a u n c e r o e n l a p r i m e r a c o l u m n a , así q u e e s más s i m p l e r e d u c i r o t r o s e l e m e n t o s e n l a p r i m e r a c o l u m n a a c e r o . E n t o n c e s c o n t i n u a r e m o s r e d u c i e n d o , t r a t a n d o d e o b t e n e r u n a m a t r i z t r i a n g u l a r :

M u l t i p l i c a m o s e l p r i m e r renglón p o r — 2 y l o s u m a m o s a l t e r c e r renglón y m u l t i p l i c a m o s e l p r i m e r renglón p o r — 3 y l o s u m a m o s a l c u a r t o renglón.

M u l t i p l i c a m o s e l s e g u n d o renglón p o r — 5 y — 7 y l o s u m a m o s a l t e r c e r y c u a r t o r e n g l o n e s , r e s p e c t i v a m e n t e .

F a c t o r i z a m o s - 16 d e l t e r c e r renglón ( u s a n d o l a P r o p i e d a d 2 ) .

M u l t i p l i c a m o s e l t e r c e r renglón p o r 3 2 y l o s u m a m o s a l c u a r t o renglón.

| A | =

1 3 5 2 - 7

0 - 1 3 4 Í ? 0 - 5 - 1 2 0 - 7 - 1 1 2 1 3 5 2 0 - 1 3 4 0 0 - 1 6 -1 8 0 Ó - 3 2 2 6

1 3 5 2

1 6 0 - 1 3 4

1 6 0

1 6 0 0 1 9

8 0 0 -3 2 - 2 6 1 3 5 2

1 6 0 - 1 3 4

1 6 1 6 0 0 1 9

8

0 0 0 1 0

A h o r a t e n e m o s u n a m a t r i z t r i a n g u l a r s u p e r i o r y | A | = — 1 6 ( 1 ) ( — 1 ) ( 1 ) ( 1 0 ) = ( - 1 6 ) ( - 1 0 ) = 1 6 0 .


| A | =

- 2 1 0 4 3 - 1 5 2

- 2 7 3 1 3 - 7 2 5

Solución E n es te c a s o e x i s t e n m u c h a s m a n e r a s d e p r o c e d e r y n o es c l a r o cuál c a m i n o n o s llevará más rápidamente a l a r e s p u e s t a . S i n e m b a r g o , p u e s t o q u e y a e x i s t e u n c e r o e n e l p r i m e r renglón, e m p e z a r e m o s n u e s t r a reducción e n ese renglón.

M u l t i p l i c a m o s l a s e g u n d a c o l u m n a p o r 2 y — 4 y l a s u m a - | ^ | m o s a l a p r i m e r a y c u a r t a c o l u m n a s r e spec t i v a m e n t e .

0 1 0 0 1 - 1 5 6

1 2 7 3 - 2 7 - 1 1 - 7 2 3 3

88 J/DE TERMINANTES

I n t e r c a m b i a 1 0 0 0 m o s l a s p r i m e - _ _ - 1 1 5 6 r a s d o s c o l u m 7 1 2 3 - 2 7 n a s . - 7 - 1 1 2 3 3

M u l t i p l i c a m o s l a s e g u n d a c o l u m n a p o r —5 y - 6 y l a s u m a m o s a l a t e r c e r a y c u a r t a c o l u m n a s , r e s p e c t i v a m e n t e .

0 0 1 0

1 2 - 5 7 - 1 1 5 7

0 0

- 9 9 9 9

P u e s t o q u e l a c u a r t a c o l u m n a es a h o r a u n múltiplo d e l a t e r c e r a c o l u m n a ( c o l u m n a 4 = - p - x c o l u m n a 3 ) , v e m o s q u e |A¡ = 0 .


| A | =

1 - 2 3 - 5 7 2 0 - 1 - 5 6 4 7 3 - 9 4 3 1 - 2 - 2 3 5 - 1 3 7 - 9

Solución S i s u m a m o s p r i m e r o e l renglón 2 y después e l renglón 4 a ! renglón 5 , o b t e n e m o s

\A\

1 - 2 3 5 7 2 0 - 1 - 5 6 4 7 3 - 9 4 3 1 - 2 - 2 3

• l o 0 0 0 0

= 0 ( d e l a P r o p i e d a d 1)

TEOREMA 2

C o n es te e j e m p l o i l u s t r a m o s q u e s i o b s e r v a m o s u n p o c o a n t e s d e h a c e r . l o s cálculos, p o d e m o s s i m p l i f i c a r e l t r a b a j o c o n s i d e r a b l e m e n t e .

H a y o t r a s t r e s p r o p i e d a d e s d e l o s d e t e r m i n a n t e s q u e n o s serán m u y útiles.

S e a A u n a m a t r i z d e « x A I . E n t o n c e s

anAn + ai2A¡2 + - • • + a¡„A jn = 0 s i i*j ( 6 )

90 3/DETERMINANTES

| A | =

« 1 2

« 2 2

« 1

« 2 n

« 1 «2

y | A ' | = | B | = « 1 2 « 2 2

a„i « „ 2

E x p a n d i m o s I A I e n e l p r i m e r renglón y e x p a n d i m o s I B I e n l a p r i m e r a c o l u m n a . C o n e s t o t e n e m o s

\A\ = auA11 + al2A12 + - • - + alnAln

\B\ = auBu + ai2B2l + - • • + a,„B„,

N e c e s i t a m o s d e m o s t r a r q u e An = Bkl p a r a k—l, 2, , n. P e r o AXk = ( - l ) 1 + l M u l y B * , = ( - 1 ) * + 1 \NkX I , d o n d e M u es e l l£-ésimo m e n o r d e A y Nk, es e l £1-ésimo m e n o r d e B. E n t o n c e s

| M l k | =

« 2 1 « 2 2

« S I « 3 2

| N k l i =

« 3 1

« 3 2

« n i

a 2 1

a 2 2

« 2 . k - 1 « 3 , k

« 2 , k + l «3,1c-

« 2 , k - l « 2 , k + l

« 3 , k - l « 3 , k + l

« n . k - 1 «n .k + ¡

• • • « „ 1

• • • a „ 2

« n . k - 1

«n .k + 1

« 2 „

« 3 n

C l a r a m e n t e Mlk = N'kl, y p u e s t o q u e a m b a s s o n m a t r i c e s d e ( n - l ) x ( n — 1 ) , l a hipótesis d e inducción n o s d i c e q u e I Mlk \ = I / V t l l . Así Au = Bk] y l a d e m o s t r a ción está c o m p l e t a .

EJEMPLO 13 S e a A = I 3 1 4 I . E n t o n c e s A ' = 1 - 1 1 - 2 J y es fácil v e r i f i c a r q u e ^ 0 - 2 5 /

I A ' I = 1 6 .

TEOREMA 4 S e a n A y B m a t r i c e s de n x n . E n t o n c e s

d e t AB = d e t A d e t B ( 8 )

3 .2 PROPIEDADES DE LOS D E T E

E s d e c i r : El determinante del producto es el producto de los del

Observación. L a demostración de es te t e o r e m a n o es c o n c e p t u a l p e r o , c o m o U d . p u e d e i m a g i n a r s e después d e h a b e r t r a b a j a d o c o n de m a t r i c e s , es e x t r e m a d a m e n t e p e s a d a . P o r e s t a razón, s i m p l e m e a i m o s t r a r e m o s e l t e o r e m a e n e l c a s o de q u e A y B s e a n m a t r i c e s de 2 > I 1 más g e n e r a l es análogo ( p e r o más c o m p l e j o ) .

S e a n A = (ü" "») y B = (J« M . \ a 2 i \ o 2 i D 2 2 /

E n t o n c e s

d e t A d e t B = (aua22 - a12a2í){bub22 - b¡2b2i) = aua22bub22-a11a22bí2b2i - a , 2 a 2 , 6 , , 6 2 2 + a 1 2 a 2 , 6 , 2 6 2 ,

y A B = ( a i l í , , 1 + a i 2 b 2 1 a i A 2 + a i 2 & 2 2 \ P o r ] o

\ a 2 1 6 , , + a 2 2 6 2 , a 2 , 6 1 2 + a 2 2 6 2 2 / t a n t o

d e t A B = ( a , , 6 , , 4- al2b2l)(a21bl2 + a22b22)-(axlbx2 + a , 2 í ) 2 2 )(a 2 1 í ) , , + a 2 2 r > 2 1 ) = a 1 1 b n a 2 1 b 1 2 + a 1 1 t b 1 1 a 2 2 t b 2 2 + a 1 2 í ) 2 1 a 2 i ( I > 1 2 + a 1 2 b 2 1 a 2 2 í ) 2 2

- a j , b 1 2 a 2 , b n - a , , b 1 2 a 2 2 / ) 2 , - 0 , 2 ^ 2 0 2 , ^ 1 , - a 1 2 b 2 2 a 2 2 L b 2 1

= a n fe, , 0 2 2 6 2 2 + 0 , 2 6 2 1 «21 ^ U - 4 1 ! ! 0 ^ ^ ^ ! - «12^22^21 ¿"i I

= d e t A d e t B

, 1 - 1 2 x V e r i f i q u e l a Ecuación ( 8 ) p a r a A = I 3 1 4 l y B =

VO - 2 5 / EJEMPLO 14

Solución d e t A = 16 y de t B= - 8 . C a l c u l a m o s

1 - 2 3 0 - 1 4 2 0 - 2

' 1 - 1 A B = 3 1

vO - 2

2 3 \ Í 5 - 1 - 5

1 4 r 1 1 - 7 5 0 - 2 / ^ 1 0 2 - 1 8

y t e n e m o s q u e de t AB= — 128 = ( 1 6 ) ( — 8 ) = d e t A de t B.

PROBLEMAS 3.2 E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 20 evalúe e l d e t e r m i n a n t e u s a n d o l o s métodos d e e s a secaos.

3 2

- 5 6

2 . 4 1 0 - 3

3. - 1

3 2

2 1 - 1 - 3 2 4 0 3 _ 2 0 5. 1 - 1 2 6. 5 1 6 - 1 4 0 -

92 3/DE TERMINANTES

10.

12 .

14 .

16.

18 .

20 .

- 2 3 6 4 1 8

- 2 0 0

2 - 3 0 - 2 3 7

1 4 0 0

- 1 2 4

3 4

- 1 6

1 - 3 - 1 2

3 1 0 2 2 5

8 1

- 2 3

- 1 0

- 2

1 1 .

13.

1 - 3

2 4

2 0 0 0

- 1 6

- 1 3

- 1 - 3

4

0 0 0 0 3 0

- 1 0 0 0 0 4

0 a 0 0 1 2 0 0 b 0 0 0 3 - 2 0 0 0 0 0 c 15. 0 0 1 - 5 0 0 d 0 0 0 7 2

a b 0 0 2 - 1 0 4

c d 0 0 3 1 - 1 2

0 0 17. 3 2 - 2 5 0 0 a -b 0 0 0 0 4 - 1 0 0 c d

0 3 2 1 - 1

1 - 1 2 0 0 a 0 0 0 0 3 1 4 0 0 0 0 b 0 0 2 - 1 5 0 0 19 . 0 0 0 0 c 0 0 0 2 3 0 0 0 d 0 0 0 0 - 1 4 0 e 0 0 0 2 5 - 6 8 0 0 1 - 7 ( 0 0 0 0 4 0 0 2 1 5 1 4 - 1 5 3 0

2 4 5 6 0 3

-6 7

E n l o s P r o b l e m a s d e l 21 a l 27 c a l c u l e e l d e t e r m i n a n t e s u p o n i e n d o q u e

« n a w « i a 2 , a22 a2

a , , a , 2 a , , = 8

«31 «32 a 3 3 « 3 i a ^ 2 033 2 1 . «22 a 2 , 22 . « i i a i 2 «13

«11 «12 «13 a 2 , a22 a 2 3

fln a . 2 «13 - 3 a „ - 3 a 1 2 - 3 a , , 23 . 2 a 2 1 2 a 2 2 2 a 2 , 24 . 2 a 2 1 2 a 2 2 2 a 2 3

a , . «M 5 a , , 5 a 3 2 5 a , ,

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