3-Leyes de Kirchhoff

LEYES DE KIRCHHOFF 1

UNIDAD 3

3.1 CONCEPTO DE CIRCUITO ELÉCTRICO

Un circuito eléctrico es una agrupación de elementos conductores, elementos pasivos, semiconductores y fuentes de energía conectados entre si y dispuestos de manera tal que se logra producir, modificar o anular los efectos relacionados con las cargas eléctricas en movimiento.

El circuito eléctrico puede estar formado por una fuente y un elemento o por una cantidad indefinida de ellos.

3.2 LEYES DE KIRCHHOFf.

Las ecuaciones de las leyes de Kirchhoff pueden establecerse con toda precisión en un circuito, de tal manera que se obtengan las ecuaciones adicionales a las ecuaciones de los elementos.Es necesario sólo un grupo de nodos y de mallas llamados independientes, es decir que no pueden deducirse de otras.

LEY DE LAS CORRIENTES DE KIRCHHOFF.

“La suma algebraica de las corrientes que inciden en un nodo es igual a cero.”

Representada en forma matemática.

∑K

λ

(k .n ) ik=0

Por ejemplo para el nodo n

RIVERA C T


∑K

λ

(k .n ) ik=0

(1,n)i1 + (2,n)i2 + (3,n)i3 + (4,n)i4 = 0 -1 + 1 - 1 + 1 = 0

- i1 + i2 - i3 + i4 = 0 Ecuación de nodo de la figura 1

Para una red o circuito donde haya n nodos en c componentes se puede establecer lo siguiente:

a. En la red habrá n-c nodos independientes.b. En cada componente se elimina un nodo. A los nodos eliminados

se les llama nodos de referencia, y se denotan con el número 0 y se les marca con una cruz.

c. El resto de los nodos serán independientes y se le numera como 1, 2, 3,…..etc.

d. Para cada nodo independiente se escribe una ecuación de la Ley de las corrientes de Kirchhoff.

Ejemplo:

De la red gráfica, encuentre las ecuaciones de los nodos.

Solución:

Red gráfica con dos componentes, 7 nodos y 8 elementos. C = 2n = 7

RIVERA C T

LEYES DE KIRCHHOFF 3 = 8

Se elijen los nodos que se van a eliminar y los nodos independientes.

n i = n - c

ni = 7- 2 = 5 nodos independientes.

ECUACIONES DE LOS NODOS:

NODO

ECUACIÓN

1 -i1 + i2 = 0

2 -i2 + i3 – i5 = 0

3 i1 – i2 – i4 = 0

4 -i6 + i7 = 0

5 -i7 + i8 = 0

LEY DE LOS VOLTAJES DE KIRCHHOFF.

La Ley de los voltajes de Kirchhoff establece que:

“La suma algebraica de las caídas de tensión a través de los elementos que forman una malla es igual a cero.”

RIVERA C T


Matemáticamente:

∑k=1

λ

[k ,m ]Ek=0 m= 1, 2, 3, . .. .. . μ

Donde es el número de mallas independientes de la red, las cuales se obtienen de la siguiente relación:

= - ni

Por ejemplo en la red gráfica de la figura No. 2B, el número de mallas está dado por:

= - ni = 8 – 5 = 3 mallas

PROBLEMA 1.

Aplicando las Leyes de Kirchhoff obtenga las corrientes y las tensiones en cada elemento del circuito mostrado.

SOLUCIÓN.

Se marcan los elementos con un número, se le asigna una dirección a la corriente de cada elemento (puede ser en cualquier sentido) se seleccionan los nodos y se anotan los datos del problema.

DATOS.

RIVERA C T


R2 = 4 R5 = 6 = 6, n = 4, C = 1R3 = 2 R5 = 10R4 = 8 E1 = 24 V

1 Calculo de los nodos y mallas independientes.

ni = n – C = 4 – 1 = 3 nodos

Mallas independientes

= - ni = 6 - 3 = 3 mallas.

2. Ecuaciones integrodiferenciales de los elementos.

E1 = - e1= - 24 V E2 = R2i2 = 4i2

E3 = R3i3 = 2i3

E4 = R4i4 = 8i4

E5 = R5i5 = 6i5

E6 = R6i6 = 10i6

3.- La red gráfica se muestra en la figura número 5 con elementos, nodos independientes y mallas independientes.

4.- Ecuaciones de nodo y malla.

Ecuaciones de nodo. (Ley de las corrientes de Kirchhoff)

Nodo Ecuación.

RIVERA C T


1 - i1 + i2 + i3 = 0 2 - i3 + i4 + i5 = 0 3 i1 – i5 – i6 = 0

Ecuaciones de malla (Ley de los voltajes de Kirchhoff).

Malla Ecuación. Cuando las corrientes de los elementos Y la corriente en la malla tienen la mismam1 - E2 + E3 +E4 = 0 dirección, el voltaje es positivo. Si tienenm2 - E4 + E5 – E6 = 0 direcciones opuestas el voltajes es negativom3 E1 + E2 + E6 = 0

5.- Sustituyendo las ecuaciones de los elementos en las ecuaciones de los voltajes de Kirchhoff.

m1 - 4i2 + 2i3 + 8i4 = 0m2 - 8i4 + 6i5 – 10i6 = 0m3 - 24 + 4i2 + 10i6 = 0 4i2 + 10i6 = 24

6.- De las ecuaciones de los nodos se tiene que:

i2 = i1 – i3 i4 = i3 – i5

i6 = i1 – i5

7.- Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de LVK (inciso 5)

m1 - 4(i1 – i3) + 2i3 + 8(i3 – i5) = 0m2 - 8(i3 – i5) + 6i5 – 10(i1 – i5) = 0m3 4(i1 – i3) + 10(i1 – i5) = 24

RIVERA C T

LEYES DE KIRCHHOFF 78.- Simplificando las ecuaciones anteriores.

m1 - 4i1 + 14i3 – 8i5 = 0 ……. 1

m2 - 10i1 – 8i3 + 24i5 = 0 ……. 2

m3 14i1 – 4i3 – 10i5 = 24 ……. 3

9.- Ecuaciones por resolver.

- 4i1 + 14i3 – 8i5 = 0 ……. 1

- 10i1 – 8i3 + 24i5 = 0 ……. 2

14i1 – 4i3 – 10i5 = 24……. 3

Cálculo de las Corrientes.

Empleando determinantes.

0 14 -8 0 14 0 -8 24 0 -8 24 -4 -10 24 -4 (0 + 8064 +0) – (1536 + 0 + 0)i1 = = -4 14 -8 -4 14 (-320 + 4704 -320) – (896 + 384 + 1400) -10 -8 24 -10 -8 14 -4 -10 14 -4

i1 = 4.71 A

Resolviendo con el mismo procedimiento para i3 e i5 .

i3 = 3.05 A.

i5 = 2.98 ARIVERA C T


De las ecuaciones de nodo.

i2 = i1 – i3 = 4.71 – 3.05 = 1.66 A

i4 = i3 – i5 = 3.05 – 2.98 = 0.07 A

i6 = i1 – i5 = 4.71 – 2.98 = 1.73 A

Calculo de las tensiones:

E1 = 24 VE2 = 4i2 = 4 x 1.66 = 6.69 VE3 = 2i3 = 2 x 3.05 = 6.1 VE4 = 8i4 = 8 x 0.07 = 0.56 VE5 = 6i5 = 6 x 2.98 = 17.88 VE6 = 10i6 = 10 x 1.73 = 17.3 V

PROBLEMA 2.

RIVERA C T

LEYES DE KIRCHHOFF 9Aplicando las Leyes de Kirchhoff obtenga las corrientes y las tensiones en cada elemento del circuito mostrado en la figura número 6.

SOLUCIÓN

El circuito es puramente resistivo.

1. Datos adicionales:

Número de elementos. Nodos independientes. = 6 ni = n- C = 4 – 1 = 3Componentes Mallas independientes C = 1 mi = - ni = 6 – 3 = 3Número de nodos.n = 4

2. La red gráfica del circuito es la siguiente.

3. Ecuaciones integrodiferenciales.

RIVERA C T


E1 = R1i1 – e1 = 5i1 – 25 E2 = R2i2 = 10i2 E3 = R3i3 = 12i3

E4 = R4i4 = 3i4

E5 = R5i5 = 4i5

E6 = R6i6 = 20i6 -50

4. Ecuaciones de nodo. (Ley de las corrientes de Kirchhoff) Corrientes que entran se consideran negativas y las que salen positivas. Nodo Ecuación

1 i1 – i4 + i6 = 0 2 - i2 + i4 – i5 = 0 3 i3 + i5 – i6 = 0

5. Ecuaciones de malla. (Ley de los voltajes de Kirchhoff) Si la corriente del elemento va en la misma dirección que la

corriente de malla la tensión se considera positiva, si van en direcciones opuestas se consideran negativas.

Malla Ecuación.

1 E4 + E5 + E6 = 0 2 - E1 – E2 – E4 = 0 3 E2 + E3 – E5 = 0

6.- Sustituyendo las ecuaciones integrodifernciales en las ecuaciones de malla.

1 3i4 + 4i5 + (20i6 – 50) = 0 ……….. A 2 -(5i1 – 25) – 10i2 – 3i4 = 0 ……….. B 3 10i2 + 12i3 – 4i5 = 0 ……….. C

7. Sustituyendo las corrientes de nodo en las ecuaciones A, B, C. i1 = i4 – i6

i2 = i4 – i5 i3 = -i5 + i6

RIVERA C T

LEYES DE KIRCHHOFF 11 3i4 + 4i5 + 20i6 = 50 ……….. A

- 5(i4 –i6) – 10(i4 – i5) – 3i4 = - 25 -5i4 + 5i6 – 10i4 + 10i5 – 3i4 = - 25 - 18i4 + 10i5 + 5i6 = - 25 …………. B

10(i4 – i5) + 12(-i5 + i6) – 4i5 = 0

10i4 – 26i5 + 12i6 = 0 ………… C

8. Ecuaciones del circuito para resolver.

3i4 + 4i5 + 20i6 = 50 ……….. A - 18i4 + 10i5 + 5i6 = - 25

…………. B 10i4 – 26i5 + 12i6 = 0 ………… C

9. Resolviendo con deteminantes.

50 4 20 50 4 -25 10 5 -25 10 0 -26 12 0 -26 (6000 + 0 + 13000) - (0 - 6500 – 1200) 26700i4 = = = 3 4 20 3 4 (360 + 200 + 9360) – (2000 – 390 – 864) 9174 -18 10 5 - 18 10 10 -26 12 10 -26

i4 = 2.910 A

RIVERA C T


Problema 3.

Con Leyes de Kirchhoff determine las corrientes y las tensiones en el circuito de la figura 8.

λ = 3 c = 1 n = 2ni = n-c = 1mi = λ - ni = 3 -1 = 2

Ecuaciones integro-diferenciales.

E1 = R1i1 – E1 = 2i1 – 5E2 = R2i2 = 8i2 E3 = R3i3 – E2 = 4i3 – 3

RIVERA C T


Ecuacion de nodo. (LCK)

-i1 + i2 + i3 = 0

De donde:

i1 = i2 + i3

Ecuaciones de malla. (LVK) E1 + E2 = 0- E2 + E3 = 0

Sustituyendo valores de ecuaciones integro-diferenciales en LVK

2i1 – 5 + 8i2 = 0-8i2 + 4i3 – 3 = 0

Sustituyendo el valor de LCK en las ecuaciones de malla.

2(i2 + i3) – 5 + 8i3 = 0 - 8i2 + 4i3 – 3 = 0

Ecuaciones para resolver:

10i2 + 2i3 = 5- 8i2 + 4i3 = 3

Resolviendo con determinantes:

5 2 3 4 (20) – ( 6 ) 14 i2 = = = = 0.25 A

10 2 (40) – (-16) 56-8 4

RIVERA C T


Aplicando el mismo procedimiento para i3.

i3 = 1.25 A

i1 = i2 + i3 = 0.25 + 1.25 = 1. 5 A

Cálculo de las tensiones:

E1 = i1.R1 = 1.5 x 2 = 3 V.E2 = i2 R2 = 0.25 x 8 = 2 VE3 = i3 R3 = 1.25 x 4 = 5 V

RIVERA C T

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