PREPARACIÓN DE LA UNIDAD (pág. 75)

• a) 0,000003 km = 3 · 10–6 km

b) 25 000 000 mg = 2,5 · 107 mg

c) 4 537 000 kg = 4,537 · 106 kg

d) 12 425, 65 s = 1,242 565 · 104 s

• Datos: m = 25 kg

Llamamos peso a la fuerza gravitatoria con la que la Tierraatrae a los cuerpos. Esta fuerza se expresa como p = m g, yes un vector dirigido hacia el centro de la Tierra. En la su-perficie terrestre, g = 9,8 m/s2. Por tanto:

p = m g = 25 kg · 9,8 m/s2 = 245 N

• Datos: m = 2 kg; v = 20 m/s; y0 = 0 m

a) Por la conservación de la energía mecánica, la energíapotencial gravitatoria que adquirirá será igual a la ener-gía cinética inicial:

b) A partir de la expresión para la energía potencial enpuntos cercanos a la superficie terrestre, podemos cal-cular la altura a la que llegará el cuerpo:

• Datos: M = 5 · 1014 kg; r1 = 3 000 m; r2 = 15 000 m;

m = 75 kg; G = 6,67 · 10–11

a) Calculamos el potencial gravitatorio a las dos distan-cias:

b) El trabajo que realiza el campo para llevar una masa delpunto 1 al punto 2 es igual a la diferencia de energíapotencial entre los dos puntos.

Como podemos escribir la energía potencial en térmi-nos del potencial gravitatorio:

Ep = m V

el trabajo será:

1. CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA (págs. 79 y 81)

1. Existe un campo gravitatorio alrededor de la Tierra debi-do a la masa de ésta. Todos los cuerpos, por el hecho detener masa, crean a su alrededor un campo gravitatorio.En el caso de la Tierra, como en el de todos los planetasy estrellas, al ser su masa muy grande, el campo es másimportante que el generado por otros cuerpos.

— La intensidad del campo gravitatorio terrestre en unpunto del espacio representa la fuerza con que laTierra atraería un objeto de masa unidad situado enese punto.

2. La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca deéste e independiente del lugar donde se encuentra. Portanto, aunque el cuerpo se aleje de la superficie terres-tre, su masa no cambia, es la misma que en cualquierotro lugar.

Su peso, por el contrario, es la fuerza con que la Tie-rra lo atrae. Esta fuerza es inversamente proporcional a la distancia al centro de la Tierra. Por lo tanto, si elcuerpo se aleja de la superficie (asciende), su peso dismi-nuye.

3. Datos: h = 200 km = 2 · 105 m; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11 ; MT = 5,98 · 1024 kg

Hallamos el módulo del campo gravitatorio terrestre auna distancia del centro de la Tierra r = RT + h:

g GM

R h

gN m

kg

kg

m

gNkg

T

T

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅

=

( )

,,

( , )

,

–

2

112

2

24

6 5 2 26 67 10

5 98 10

6 37 10 2 10

9 24

N m

kg

⋅ 2

2

W Ep Ep m V m V m V V

W kg J Kg J Kg

W J

= = =

= ⋅

=

1 2 1 2 1 2

75 11 12 2 22

667 5

– – ( – )

[(– , – (– , )]

– ,

V GMr

N m

kg

kgm

VJ

Kg

V GMr

N m

kg

kgm

VJ

Kg

11

112

2

14

1

22

112

2

14

2

6 67 105 103 000

11 12

6 67 105 1015 000

2 22

= = ⋅⋅

⋅⋅

=

= = ⋅⋅

⋅⋅

=

– – ,

– ,

– – ,

– ,

–

–

N m

kg

⋅ 2

2

h

J

kg m sm=

⋅=

,,

400

2 9 820 4

2

hEp

m g=Ep m g h= ;

Ep Ec m v kg m s J= = = ⋅ ⋅ =0

2 212

12

2 20 400( )

47

3. Gravitación en el universo

4. Datos: m = 4 500 kg; h = 10 000 km; RT = 6,37 · 106 m

a) En la superficie terrestre, el peso del avión p0 será:

b) Hallamos el peso a una altura h = 10 000 km = 107 m,mediante la expresión de la variación del peso con laaltura:

5. Datos: m = 4 kg; MM = 6,45 · 1023 kg;

RM = 3 380 km = 3,38 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

a) La aceleración con que caen los cuerpos en caída li-bre coincide con la intensidad del campo gravitato-rio. Por tanto, en la superficie de Marte:

b) El peso de un objeto de m = 4 kg será el producto desu masa por la intensidad del campo gravitatorio:

6. Datos: RT = 6,37 · 106 m

Hallamos la altura a la cual el peso se reduce a la cuarta

parte, p = , a partir de la expresión:

7. a) Los astronautas en órbita alrededor de la Tierra es-tán en estado de ingravidez porque su peso, es decir,la fuerza con que la Tierra los atrae, es la fuerza quenecesitan para describir su órbita circular. La inten-sidad de campo gravitatorio en su órbita coincidecon la aceleración centrípeta de su movimiento cir-cular.

b) Los planetas no caen sobre el Sol ni las lunas sobresus respectivos planetas por la misma razón que losastronautas están en estado de ingravidez. La fuerzagravitatoria que actúa sobre ellos se emplea en hacer-les describir su trayectoria circular.

8. Ep = m g h. Esta expresión es válida sólo para puntospróximos a la superficie terrestre y para variaciones dealtura pequeñas comparadas con el radio terrestre. Elorigen de la energía potencial se toma en la superficiede la Tierra.

Ep = . Esta expresión es la más general y es

válida para cualquier punto del espacio. El origen deenergía potencial está, en este caso, en el infinito.

9. Datos: m = 500 kg; h = 2 000 km = 2 · 106 m;

RT = 6,37 · 106 m; MT = 5,98 · 1024 kg;

G = 6,67 · 10–11

A una altura de 2 000 km, la expresión de la energía po-tencial para cuerpos situados cerca de la superficie ya noes válida.

Si tomamos el origen de la energía potencial en el infini-to:

10. Datos: hA = 4 200 km = 4,2 · 106 m;

hB = 5 800 km = 5,8 · 106 m; RT = 6,37 · 106 m;

MT = 5,98 · 1024 kg; m = 7 500 kg; G = 6,67 · 10–11

Si tomamos el origen del potencial en el infinito, el po-tencial gravitatorio creado por la Tierra en cada uno delos dos puntos será:

— El trabajo realizado por el campo es igual a la varia-ción de energía potencial. Podemos expresar la ener-gía potencial gravitatoria como el producto de lamasa del satélite por el potencial. Por tanto:

W Ep Ep m V V

W kg J Kg J Kg

W J

A B A B= =

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

– ( – )

[– , – (– , )]

– ,

7 500 3 77 10 3 28 10

3 68 10

7 7

10

V GM

R h

VN m

kg

kg

m m

VJ

Kg

V GM

R h

VN m

kg

kg

m m

AT

T A

A

A

BT

T B

B

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅

= ⋅

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅

–

– ,,

, ,

– ,

–

– ,,

, ,

–

–

6 67 105 98 10

6 37 10 4 2 10

3 77 10

6 67 105 98 10

6 37 10 5 8 10

112

2

24

6 6

7

112

2

24

6 6

VVJ

KgB = ⋅– ,3 28 107

N m

kg

⋅ 2

2

Ep GM mR h

EpN m

kg

kg kg

m m

Ep J

T

T

=+

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ + ⋅

= ⋅

−

–

– ,,

,

– ,

6 67 105 98 10 500

6 37 10 2 10

2 38 10

112

2

24

6 6

10

N m

kg

⋅ 2

2

–G

M m

R hT

T +

pp

hR

ph

R

hR

h R R h R m

T

T

TT T T

=

+

= +

=

+ = = = = = ⋅

02 0

2

6

1

14

1 4

1 2 2 1 6 37 10

;

; ( – ) ; ,

14 0p

p m g kg N kg NM= = ⋅ =4 3 8 15 2, ,

a g GM

R

N m

kg

kg

m

gNkg

MM

M

M

= = = ⋅⋅

⋅⋅⋅

=

211

2

2

23

6 26 67 10

6 45 10

3 38 10

3 8

,,

( , )

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

pp

hR

N

m

m

N

T

=

+

=

+⋅

=02 7

6

2

1

44 100

110

6 37 10

6 678

,

p m g kg N kg N0 4 500 9 8 44 100= = ⋅ =,

48

kg kg

kg

kg

2. MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES (págs. 83, 85 y 87)

11. Cuesta más situar en órbita un satélite pesado que uno li-gero. Aunque una vez en órbita ambos tendrán la mismavelocidad, tanto la energía potencial como la energía ci-nética de cada uno será proporcional a su masa. Por tan-to, cuanto más pesado sea, más energía se necesita parasituarlo a determinada altura y darle la velocidad corres-pondiente a esa órbita.

12. La altura sobre el ecuador de un satélite geoestacionarioes fija e invariable. Su período debe ser igual al períodoorbital de la Tierra (24 h). Esta condición establece unaúnica velocidad y altura posibles para el satélite. Estas ca-racterísticas de la órbita se han calculado en el ejemplo 7.

13. Datos: r = 8 500 km; MT = 5,98 · 1024 kg;

G = 6,67 · 10–11

Calculamos la velocidad orbital del satélite:

Hallamos el período de revolución:

14. Datos: v = 2,52 ·104 km/h = 7 000 m/s;

MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

a) Despejamos el radio de la órbita de la ecuación de lavelocidad orbital:

b) Determinamos el período de revolución de la órbita:

15. La energía mecánica de un satélite en órbita alrededorde la Tierra es siempre negativa, ya que el satélite está li-gado al campo gravitatorio terrestre. Si su energía mecá-nica no fuera negativa, el satélite escaparía de la órbita.

16. Datos: v0 = 1 000 m/s; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

En ausencia de rozamiento, la energía mecánica se con-serva: Ec0 + Ep0 = Ec + Ep;

17. Datos: h = 2 000 km; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

La distancia al centro de la Tierra es:

r = h + RT = 2 · 106 m + 6,37 · 106 m = 8,37 · 106 m

Calculamos la correspondiente velocidad de escape:

18. La órbita de los planetas tiene forma elíptica, con el Solen uno de sus focos. La órbita de los satélites es igual-mente elíptica, con el planeta en uno de los focos.

19. La velocidad de un planeta es mayor cerca del Sol que lejos de éste. Teniendo en cuenta la segunda ley de Kepler, la velocidad será máxima cuando la distancia al Sol sea mínima, ya que con menos radio tiene que barrer la misma área que en los otros puntos de la ór-bita.

20. La existencia de los planetas puede predecirse a partirde su interacción gravitatoria con otros cuerpos celestesconocidos.

— Las masas de los planetas se determinan a partir delradio y el período de alguno de sus satélites. Graciasa la tercera ley de Kepler, podemos relacionar el pe-ríodo y el radio de la órbita del satélite con la masadel objeto alrededor del cual orbitan.

21. Datos: T = 16,7 días = 1,44 · 106 s; r = 1,88 · 109 m;

G = 6,67 · 10–11

Hallamos la masa de Júpiter a partir de la tercera ley deKepler:

Mm

N m

kgs

kg=⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅= ⋅

4 1 88 10

6 67 10 1 44 10

1 9 102 9 3

112

26 2

27π ( , )

, ( , )

,–

T

G Mr M

r

G T2

23

2 3

2

4 4= =π π

;

N m

kg

⋅ 2

2

vG M

r

N m

kgkg

m

v m s

eT

e

= =⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅

⋅

= ⋅

22 6 67 10 5 98 10

8 37 10

9 8 10

112

224

6

3

, ,

,

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

12

2

2

2 6 67 10 5 98 10 6 37 10

2 6 67 10 5 98 10 6 37 10 1 000

6 37 10 5 12 10

02

02

11 24 6

11 24 6 2

6 4

m v GM m

RG

M mR h

hG M R

G M R vR

h

m m

T

T

T

T

T T

T TT

– –

––

, , ,

, , – ,–

– , ,

–

–

=+

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( )⋅ = ⋅

N m

kg

⋅ 2

2

T

rv

mm s

s= =⋅ ⋅

= ⋅2 2 8 14 10

7 0007 3 10

63π π ,

,

r

N m

kgkg

m sm=

⋅⋅

⋅ ⋅= ⋅

6 67 10 5 98 10

7 0008 14 10

112

224

26

, ,

( ),

–

v

G Mr

rG M

vT T= =;

2

N m

kg

⋅ 2

2

T

rv

m

m ss= =

⋅ ⋅⋅

= ⋅2 2 8 5 10

6 85 107 8 10

6

33π π ,

,,

vG M

r

N m

kgkg

m

v m s

T= =⋅

⋅⋅ ⋅

⋅

= ⋅

6 67 10 5 98 10

8 5 10

6 85 10

112

224

6

3

, ,

,

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

49

23. Respuesta sugerida:

Las mareas consisten en el ascenso y descenso sucesivodel nivel del agua del mar por efecto de la atracción gra-vitatoria de la Luna y el Sol.

— En las mareas vivas, la Tierra, la Luna y el Sol estánalineados. Las atracciones gravitatorias del Sol y laLuna se suman.

— En las mareas muertas, la Luna, la Tierra y el Sol for-man ángulo recto con la Tierra en el vértice. Lasatracciones gravitatorias del Sol y la Luna se restan.

24. — Las estaciones del año son debidas a la inclinación deleje de rotación terrestre respecto al plano de su órbita.

Como consecuencia de esta inclinación, en diferen-tes puntos de la órbita el ángulo con que inciden losrayos de luz solares en los dos hemisferios y la super-ficie de éstos iluminada cambian.

Cuando la Tierra muestra al Sol uno de los hemisfe-rios, la superficie de éste iluminada es mayor, los ra-yos inciden más perpendiculares y calientan más; es-tamos en verano. Al mismo tiempo, en el otrohemisferio es invierno.

En épocas en las que los dos hemisferios están ex-puestos por igual a la radiación solar, hablamos deprimavera y de otoño.

Las estaciones del año son claramente distinguiblesen las latitudes medias (zonas templadas). En la zonaecuatorial no se distinguen estaciones, pues los rayosdel Sol inciden siempre muy perpendiculares, justolo contrario de lo que ocurre en las zonas polares.

— La Luna no emite luz propia, sino que refleja la luzproveniente del Sol. Los eclipses de Luna se produ-cen cuando ésta entra en la zona de sombra de laTierra.

Al dejar de estar iluminada por el Sol, veremos cómose oscurece, produciéndose un eclipse lunar. La Tie-rra se interpone entre el Sol y la Luna.

Sol

Tierra

Luna

Sol

Tierra

Luna

50

22. Éstos son los planetas del Sistema Solar y los datos de sus órbitas alrededor del Sol:

Nombre del planetaDistancia media al Sol

Período de revoluciónVelocidad orbital

Masa (·1024 kg)(·106 km) (·103 m/s)

Mercurio 58 88 días 47,93 0,36

Venus 108 225 días 34,91 4,84

Tierra 150 1 año 29,89 5,98

Marte 228 1,9 años 23,91 0,65

Júpiter 778 11,9 años 13,02 1 900,98

Saturno 1 427 29,5 años 9,64 568,94

Urano 2 870 84 años 6,81 86,83

Neptuno 4 497 164,8 años 5,44 103,16

Plutón 5 899 247,7 años 4,74 0,60

Primavera en el H.N.Otoño en el H.S.

Verano en el H.N.Invierno en el H.S.

Invierno en el H.N.Verano en el H.S.

Otoño en el H.N.Primavera en el H.S.

En el caso de los eclipses de Sol, es la Luna la que seinterpone entre el Sol y la Tierra. La Luna pasa pordelante del Sol y proyecta su sombra sobre la Tierra.

En los dos casos, el fenómeno no se produce en cadaórbita. El plano de la órbita de la Luna está inclinadorespecto al plano de la órbita de la Tierra.

Ello es la causa de que la orientación relativa de lostres cuerpos vaya variando con el tiempo. En los mo-mentos en que coinciden los tres cuerpos alineados yademás la Luna pasa por delante o por detrás de laTierra, se produce un eclipse de Sol o de Luna, se-gún el caso.

— La Luna tiene distintas fases según la orientación desu cara iluminada respecto a la Tierra.

A medida que nuestro satélite describe su órbita en-torno a la Tierra, va orientando su cara iluminada endistintas direcciones. Cuando muestra su cara ilumi-nada a la Tierra, vemos la Luna llena, mientras que si

nos muestra la cara en sombra, estamos en Luna nue-va. Las otras dos fases son posiciones intermedias.

FÍSICA Y SOCIEDAD (pág. 88)

a) La última expedición tripulada a la Luna fue la del ApoloXVII, lanzado el 7 de diciembre de 1972. Alunizó cincodías más tarde. El comandante de la misión fue EugeneCernan y estuvo acompañado por Roland Evans, pilotodel módulo de mando, y Harrison Schmitt, piloto delmódulo lunar y primer científico tripulante de una mi-sión Apolo. Fue considerada la misión más cara del pro-yecto.

Entre los objetivos del Apolo XVII destacan el estudio dela composición de la corteza lunar, la investigación de lasondas de gravedad y la detección de posibles signos deexistencia de agua en la Luna. Realizaron tres salidaspara estudiar la superficie y el subsuelo lunares, reco-giendo 150 kg de piedras y polvo lunar; instalaron unanueva estación transmisora de datos y utilizaron un de-tector de minerales por debajo de los 1 300 m de profun-didad.

La nave amaró en el Pacífico el 19 de diciembre, obte-niendo así un récord de permanencia en el espacio y po-niendo fin al proyecto que llevó al hombre a la Luna.

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS (págs. 90 y 91)

25. Datos: h = 500 km; ML = 7,47 · 1022 kg;

RL = 1,74 · 106 m; m = 200 kg; G = 6,67 · 10–11

a) Determinamos la intensidad del campo gravitatorio a500 km de la superficie:

b) El valor de la aceleración de la gravedad coincidecon el de la intensidad del campo gravitatorio:

g = 1,0 m/s2

c) La fuerza con que la Luna atrae a un objeto es elpeso de éste en la Luna:

p = m g = 200 kg · 1,0 N/kg = 200 N

26. Datos: m = 4 800 kg; h = 3 400 km;

MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

a) Calculamos el potencial gravitatorio a 3 400 km de lasuperficie terrestre:

N m

kg

⋅ 2

2

g GM

R h

gN m

kg

kg

m m

g N kg

L

L

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅

=

( )

,,

( , )

,

–

2

112

2

22

6 5 26 67 10

7 47 10

1 74 10 5 10

1 0

N m

kg

⋅ 2

2

51

Eclipse de Luna

Eclipse de Sol

Zona de la Tierra en quees visible el eclipse de Sol

Tierra

Tierra

Luna

Luna

No hay eclipse

Sí hay eclipse

Fases de la LunaLuna llena.

Vista desde la Tierra

Luna nueva.Vista desde la Tierra

Cuarto menguante.Visto desde la Tierra

Cuarto creciente.Visto desde la Tierra

Tierra

Tierra

Luna

Luna

b) Hallamos la energía potencial gravitatoria de la nave:

Ep = m V = 4 800 kg · (–4,1 · 107 J/kg)

Ep = –1,97 · 1011 J

27. Datos: p0 = 8 330 N; r = 1,5 RT; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

a)

b) Calculamos la velocidad orbital:

c) Determinamos el peso en la órbita a partir de su pesoen la superficie terrestre mediante la expresión de lavariación del peso con la altura:

28. Datos: r = RT; MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

Determinamos la velocidad orbital de un satélite a r = RT,o primera velocidad cósmica:

Calculamos su período de revolución:

29. Datos: p0 = 735 N (en la Tierra); h = 50 km;

ML = 0,01 MT; RL = 0,25 RT; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

a) A partir del peso del cuerpo en la superficie terres-tre, determinamos su masa:

Calculamos el peso del cuerpo cerca de la superficie lu-nar, aprovechando que conocemos su peso en la Tierra(p0) y las relaciones entre los radios y las masas de amboscuerpos celestes:

b) Aplicamos el principio de la conservación de la ener-gía mecánica para determinar la velocidad del cuer-po, que cae desde una altura de 50 km, cuando lle-gue a la superficie de la Luna:

30. Datos: v0 = 750 km/h = 208,3 m/s; MS = 324 440 MT;

RS = 108 RT; MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

a) Calculamos la relación entre el peso del cuerpo en elSol y en la Tierra:

N m

kg

⋅ 2

2

Ec Ep Ec Ep

G M mR h

m vG M m

R

v G MR h R

G M R h RR R h

vG M h

R R hG M hR R

A A B B

L

LB

L

L

B LL L

L L L

L L

BL

L L

T

T T

+ = +

+=

=+

+

=++

=+

=

;

– –

–( – )( )

( ),

, ( ,

012

21 1 2

2 2 0 010 25 0 25

2

++

=

h

v m sB

)

,390 5

p GM m

RG

M m

R

p m g m GM

R

p p

p N N

L

L

T

T

TT

T

= =

= =

=

= ⋅ =

2 2

0 2

2 0

2

0 01

0 25 0 01

0 25

0 01

0 25735 117 6

,

( , ) ,

( , )

,

( , ),

p m g mpg

NNkg

kgTT

00 735

9 875= = = =;

,

N m

kg

⋅ 2

2

Tr

vm

m ss= =

⋅ ⋅⋅

= ⋅2 2 6 37 10

7 9 105 1 10

6

33π π ,

,,

vG M

R

N m

kgkg

m

v m s

T

T

= =⋅

⋅⋅ ⋅

⋅

= ⋅

6 67 10 5 98 10

6 37 10

7 9 10

112

224

6

3

, ,

,

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

pp

hR

pN

R RR

pN

N

T

T T

T

=

+

=

+

=+

=

02 2

2

1

8 330

11 5

8 330

1 0 53 702 2

;, –

( , ),

vG M

r

N m

kgkg

m

v m s

T= =⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅

= ⋅

6 67 10 5 98 10

1 5 6 37 10

6 5 10

112

224

6

3

, ,

, ,

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

V GM

R h

VN m

kg

kg

m m

V J kg

T

T

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅

= ⋅

–

– ,,

, ,

– ,

–6 67 105 98 10

6 37 10 3 4 10

4 1 10

112

2

24

6 6

7

52

Tierra

F = G MT ms

r2

b) Determinamos la altura máxima alcanzada por elproyectil aplicando el principio de conservación dela energía mecánica:

Ec0 + Ep0 = Ec + Ep

EJERCICIOS Y PROBLEMAS (págs. 92 y 93)

31. — La aceleración de la gravedad varía con la altura a lasuperficie de la Tierra porque varía con la distanciaal centro de la Tierra. La aceleración de la gravedades la intensidad del campo gravitatorio, es decir, lafuerza con que la Tierra atraería un cuerpo de masaunidad situado en ese punto. Como la fuerza gravita-toria es inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia, la aceleración de la gravedad disminuyecon la altura de la misma manera.

— El peso de un cuerpo no tiene el mismo valor en laTierra que en la Luna. El peso es la fuerza con que laTierra o la Luna atraen al objeto, y es proporcional ala masa del planeta o del satélite. Por tanto, no tie-nen el mismo peso.

32. La intensidad del campo gravitatorio y la aceleración dela gravedad coinciden en cada punto debido a que lamasa inercial y la masa gravitatoria de cualquier cuerposon iguales. La intensidad del campo g es la fuerza porunidad de masa gravitatoria que la Tierra ejerce sobretodo cuerpo. Entonces, un cuerpo de masa gravitatoriamg siente una fuerza (peso):

p = mg g

Por otro lado, debido a esta fuerza, el cuerpo experi-mentará una aceleración a, proporcional a su masa iner-cial mi:

p = mi a

Como la fuerza es la misma y la masa inercial coincidecon la gravitatoria, mi = mg, la aceleración del cuerpocoincide con la intensidad del campo gravitatorio en esepunto.

33. El peso es la fuerza con que la Tierra atrae a los objetosen su superficie por el hecho de tener masa. Es inversa-mente proporcional a la distancia al centro de la Tierra,de modo que no es una magnitud constante.

La masa, en cambio, es una propiedad inherente a loscuerpos. Es fija e invariable. Representa la intensidadcon que el cuerpo participa en las interacciones gravita-torias, por una parte, y, por otra, la resistencia que opo-ne a ser acelerado bajo la acción de una fuerza.

34.

35. Cuando un cuerpo se eleva cierta altura sobre la superfi-cie de la Tierra, gana energía potencial. Si se deja caer elcuerpo desde esta altura, la ganancia de energía potencialimplica que llegará a la superficie con mayor velocidad.

— La pérdida (o ganancia) de energía potencial signifi-ca que el cuerpo queda más (o menos) ligado al cam-po gravitatorio terrestre.

36. Lo consigue describiendo un movimiento con el mismoperíodo que el período de rotación de la Tierra, 24 ho-ras. Para ello debe describir una órbita con una veloci-dad y altura concretas. Así, su velocidad angular coincidecon la de giro de nuestro planeta.

37.

— Para que un cuerpo abandone el campo gravitatorioterrestre, es necesario que su energía mecánica seaigual o superior a cero. Esto se conseguirá si se lanzadesde la superficie a una velocidad igual o superior ala velocidad de escape.

38. La trayectoria de los planetas del Sistema Solar debe serplana por la conservación del momento angular.

hG M R

G M R vR

h

m m

T T

T TT=

⋅ ⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )

⋅ ⋅ =

2 324 440 108

2 324 440 108108

2 6 67 10 324 440 5 98 10 108 6 37 10

2 6 67 10 324 440 5 98 10 108 6 37 10 208 3

108 6 37 10 79

02

11 24 6

11 24 6 2

6

––

, , ,

, , – , ,–

– ,

–

–

12

2

2

02

02

m v GM m

RG

M mR h

hG M R

G M R vR

S

S

S

S

S S

S SS

– –

––

=+

=

p GM m

RG

M m

R

p GM m

R

pp

p p

SS

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T

T

TT

T

S

TS T

= =

=

= = =

2 2

2

2

324 440

108

324 440

10827 8 27 8

( )

( ), ; ,

53

Energía mecánica Tipo de órbita

E > 0 Abierta: hipérbola

E = 0 Abierta: parábola

E < 0 Cerrada: circular o elíptica

Líneas de campo

Superficiesequipotenciales

El momento angular es una magnitud vectorial perpen-dicular a los vectores . Como sobre los planetas noactúa ningún momento de fuerzas, el momento angulardebe conservarse. Así, tendrá la misma dirección en cual-quier punto de la órbita, y estarán siempre en el mismo plano perpendicular a .

39. Datos: h = 450 km; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

Calculamos la intensidad del campo gravitatorio terres-tre a 450 km de la superficie:

40. Datos: m = 25 kg; g0 = 9,8 m/s2; h = 3 000 km;

RT = 6,37 · 106 m

a) Determinamos el peso del cuerpo en la superficie te-rrestre, donde conocemos el valor de la intensidaddel campo gravitatorio:

p0 = m g0 = 25 kg · 9,8 N/kg = 245 N

b) A 3 000 km de altura ya no es válida la expresión uti-lizada en el problema anterior. Para calcular el pesoutilizaremos la fórmula de la variación del peso conla altura:

41. Datos: p0 = 19,6 N (en la Tierra); ML = 7,47 · 1022 kg;

RL = 1,74 · 106 m; G = 6,67 · 10–11 ; g0 = 9,8 N/kg

a) Calculamos la masa del objeto a partir de su peso enla Tierra y de la intensidad del campo gravitatorio enla superficie terrestre:

b) El valor de la masa en la Luna será el mismo que enla Tierra y que en cualquier otro lugar, m = 2 kg.

El peso en la superficie lunar es la fuerza gravitatoriacon que la Luna atrae el objeto:

42. Datos: g0 = 9,8 m/s2; RT = 6,37 · 106 m

Para determinar el punto sobre la superficie terrestredonde la gravedad es dos tercios de g0, despejamos h de la expresión de la variación de la gravedad con la al-tura:

43. Datos: m = 600 kg; r = 10 000 km;

MT = 5,98 · 1024 kg; G = 6,67 · 10–11

Calculamos la energía potencial del satélite a 10 000 kmdel centro de la Tierra:

44. Datos: V = –2 · 107 J/kg; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

Despejamos de la expresión general del potencial gravi-tatorio la distancia r al centro de la Tierra:

Por tanto, la distancia a la superficie terrestre será:

h = r – RT = 1,99 · 107 m – 6,37 ·106 m = 1,35 · 107 m

45. Datos: m = 2 500 kg; r1 = 8 000 km; r2 = 10 000 km;

MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

El trabajo necesario para trasladar el satélite coincidirácon la variación de su energía potencial:

W Ep Ep m V m V m V V

W m GMr

GMr

m G Mr r

W

W J

T TT

= = =

=

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

11 246 7

10

1 1

2 500 6 67 10 5 98 101

8 10

1

10

2 5 10

– – ( – )

– –

, , –

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

V GM

rr G

MV

rN m

kg

kg

J kgm

T T= =

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅= ⋅

– ; –

– ,,

(– ),–6 67 10

5 98 10

2 101 99 1011

2

2

24

77

N m

kg

⋅ 2

2

Ep GM m

r

EpN m

kg

kg kg

m

Ep J

T=

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅

= ⋅

–

– ,,

– ,

–6 67 105 98 10 600

10

2 39 10

112

2

24

7

10

N m

kg

⋅ 2

2

g gg

hR

hR

hR

h R m

h m

T

T

TT

= =

+

= +

+ = =

= ⋅

= ⋅

23

1

32

1

132

32

1 6 37 1032

1

1 43 10

00

2

2

6

6

;

; – , –

,

p GM m

R

pN m

kg

kg kg

mN

LL

L

L

=

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅=

2

112

2

22

6 26 67 10

7 47 10 2

1 74 103 3,

,

( , ),–

p m g

mpg

NNkg

kg

0 0

0

0

19 6

9 82

=

= = =,

,

N m

kg

⋅ 2

2

pp

hR

pN

m

m

N

T

=

+

=

+⋅

⋅

=02 6

6

2

1

245

13 10

6 37 10

113 2;

,

,

gG M

R h

gN m

kg

kg

m m

g N kg

T

T

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅=

( )

,,

( , , )

,

–

2

112

2

24

6 5 26 67 10

5 98 10

6 37 10 4 5 10

8 57

N m

kg

⋅ 2

2

rL

r rr y v

r rr y v

54

46. Datos: r = 7 000 km; MT = 5,98 · 1024 kg;

G = 6,67 · 10–11

Calculamos la velocidad orbital en una órbita de 7 000 kmde radio:

47. Datos: m = 1 250 kg; h = 1 400 km; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

a) Determinamos su energía potencial:

b) Para determinar la energía cinética del satélite, calcu-lamos primero su velocidad orbital:

c) Hallamos el período de revolución a partir de la velo-cidad y el radio de la órbita:

48. Datos: h = 5 000 km; MT = 5,98 · 1024 kg;

RT = 6,37 · 106 m; G = 6,67 · 10–11

Para que el satélite llegue a 5 000 km de altura, es nece-sario lanzarlo con una velocidad tal que su energía mecá-nica inicial sea igual a la energía potencial que tendrá aesa altura, a donde llegaría con velocidad nula:

49. Datos: ML = 7,47 · 1022 kg; RL = 1,74 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

Calculamos la velocidad de escape desde la superficie dela Luna:

50. Datos: r = 6,7 · 105 km; MJ = 318,4 MT;

MT = 5,98 · 1024 kg; G = 6,67 · 10–11

Calculamos el período de revolución de Europa a partirde la tercera ley de Kepler:

51. Datos: T = 1 día = 24 h = 8,64 · 104 s;

MT = 5,98 · 1024 kg; G = 6,67 · 10–11

Para determinar el radio de la órbita aplicamos la terceraley de Kepler:

rG M TT

2

23

4=

π

TG M

rT

22

34= π

N m

kg

⋅ 2

2

T s53 0 10= ⋅,

Tm

N m

kgkg

2 8 3

112

224

4 6 7 10

6 67 10 318 4 5 98 10

=⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

π ( , )

, , ,–

TG M

rG M

rJ T

23

234 4

318 4= =

⋅π π

,

TG M

rJ

22

34= π

N m

kg

⋅ 2

2

vG MR

v

N m

kgkg

m

ms

eL

L

e

=

=⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅

⋅= ⋅

2

2 6 67 10 7 47 10

1 74 102 4 10

112

222

63

, ,

,,

–

N m

kg

⋅ 2

2

v G MR h RR R h

v G Mh

R R h

vN m

kgkg

m

m m m

v m s

TT T

T TT

T T0

20

011

2

224

6

6 6 6

03

2 2

2 6 67 10 5 98 10

5 10

6 37 10 6 37 10 5 10

7 4 10

= ++

=+

= ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅

–( )

;( )

, ,

, ( , )

,

–

2 1 10

2vm

G M mR R hT

T T

–=+

12 0

2m v GM m

RG

M mR h

T

T

T

T

– –=+

N m

kg

⋅ 2

2

Tr

vR h

v

Tm m

m ss

T= =+

=⋅ ⋅ + ⋅

⋅= ⋅

2 2

2 6 37 10 1 4 10

7 2 106 8 10

6 6

33

π π

π

( )

( , , )

,,

vG MR h

N m

kgkg

m m

v m s

Ec m v kg m s J

T

T

=+

=⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ + ⋅

= ⋅

= = ⋅ ⋅ = ⋅

6 67 10 5 98 10

6 37 10 1 4 10

7 2 10

12

12

1 250 7 2 10 3 24 10

112

224

6 6

3

2 3 2 10

, ,

, ,

,

( , ) ,

–

Ep GM mR h

EpN m

kg

kg kg

m m

Ep J

T

T

=+

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ + ⋅

= ⋅

–

– ,,

, ,

– ,

–6 67 105 98 10 1 250

6 37 10 1 4 10

6 42 10

112

2

24

6 6

10

N m

kg

⋅ 2

2

vG M

r

N m

kgkg

m

v m s

T= =⋅

⋅⋅ ⋅

⋅

= ⋅

6 67 10 5 98 10

7 10

7 5 10

112

224

6

3

, ,

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

55

52. Datos: R = 1,25 RT; g0 = 14,7 m/s2 (en el planeta);

G = 6,67 · 10–11

a) Para calcular la relación entre las masas de la Tierra yel planeta, escribimos las expresiones del campo gra-vitatorio en la superficie de cada uno de ellos y las di-vidimos:

b) A 275 m sobre la superficie, podemos escribir laenergía potencial como Ep = m g h.

Aplicamos la conservación de la energía mecánicapara calcular la velocidad con que el objeto llegaría ala superficie:

Ec0 + Ep0 = Ec + Ep; m g h = m v2

v =

Imponemos que las velocidades sean las mismas enlos dos planetas para determinar la altura desde lacual debemos soltar el objeto en el otro planeta:

v = vt

=

53. Datos: m = 1 500 kg; h = 500 km;

MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

a) Calculamos la velocidad orbital:

b) Determinamos el período orbital a partir de la veloci-dad y el radio de la órbita:

c) Hallamos la energía mecánica de traslación del satélite:

d) Calculamos la aceleración centrípeta, que debe coin-cidir con la aceleración de la gravedad a esa altura,pues el campo gravitatorio es el responsable de queel satélite describa una órbita circular:

54. Datos: rUmbriel = 2,67 · 108 m; TUmbriel = 3, 58 · 105 s;

rOber. = 5,86 · 108 m; G = 6,67 · 10–11

a) Determinamos la masa de Urano a partir de la terce-ra ley de Kepler, aplicada a su satélite Umbriel:

b) Conocida la masa, aplicamos la misma ley para deter-minar el período de revolución de Oberón a partirde su distancia al centro del planeta:

TG M

r

MG T

r

Mm

N m

kgs

kg

UmbrielUrano

Umbriel

UranoUmbriel

Umbriel

Urano

22

3

2

23

2 8 3

112

25 2

25

4

4

4 2 67 10

6 67 10 3 58 10

8 79 10

=

=

=⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅= ⋅

π

π

π ( , )

, ( , )

,–

N m

kg

⋅ 2

2

gG M

R h

gN m

kg

kg

m m

g N kg

T

T

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅=

( )

,,

( , , )

,

–

2

112

2

24

6 6 26 67 10

5 98 10

6 37 10 0 5 10

8 4

avr

vR h

am s

m mm s

cT

c

= =+

=⋅

⋅ + ⋅=

2 2

3 2

6 527 6 10

6 37 10 5 108 4

( , )

,,

EG M m

rG M mR h

E

N m

kgkg kg

m m

E J

T T

T

= =+

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅

= ⋅

– –

–

, ,

,

– ,

–

12

12

12

6 67 10 5 98 10 1 500

6 37 10 5 10

4 35 10

112

224

6 5

10

Tr

vR h

v

Tm m

m ss

T= =+

=⋅ ⋅ + ⋅

⋅= ⋅

2 2

2 6 37 10 5 10

7 6 105 7 10

6 5

33

π π

π

( )

( , )

,,

vG M

rG MR h

v

N m

kgkg

m mm s

T T

T

= =+

=⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ + ⋅= ⋅

6 67 10 5 98 10

6 37 10 5 107 6 10

112

224

6 53

, ,

,,

–

N m

kg

⋅ 2

2

hgg

h h

m

sm

s

m mTT= = ⋅ =;

,

,,

9 8

14 7275 183 3

2

2

2 g hT T 2 g h

2 g h

12

g en la Tierra GM

R

m

s

g en el planeta GM

RG

M

R

m

s

g en el planetag en la Tierra

GM

R

GM

R

M

M

MM

g en el planetag en la

T

T

T

T

T

T

T

T

0 2 2

0 2 2 2

0

0

2

2

2

2 0

0

9 8

1 2514 7

1 25

1 25

1 25

( ) ,

( )( , )

,

( )( )

( , )

( , )

( , )( )(

= =

= = =

= =

= ⋅TierraTierra

m

sm

s)

( , ),

,,= ⋅ =1 25

14 7

9 82 342

2

2

N m

kg

⋅ 2

2

r

N m

kgkg s

r m

112

224 4 2

2

3

7

6 67 10 5 98 10 8 64 10

4

4 22 10

=⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

π

, , ( , )

,

–

56

2

3

3

55. — Los agujeros negros son el resultado final de la evolu-ción de algunas estrellas muy masivas en las que, de-bido a su propia atracción gravitatoria, la estrella secontrae de forma que su masa se concentra en un vo-lumen muy pequeño.

El campo gravitatorio en su interior es tan intensoque ningún objeto que caiga en él, ni siquiera la luz,puede llegar a escapar nunca.

— Púlsares y quásares. Los púlsares se observan comouna corta emisión periódica de ondas de radio degran energía y período muy exacto. Son la última eta-pa de algunas estrellas que explotan expulsando lamateria de las capas más externas. La visión de estaexplosión recibe el nombre de supernova. El núcleode la estrella, que sobrevive a la explosión, es un ob-jeto muy denso que rota a gran velocidad y posee unintenso campo magnético. Recibe el nombre de es-trella de neutrones, pues éstos son sus principalescomponentes. Cada vez que uno de los polos magné-ticos de la estrella de neutrones, al girar, apunta ennuestra dirección, observamos un pulso de radiación.

Los quásares son galaxias lejanas cuyo núcleo despi-de repentinamente una gran cantidad de luz y/o on-das de radiofrecuencia, como si se tratara de una ex-plosión. Este fenómeno puede llegar a hacer que laluminosidad de la galaxia aumente en un factor 100respecto a lo que es normal.

— Evolución de las estrellas. Las estrellas se forman apartir de gas y polvo interestelar. El material se vacompactando, debido a su propio campo gravitatorio,hasta llegar a presiones y temperaturas suficientemen-te elevadas como para iniciar la fusión del hidrógeno.La energía de las reacciones termonucleares impideque el material siga compactándose y la estrella em-pieza a brillar. La mayor parte de la vida de una estre-lla consiste en la combustión de todo su hidrógeno.Cuando éste se acaba, al faltar la energía que impedíaque se contrajera, la estrella empieza otra vez a com-pactarse. El resultado de esta compresión dependeráde la masa de la estrella: puede que llegue a las condi-ciones de fusión de otros elementos distintos del hi-drógeno y prolongue un tiempo así su vida; o puedeacabar convirtiendo su núcleo en un objeto muy com-pacto (enana blanca, estrella de neutrones o agujeronegro, según el caso) y expulsando sus capas más ex-ternas al espacio exterior (nebulosa planetaria —sinexplosión— o supernova —con explosión—).

— El origen del universo. En los años veinte, el astróno-mo E. Hubble descubrió que las otras galaxias que pue-

blan el universo se alejan de nosotros a una velocidadproporcional a la distancia que las separa de nuestragalaxia. Ello implica que desde otra galaxia cualquieratambién veríamos que las demás galaxias se alejan.Toda galaxia se aleja del resto de las galaxias como enuna especie de explosión. Esta observación, sumada ala teoría de la relatividad de Einstein, sugiere que, enalgún momento del pasado, las distancias entre todoslos puntos del universo eran nulas. A partir de esa situa-ción inicial, el universo empezó a expandirse, como sihubiera estallado una bomba. Por eso esta teoría recibeel nombre del big bang, la gran explosión.

56. El principal efecto de la ingravidez sobre el cuerpo hu-mano es la alteración de la presión sanguínea y su flujo.La sangre tiende a concentrarse en las partes superioresdel cuerpo, lo que perjudica a los miembros inferiores.Además, los huesos sufren descalcificación y los múscu-los atrofia, especialmente los de las piernas. Los astro-nautas que realizan estancias prolongadas en el espacionecesitan una adaptación de entre diez y quince días alas condiciones de ingravidez, mediante ejercicios diariosy medicación. Antes de volver a la Tierra, se someten auna readaptación a la gravedad, con un dispositivo quereproduce las condiciones de gravedad de la Tierra, paranormalizar la presión sanguínea.

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO (pág. 93)

1. El peso de un cuerpo es la fuerza con que éste es atraídopor la Tierra o por el planeta sobre el que se encuentre.

Depende directamente de la masa del cuerpo y de lamasa del planeta, y es inversamente proporcional a ladistancia al centro del planeta al cuadrado.

2. Para hallar la expresión de la velocidad de escape, impo-nemos que su energía mecánica final sea igual a cero.Por tanto, por la conservación de la energía mecánica:

3. Leyes de Kepler:

1. Todos los planetas describen órbitas elípticas con elSol situado en uno de sus focos.

2. La recta que une un planeta con el Sol barre áreasiguales en tiempos iguales.

3. El cuadrado del período de la órbita de un planeta esdirectamente proporcional al cubo de la distancia me-dia del planeta al Sol:

T2 = C R3

12

0

12

2

2

2

m v GM m

r

v GMr

vG Mre

–

–

=

=

p m g m G

M

r= =

2

TG M

r

Tm

N m

kgkg

s

OberUrano

Ober

Ober

. .

.–

( , )

, ,

,

=

=⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅= ⋅

4

4 5 86 10

6 67 10 8 79 10

1 16 10

23

2 8 3

112

225

6

π

π

57

— Para demostrar la tercera ley de Kepler partimosde las expresiones para la velocidad orbital y parael período:

Sustituimos la expresión de v en T y elevamos alcuadrado:

4. Datos: h = 275 km; g0 = 9,8 N/kg; RT = 6,37 · 106 m;

MT = 5,98 · 1024 kg; G = 6,67 · 10–11

Calculamos la intensidad del campo gravitatorio:

— Determinamos la altura en que g = g0 – 0,15 g0 = 0,85 g0

a partir de la expresión de la variación de la gravedadcon la altura:

5. Datos: t = 3 s; ML = 7,47 · 1022 kg; RL = 1,74 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

La aceleración de una partícula en caída libre coincidecon la intensidad del campo gravitatorio en ese punto.Determinamos, pues, el campo gravitatorio de la Lunacerca de su superficie:

Para determinar la distancia que recorre la partícula entres segundos, aplicamos la ecuación correspondientedel MRUA:

6. Datos: m = 5 kg

Si la balanza se equilibra en la Tierra con pesas por valorde 5 kg, la masa del cuerpo es de 5 kg. La balanza estáequilibrada porque el peso en los dos platillos es el mismo:es el producto de la gravedad en la superficie terrestre porla masa en los platillos. Como la gravedad es la misma enlos lados de la balanza, ésta se equilibra con masas iguales.

En la Luna, lo único que cambia es la intensidad delcampo gravitatorio o gravedad en la superficie. Como enlos dos platillos la gravedad que actúa es la misma, la ba-lanza se equilibrará también con masas iguales. Por tan-to, en la Luna necesitaremos 5 kg de pesas.

7. Datos: m = 1 000 kg; T = 2 días = 48 h = 1,73 · 105 s

MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6,37 · 106 m;

G = 6,67 · 10–11

a) Calculamos el radio de la órbita mediante la terceraley de Kepler:

b) Su aceleración normal coincide con la aceleración dela gravedad en la órbita:

c) Determinamos la energía potencial gravitatoria:

8. Datos: r = 9,4 · 106 m; T = 460 min = 27 600 s;

G = 6,67 · 10–11

Para determinar la masa de Marte aplicamos la terceraley de Kepler:

Mm

N m

kgs

kgM =⋅ ⋅

⋅⋅

⋅= ⋅

4 9 4 10

6 67 10 27 600

6 45 102 6 3

112

22

23π ( , )

, ( )

,–

T

G Mr M

G Tr

MM

22

32

234 4= =π π

;

N m

kg

⋅ 2

2

Ep GM m

r

EpN m

kg

kg kg

m

Ep J

T=

= ⋅⋅

⋅⋅ ⋅

⋅

= ⋅

−

–

– ,,

,

– ,

6 67 105 98 10 1 000

6 71 10

5 94 10

112

2

24

7

9

a g GM

r

gN m

kg

kg

m

g N kg m s

nT= =

= ⋅⋅

⋅⋅⋅

= =

2

112

2

24

7 2

2

6 67 105 98 10

6 71 10

0 09 0 09

,,

( , )

, ,

–

TG M

r rG M T

r

N m

kgkg s

r m

T

T22

32

23

112

224 5 2

2

3

7

4

4

6 67 10 5 98 10 1 73 10

4

6 71 10

= =

=⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

ππ

π

;

, , ( , )

,

–

N m

kg

⋅ 2

2

x a t g t m s s m= = = ⋅ ⋅ =1

212

12

1 65 3 7 42 2 2 2, ( ) ,

gG M

R

gN m

kg

kg

mm s

L

L

=

= ⋅⋅

⋅⋅⋅

=

2

112

2

22

6 226 67 10

7 47 10

1 74 101 65,

,

( , ),–

N m

kg

⋅ 2

2

g gg

hR

hR

h R m

h m

T

T

T

= =

+

+ =

=

= ⋅ ⋅

= ⋅

0 85

1

11

0 85

10 85

1 6 37 101

0 851

5 4 10

00

2

6

5

, ;,

,– ,

,–

,

gG M

R h

gN m

kg

kg

m m

g N kg

T

T

=+

= ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅=

( )

,,

( , , )

,

–

2

112

2

24

6 5 26 67 10

5 98 10

6 37 10 2 75 10

9 03

N m

kg

⋅ 2

2

Tr

G Mr

Tr

G Mr

G Mr= = =

2 4 422 2 2

3π π π;

v

G Mr

Tr

v= =; 2 2π

58