3. - Medidas de Tendencia Central, De Posicion y Dispersion (r. Thompson)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ASIGNATURA: INTRODUCCION A LA ESTADISTICA SOCIAL (MM-100)

UNIDAD DE AUTOINSTRUCCION

MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Autor: RENE VICTOR THOMPSON

Ciudad Universitaria, José Trinidad ReyesTegucigalpa, M..D.C., Marzo del año 2002.

Medidas DescriptivasRené Thompson, UNAHPágina 2 de 95

INTRODUCCION

En la realidad nacional y mundial, en donde la enseñanza a nivel superior y de postgrado se está volviendo cada vez más urgente y el alumno dispone de menos tiempo para dedicarle al estudio presencial, es necesario encontrar mecanismos para contrarrestar esa premura y aprovechar al máximo los tiempo libres, que tenga el estudiante, para lograr los objetivos que se ha propuesto en sus estudios.

Pretendiendo dar respuesta a esta problemática, he preparado la presente unidad de autoinstrucción, que abarca el contenido de la segunda unidad de la asignatura “Introducción a la Estadística Social (MM-100)”, la cual es parte del pensum de las carreras de Derecho, Periodismo, Pedagogía, Enfermería, Trabajo Social, Administración Pública, Sociología, Educación Física y Deportes, Filosofía, Artes, etc., de la Universidad Nacional Autonóma de Honduras (UNAH).- Asignatura que es muy importante porque prepara al futuro profesional, de esas carreras, con los conocimientos básicos en la ciencia de la Estadística.

La misma, consta de veintiuna tareas que corresponden al contenido de las medidas descriptivas en general, como ser: la media, moda, mediana, centíles, desviación estandar, varianza, rangos, etc., las cuales usted deberá estudiar por su propia cuenta y ritmo, en un tiempo aproximado de dos semanas.- Durante ese período, usted podrá revisar el contenido de cada tarea cuantas veces lo desee para poder afianzar sus conocimientos.- También podrá solicitar la ayuda al docente cuando lo considere necesario para aclarar cualquier duda que tenga sobre el contenido del presente material.

René Victor ThompsonAutor

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INSTRUCCIONES

El presente trabajo consta de varias tareas, las cuales estan divididas en tres partes que son: la INFORMACIÓN, la PRÁCTICA y las RESPUESTAS A LAS TAREAS de la práctica.

En la información, se dá el contenido y sus respectivos ejemplos.

La práctica, es una pequeña evaluación del contenido estudiado.

En la hoja de respuestas se le dan los resultados de las preguntas que se le hicieron en la práctica. Para garantizar el éxito que usted tendrá en el estudio de la presente unidad, se le recomienda que siga cuidadosamente las instrucciones de cada tarea.

Después, usted debe desarrollar la práctica propuesta en cada tarea hasta lograr comprender completamente los objetivos propuestos.

Compare sus resultados en la hoja de respuestas las cuales deben coincidir completamente. Si observa alguna dificultad, vuelva a leer el contenido, hágalo cuantas veces sea necesario, recuerde que su éxito dependerá de la perseverancia y entusiasmo que usted le dedique.

Recuerde que no debe continuar con la siguiente tarea hasta no haber comprendido completamente la anterior.

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DISTRIBUCION DE TAREAS

Tarea 1: Medidas Descriptivas.- Conceptos Básicos.Tarea 2: Media para Datos no agrupados.Tarea 3: Media ponderada.Tarea 4: Media para datos agrupados.Tarea 5: La Moda.Tarea 6: La Mediana.Tarea 7: La Mediana para datos agrupados.Tarea 8: Medidas de Posición.Tarea 9: Medidas de Posición: Cuartíles.Tarea 10: Medidas de Posición: Decíles.Tarea 11: Medidas de Posición: Percentíles.Tarea 12: Valor Absoluto.Tarea 13: Medidas de dispersión.Tarea 14: Rango.Tarea 15: Rango Percentílico y Rango Cuartílico.Tarea 16: Desviación Media para datos no agrupados y agrupados.Tarea 17: Desviación estandar para datos no agrupados.Tarea 18: Desviación estandar para datos agrupados.Tarea 19: Varianza.Tarea 20: Referencia tipificada.Tarea 21: Dispersión absoluta y Dispersión Relativa.

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TAREA No.1MEDIDAS DESCRIPTIVAS. - Conceptos básicos.

Objetivos Específicos Contenido

- Identificar las medidas - Medidas Descriptivas descriptivas - Conceptos Básicos

- Definiciones

I N F O R M A C I O N

Normalmente, cuando hacemos una investigación de cierta población, damos a conocer, en términos cuantitativos, los resultados que describen cuál es el comportamiento de dicha población.

A manera de ejemplo, puede que estemos interesados en matricular a un hijo nuestro - quien tiene siete años de edad -, en el primer grado de una escuela de la localidad.- Aparte de la fama y el prestigio que la escuela tenga, nos debería interesar que el promedio de edad de los futuros compañeros de grado de nuestro hijo, sea también de siete años y que esas edades no difieran mucho entre los alumnos.

En términos estadísticos, a las medidas que nos indican la edad promedio y la cantidad de separación entre las edades, es lo que conocemos como medidas descriptivas de la población.

Las Medidas Descriptivas más comunes son las siguientes:

1.- Medidas de tendencia central (media, moda, mediana)2.- Medidas de posición (mediana, cuartíles, decíles, percentíles,

referencia tipificada)3.- Medidas de dispersión (Rango, Desviación Media, Desviación

Estandar, Varianza)

La medidas de tendencia central son aquellas que nos informan sobre el valor que tienen los datos de un conjunto.

Las medidas de tendencia central más comunes son:

1 media

5

5


2 moda3 mediana4 Punto medio del recorrido

Las medidas de posición son aquellas que nos informan sobre la posición o localización de determinado guupo de datos dentro del conjunto.

Las medidas de posición más comunes son las siguientes:

1 mediana2 cuartíles Qi

3 decíles Di

4 percentíles Pi

5 Referencia tipificada z

Las medidas de dispersión son aquellas que nos informan que tan dispersos se encuentran los datos dentro de un conjunto.

Las medidas de dispersión más comunes son:

1 Amplitud o Rango2 Desviación Media (DM)3 Desviación Estandar ( )4 Variancia ( )5 Rango Cuartílico (Q 1-3) 6 Rango Percentílico (P 10-90)

6

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PRACTICA TAREA 1

1.- Defina qué son las medidas de tendencia central.

Resp._____________________________________________

2.- Defina medidas de posición.

Resp.________________________________________________________________________________________

3.- Defina qué son medidas de dispersión.

Resp.____________________________________________ ____________________________________________

4.- Enumere tres medidas de tendencia central.

Resp. a __________________________________________ b ___________________________________________

c ___________________________________________ 5.- Enumere tres medidas de posición.

Resp. a ___________________________________________b ___________________________________________c ___________________________________________

6.- Enumere tres medidas de dispersión.

Resp. a ____________________________________________b ____________________________________________c ____________________________________________

Compare sus respuestas con las que aparecen en la siguiente hoja.- Si no coinciden, entonces regrese a estudiar el contenido.

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Respuestas tarea 1

1.- Son aquellas que nos informan sobre el valor que tienen los datos en el conjunto.

2.- Son aquellos que nos informan sobre la ubicación o posición de determinado grupo de datos dentro del conjunto.

3.- Son aquellas que nos informan que tan dispersos están, entre sí, los datos en el conjunto.

4.- Media, moda, mediana.

5.- Mediana, cuartíles, percentíles.

6.- Rango, Desviación Media, Varianza.

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TAREA No.2

Media para Datos no agrupados


1.- Definir la media. Definición de media aritmética Media para datos no agrupados.

2.- Calcular la media. Media para datos agrupados


La media aritmetica o simplemente media es una de las medidas de tendencia central de un conjunto de datos.

Definición: La media es el promedio de una suma de todos los datos de un conjunto, su simbolo es .

La fórmula matemática para la media es:

donde: X i es el valor decada dato.N es el número de datos.

Nota: Siempre que una sumatoria comience en 1 y termine en N,

podemos abreviarla escribiendo en vez de .

La media es la medida de tendencia central que más se usa en estadística porque involucra a todos los datos del conjunto.

Características de la media

1.- La suma de las diferencias de cada dato respecto a la media siempre es cero. 2.- La media toma en cuenta a todos los datos del conjunto

9

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3.- La media es única.

Ejemplo: Calcular la media de los siguientes datos:

11, 8, 13, 12, 11, 7.

= (11+8+13+12+11+7)/6 = 62/6= 10.3

Por lo tanto, la media es 10.3

Ejemplo 2: Calcular la media de los pesos, en kilos, de 13 personas. 44, 47, 47, 47, 50, 50, 55, 56, 56,56, 56, 60, 64

=

Por tanto, el peso medio de las trece personas es de 52.9 kilos

10

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PRACTICA TAREA 2

1.- Defina Media Aritmética

Resp. _____________________________________

___________________________________________

2.- Escriba la fórmula de la media aritmética.

Resp. _____________________________________

3.- Calcule la media de las notas obtenidas en cinco examenes de cierto alumno:

75%, 84%, 49%, 93%, 90%

Resp. ____________________________________

4.- Calcule la media de las siguientes edades de cuatro hijos que tiene un matrimonio: 17, 15, 12 y 10 años.-

Resp. ____________________________________

Compare sus respuestas con las que aparecen en la siguiente hoja.- Si tiene alguna dificultad entonces repase el contenido.

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Respuestas Tarea 2

1.- Media es el promedio del valor de los datos de un conjunto.

2.- ó

3.- Media = 78.2%

4.- Media = 13.5 años

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TAREA 3Media Ponderada

Obejtivos Específicos Contenido

Definir media Ponderada Media Ponderada

INFORMACIONEs común que al querer obtener la media de un conjunto de datos, algunos de ellos tengan mayor importancia - o peso - que otros, por lo tanto, debemos considerar ese aspecto para que al calcular la media, el resultado, no quede sesgada.

Para evitar obtener resultados falsos se usa la media ponderada, a la que podríamos definir de la siguiente manera.

La Media Ponderada, denotada por, , es el promedio de los valores de un conjunto de datos, tomando en consideración el peso que tiene cada dato dentro del conjunto.

La media Ponderada tiene la siguiente fórmula:

donde: X i es el valor del dato.W i es el peso o ponderación del dato.

es la suma de todos los pesos de los datos.

Ejemplo: Obtener el índice académico del estudiante Juan Perez, que en el tercer período de 2001 obtuvo las siguientes calificaciones en las tres asignaturas que llevó:

13

13


Asignatura Código Unid. Val. Nota

EstadísticaMóduloDeporte

MM-100MO-101 DP-101

4 16 2

60 91 44

El indice académico de Juan Perez en el tercer período de 2001 fué de 81.1

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PRACTICA TAREA 3

1.- Defina media Ponderada.

Resp. ____________________________________ ____________________________________

2.- Calcule el indice académico que usted obtuvo en el primer período del año pasado.

Resp. ____________________________________

Compare su respuesta No.1 con la que aparece en la siguiente hoja, si el concepto es diferente entonces vuelvalo a leer.

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Respuestas Tarea No.3

1.- Media Ponderada: es el promedio del valor de los datos de un conjunto, tomando en cuenta el peso o importancia que tiene cada dato.

2.- (Las respuestas varían, según sea el caso).

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TAREA No. 4Media para Datos Agrupados

Objetivos Especificos Contenido

- Calcular la media para - Media para datos datos agrupados agrupados


Es común que tengamos un grupo de datos presentados en una distribución de frecuencias y nos interesa calcularle la Media.

Para calcular la media a datos agrupados se utiliza la siguiente fórmula matemática:

donde: X i es la marca de la clase.

f i es la frecuencia de la clase.N es el número de datos, N= .

Ejemplo: Calcular la media de la siguiente distribución que se refiere a las edades de un grupo de personas

edad f i X i X i f i

15-19 7 17 11920-24 9 22 19825-29 4 27 10830-34 8 32 256 Totales N=28 681

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PRACTICA TAREA 4

1.- Calcule la media de la siguiente distribución de datos, los cuales se refieren a las notas de un grupo de estudiantes.

NOTA F_______________________

30-44 345-59 760-74 1275-89 990-104 3

________________________

Resp. _______________________

Compare sus respuestas con las que aparecen en la siguiente hoja, si no coinciden entonces regrese a leer el contenido.

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Respuestas Tarea 4

1.- La media = 67.9

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TAREA 5La Moda


1.- Definir la moda. Moda2.- Determinar la moda en un conjunto de datos agrupados.


Definición: La moda en un conjunto de datos, denotado por , es el valor que más se repite.

Si en un conjunto de datos, no se repitiera ningún valor, entoncesno tiene moda; pero si es más de un dato los que se repitieran la misma cantidad de veces, entonces, tiene más de una moda.

Características de la moda: 1.- La moda solamente involucra al dato que más se repite.2.- Un conjunto de datos puede ser que no tenga moda.3.- Es facil de determinar.

Si los datos están agrupados, entonces la moda se calcula a través de la siguiente fórmula.

Donde: LRI es el Límite Real Inferior de la clase modal.- (Clase modal es aquella en donde la frecuencia es mayor).

es la diferencia de la frecuencia de la clase

modal con la frecuencia de la clase anterior. es la diferencia de la frecuencia de la clase modal

con la frecuencia de la clase posterior.

C es la anchura de clase.

20

20


Ejemplo 1 : Determine la moda de: 19, 33, 26,19, 28, 22, 28, 30, 28

Respuesta: (moda) es 28 .- (Note que la moda se obtiene a simple observación).

Ejemplo 2: Determine la moda de: 12, 4, 3, 7, 2, 9, 8, 6, 5, 11

Respuesta: No hay moda. (Este conjunto no tiene moda, ya que ningún dato se repite).

Ejemplo 3:Encuentre la moda de: 33,84,21,47,33,47,84,62,71,71,62

Resp. No hay moda. (Este conjunto no tiene moda, ya que demasiados datos se repiten igual cantidad de veces).

Ejemplo 4. Determine la moda de:7,6,9,9,4,7,1,0,7,9,4,8,10,6,5,6,9,5,7

Resp. (moda) es 7 y 9. (Ya que el 7 y el 9 se repiten igual número de veces, que son cuatro cada uno.- Este conjunto es bimodal)

Ejemplo 5 : Calcular la moda de la siguiente distribución, querepresenta a las edades de un grupo de personas.

Edad F15-19 720-24 925-29 430-34 8

Clase modal es “20 – 24”, ya que es la que tiene la frecuencia más alta, que es de 9.

El LRI de esta clase es 19.5. (ya que la frecuencia de la clase anterior a la modal

es 7). (ya que la frecuencia de la clase siguiente a la modal

es 4).La anchura de cada clase es 5.

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21


22

22


Ejemplo 6: Las calificaciones de un grupo de estudiantes fueron las siguientes:

Calificación Frecuencia30-3940-4950-5960-6970-7980-89

148710146

Este conjunto de datos tiene dos modas, ya que son dos las clases que tienen el mayor número de datos que son la primera y la quinta con catorce datos cada una; por lo tanto, se deben calcular las dos modas.

Datos para la primer moda: Clase 30-39LRI 29.5

14-0 = 1414-8 = 6

c 10

Resp: moda uno es: 36.5

Datos para la segunda moda: Clase 70-79LRI 69.5

14-10 = 414-6 = 8

c 10

Resp: moda dos es: 72.8

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PRACTICA TAREA 5

1.- Calcule la moda de la distribución dada en la Tarea 4.

NOTA F

30-4445-5960-7475-8990-104

3 7 12 9 3

Resp. _______________________

2.- Diga cual es la moda del siguiente grupo de datos: 4, 7, 8, 5, 7, 8, 6, 7

Resp.________________________

Compare sus respuestas con las que aparecen en la siguiente hoja.- Si no coinciden entonces regrese a leer el contenido.

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Respuestas Tarea 5

1.- La moda es 68.9

2.- La moda es 7

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25


TAREA 6La Mediana

Objetivos específicos Contenido

- Determinar la mediana en Concepto de medianadatos no agrupados y agrupados.


La mediana es una medida de tendencia central y es una de las más simples de determinar.- Un requisito indispensable para obtener la mediana es que los datos esten ordenados.

Definición: La mediana es el valor central de un conjuntoordenado de datos.- La mediana divide a una distribución de datos en dos partes iguales.

Para determinar la mediana los datos deben estar ordenados y es el valor que se encuentra en el centro.- Si existe un número impar de datos, entonces la mediana será exactamente ese valor que está en el centro, pero si existiera un número par de datos, entonces habrán dos valores centrales, luego la mediana será el promedio de esos dos valores.

Características de la mediana:

1 Es una medida de tendencia central.2 Es única.3 Solo involucra solamente a los valores centrales.4 Los datos deben estar ordenados.5 Divide a una distribución en dos partes iguales.

Ejemplo 1: Calcular la mediana de: 7, 4, 6, 9, 7, 8, 2, 7, 8;

Ordenando los datos, tenemos: 2, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

Observamos que existe un solo valor en el centro que es 7, ya que quedan 4 valores a su izquierda y 4 valores a su derecha.

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La mediana es “7”

Ejemplo 2: Calcular la mediana de los siguientes ocho datos, escogidos al azar, que corresponden a los ingresos familiares anuales de ocho vecinos de la colonia 3 Caminos; L.340,000 ; 620,000 ; 185,000 ; 270,000 ; 480,000 ; 535,000 ; 280,000 ; 480,000.

Ordenando: 185,000 ; 270,000 ; 280,000 ; 340,000 ; 480,000 ; 480,000 ; 535,000 ; 620,000.

Observamos que existen dos valores centrales que son 340,000 y 480000 (ya que quedan tres antes y tres después de ellos).- La mediana es el promedio entre 340,000 y 480,000 que es 410,000.

La mediana = 410,000

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PRACTICA TAREA 6

1.- Escriba la definición de la medianaResp. _____________________________________

_____________________________________

2.- Dé, tres características de la mediana a ________________________________________

b ________________________________________ c ________________________________________

3.- Las calificaciones obtenidas en el primer exámen parcial de MM-100 sección 701, por los alumnos que se sientan en primera fila, fueron las siguientes: 78, 68, 95, 90, 76, 96, 87, 94, 56.- Indique cuál es la mediana.

Resp. _____________________________________

4.- Las estaturas, en centimetros, de los seis jugadores titulares de un equipo de balonvolea, eran las siguientes: 189, 201, 198, 196, 195, 197.- Determine la estatura mediana del grupo.

28

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Respuestas Tarea 6

1.- Resp. La mediana es el valor central de un conjunto ordenados de datos.

2.- Resp. a) Es única.b) Es fácil de determinar.c) Involucra solamente a los valores centrales.

3.- Resp. (Mediana) es 87.

4.- Resp. (Mediana) es 196.5 cms.

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Tarea 7

La mediana para datos agrupados

Objetivo Específico Contenido

Calcular la mediana para La mediana de una datos agrupados distribución de frecuencias


Si los datos estan agrupados, el procedimiento para calcular lamediana es con la siguiente fórmula matemática.

Donde: LRI es el Limite Real Inferior de la clase mediana.-(Clase mediana es aquella donde se encuentre el dato central).

N es el número de datos que tiene el conjunto.

es el valor que determina la clase donde está la

mediana y se busca en la columna de la frecuencia acumulada.es la frecuencia acumulada hasta la clase anterior ala clase mediana.es la frecuencia de la clase mediana.

c es el tamaño o anchura de clase.

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30


Ejemplo: En la siguiente distribución se presentan la edad de ungrupo de personas.- Calcule la mediana.

Edad Fi LRI-LRS Fa15-1920-2425-2930-34

7 9 4 8

14.5-19.519.5-24.524.5-29.529.5-34.5

7 16 20 28

Totales 28

Para determinar la clase donde cae la mediana calculamos el valor

El valor 14 lo buscamos en la columna de la frecuencia acumulada (fa), el cual, en ésta distribución, cae en la segunda clase, por tanto la clase mediana es la segunda y va de 20-24 y su LRI es 19.5; la frecuencia de esa clase (fi ) es 9 ; la frecuencia acumulada anterior a esa clase es de 7 , la anchura es de 5 años.- Por tanto, para calcular la mediana hacemos el siguiente proceso.

Resp. La edad mediana de ese conjunto de datos es 23.4 años.

Interpretación: La edad central del grupo de personas, es de 23.4 años.- Es decir que la mitad de las personas son menores de 23.4 años, mientras que la otra mitad son mayores de esa edad.

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31


Practica Tarea 7

1.- Escriba la fórmula de la mediana

Resp. _____________________________________

2.- Calcule la mediana de las notas de un grupo de estudiantes.

Nota fi fa30-4445-5960-7475-8990-104

3 7 12 9 3

Resp._______________________________________

3.- ¿Qué interpretación le dá usted al resultado anterior?.

Resp________________________________________

4.- ¿Qué indica Faa en la fórmula de la mediana?.

Resp._______________________________________

5.- ¿Qué es LRI en la fórmula de la mediana?.

Resp._______________________________________

6.- ¿Como se determina la clase donde cae la mediana?.

Resp._______________________________________

Compare sus respuestas con las que aparecen en la siguiente hoja, si no coinciden, entonces vuelva a leer el contenido.

32

32


Respuestas Tarea 7

1.- Resp:

2.- Resp:

3.- Resp. 68.25 indica que la mitad de los alumnos obtuvouna nota menor a 68.25 y la otra mitad alcanzóuna nota mayor a ese valor.

4.- Resp: Es la frecuencia acumulada de la distribuciónhasta la clase anterior.

5.- Resp: Es el Límite Real Inferior de la clase mediana

6.- Resp: Se calcula y ese resultado se busca en la

columna de la frecuencia acumulada.

33

33


TAREA 8Medidas de Posición


- Definir medidas de posición Mediana- Calcular cuartíles Cuartíles

Percentíles


Cuando estamos estudiando el comportamiento de la distribución de un conjunto de datos, no sólo interesa saber cual es el valor central, el que más se repite o el promedio que ellos tengan, sino que podríamos estar interesados en el valor que tenga la cuarta parte de ellos o bien el 90%, etc. .- Para determinar esos valores nos auxiliaremos de las medidas de posición.

Definición: Las medidas de posición son aquellas que nos informan sobre la posición o ubicación de un grupo de datos dentro del conjunto.

Las medidas de posición son las siguientes:MedianaCuartíles Qi

Decíles Di

Percentíles Pi

La mediana es tanto una medida de posición como de tendencia central.

La fórmula para calcular la mediana para datos agrupados es muy parecida a la del resto de las medidas de posición, que son las siguientes:

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34


Mediana

Cuartíles

Decíles

Percentíles

En donde en cada una de las fórmulas los símbolos indican lo siguiente:

LRI Es el Límite Real Inferior de la clase donde cae la medida de posición respectiva.

N Es el número de datos.faa es la frecuencia acumulada hasta la clase anterior .fi Es la frecuencia de la clase donde cae la respectiva

medida de posición.c Es el tamaño de clase.

Referencia tipificada

donde: X i es el dato del que queremos su posición. es la media del conjunto. es la desviación estandar.

35

35


Practica Tarea 8

1.- Defina medidas de posición.

Resp._______________________________________ _______________________________________

2.- Enumere tres medidas de posición.

a ________________________________________b ________________________________________c ________________________________________

3.- Escriba la fórmula de los cuartíles.

Resp. ______________________________________

4.- Escriba la fórmula de los percentíles.

Resp. ______________________________________

5.- Qué quiere decir “c” en la fórmula de la mediana.

Resp. ______________________________________

36

36


Respuestas Tarea 8

1. Resp: Son aquellas que nos indican la posición que tienedeterminado grupo de datos dentro del conjunto.

2. Resp: a Mediana b Cuartíles

c Decíles

3. Resp:

4. Resp:

5. Resp: c en la fórmula de mediana indica el tamaño de la clase.

37

37


TAREA 9Cuartiles


Calcular cuartíles Definición de cuartíles


Los cuartíles son medidas de posición y estan denotados por el símbolo Qi.

Definición: Los cuartíles dividen a una distribución en cuatro partes iguales.

En toda distribución de datos existen tres cuartíles y cuatro partes.

Partes 1a. 2a 3a 4a

‘ ‘ ‘

cuartíles Q1 Q2 Q3

La fórmula general, para calcular cualquier cuartíl es la siguiente:

La fórmula específica para cada uno de los tres cuartíles son:

38

38


Nota: El cuartíl 2 es igual a la mediana.

Ejemplo 1. Calcular el Q1 de la siguiente distribución.

Edad F LRI-LRS Fa15-1920-2425-2930-34

7 9 4 8

14.5-19.519.5-24.524.5-29.529.5-34.5

7 16 20 28

28

Para saber en que clase cae el Q1 se calcula

y se busca ese valor calculado “ 7 “ en la columna fa de la tabla, que en este caso es en la primera clase y su LRI = 14.5

por tanto

Resp: Q1= 19.5 indica que la cuarta parte de los valores son menores que 19.5 años.

39

39


Ejemplo 2. Calcule el cuartíl dos de la siguiente distribución.

X i fi fa LRI - LRS

76 23 23 70.5 – 81.5 87 34 57 81.5 – 92.5 98 35 92 92.5 – 103.5109 32 124 103.5 – 114.5120 26 150 114.5 – 125.5

150

Nota: Un Limite Real es el punto medio entre dos marcas de clase seguidas.- Tambien recuerde que el LRS de una clase es igual al LRI de la siguiente clase.

El cuartíl dos es 98.16, eso indica que la mitad de los datos son

menores a 98.16.

40

40


PRACTICA 91.- Defina cuartíles _____________________________________

_____________________________________

2.- Escriba la fórmula del Q3

Resp. ___________________________________________ ___________________________________________

3.- ¿Como se determina la clase donde cae el cuartíl dos?.

Resp. ______________________________________ _____________________________________

4.- ¿Qué cuartíl es igual a la mediana?.

Resp. ______________________________________ ______________________________________

5.- ¿Qué indica el hecho que el Q3 = 84.1 ?

Resp. ____________________________________________

6.- Sea la siguiente distribución.

Clase f i

55-56 457-58 559-60 361-62 763-64 2

Calcule el Q 1

Resp. _____________________________________________

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41


Respuestas Práctica 9

1) Cuartíles: Dividen a una distribución en cuatro partes iguales.

2)

3) Se calcula la parte de la fórmula y se busca ese valor dentro

de la frecuencia acumulada.

4) Q 2

5) Indica que las tres cuartas partes del conjunto de datos sonmenores que 84.1

6) Q 1 = 57.0

42

42


TAREA 10DECÍLES

Objetivos Especïficos Contenido

.- Definir Decíles .- Decíles

.- Calcular un determinado decíl


Definición: Los decíles dividen a una distribución en 10 partes iguales.

Los decíles se denotan por Di .- Existen nueve diferentes decíles y se calculan con la siguiente fórmula:

ejemplo: Determine el decíl 8 de la siguiente distribución:

Edad f LRI – LRS fa15 – 19 7 14.5-19.5 720 – 24 9 19.5-24.5 1625 – 29 4 24.5-29.5 2030 – 34 8 29.5-34.5 28

28

El decíl 8 cae en la cuarta clase, ya que, al calcular ,

Este valor se busca en la columna fa y corresponde a la cuarta clase.- Ahora se procede a calcular el decíl 8 de la siguienta manera:

Interpretación del resultado: El valor de 31.0 indica que ocho décimas partes (80%) de las personas tienen menos de 31.0 años.

43

43


PRACTICA TAREA 10

1.- Escriba la definición de decíl.

Resp. ____________________________________________

2.- Escriba la fórmula de los decíles.

Resp. ____________________________________________

3.- ¿Cuántos diferentes decíles tiene una distribución?.

Resp. ___________________________________________

4.- Un técnico en control de calidad, seleccionó 25 cajas, con pesos esperados de una libra, de un proceso de producción y encontró la siguiente distribución de pesos (en onzas) (Johnson Robert, Estadística Elemental, pag. 53):

Peso f fa15.95 – 15.97 2 215.98 – 16.00 4 616.01 – 16.03 15 2116.04 – 16.06 3 2416.07 – 16.09 1 25

Calcule el decíl 3 de esa distribución.

Compare sus respuestas con las que aparecen en la siguiente hoja, si no coinciden, entonces regrese a leer el contenido.

44

44


RESPUESTAS TAREA 10

1.- Los decíles dividen a una distribución en 10 partes iguales.

2.-

3.- 9

4.- D3 = 16.008

45

45


TAREA 11PERCENTILES


Definir Percentíles Percentíles de una distribuciónCalcular un percentíl


Definición: Los percentíles, denotados por Pi , dividen a una distribución en cien partes iguales.

La fórmula para calcular los percentíles es la siguiente:

Los percentíles son las medidas de posición que más se utilizan.

Ejemplo: Calcular el percentíl 90 de la siguiente distribución de edades de un grupo de personas.- Interprete el resultado.

Edad f fa LRI - LRS15 –19 7 7 14.5 – 19.520 – 24 9 16 19.5 – 24.525 – 29 4 20 24.5 – 29.530 – 34 8 28 29.5 – 34.5

28

Solución: El valor se debe buscar en la columna fa, el

cual se encuentra en la cuarta clase, luego, calculando P90

tenemos:

Por tanto, P90 = 32.75

46

46


Interpretación: El 90% de las personas son menores de 32.75 años.

47

47


PRACTICA TAREA 11

1.- Defina Percentíles.

Resp. ____________________________________________

2.- Calcule e interprete el P10 de la siguiente distribución del peso de 25 cajas con peso esperado de una libra (dado en onzas).

PESO Frecuencia15.95 – 15.97 215.98 – 16.00 416.01 – 16.03 1516.04 – 16.06 316.07 – 16.09 1

Resp. ____________________________________________

Interpretación: __________________________________________

3.- ¿Qué indica f i en la fórmula de los percentíles?

Resp. ____________________________________________

4.- ¿Qué parte de la fórmula de los percentíles, determina la clase donde cae el percentíl 68?.

Resp. ________________________________________

5.- Escriba la fórmula para calcular el percentíl 95 ( P95 ).

Resp. ________________________________________

48

48


Respuestas TAREA 11

1. Los percentíles dividen a una distribución en cien partes iguales.

2.- P10 = 15.979Interpretación: El 10% de las cajas pesan menos de 15.979

onzas.

3.- fi indica la frecuencia de la clase donde cae el percentíl en referencia.

4.-

5.-

49

49


TAREA 12VALOR ABSOLUTO


.- Definir Valor Absoluto. Notación de Valor Absoluto

.- Calcular el Valor Absoluto de una operación matematica.


Como una introdución al valor absoluto, es necesario recordar que cualquier número real “ a “ es positivo, negativo o cero.- Tambien, que el opuesto de cualquier número real “ a “ se representa con el simbolo “ –a “ , es decir que si “ a “ es positivo, entonces “ –a “ es negativo, pero si “ a “ es negativo, entonces, su opuesto “ –a “ es positivo.

Previo a estudiar y a analizar lo que son las medidas de dispersión, es necesario comprender lo que es el valor absoluto de un número real.-

Definición: El valor absoluto de cualquier número real “a” siempre es positivo y se denota por .

Matematicamente, el valor absoluto de cualquier número real “ a “, está definido de la siguiente manera:

Definición de Valor Absoluto:

Sea “ a “ cualquier número real; entonces una y solamente una de las siguientes condiciones se cumple:

i.- si a es positivo, entonces

ii.- si a es cero, entonces

50

50


iii.- Si a es negativo, entoncesejemplos:

1) (ya que 8 es positivo, el resultado es igual).2) (ya que –8 es negativo, se le cambia el signo).3)4)

51

51


PRACTICA TAREA 12

1.- Defina el término Valor Absoluto.

Resp. ________________________________________

2.- Encuentre el valor absoluto de :

i.) -5ii.) 6iii.) 57.8iv.) –1247v.) 5+7-6(43)+111vi.) ( -57 )2

vii.) -572

3. Dé el valor de :

i)ii)iii)

Compare sus respuestas con las dadas en la siguiente página, si no concuerdan revise el contenido.

52

52


Respuestas Tarea 12

1) El valor absoluto de cualquier número real es siempre positivo.- Siempre se cumple una y solamente una de las siguientes condicionesi) si a es positivo.ii) si a es negativo.iii) si a es cero.

2.- i) 5ii) 6iii) 57.8iv) 1247v) 135vi) 3249vii) 3249

3.- i) 46ii) 73.8iii) 84

53

53


TAREA 13MEDIDAS DISPERSION


Interpretar las medidas descriptivas RangoDesviación Media


Siempre que se estudia un grupo de datos numéricos, nos interesa mucho los valores que tiene el conjunto en si, pero tambien la forma como estan distribuidos esos valores, es decir, lo separados que estan unos de otros.

Por ejemplo.- En un colegio existen las secciones A y B para el segundo año de ciclo común.- Un estudio llevado a cabo para determinar el coeficiente de inteligencia (CI) encontró que la media del CI de la sección A era de 106, con una desviación de 7 unidades, mientras que el CI de la sección B era de 101 con una desviación de 2 uniades.

El profesor Esteban escogio la sección A para impartir la asignatura de matemática ya que por ser un grupo más inteligente entonces él podria enseñarles más rápido a sus alumnos, mientras que el profesor Juan impartiría clases a la sección B.

En el transcurso del período de clases, el profesor Esteban tuvo mayores problemas que el profesor Juan, para la enseñanza de sus clases, debido que, aunque, en general el grupo era más inteligente, pero tambien la dispersión del CI era mayor.- Aunque en este grupo habían alumnos de un CI de 120, otros lo tenían en 92, por lo tanto a estos últimos con frecuencia tenía que repetir el contenido asi que los otros compañeros más inteligentes que ya habían entendido el tema se aburrian y tambien sentían que se atrasaban.

El ejemplo anterior nos muestra que es muy importante los valores, pero tambien lo es la separación que tienen los datos entre sí.El tema que se estudiará a continuación son las medidas de dispersión.

54

54


Definición: Medidas de Dispersión, son aquellas que nos informan que tan dispersos se encuentran los datos dentro del conjunto.

Las medidas de dispersión más comunes son las siguientes:i. Rango o Amplitud ii. Desviación Media (DM)iii. Desviación Estandar ( ó s )iv. Varianza ( o Variancia ) ( ó s2 )v. Rango Cuartílico ( Q1-3 ) vi. Rango Percentílico ( P10-90 ) vii. Rango Semicuartílico ( SQ1-3)viii. Rango Semipercentílico ( SP10-90 )

55

55


PRACTICA TAREA 13

1.- Defina medidas de dispersión

Resp. ____________________________________________

____________________________________________

2.- Enumere cinco medidas de dispersión

a) __________________

b) __________________

c) __________________

d) __________________

e) __________________

56

56


Respuestas Tarea 13

1.- Son aquellas que nos informan que tan dispersos los datos dentro del conjunto.

2.- a) Rango o Amplitud b) Desviación Mediac) Desviación Estandard) Varianzae) Rango Cuartílico

57

57


TAREA 14RANGO

Objetivo Específico Contenido

Calcular el rango de un conjunto Rango


El rango, cuyo verdadero nombre debe ser Amplitud, es una medida de dispersión.

Definición: Rango es la diferencia entre el valor mayor y el menor de un conjunto.

Si en una distribución de frecuencias, los datos estan agrupados, entonces el rango se calcula restandole al LRS de la última clase el LRI de la primera clase.

Ejemplo 1. Calcular el rango del siguiente grupo de datos:14, 21, 11, 33, 18, 13, 26

Solución: valor mayor: 33 valor menor: 11

Rango = 33 - 11 = 22 Ejemplo 2. A un grupo de jugadores de futbol se les tomó la tempe-

ratura corporal que tenían depués de haber jugado un partido de práctica. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:39.2° , 38.3° , 38.9° , 38.7° , 39.4° , 37.9° , 38.3° , 38.8° , 38.7° , 38.3° , 38.0° , 38.5° , 38.0° , 37.9° , 37.9° , 38.4° , 38.6° , 38.3°

Encontrar el rango de las temperaturas corporales de los jugadores.

Solución: Dato mayor : 39.4° Dato menor : 37.9°

Rango = 39.4° - 37.9° = 1.5°

58

58


Ejemplo 3 Calcule el rango de la siguiente distribución:

Edad fi LRI – LRS

15 – 19 7 14.5 – 19.520 – 24 9 19.5 – 24.525 – 29 4 24.5 – 29.530 – 34 8 29.5 – 34.5

Solución: El LRI de la primera clase es 14.5El LRS de la última clase es 34.5

Rango = 34.5 – 14.5 = 20

59

59


PRACTICA TAREA 14

1) Defina RangoResp: ____________________________________________

2) Calcule el rango de los pesos del siguiente grupo de estudiantes varones de la UNAH:

144 , 163 , 176 , 132 , 154 , 120 , 168 , 147

Resp. __________________________________________

3) Calcule el rango de la siguiente distribución que se refiere a las temperaturas de un grupo de personas:

Temperatura fi

36.4 – 36.8 236.9 – 37.3 1837.4 – 37.8 1737.9 – 38.3 3

Resp. ________________________________

60

60


RESPUESTAS TAREA 14

1) Rango es la diferencia entre el valor mayor y el menor de un conjunto de datos.

2) 56

3) 2.0

61

61


TAREA 15

Rango Percentílico y Cuatílico


- Comprender amplitud o rango percentílico - Cuartiles o cuatílico- Calcular rango centílico - Percentílico


La amplitud centílica (o rango centílico) son medidas de dispersión en donde no se consideran los valores extremos para calcularla, ya que éstos pueden afectar en forma desproporcionada a los resultados.

Los rangos centílicos que existen, son el rango cuartílico y el rango percentílico.

El rango cuartílico está definido como la diferencia que hay entre el cuartil 3 y el cuartil 1 y se denota por Q1 – 3 , mientras que el rango percentílico, denotado por P10 – 90 , es la diferencia que hay entre el percentil 10 y el 90. Las fórmulas para calcularlos son:

Q1 – 3 = Q3 - Q1

P10 – 90 = P90 - P10

También existen los rangos semicuartílico y semipercentílico, que como su nombre lo dice, cada uno es la mitad de los rangos respectivos y se

denotan por:

Ejemplo:

Suponga que una distribución tiene las siguientes medidas de posición

Q1 = 34.2 ; Q3 = 64.1P10 = 28.6 P90 = 77.0Calcular: Q1 - 3 , SQ1-3 , P10 - 90 y SP10-90

62

62


Solución:

El rango semicuartílico

P10 - 90 = P90 - P10 = 77.0 - 28.6 = 48.4

El rango semipercentílico

63

63


PRACTICA TAREA 15

1. La siguiente distribución representa el peso de un grupo de per-sonas. Calcule el rango cuartílico y el rango semipercentílico.

Peso (libras) f fa

100 – 114 6 6115 – 129 8 14130 – 144 17 31145 – 159 18 49160 – 174 10 59175 – 189 2 61

61

Solución:

Por tanto, Rango cuartílico : Q1 - 3 =156.79 – 131.84 = 24.95

64

64


Rango semipercentílico :

65

65


RESPUESTAS TAREA 15

1 a) Q1 - 3 = 24.95

b) SP10 – 90 = 26.83

66

66


Tarea 16

Desviación Media para datos Agrupados y no Agrupados


Comprender la Desviación Media Valor AbsolutoDesviación media


Definición: La Desviación Media es el promedio de las desviaciones de cada uno de los datos en relación a la media.

Esta es una de las medidas de dispersión que mejor idea nos da de la desviación que hay entre los datos de un conjunto ya que se suma la separación de cada dato en relación a la media. Las fórmulas para calcular a la desviación media - denotada por DM – son las siguientes:

Datos no agrupados:

Datos agrupados:

Ejemplo 1: Sea la siguiente serie de datos: 14, 12, 11, 14, 15, 9, 11 Primero calcular la media

= =

El promedio de las desviaciones respecto a la media es 1.76 unidadesEjemplo 2:

67

67


Calcular la desviación media de la siguiente distribución.

Solución:

Clase f i X i x i fi xi -

4 – 6 5 5 25 -6.2 6.2 31.0 7 – 9 22 8 176 -3.2 3.2 70.4

10 – 12 17 11 187 11.2 -0.2 0.2 3.413 – 15 21 14 294 2.8 2.8 58.816 – 18 8 17 136 5.8 5.8 46.4

73 818 210.0

Solución:

Por tanto, el promedio de las desviaciones de los datos en relación a la media es 2.88.

68

68


Práctica Tarea 16

1. Escriba la fórmula de la Desviación media

Resp. ______________________________.

2. Defina Desviación Media

Resp. __________________________________________________________________________________________________________

3. Calcule la Desviación Media de: 41, 53, 48, 13, 27, 69.

Resp. ________________________________________________

4. Calcule la Desviación Media de la siguiente distribución

Clase fi xi xi fi

20 – 29 21 24.5 514.5 327.630 – 39 31 34.5 1069.5 173.640 – 49 41 44.5 1824.5 40.1 180.450 – 59 22 54.5 1199.0 316.8

115 4607.5 998.4

Resp._____________________________________________________________________________________________________

Compare sus respuestas con las dadas en la siguiente hoja. Si no coinciden, regrese a estudiar el contenido.

69

69


Respuestas Tarea 16

1) ó

2 DM es el promedio de las desviaciones de los datos respecto a la media.

3) D M = 14.8

4) D M = 8.68

70

70


Tarea 17

Desviación Estandar


- Calcular la media de un conjunto - Desviación estandar de datos.

- Interpretar los resultados de la - La varianzaDesviación estandar.


La desviación estandar (o desviación típica), es la medida de dispersión que más utiliza en estadística, para el análisis de datos.

Cuando los datos corresponden a una población, entonces la desviación estandar se representa con el símbolo “ “, se lee sigma y corresponde a la letra “s” minúscula de nuestro alfabeto español. Mientras que si los datos provienen de una muestra, entonces la desviación estandar se representa con la letra “ s “.

Cuando los datos no están agrupados, las fórmulas para calcular ambas desviaciones estandar son las siguientes:

indica una suma.X i , es el valor de cada dato.

, es la media del conjunto.N , es el número de datos cuando el conjunto es una población.n , es el número de datos cuando el conjunto es una muestra.

En el presente curso consideraremos a todos los conjuntos de datos como si fueran población.

71

71


Ejem: Calcular la desviación estandar del siguiente grupo de datos: 7, 8, 4, 7, 5, 5.

Primero se calcula la media

La desviación de los datos en relación a la media es de 1.41 unidades.

72

72


Es muy importante dar a conocer otra fórmula para calcular la desviación estandar (también para la varianza), la cual se usa para trabajar directamente con calculadora y es mucho más sencillo hacer los respectivos cálculos, ya que no hay necesidad de calcular la media. La fórmula es la siguiente:

Usemos los datos del ejemplo anterior para calcular la desviación estandar. Los datos son los siguientes:

X i ; 7, 8, 4, 7, 5, 5 (son 6 datos)

= 1.41

Podemos observar que ambos resultados son iguales al usar cualquiera de las dos fórmulas.

73

73


Práctica 17

1) Escriba una fórmula para la desviación estandar

Resp. ____________________________________.

2) Calcule la desviación estandar (o típica) de:

23, 17, 28, 31, 14.

Resp. ____________________________________.

74

74


RESPUESTAS TAREA 17

1)

2)

75

75


TAREA 18

Desviación Estandar para datos agrupados


- Determinar la Desviación Estandar Desviación Estandarpara datos agrupados.


Es frecuente que tengamos la necesidad de hacer cálculos estadísticos cuando los datos están agrupados; es decir, presentados en una distribución de frecuencias. Si éste es el caso, entonces la fórmula para la desviación estandar para datos poblacionales es la

siguiente:

Si los datos corresponden a una muestra, entonces la desviación

estandar se calcula:

Donde: x i son las marca de clase es la media.

fi es la frecuencia de las clases. es la suma de datos; es decir,

Podemos notar que en cualquiera de las fórmulas anteriores para calcular la desviación estandar se necesita saber el valor de la media.

Existe otra fórmula (llamada también fórmula para caculadora) para calcular la desviación estandar que es la siguiente:

donde: N es el número de datos. (Si los datos corresponden a una muestra, entonces el número de datos se representa por “n” minuscula).

76

76


x i es la marca de clase f i es la frecuencia de la clase

Ejemplo: Encuentre la desviación típica de la siguiente distribución.

Clase f i x i x i f i

4 – 6 5 5 25 -6.2 38.44 192.20 7 – 9 22 8 176 -3.2 10.24 225.28

10 – 12 17 11 187 11.2 -0.2 0.04 0.6813 – 15 21 14 294 2.8 7.84 164.6416 – 18 8 17 136 5.8 33.64 269.12

Totales 73 818 851.92

Si los datos de ese conjunto corresponden a una población, entonces la desviación estandar – denotada por “ “ – es 3.42 , pero si los datos son de una muestra , entonces la desviación estandar – denotada por “ s “ – es 3.44 .

77

77


Usando la fórmula para calculadora, desarrollaremos la tabla de la siguiente manera para poder sustituir en ella los resultados obtenidos

Clase f i X i X i f i X i2 f i

4 – 6 5 5 25 1,25 7 – 9 22 8 176 1,40810 – 12 17 11 187 2,05713 – 15 21 14 294 4,11616 – 18 8 17 136 2,312

Totales 73 818 10,018

Observamos que ambos resultados son similares a los que se habían obtenido anteriormente.

78

78


PRACTICA TAREA 18

1. Encontrar la desviación estandar de la siguiente distribución dedatos que se refiere a las notas obtenidas por un grupo de estudiantes:

NOTA fi

30 – 44 345 – 59 760 – 74 1275 – 89 990 – 104 3

Resp. ______________________

2) Escriba las cuatro diferentes fórmulas para calcular la desviación típica.

Resp. a ___________________________

b ___________________________

c ___________________________

d ___________________________

Compare sus respuestas con las que aparecen en la siguiente hoja.

79

79


RESPUESTA TAREA 18

1 = 16.2

s = 16.5

2) a:

b:

c:

d:

80

80


TAREA 19


Calcular la Varianza de un conjunto La Varianza


La Varianza es la desviación estandar al cuadrado.

La Varianza se denota por “ ” o bien por “ s2 “ según sea el caso de que los datos provengan de una población o de una muestra respectivamente.

Las fórmulas para calcular la Varianza son las siguientes:

Datos poblacionales Datos muestrales

Datos

no

agrupados

Datos

Agrupados

Por lo tanto, para el ejemplo anterior, en donde la desviación estandar : entonces la varianza: = ( 1.41)2 = 2

81

81


Ejemplo 2Encontrar la varianza del siguiente grupo de datos que corresponden a las notas de un estudiante: 88 , 76 , 82 , 84 , 82

Solución:

=

ejemplo 3

Edad de un grupo de personas

Edad fi X i X i f i X i2fi

15 –19 7 17 119 2,02320 – 24 9 22 198 4,35625 – 29 4 27 108 2,91630 – 34 8 32 256 8,192

totales 28 681 17,487

es decir que la varianza poblacional es 33.0.

82

82


PRACTICA TAREA 19

1.- Calcule la varianza del número de hijos que tienen cinco familias.

Fernandez 1 hijoCoto 0 hijosAguilar 4 hijosFlores 1 hijoMartinez 3 hijos

Resp. ________________________

2.- Calcule la varianza de la siguiente distribución que corresponde a la temperatura de varias personas.

Temperatura fi

36.4 – 36.6 1336.7 – 36.9 2537.0 – 37.2 2437.3 – 37.5 19

Resp. _______________________

3.- Si en un grupo todos los datos son iguales, entonces la varianza es ___________________.

83

83


RESPUESTAS TAREA 19

1.- s2 = 2.7

2.- s 2 = 0.0938

3.-

84

84


TAREA 20

REFERENCIA TIPIFICADA


Determinar la Referencia tipificada Media

de un dato. Desviación tipica


La Referencia Tipificada es una medida de posición que nos permite determinar la ubicación de un dato específico dentro de un conjunto, tomando en consideración a la media y a la desviación estandar.

La referencia tipificada se denota con valores “ z “, y nos indica el número de desviacines estandares que se encuenta separado el dato de la media.- Se calcula a traves de la siguiente fórmula:

donde: es el valor del dato en mención

es la media aritmética del conjunto

es la desviación estandar

Note que si el dato es menor que la media entonces el valor de z tendrá signo negativo.

Ejemplo: En la sección 701 de MM100, 45 alumnos realizaron el examen de la primera unidad, obteniendo el grupo una media de 63.1 puntos con una desviación estandar de 14.6.- Encuentre la referencia

85

85


tipificada de Carlos Jones y la de Juan Flores que obtuvieron una calificación de 83 y de 37 puntos, respectivamente.

Solución: Datos:

( nota de Carlos )

37iX ( nota de Juan )

Referencia tipificada de Carlos:

Referencia tipificada de Juan:

Interpretación: El valor 1.36 para Carlos, indica que su nota estuvo a 1.36 unidades de desviación estandar arriba respecto a la media.

Interpretación para Juan: El valor -1.79 para Juan, indica que su nota estuvo a 1.79 unidades de desviación estandar abajo de la media.

86

86


PRACTICA TAREA 20

1.- Defina Referencia Tipificada.

Resp.____________________________________________

____________________________________________

2.- ¿En que unidades se da la referencia tipificada?.

Resp. ___________________________________________

3.- Escriba la fórmula de la referencia tipificada.

Resp. ____________________________________________

4.- Encuentre la referencia tipificada de un dato que vale 486, en donde el promedio del conjunto es 430.2 y la desviación estandar es 65.4.

Resp. ________________________________________

87

87


RESPUESTAS TAREA 20

1.- Es una medida de posición que nos indica la ubicación de determinado dato dentro del conjunto en relación a la media y a la desviación estandar.

2.- Se da en valores “ z ”

3.-

4.- z = 0.85

88

88


TAREA 21

DISPERSIÓN ABSOLUTA Y DISPERSIÓN RELATIVA


-Enumerar medidas de dispersión -Media, moda, mediana

-Enumerar dispersiones relativas -desviación estandar, varianza


Dispersión Absoluta es cualquier medida de dispersión.

Ejemplo: rango , s , s2 , DM , SQ1-3 , SP10-90 , , etc.

Dispersión relativa es la división de cualquier medida de dispersión entre cualquier medida de tendencia central.

Ejemplo: ; etc.

El coeficiente de variación, denotado por “ V “ o “ CV “ , es una medida de dispersión en donde la dispersión relativa es la desviación estandar y la medida de tendencia central es la media.

La fórmula del coeficiente de variación es la siguiente:

ó

El resultado del coeficiente de variación puede darse en porcentaje, es

decir .

89

89


Ejemplo 1: Suponga que un grupo de datos tiene una media de 180.4 y una desviación estandar de 67.4.- Calcule el coeficiente de variación.

Datos:

Interpretación: Los datos tienen una variación de 37.4%

Ejemplo 2: Suponga que un conjunto de datos tiene una media de 180.4 y una desviación estandar de 4.8.- Calcule el coeficiente de variación.

Datos:

Solución:

Interpretación: Los datos tienen una variación de 2.7%

Ejemplo 3: Un estudio socio-economico se llevó a cabo para determinar la situación de las familias de dos comunidades.- Los resultados obtenidos en la comunidad A indicó que el ingreso promedio familiar anual era de L.245,789.00 con una desviación estandar de L.28,418.00, tambien el estudio dio la información de que la familia con menor ingreso era de L.145,777.00 mientras que la que más ingreso tenía era de L.498,400.00.-

Para la comunidad B, el ingreso anual promedio era de L.94,619.00, con una desviación estandar de L.16,555.00, la familia que tenía menor ingreso era de L.46,987.00, mientras que la que tenía mayor ingreso era de L.150,180.00.- Calcule la dispersión relativa de los ingresos anuales que tenian las familias en ambas comunidades.

Solución: datos Comunidad 1 Comunidad 2

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245,989 94,619

28,418 19,555

dato menor 145,777 46,987

ingreso mayor 498,400 150,180

rango 352,623 103,193

Vcomunidad A = Vcomunidad B =

Interpretación: Se puede concluir que en la comunidad A, existe menor dispersión de ingresos familiares anuales (11.6%) en comparación con los de la comunidad B (20.7%), y esto a pesar que el rango de los ingresos es mayor.

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PRACTICA TAREA 21

1.- Escriba cinco medidas de dispersión.

Resp. a) _______________________

b) _______________________

c) _______________________

d) _______________________

e) _______________________

2.- Enumere tres medidas de tendencia central.

Resp. a) ________________

b) ________________

c) ________________

3.-Dé seis medidas de dispersión relativa.

Resp. a) ______________

b) ______________

c) ______________

d) ______________

e) ______________

f) ______________

4.- Escriba la fórmula del coeficiente de variación.

Resp. __________________

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5.- Si la varianza de un conjunto es 16.8 y la media es 37.1, entonces calcule el coeficiente de variación.

Resp. __________________

Nota: La desviación Estandar es la raíz cuadrada de la varianza.

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RESPUESTAS TAREA 21

1.- ; f) etc.

2.-

3.- a) ; etc.

4.- ó

5.- V = 11.0%

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BIBLIOGRAFIA

Nuñez Baltazar; Banegas Liliam.- Introducción a la Estadística Social, UNAH, Tegucigalpa, 1984, pag. 74-112

Johnson Robert.- Estadística Elemental.- Editorial Iberoamericana,

Mexico, 1990, pag. 45-91

Autor: René Victor Thompson

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Documents

3. - Medidas de Tendencia Central, De Posicion y Dispersion (r. Thompson)