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3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES
Ahora extenderemos las ideas de la sección anterior a dos y tres dimensiones.
La magnitud que expresa la dirección y la distancia en línea recta comprendidaentre dos puntos del espacio es un segmento lineal llamado vectordesplazamiento.
Vector desplazamiento ≡ A
A
Dirección ≡ Vector desplazamiento
Longitud ≡ módulo del vector desplazamiento
0 AA
Jereson Silva Valencia
x
y
El desplazamiento resultante de P1 aP3, llamado C, es la suma de los dosdesplazamientos sucesivos A y B :
BAC
Suma de vectores desplazamientos :
Jereson Silva V.
Propiedades Generales de los Vectores.
“Los vectores son magnitudes con módulo, dirección y sentido quese suman como los desplazamientos”.
Las magnitudes que carecen de dirección asociada se denominanescalares.
Vector ≡ A
A
Dirección ≡ dirección del Vector
Longitud ≡ proporcional al módulo del vector
A
A B
B
BA
A. Igualdad entre vectores
Jereson Silva Valencia
B. Producto de un vector por un escalar
A
A AB
2AsB
C. Resta de vectores
Para restar el vector B del vector A basta sumarle –B:
BABAC
Jereson Silva Valencia
D. Componentes de los vectores
La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es lalongitud de la proyección del vector sobre dicha línea. Se obtiene trazandouna línea perpendicular desde el extremo o flecha de un vector a la línea.
Componentes rectangulares: Si conocemos Ax y Ay podemos obtener el ángulo
x
y
x
y
AA
AA
arcotan ,tan
El módulo de A es
22yx AAA
Jereson Silva Valencia
yyy
xxx
BACBAC
yyy
xxx
BARBAR
Jereson Silva Valencia
Jereson Silva Valencia
Ejemplo 1: Suponga que usted trabaja como animador en un centro turísticoen un a isla tropical. Dispone de un mapa que le indica las direcciones aseguir para enterrar un tesoro en un lugar determinado. Usted no deseamalgastar el tiempo dando vueltas por la isla, porque quiere acabar prontopara ir a la playa y hacer surfing. Las instrucciones son ir 3 km hacia eloeste y luego 4 km en la dirección de 60° al nordeste. ¿En qué direccióndebe moverse y cuánto tendrá que caminar para cumplir su objetivo con lamáxima rapidez?
Vectores unitarios:
Un vector unitario es un vector sin dimensiones de módulo unidad.
AAa
1ˆ A
A
kAjAiAA zyx
Jereson Silva Valencia
Posición, Velocidad y Aceleración.
El vector posición de una partícula es un vector trazado desde el origen deun sistema de coordenadas hasta la posición de la partícula. Para un punto(x,y) su vector posición r es
jyixr
El cambio de posición dela partícula es el vectordesplazamiento r:
12 rrr
Jereson Silva Valencia
El cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo t = t2 – t1es el vector velocidad media.
trv m
Definimos el vector velocidadinstantánea como el límite delvector velocidad media cuando ttiende a cero:
dtrd=
ΔtrΔ=v
Δt
mli0
jvivjdtdyi
dtdxv yx
Jereson Silva Valencia
Ejemplo 2: Un barco de vela tiene las coordenadas (x1, y1)=(110 m, 218 m)en el instante t1=60 s. Dos minutos más tarde, en el instante t2, suscoordenadas son (x2 , y2)=(130 m, 205 m). Determinar la velocidad mediaen este intervalo de dos minutos.
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Velocidad relativa
Si una partícula se mueve convelocidad VpA relativa a unsistema de coordenadas A, yéste a su vez se mueve convelocidad VAB relativa a otrosistema B, la velocidad de lapartícula respecto a B es
ABpApB VVV
Jereson Silva Valencia
Se define el vector aceleración media como el cociente entre la variación delvector velocidad instantánea v y el intervalo de tiempo t:
tvam
El vector aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad respectoal tiempo
dtvd
tva
t
0
lim
También tenemos
ka+ja+ia=
kdtzd+j
dtyd+i
dtxd=k
dtdv+j
dtdv
+idtdv=a
zyx
222zyx
222
Jereson Silva Valencia
Ejemplo 3: La posición de una pelota de béisbol golpeada por el bateador viene dada por la expresión r(t) = 1.5 m i +(12 m/s i + 16 m/s j) t – 4.9 m/s2 j t2. Determinar su vector velocidad y vector aceleración.
kdtzdj
dtydi
dtxd
kdtdvj
dtdv
idtdv
dtvda zyx
2
2
2
2
2
2
kvjviv
kdtdzj
dtdyi
dtdx
dtrdv
zyx
kzjyixr
Jereson Silva Valencia
Ejemplo 4: Un coche se mueve hacia el este a 60 km/h. Toma una curva y 5 s más tarde viaja hacia el norte a 60 km/h. Determinar el vector aceleración media del coche.
Jereson Silva Valencia
Velocidad y aceleración
• Usted lanza un objeto hacia arriba en el aire. En el punto mas alto, el objeto tendrá:
1. Velocidad y aceleración nulas. 2. Aceleración nula pero velocidad diferente de
cero. 3. Velocidad cero y aceleración diferente de cero. 4. Velocidad y aceleración diferentes de cero.
Jereson Silva Valencia
Movimiento de ProyectilesLa figura muestra el lanzamiento de unapartícula con velocidad inicial v0 y formandoun ángulo 0 con el eje horizontal.Las componentes de la velocidad inicial son:
000000 SinvvCosvv yx Las componentes de la aceleración son:
gaa yx 0Para las velocidades tenemos
gtvvvv yyxx 00 Las componentes horizontal y vertical del movimiento deproyectiles son independientesLos desplazamientos x e y vienen dados por
221
000 )( ; )( gttvytytvxtx oyx Jereson Silva Valencia
Ejemplo 5: Desde el tejado de un edificio de 20 m de altura se lanza unapiedra con un ángulo de tiro de 53° sobre la horizontal. Si el alcancehorizontal de la piedra es igual a la altura del edificio, con qué velocidadse lanzó la roca?¿Cuál es la velocidad de ésta justo antes de chocarcontra el suelo?
Jereson Silva Valencia
Más sobre movimiento de proyectiles
gjgjaiaa yx
tgvtgv
jvivv yx
; 0
221
00 tgtvrr
221
0 tgtvr
Jereson Silva Valencia
Preguntas cuarta sesión
• Definición de fuerza y método de medición• Explique la Ley de Inercia (historia)• Masa inercial y masa gravitacional• Fuerzas en la caída libre y en el tiro
parabólico• Ejemplo de fuerzas de contacto, fuerza
eléctrica, magnética y en un resorte.• Diagrama de las fuerzas que actúan sobre
un cuerpo en un plano inclinado.Jereson Silva Valencia