1 3. Ecuaciones diferenciales de orden superior ( Chema Madoz,
VEGAP, Madrid 2009)2 Ecuaciones lineales: teora bsica Un problema
de valor inicial de n-simo orden consiste en resolver la EDO
lineal: sujeta a las n condiciones iniciales: Resolverlo consiste
en encontrar una funcin y(x) definida en un intervalo I que
contiene a x0, donde se cumplen la ecuacin y las condiciones
iniciales. ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 1111x g y x adxdyx adxdx adxy dx
annnnnn= + + + +1 0) 1 (1 0 0 0) ( , , ) ( , ) (= ='=nny x y y x y
y x y 3 Existencia de una solucin nica (Condicin suficiente) Sea
an(x), an-1(x), , a0(x), y g(x) continuas en I,con an(x) = 0 para
todo x de I. Si x = x0 escualquier punto de este intervalo,
entonces existeuna solucin y(x) del problema anterior en I y
esnica. Ejemplo: posee la solucin trivialy(x) = 0. Como es una ED
de tercer orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la
nica solucin en cualquier intervalo que contenga a x = 1. 0 ) 1 ( ,
0 ) 1 ( , 0 ) 1 ( , 0 7 5 3 =' '='= = +'+' '+' ' 'y y y y y y y4
Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e2x 3xes la nica solucin de La ED
es lineal, los coeficientes y g(x) son todos funciones continuas, y
a2(x) = 1 es distinto de 0 en cualquier intervaloque contenga x =
0. La solucin propuesta cumple la EDO y es nica en I. 1 ) 0 ( ' , 4
) 0 ( , 12 4 " = = = y y x y yComprueba que y = cx2 + x + 3 es
solucin del PVI: en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas
soluciones. Observa que elcoeficiente de la derivada a2(x) = x2 ms
alta se hace cero en x = 0 y esepunto necesariamente tiene que
estar incluido en I porque lo imponen lascondiciones iniciales. 1 )
0 ( , 3 ) 0 ( , 6 2 22='= = +'' 'y y y y y x5 Problemas de valores
en la frontera Resolver: sujeta a : se llama problema de valoren la
frontera (PVF) y a lasrestricciones se conocencomo condiciones de
contornoo condiciones en la frontera. Nota: Las condiciones de
contorno pueden ser tambin sobre las derivadas. ) ( ) ( ) ( ) (0
1222x g y x adxdyx adxy dx a = + +1 0) ( , ) ( y b y y a y = =6
Vimos quex = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solucin de (a)Supongamos el
PVF Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, yx(t) = c2 sen 4t.Si x(t/2) = 0,
obtenemos 0 = 0 independientementede c2. De modo que tenemos
infinitas soluciones. (b) Si tenemos que c1 = 0, c2 = 0: x(t) = 0,
solucin nica. 0 16 " = + x x02, 0 ) 0 ( , 0 16 =|.|
\|= = +' 'tx x x x08, 0 ) 0 ( , 0 16 =|.|
\|= = +' 'tx x x x
(c) Si tenemos que c1 = 0, y 1 = 0(contradiccin). No hay
solucin. 12, 0 ) 0 ( , 0 16 =|.|
\|= = +' 'tx x x x7 La siguiente EDO lineal de orden n: se dice
que esno homognea. si g(x) = 0 la ecuacin es homognea. Veremos que
para resolver una ecuacin no homognea tendremos que resolver tambin
la ecuacin homognea asociada. 0 ) ( ) ( ) ( ) (0 1111= + + + +y x
adxdyx adxy dx adxy dx annnnnn) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 1111x g y x
adxdyx adxy dx adxy dx annnnnn= + + + +8 Sea Dy = dy/dx. Al smbolo
D se le llama operador diferencial. Definimos a un operador
diferencial de n-simo orden u operador polinominal como El operador
diferencial L es un operador lineal: Podemos escribir las EDOs
anteriores simplemente comoL(y) = 0 y L(y) = g(x) Operadores
diferenciales ) ( ) ( ) ( ) (0 111x a D x a D x a D x a Lnnnn+ + +
+ =)) ( ( )) ( ( )} ( ) ( { x g L x f L x g x f L | o | o + = +9
Principio de superposicin(ecuaciones homogneas) Sean y1, y2, , yk
soluciones de una ecuacin diferencial homognea de n-simo orden en
un intervalo I. Entonces la combinacin linealy = c1y1(x) + c2y2(x)
+ + ckyk(x)donde ci, i = 1, 2, , k, son constantes arbitrarias,
tambin es una solucin en el intervalo. Nota:(A)y(x) = cy1(x) tambin
es solucin si y1(x) es una solucin. (B) Una ED lineal homognea
siempre posee la solucin trivial y(x) = 0. Ejemplo: Las funciones
y1 = x2, y2 = x2 ln xson ambas soluciones en (0, ) deLuego y = x2 +
x2 ln xtambin es una solucin en (0, ). 0 4 23= +'' ' 'y y x y x10
Dependencia e independencia lineal Un conjunto de funcionesf1(x),
f2(x), , fn(x) eslinealmente dependiente en un intervalo I, si
existen ciertas constantes c1, c2, , cn no todas nulas, tales
que:
c1f1(x) + c2f2(x) + + cn fn(x) = 0 Si el conjunto no es
linealmente dependiente, entonces es linealmente independiente. En
otras palabras, si el conjunto es linealmente independiente,
cuando: c1f1(x) + c2f2(x) + + cn fn(x) = 0 entonces necesariamente
c1 = c2 = = cn = 0. 11 Son estas funciones linealmente
independientes? c1f1(x) + c2f2(x) = 0 12 Ejemplo: Las funcionesf1 =
cos2 x,f2 = sin2 x,f3 = sec2 x, f4 = tan2 x son
linealmentedependientes en el intervalo (-t/2, t/2)porque c1 cos2 x
+c2 sin2 x +c3 sec2 x +c4 tan2 x = 0 con c1 = c2 = 1, c3 = -1, c4 =
1. Ejemplo: Las funcionesf1 = x + 5,f2 = x + 5x, f3 = x 1, f4 = x2
son linealmente dependientes en el intervalo (0, ), porquef2 = 1 f1
+ 5 f3 + 0 f4 13 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (2 12 112 1' ' ') ,..., ( =nnn
nnnnf f ff f ff f ff f W Wronskiano Supongamos que cada una de las
funciones f1(x), f2(x), , fn(x) posee al menos n 1 derivadas. El
determinante se llama el Wronskiano de las funciones. 14 Sean
y1(x), y2(x), , yn(x) soluciones de una ED homognea de n-simo orden
en un intervalo I.Este conjunto de soluciones es
linealmenteindependiente si y slo si W(y1, y2, , yn)= 0 paratodo x
en el intervalo. TEOREMA Criterio para soluciones linealmente
independientes Cualquier conjunto y1(x), y2(x), , yn(x) de
nsoluciones linealmente independientes de una EDhomognea de n-simo
orden se llama conjuntofundamental de soluciones.DEFINICIN Conjunto
fundamental de soluciones 15 CH3_15x Existe un conjunto fundamental
de solucionespara una ED lineal homognea de orden n en unintervalo
I. TEOREMAExistencia de un conjunto fundamental Sea y1(x), y2(x), ,
yn(x) un conjunto fundamentalde soluciones de nuestra ED lineal
homognea enun intervalo I.Entonces la solucin general es y =
c1y1(x) + c2y2(x) + + cnyn(x)donde ci son constantes arbitrarias.
TEOREMA Solucin general (ecuaciones homogneas) 16 Las funciones y1
= e3x, y2 = e-3x son soluciones dey 9y = 0 en (-, ) Observa que
para todo x. Luego son independientes.As que y = c1y1 + c2y2 es la
solucin general. 0 63 3) , (3 33 33 3= ==x xx xx xe ee ee e WPor
ejemplo, la funcin y = 4 sinh(3x) - 5e3x es una solucin. Observemos
que = 4 sinh 3x 5e-3x xx xx x xee ee e e y33 33 3 3524 5 2 2
||.|
\|= = =17 Las funciones y1 = ex, y2 = e2x , y3 = e3x
sonsoluciones de y 6y + 11y 6y = 0 en (-, ).Como para todo valor
real de x.
y = c1ex + c2 e2x + c3e3x es la solucin generalen (-, ). 0 29 43
2 ) , , (63 23 23 23 2= = =xx x xx x xx x xx x xee e ee e ee e ee e
e W18 y = c1y1 + c2y2 + + ckyk + yp = yc + yp = funcin
complementaria+ una solucin particular Solucin General (Ecuaciones
no homogneas) Sea yp cualquier solucin particular de una EDO
nohomognea en un intervalo I. Y sea y1(x), y2(x), , yk(x)un
conjunto fundamental de soluciones de su EDOhomognea asociada,
entonces la solucin general dela ecuacin en el intervalo es y= c1y1
+ c2y2 + + ckyk + yp
donde las ci , i= 1,2,.,n son constantes arbitrarias TEOREMA 19
La funcin yp = -(11/12) x es una solucin particular de La solucin
general es
x y y y y 3 6 11 6 = '+' '' ' 'x e c e c e c y y yx x xp
c2112113322 1 + + = + =20 Dadas k EDOs con i = 1, 2, , k.Si ypi
denota una solucin particular de la EDi-sima correspondiente a
gi(x), tenemos que es una solucin particular de TEOREMA ) ( ) ( ) (
) ( ) (0 1) 1 (1) (x g y x a y x a y x a y x ainnnn= +'+ + +) ( ) (
) (2 1x y x y x y ykp p p p+ + + = ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (2 10
1) 1 (1) (x g x g x gy x a y x a y x a y x aknnnn+ + + =+'+ +
+Principio de superposicin (ecuaciones no homogneas) 21 Observemos
que yp1 = -4x2 es una solucin particular de yp2 = e2x es una
solucin particular de
yp3 = xex es una solucin particular de Entonceses una solucin de
8 24 16 4 ' 3 "2 + = + x x y y yxe y y y22 4 ' 3 " = + x xe xe y y
y = + 2 4 ' 3 "3 2 1p p py y y y + + = ) () (2) (23212 2 8 24 16 4
3x gx xx gxx ge xe e x x y y y + + + = +'' '22 Reduccin de orden
Sabemos que la solucin general de
es y = c1y1 + c2y1.Supongamos que y1(x) denota una solucin
conocida (no trivial). Puesto que la solucin y2 es linealmente
independiente, supongamos que y2(x) = u(x) y1(x). Nuestro objetivo
ser encontrar una tal u(x). El mtodo se conoce como reduccin de
orden.0 ) ( ) ( ) (0 1 2= +'+' 'y x a y x a y x a23 Dada y1 =
exsolucin de y y = 0, hallar la segunda solucin y2 por el mtodo de
reduccin de orden. Solucin Si y(x) = u(x)ex, entonces que
sustituyendo en la EDO: Como ex = 0, nuestra EDO se convierte en:
Ahora "reduciremos" el orden de la ED gracias al cambio: w = u que
integrando por separacin de variables y deshaciendo elcambio, nos
proporciona: u e u e ue y u e ue yx x x x x' '+'+ =' ' '+ ='2 ,0 )
' 2 " ( " = + = u u e y yxu e c wx'= =212212 / 1 c e c ux+ =0 ' 2 "
= +u u0 2 ' = +w w24 Hemos hallado la segunda solucin y2 por el
mtodo de reduccin de orden: Recordemos que tenamos y1 = excomo
primera solucin de y y = 0. Si tomamos c2 = 0, c1 = -2 para nuestra
segunda solucin, tenemos y2 = e-x.Observa que W(ex, e-x) = 0 para
todo x, de modo que las soluciones son independientes. x x xe c ece
x u y212) ( + = =25 Caso general Escribimos la EDO en la forma
estndar
Sea y1(x) una solucin conocidade la EDO e y1(x) = 0 para todo x
en el intervalo. Si definimos y(x) = u(x)y1(x), tenemos 0 ) ( ) ( =
+'+' 'y x Q y x P yu y u y y u y u y y u y' '+' '+' '=' ' '+'='1 1
1 1 12 ,0 ) 2 ( ] [1 1 1cero1 1 1='+'+' '+ +'+' '=+'+' 'u Py y u y
Qy y P y uQy y P y 26 empleando el cambio w = u. 0 ) 2 (1 1 1='+'+'
'u Py y u y0 ) 2 (1 1 1= +'+'w Py y w yPdx dxyywdw ='+112}+ = c Pdx
wy | | ln21}=Pdxe c wy121Luego Tomando c1 = 1, c2 = 0,
obtenemos
2211c dxyec uPdx+ = }}}}= dxx yex y ydx x P) () (21) (1 20 ) 2
(1 1 1= +'+ w Py ydxdwyDividiendo entre y1wy multiplicando por dx:
c Pdx dxyywdw+ ='+} } }11227 La funcin y1= x2 es una solucin de
Hallar la solucingeneral en (0, ). Solucin: La forma estndar es
Dando los pasos anteriores, demuestra que: La solucin general es:0
4 ' 3 "2= + y xy y x04 32 = +'' 'xyxyx x dxxex yx dxln24/ 322= =}}x
x c x c y ln2221+ =28 La ecuacin diferencial ay + by = 0 se
resuelve ya sea mediante separacin de variables o mediante la ayuda
de un factor integrante. Observa que si despejamos y de la ecuacin
diferencial ay + by = 0 se obtiene y = ky, donde k es una
constante. Esto nos revela la "naturaleza" de la solucin: la nica
funcin elemental no trivial cuya derivada es una mltiplo de si
misma es la funcin exponencial, y(x) = emx. Lo que resta ser
determinar el valor de m... 29 Ecuaciones lineales homogneas con
coeficientes constantes
donde aison constantes, an = 0. Ecuacin o polinomio auxiliar :
Para n = 2,
Si probamos y(x) = emx,
obtenemos la ecuacin auxiliar. 00 1 2) 1 (1) (= +'+' '+ + +y a y
a y a y a y annnn0 = +'+' 'cy y b y a0 ) (2= + + c bm am emx02= + +
c bm am30 Las dos races del polinomio auxiliar son: (1)b2 4ac >
0: reales y distintas, m1 = m2 . (2)b2 4ac = 0: reales e iguales,
m1 = m2 = -b/(2a). (3)b2 4ac < 0: complejas conjugadas,
a ac b b m 2 / ) 4 (21 + =a ac b b m 2 / ) 4 (22 =02= + + c bm
am| o | o i m i m = + =2 1,31 Caso 1: Races reales y distintas La
solucin general es
Caso 2: Races reales repetidas
La solucin general es
x me y11 =} }= = =x m x mx mx mx mxe dx e dxeee y1 1111222x m x
mxe c e c y1 12 1+ =x m x me c e c y2 12 1+ =Por qu? Para obtener
la segunda solucin utilizamos elmtodo de reduccin de orden,
recordando que m1 = m2 = -b/(2a).32 Caso 3: Races complejas
conjugadas Escribimos , una solucin general es Usando la frmula de
Euler:
| o | o i m i m = + =2 1,x i x ie C e C y) (2) (1| o | o ++ =u
uusin cos i ei+ =x i x ex i| ||sin cos + = x i x ex i| ||sin cos =x
e ex i x i|| |cos 2 = +x i e ex i x i|| |sin 2 = 33 Comoes solucin
general, tomando C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1 , tenemos dos
soluciones: As, eox cos |x yeox sen |x son un conjunto fundamental
de soluciones y la solucin general es
x i x ie C e C y) (2) (1| o | o ++ =x e e e e yx x i x i x|o | |
ocos 2 ) (1= + =x ie e e e yx x i x i x|o | | osin 2 ) (2= =( ) )
sin( ) cos() sin( ) cos(2 12 1x c x c e yx e c x e c yxx x| || |oo
o+ =+ =34 Resolver las EDs siguientes: (a) (b) (c) 0 3 ' 5 " 2 = y
y y3 , 1/2 , ) 3 )( 1 2 ( 3 5 22 12= = + = m m m m m mx xe c e c
y322 /1+ =0 25 ' 10 " = + y y y5 , ) 5 ( 25 102 12 2= = = + m m m m
mx xxe c e c y5251+ =0 7 ' 4 " = + + y y yi m i m m m 3 2 , 3 2 , 0
7 42 12 = + = = + +) 3 3 cos ( , 3 , 22 12x sen c x c e yx+ = = =|
o35 Resolver Solucin: 2 ) 0 ( ' , 1 ) 0 ( , 0 17 ' 4 " 4 = = = + +
y y y y y, 0 17 4 42= + + m mi m 2 1/21 =) 2 sin 2 cos (2 12 /x c x
c e yx+ =, 1 ) 0 ( = y, 11 = c, 2 ) 0 ( ' e = y3/42 = c36 Para la
primera ecuacin : Para la segunda ecuacin : Como Luego
, 02= +' 'y k y0, 02> = ' 'k y k ykx c kx c y sin cos2 1+ =kx
kxe c e c y+ =2 1) sinh( ) cosh(2 1kx c kx c y + =) cosh( ) (
1/21kx e e ykx kx= + =) sinh( ) ( 1/22kx e e ykx kx= =Resolver las
ecuaciones: 37 Ecuaciones de orden superior Dada la EDO: La ecuacin
asociada
se llama su ecuacin auxiliar . 00 1 2) 1 (1) (= +'+' '+ + +y a y
a y a y a y annnn00 12211= + + + + +a m a m a m a m annnn38
Resolver Solucin: 0 4 3 = ' '+' ' 'y y y2 2 2 3) 2 )( 1 ( ) 4 4 )(
1 ( 4 3 + = + + = + m m m m m m m23 2 = = m mx x xxe c e c e c
y2322 1 + + =ResolverSolucin: 0 22244= + + ydxy ddxy d0 ) 1 ( 1 22
2 2 4= + = + + m m mi m m i m m = = = =4 2 3 1,ix ix ix ixxe C xe C
e C e C y + + + =4 3 2 1x x c x x c x c x c sin cos sin cos4 3 2 1+
+ + =39 Si m1 = o + i|es una raz complejade multiplicidad k,
entonces m2 = o i| estambin una raz compleja de multiplicidad k.
Las 2k soluciones linealmente independientes son : Races complejas
repetidas x e x x e x x xe x ex k x x x| | | |o o o ocos , , cos ,
cos , cos1 2 x sen e x x sen e x x sen xe x sen ex k x x x| | | |o
o o o 1 2, , , ,40 Coeficientes indeterminados Si queremos resolver
Tenemos que hallar y = yc + yp. Veamos cmo hacerlo, en este caso
general, mediante el mtodo conocido como de coeficientes
indeterminados. ) (0 1) 1 (1) (x g y a y a y a y annnn= +'+ + +41
Simplemente haremos una conjetura sobre la forma de la posible
solucin particular a partir de la g(x) que deber ser un polinomio,
seno o coseno, exponencial o combinacin lineal de todas ellas...
Gracias a que las derivadas de las combinaciones lineales de estas
funciones vuelven a ser ellas mismas, parece razonable que
busquemos soluciones particulares de la misma forma... Vamos a
ilustrar la idea con algunos ejemplosCoeficientes indeterminados 42
ResolverSolucin:Ya sabemos cmo obtener una solucin yc de la ecuacin
homognea asociada. Ahora, queremos hallar yp. Como el lado derecho
de la ED es un polinomio,supondremosentonces, tras sustituir: 2A +
8Ax + 4B 2Ax2 2Bx 2C = 2x2 3x + 6 6 3 2 2 ' 4 "2+ = + x x y y y,2C
Bx Ax yp+ + =, 2 ' B Ax yp+ = A yp2 "=6 2 4 2 , 3 2 8 , 2 2 = + = =
C B A B A A9 , 5/2 , 1 = = = C B A9252 = x x yp43 Hallar una
solucin particular de Solucin:Probemos yp = A cos(3x) + B sen(3x)
Tras sustituir, Luego ) 3 ( 2 ' " x sen y y y = + ) 3 sin( 2 ) 3
sin( ) 8 3 ( ) 3 cos( ) 3 8 ( x x B A x B A = + 16/73 , 6/73 = = B
A) 3 (7316) 3 cos(736x sen x yp =44 Resolver Solucin: ProbemosTras
sustituir, Luego xxe x y y y26 5 4 3 ' 2 " + = x xce c e c y32 1+
=x xpEe Cxe B Ax y2 2+ + + =xx xxe xe E C Cxe B A Ax22 26 5 4) 3 2
( 3 3 2 3+ = + 4/3 , 2 , 23/9 , 4/3 = = = = E C B Ax xpe xe x y2
234292334 + =x x xe x x e c e c y2 32 134292334|.|
\|+ + + =Solucin homognea Pensando en el principio de
superposicin: 45 Determinar una yp de Solucin:Probemos: yp = Aex
Tras sustituir: 0 = 8ex (conjetura incorrecta) Probemos como
alternativa: yp = Axex. Tras sustituir: -3Aex = 8ex
Entonces:A = -8/3,yp = (8/3)xe2x
xe y y y 8 4 ' 5 " = + El problema est en que la funcin
complementaria es: Y la suposicin ya est presente en yc. x xce c e
c y42 1+ =46 Si ninguna funcin en la supuesta yp es parte de yc En
la siguiente tabla se muestran soluciones particulares de prueba. )
(x gForma de py1.1(una constante) A 2.7 5 + x B Ax +3.2 32 x C Bx
Ax + +2 4.13+ x x E Cx Bx Ax + + +2 3 5. x sen 4 x sen B x A 4 4
cos + 6.x 4 cos x sen B x A 4 4 cos + 7. xe5 xAe5 8. xe x5) 2 9 (
xe B Ax5) ( +9. xe x5 2 xe C Bx Ax5 2) ( + +10. x sen ex43 x sen Be
x Aex x4 4 cos3 3+ 11. x sen x 4 52 x sen G Fx Ex x C Bx Ax 4 ) ( 4
cos ) (2 2+ + + + + 12.x xex4 cos3 x sen e E Cx x e B Axx x4 ) ( 4
cos ) (3 3+ + + 47 Hallar la forma de yp de (a)Solucin: Tenemos
quey probamos con
No hay duplicacin entre los trminos yp e yc (b)y + 4y = x cos x
Solucin:Probamos con Tampoco hay duplicidad entre los trminos yp y
yc . x xe e x y y y = + 7 5 25 ' 8 "3xe x x g = ) 7 5 ( ) (3xpe E
Cx Bx Ax y+ + + = ) (2 3x E Cx x B Ax xpsin ) ( cos ) ( + + + =48
Hallar la forma de yp de Solucin:Para 3x2: Para -5 sen 2x: Para
7xe6x: Ningn trmino deduplica un trmino de yc xxe x sen x y y y6 27
2 5 3 14 9 + = +'' 'C Bx Ax yp+ + =21x Fsen x E yp2 2 cos2+ =xpe H
Gx y6) (3+ =3 2 1p p p py y y y + + =49 Si alguna yp contiene
trminos que duplican los trminos de yc, entonces esa ypse debe
multiplicar por xn, donde n es el entero positivo ms pequeo que
elimina esa duplicacin. As que la regla formal en este caso es que
la solucin particular es una combinacin lineal de las funciones
linealmente independientes que se generan mediante diferenciaciones
repetidas de g(x). Y cul es la regla si la solucin particular as
propuesta es tambin una solucin de la ecuacin homognea asociada? 50
Resolver Solucin:
Primero probamos: yp = Ax + B + C cos x + E sen x Pero hay una
duplicacin.Entonces probamos con yp = Ax + B + Cx cos x + Ex sen x
Tras sustituir y simplificar, A = 4, B = 0, C = -5, E = 0 Luego y =
c1 cos x + c2 sen x + 4x 5x cos x Como y(t) = 0, y(t) = 2, tenemos
y = 9t cos x + 7 sen x + 4x 5x cos x 2 ) ( ' , 0 ) ( , 10 4 " = = +
= + t t y y senx x y ysenx c x c yc 2 1cos + =51 Resolver
Solucin:yc = c1e3x + c2xe3x
Tras sustituir y simplificar, A = 2/3, B = 8/9, C = 2/3, E = -6
Luego xe x y y y3 212 2 6 9 ' 6 " + = + 213 2ppyxypEe C Bx Ax y + +
+ = x x xe x x x xe c e c y3 2 2 32316329832 + + + + =Este trmino
estduplicado, aparece yaen yc. 2 13 2 2p pyxype Ex C Bx Ax y + + +
=Debemos probar con: 52 ResolverSolucin:m3 + m2 = 0, m = 0, 0, -1
yc = c1+ c2x + c3e-x
Probamos como solucin particular: yp = Aex cos x + Bex sen x
Tras sustituir y simplificar, A = -1/10, B = 1/5 Luego x e y yxcos
"= +' ' 'senx e x e e c x c c y y yx x xp c51cos1013 2 1+ + + = +
=53 Hallar la forma de yp de Solucin:yc = c1+ c2x + c3x2 +
c4e-x
Prueba: Como aparece repetido en la solucin homognea,
necesitaremos multiplicar A por x3 y (Bx2e-x + Cxe-x + Ee-x) por x.
Prueba ahora: xe x y y =' ' '+2 ) 4 (1 212ppyx x xypEe Cxe e Bx A y
+ + + = 212 3 3ppyx x xypExe e Cx e Bx Ax y + + + =54 Mtodo del
anulador Sigue los apuntes de Jose Olarrea. 55 Mtodo de variacin de
parmetros ) ( ) ( ) ( ) (0 1 2x g y x a y x a y x a = +'+' ') ( ) (
) ( x f y x Q y x P y = +'+' 'donde P(x), Q(x) y f(x) son continuas
en I. Conocidas y1(x) e y2(x) soluciones l. i. dela ec. homognea
asociada, probaremoscomo solucin particular: ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1
1x y x u x y x u yp+ =56
Sustituimos yp, yp en la EDO: ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1x y x u x y
x u yp+ =p p py x Q y x P y ) ( ) ( +'+' '] [ ] [2 2 2 2 1 1 1 1Qy
y P y u Qy y P y u +'+' '+ +'+' '=2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 12
2 ] [ u y u y u y u y P y u u y y u u y' '+' '+'+'+' '+' '+' '+'
'+2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1] [ ] [ ] [ u y u y u y u y P u ydxdu
ydxd' '+' '+'+'+'+'=) ( ] [ ] [2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1x f u y u y u
y u y P u y u ydxd=' '+' '+'+'+'+'=0 0 57 Necesitaremos dos
ecuaciones para encontrar valores de u1 y u1. Exijamos que: y1u1 +
y2u2 = 0, para obtener una ecuacin adicional y de paso que la EDO
se reduzca a:y1u1 + y2u2 = f(x). De modo que nos queda el sistema
de ecuaciones: y1u1 + y2u2 = 0y1u1 + y2u2 = f(x) ) ( ] [ ] [2 2 1 1
2 2 1 1 2 2 1 1x f u y u y u y u y P u y u ydxd=' '+' '+'+'+'+'58
Expresado en trminos de determinantes y donde De donde
encontraremos, por integracin, las soluciones. Wx f yWWu) (2 11 =
='Wx f yWWu) (1 22= =') (0,) (0,1122212 12 1x f yyWy x fyWy yy
yW'='=' '=59 Resolver xe x y y y2) 1 ( 4 ' 4 " + = + 02 2) , (42 2
22 22 2= =+=xx x xx xx xee xe exe exe e Wxx xxxx xxe xe x eeW xe
xxe e xxeW42 22242 221) 1 () 1 ( 20, ) 1 (2 ) 1 (0+ =+= + =+=1) 1
(,) 1 (4422441+ =+ =' =+ ='xee xu x xexe xuxxxxWx f yWWu) (2 11 =
='Wx f yWWu) (1 22 = ='Solucin:m2 4m + 4 = 0, m = 2 (cero doble) y1
= e2x,y2 = xe2x, Como f(x) = (x + 1)e2x, entonces: 60
Luego
u1 =(-1/3)x3 x2,u2 = x2 + x x x x xpe x e x xe x x e x x x2 2 2
3 2 2 2 2 32161212131+ =|.|
\|+ +|.|
\| =x x x xp ce x e x xe c e c y y y2 2 2 3 22212161+ + + = + =1
,221+ =' ='x u x x uRecordemos que:) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1x y x u x
y x u yp+ =y1 = e2x,y2 = xe2x 61 Resolver Solucin:y + 9y = (1/4)
csc 3x m2 + 9 = 0, m = 3i, -3iy1 = cos 3x, y2 = sin 3x, f(x) =
(1/4) csc(3x)Como x y y 3 csc 36 " 4 = +33 cos 3 3 sin 33 sin 3
cos) 3 sin , 3 (cos ==x xx xx x Wxxx xxWx xxW3 sin3 cos413 csc 4 /
1 3 sin 30 3 cos,413 cos 3 3 csc 4 / 13 sin 02 1== = =62 12111 =
='WWux senxWWu33 cos12122= =', 12 / 11x u =| 3 | ln 36 / 12x sen u
=| 3 | ln ) 3 (3613 cos121x sen x sen x x yp+ =| 3 | ln ) 3 (3613
cos1213 3 cos2 1x sen x sen x x x sen c x c y y yp c+ + = +
=Entonces
63 Resolver Solucin:m2 1 = 0, m = 1, -1y1 = ex, y2 = e-x, f(x) =
1/x, y W(ex, e-x) = -2Luego xy y1" = } = ='xxt xdtteux eu01 121,2)
/ 1 (} = ='xxt xdtteux eu02 221,2) / 1 (} } =xxxxtxtxpdttee dttee
y0 02121} } + = + =xxxxtxtx xp cdttee dttee e c y y y0 02121164
Para las EDs de n-simo orden de la forma tomamos yp = u1y1 + u2y2 +
+ unyn, donde yi , i = 1, 2, , n, son la familia de soluciones
independientes que forman yc. As: Que nos lleva a las ecuaciones
solucin uk = Wk/W con k = 1, 2, , n.Donde W es el wronskiano de la
y's y Wk es el determinante que se obtiene de sustituir en W la
k-sima columna por (0, 0,..., f(x)). Ecuaciones de orden superior )
( ) ( ) ( ) (0 1) 1 (1) (x f y x P y x P y x P ynnn= +'+ + +02 2 1
1='+ +'+'n nu y u y u y
02 2 1 1=' '+ +' '+'n nu y u y u y) () 1 (2) 1 (2 1) 1 (1x f u y
u y u ynnnn n='+ +'+' Suposiciones para simplificar la EDO: 65
Ecuacin de Cauchy-Euler Forma de ecuacin de Cauchy-Euler Mtodo de
solucin Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, para
resolver la ecuacin homognea asociada: Observa que: ) (0 11111x g y
adxdyx adxy dx adxy dx annnnnnnn= + + + +kkkkdxy dx ak m kkx k m m
m m x a+ = ) 1 ( ) 2 )( 1 ( mkx k m m m m a ) 1 ( ) 2 )( 1 ( + = (
) 0 ... ) 1 ( ) 2 )( 1 (0 1= + + + + mnx a m a n m m m m a 66
Ecuacin auxiliar Para n = 2, y = xm, tenemos (am(m 1) + bm + c)xm =
0,o am2 + (b a)m+ c = 0 Caso 1: Races reales y distintas 2 12 1m mx
c x c y + =ResolverSolucin: Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4 m2 3m 4
= 0, m = -1, 4, y = c1x-1 + c2x4 0 4 2222= ydxdyxdxy dx) (222x g
cydxdybxdxy dax = + +Observa quetenemos que ax2
es igual a cero enx = 0. Paraasegurarexistencia
yunicidad,tomaremos I = (0, ). 67 Dedujimos Luego Caso 2: Races
reales repetidas x x c x c ym mln1 12 1+ =x x ymln12 =Resolver
Solucin: Tenemos a = 4, b = 8, c = 1 4m2 + 4m + 1 = 0, m = - , - 0
8 4222= + + ydxdyxdxy dxx x c x c y ln2 / 122 / 11 + =68 Orden
superior: multiplicidad k Caso 3: races complejas conjugadas m1 = o
+ i|, m2 = o i|,y = C1x(o + i|) + C2x(o - i|) Como xi| = (eln x)i|
= ei| ln x = cos(| ln x) + i sen(| ln x) x-i| = cos (| ln x) i sen
(| ln x) Luegoy = c1xo cos(| ln x) + c2xo sen(| ln x) = xo [c1
cos(| ln x) + c2 sen(| ln x)] Caso 3: Races complejas conjugadas 1
2) (ln , , ) (ln , ln ,1 1 1 1 k m m m mx x x x x x x 69 Resolver
Solucin: Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17 4m2 4m + 17 = 0, m = + 2i
Aplicando y(1) = -1, y(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0, 21) 1 (
' , 1 ) 1 ( , 0 17 42 = = = +' 'y y y y x)] ln 2 sin( ) ln 2 cos(
[2 12 / 1x c x c x y + =) ln 2 cos(1/2x x y =70 ResolverSolucin:
Sea y = xm, Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0 m = -2, m = 2i, m =
-2i y = c1x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x) 0 8 7 5222333= + +
+ ydxdyxdxy dxdxy dx3332221) 2 )( 1 (, ) 1 ( , = = =mm mx m m mdxy
dx m mdxy dmxdxdy71 ResolverSolucin: Tenemos (m 1)(m 3) = 0, m = 1,
3 yc = c1x + c2x3 Usando variacin de parmetros, yp = u1y1 + u2y2,
donde y1 = x, y2 = x3
Escribimos la ED como Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2,f(x) =
2x2ex xe x y xy y x4 22 3 ' 3 " = + xe x yxyxy2223 3= +'' '72 As
Hallamos xxxxe xe xxW e xx e xxWxxx xW32252 23132322 10, 23 20, 23
1= = = == =,222351xxe xxe xu = ='xxexe xu = ='35222, 2 221x x xe xe
e x u + =xe u =2x xx x x xpxe e xx e x e xe e x y u y u y2 2) 2 2
(23 22 2 1 1 =+ + = + =x xp cxe e x x c x c y y y 2 22 32 1 + + = +
=73 Una ecuacin de Cauchy-Euler siempre se puede escribir como un
lineal de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable: x
= et. Por ejemplo: Resuelve as:x y y x y x ln2= +'' 'x te xtln
==||.|
\| =||.|
\||.|
\|+ =||.|
\||.|
\|+ =||.|
\||.|
\|+ =|.|
\|== =dtdydty dx dtdyx dtdx dtdyxdxdydtdx dtdyx dtdydxdx dtdyx
dtdyx dxddxy ddtdyx dxdtdtdydxdy222 22 2 221 1 1 11 1 1 1 1174 x y
y x y x ln2= +'' 't ydtdydty d= + 222t te c e c yt t+ + + = 22 1x x
x c x c y ln 2 ln2 1+ + + =75 Unos ejemplos de ecuaciones no
lineales Resolver Solucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino
en y. Sea u(x) = y, entonces du/dx = y,
(Se escribe en esta forma solo por conveniencia para luego
integrar) Como u-1 = 1/y, Entonces,2) ' ( 2 " y x y =22xudxdu=dx
xudu22 =212 1c x u + = 2121c x dxdy+ =2111212tan1ccxc c xdxy + =+
=}76 Resolver Solucin: Esta ecuacin no lineal carece de trmino en
x.Sea u(x) = y, entoncesy = du/dx = (du/dy)(dy/dx) = u du/dy o
ln|u| = ln|y| + c1, u = c2y (donde) Como u = dy/dx = c2y,dy/y = c2
dxln|y| = c2x + c3, 2) ' ( " y yy =2udyduu y =|.|
\|ydyudu=x ce c y24=12ce c =77 Supongamos que existe solucin
para: Si adems suponemos que y(x) admitedesarrollo en serie de
Taylor centrado en 0: Como y(0) = -1, y(0) = 1, de la ED
original:y(0) = 0 + y(0) y(0)2 = 2.Derivando sucesivamente la ED
original: 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ,2=' = + =' 'y y y y x y + +' ' '+'
'+'+ =4) 4 (3 2! 4) 0 (! 3) 0 (! 2) 0 (! 1) 0 () 0 ( ) ( xyxyxyxyy
x yy y y y y xdxdx y''+ = + =' ' '2 1 ) ( ) (278 ... podemos
utilizar el mismo mtodo para obtener y(3)(0) = 4, y(4)(0) = 8, etc.
Y encontrar una aproximacin en Taylor de la solucin: 2 ) 4 () ( 2 2
) 2 1 ( ) ( y y y y y y ydxdx y'' '' '=''+ = + + + =4 3 231321 ) (
x x x x x y79 Una ltima observacin: La ED de este ejemplo: es
equivalente (mediante cambio devariable) al sistema de
ecuacionesdiferenciales: = = + ==1 ) 0 ( , 1 ) 0 (
2u yy y xdxduudxdy1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ,2=' = + =' 'y y y y x y
