3.- Pensamiento Num Rico y Aritm Tico. Infantil Primaria y ESO

Matemáticas Infantil, Primaria y ESO 3.- Recursos, material didáctico y juegos y pasatiempos: Pensamiento Numérico sep-10

González Marí, J. L. Didáctica de la Matemática UMA 1

3.- Recursos, Material didáctico y juegos y pasatiempos para el desarrollo del Pensamiento Numérico y Aritmético en Infantil, Primaria y ESO

3.1.- Material didáctico estructurado: tipos, descripción y finalidad. Situación en el currículo. Contenidos y actividades. Ejemplos.

3.2.- Recursos y material no estructurado. Ejemplos. 3.3.- Juegos y pasatiempos. Ejemplos. 3.4.- Construcción de material 3.5.- Bibliografía 3.6.- Anexos

3.1.- Material didáctico estructurado: tipos, descripción y finalidad. Situación en el currículo. Contenidos y actividades. Ejemplos Hemos agrupado los materiales estructurados más importantes en los siguientes bloques: 3.1.1 Bloques Multibase base 10 3.1.2 Ábacos 3.1.3 Regletas 3.1.4 Multicubos 3.1.5 Tablas numéricas y aritméticas 3.1.6 Puntos 3.1.7 Dominós, triminós y tetraminós aritméticos 3.1.8 Calculadora 3.1.9 Fracciones 3.1.10 Puzzles, cartas y otros 3.1.1.- Bloques Multibase base 10

Definición

Los bloques multibase constituyen modelos manipulativos para los sitemas de numeración y para los algoritmos de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Se basan en dos principios:

- el principio de agrupamiento, por el que se establecen unidades de orden superior a partir del agrupamiento de una cantidad determinada de unidades de un orden inmediatamente inferior;

- el principio de posición, por el que se atribuye un valor diferente a una misma cifra según el lugar o la posición que ocupe en el número. Este principio es el que regula la escritura numérica.

Descripción del material

Se presenta en cajas de madera, una para cada base de numeración y está compuesto de cubos, placas, barras y bloques de madera pulida, sin color (a veces son de colores), a fin de conseguir mayor abstracción. En cada caja se encuentran: unidades, barras, placas y bloques, correspondientes a los distintos tipos de unidades (unidad, decena, centena y unidad de millar). Llevan unas ranuras, fácilmente apreciables, a 1 cm de distancia. Los más utilizados en la actualidad son los de base diez (figura adjunta)



Nota: El material anterior se puede complementar con los dados multibase. Por ejemplo en base cuatro el dado seria ( 0,1,2,1,2,3). ¿qué tipos de dados y con qué números habría que utilizar para la base 10?.

El creador de los bloques multibase es: Zoltan P. Dienes ( 1963/ 1971), pudiéndose consultar las orientaciones básicas de este material en su libro: Dienes, Z. P. (1981).- Cómo utilizar los bloques multibase. Editorial Teide. Barcelona.

Algunos principios

Al igual que Bruner, con quien trabajó, Dienes se apoyó en las teorías de Piaget para tratar de dar solución al problema de diseñar una enseñanza significativa que tuviera en cuenta tanto la estructura de las matemáticas como las capacidades cognoscitivas de los alumnos. Dedicó mucho tiempo al diseño de materiales para la enseñanza de la matemática y a realizar experimentos que le permitieran clarificar algunos aspectos de la adquisición de los conceptos matemáticos. Piensa que los niños son constructivistas por naturaleza y que construyen una imagen de la realidad a partir de sus experiencias con los objetos del mundo.

Los materiales diseñados por Dienes especialmente para la enseñanza de las matemáticas tienen las siguientes características: están provistos de elementos distractores, es decir, no se utilizan para otras cosas en la vida real, materializan características tanto cualitativas como cuantitativas de las matemáticas y no están ligados necesariamente a la notación simbólica.

Finalidad

La utilidad de los bloques multibase se extiende a los siguientes aspectos del currículo de Matemáticas de Infantil y Primaria:

- agrupamientos cuantitativos y numéricos

- concepto de unidad, tipos de unidades y orden de unidades

- valor posicional de las cifras

- algoritmos de las operaciones aritméticas

- doble y mitad

- comprensión de las operaciones aritméticas

- iniciación a la medida de longitud, superficie y volúmen



- números decimales

- fracción, operaciones con fracciones, fracciones equivalentes

Situación en el currículo

Es habitual encontrar este material o variantes de él en los libros de texto (figura) para introducir la decena, centena, el valor de posición, los agrupamientos cuantitativos y numéricos, la escritura numérica, la suma y la resta “sin llevada” en el Primer Ciclo de Educación Primaria así como para la iniciación en otras operaciones aritméticas, siendo poco frecuente encontrarlo en el Segundo y Tercer Ciclo de Primaria.

Algunos ejemplos de actividades

1.- Juego libre con el material.

La manipulación permite descubrir formas y propiedades.

2.- De la caja correspondiente a la base 3 tomamos algunas unidades. (No empleo en ningún momento la palabra base)

- ¿Cuántas unidades necesitamos para construir una barra? De la misma caja tomamos algunas barras

- ¿ Cuántas barras necesitamos para construir una placa? De la misma caja tomamos algunas placas

- ¿ Cuántas barras necesitamos para construir un bloque?

3.- En la misma situación anterior, supongamos que tenemos una unidad (elemento de primer orden), 1 barra ( elemento de segundo orden) y ninguna placa ( elemento de tercer orden), esto es:

Figura 1.- Algoritmo de la resta con bloques multibase (Santillana, 1992; 2º PRI; p. 49)



1 1

4.- ¿ Cuántos elementos de orden inferior hay en (con cuántas blancas (unidades) puedes representar estos números?:

1112)=, 1012) = ; 10012) =; 10112) =

5.- Tu compañera tiene una barra y tu tres. ¿ Qué tenéis entre los dos? ( En base dos).

6.- Suma ( Base 10)

2 1

+ 1 4

3 5

+

7.- En un determinado país, cada tren tiene 6 vagones, cada uno de ellos 6 compartimientos y cada compartimiento tiene 6 asientos. Una de las leyes de dicho país consiste en la prohibición de sentarse en un compartimiento mientras haya plazas vacías en otros que están a medio ocupar. Preguntas: ¿cuántos asientos hay en un vagón entero?; ¿cuántos compartimientos hay en un tren?; ¿cuántos asientos hay en un tren?; se pueden plantear numerosos problemas con números de pasajeros variables, estaciones en las que suben y bajan pasajeros; número de compartimientos llenos en un tren; número de vagones a medio llenar; etc.

Consideraciones adicionales

Bases a utilizar: De 4 a 7 años se empleará fundamentalmente la base 10, aunque no se puede despreciar del todo la realización de algunas actividades con otras bases (2,3,4 y 5); sobre todo orientadas a los agrupamientos, la posición y la equivalencia.

Niveles

En primer ciclo de Primaria se introduce la suma y la resta, pero aún no se realiza la resta con llevadas. Es en el segundo ciclo cuando se completa la resta con las llevadas.

Interés didáctico especial

- Manipulación de las operaciones numéricas: suma, resta, producto y división. - Introducir la decena, la centena y la unidad de millar. - Iniciación a los sistemas de numeración: valor de posición, orden numérico, valor relativo de las

cifras, valores del cero, relaciones número cantidad estructurada, etc..

Ábaco plano multibase



Es muy útil, por su facilidad de construcción, reducir los bloques multibase a los tres primeros órdenes de unidades, con lo que se reduce al plano el ámbito de trabajo. Incluso la unidad de millar podría adoptar en este contexto una representación plana que se diferenciara de las demás (sombra o trama). La siguiente figura es una reducción de un ábaco plano para bloques multibase de base 10 construido en formato DIN A4. Con dicho ábaco, se puede trabajar con números hasta 999.

Información complementaria y lecturas adicionales (Ver Anexo 2.1: lecturas complementarias sobre bloques multibase)

Se incluye un dossier con los siguientes documentos:

- Extracto de ilustraciones e instrucciones del material PLACE VALUE importado del Reino Unido pos Distesa S. A.

- Bloques Multibásicos. Capítulo 5. Editorial Anaya. 1986.

3.1.2.- Ábacos

Definición Un ábaco es un aparato o un medio para representar números y cantidades y para calcular. Nos remitimos a las lecturas complementarias para una información más amplia al respecto. Utilidad / finalidad Con el ábaco, el alumno puede:



- Contar sistemáticamente; - representar cantidades y números; - construir conocimientos sobre los sistemas de numeración y sus características; - familiarizarse con las distintas unidades, los cambios de unidades y las

equivalencias entre ellas; - tomar conciencia del valor de posición de las cifras; - practicar procedimientos de cálculo alternativos; - comprender las operaciones aritméticas elementales; - relacionar la cantidad no estructurada con la cantidad estructurada y su

representación manejable. Tipos de ábacos Verticales El ábaco de la figura representa un ábaco vertical escolar en una de sus numerosas versiones. En muchos libros de texto aparecen ilustraciones como la de la figura para acompañar o explicar determinadas actividades. No obstante, hay que decir que tales ilustraciones no cumplen la función de un material didáctico estructurado manipulativo, porque, erróneamente, se pretende sustituir la actividad manipulativa del alumno, eminentemente activa, comprometida y responsable, por una actividad visual, representativa y pasiva, que normalmente no cumple las funciones educativas para las que se pensó. El alumno no suele “construir” ningún conocimiento nuevo a la vista del dibujo; como mucho, consolida un conocimiento que ya tiene.

2 4 4

Los ábacos de restos, como el de la figura, son ábacos verticales escolares preparados para que no se pierda ninguna ficha y con una separación para ocultar las fichas sobrantes. A veces en cada varilla hay más de diez cuentas para trabajar las llevadas.

Horizontales



El ábaco del dibujo posee 10 varillas horizontales y diez cuentas en cada varilla. El orden de las unidades es arbitrario: se pueden considerar las unidades en la varilla superior o en la inferior, estando todas las demás partir de ella, hacia abajo o hacia arriba.

Ábaco Chino, romano y japonés Nos remitimos a la información adicional que se incluye al final del apartado para una explicación más detallada de este ábaco así como de las variedades de ábacos existentes basados en la misma estructura (romano, japonés, etc.). Asimismo, nos remitimos a las direcciones de internet relacionadas con este instrumento de cálculo para ampliar los conocimientos históricos, matemáticos, didácticos, etc. sobre los mismos.

Ábacos planos El ábaco plano, como el que se incluye reducido en la figura adjunta, se reduce a una zona del plano dividida en regiones para colocar los distintos tipos de unidades. El ábaco plano tiene la ventaja de que se puede representar en formato A4 sobre cartulina y es de fácil manejo. Nosotros proponemos el modelo de la figura, que se ha de complementar con lentejas, fichas, botones, círculos o asteriscos, tiras de fichas, etc., placas de fichas y grupos de placas de fichas, etc. Se pueden utilizar tablillas depresoras linguales o palitos romos o cualquier otro material agrupable.

Ábaco plano grande



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Un ábaco plano alternativo de base 10 es el que se incluye reducido en la figura siguiente. Se aportan los números en fichas independientes así como la base del ábaco, que se puede fotocopiar en A4, y las fichas para colocar en cada columna. Las fichas coloreadas sin números sirven a modo de cuentas en las que el color indica el valor de la ficha (unidad, decena, centena, unidad de millar, etc.). Las fichas numeradas son para colocar en los recuadros de abajo como indicadores de la cantidad de fichas colocadas en cada columna. Con este ábaco se pueden representar números muy grandes, si fuera necesario.

Ábaco plano con fichas y números



Cartas y cajas Los ábacos se pueden complementar con cartas que indican las cantidades y con cajas en las que situar las unidades de cada orden.

Situación en el currículo Los ábacos tienen una utilidad fuera de toda duda en los bloques de numeración y operaciones aritméticas desde los niveles de Educación Infantil hasta los últimos cursos de



Primaria. Constituyen, junto a las regletas y los bloques multibase, el recurso manipulativo aplicable a más del 50% del currículo de matemáticas de los niveles mencionados. Algunas actividades Contar cuentas e ir colocándolas en las varillas. Cuando se llene una varilla, se continua con la siguiente, contando cuentas del color correspondiente. Hacer series de cuentas o fichas de menor a mayor o viceversa: 1, 2, 3, etc. Formar “números capicúas”, “números valle” o “números montaña”. Con el ábaco plano, contar un montón de fichas blancas, agruparlas de 10 en 10, sustituir los grupos por unidades de orden superior y representarlo todo en el ábaco. Para más información consultar: Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de matemáticas. Síntesis; Castro (ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Síntesis; lecturas complementarias. Información adicional y lecturas complementarias (Ver Anexo 2.2: lecturas complementarias sobre ábacos) En el anexo mencionado para esta parte se incluye un dossier constituido por información extraida de las siguientes fuentes:

- Capítulo 4 sobre el ábaco en el libro “Inciación a la matemática”. Editorial Anaya.1986.

- Página divulgativa sobre el ábaco extraida de la dirección de correo electrónico: http://aixa.ugr.es/anecdotario.htm

- Ilustración de diversos tipos de ábacos y breves comentarios históricos extraidos de la página mencionada anteriomente.

- Páginas 53 y siguientes sobre el ábaco extraidas de: Willerding. Conceptos matemáticos. Un enfoque histórico.

- Páginas 53 y siguientes sobre el ábaco. Documento extraido de: Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis.

- Usos del ábaco y algunos ejemplos de su utilización para realizar operaciones aritméticas elementales. Documento manuscrito de la Profesora Doña Inmaculada Vargas-Machuca de Alva del Área de Conocimientos de Didáctica de la Matemática de la UMA.

3.1.3.- Regletas

Regletas de Cuisenaire

Descripción: Este material está formado por unas barritas de madera o plástico de un centímetro cuadrado de sección y de diferentes longitudes que van desde 1 cm. hasta 10 cms. Cada longitud lleva asociado un color, de manera que longitudes diferentes tienen colores diferentes. Cada regleta representa un número dependiendo de su longitud o del color que tenga.

Las regletas tienen los siguientes colores y longitudes:

http://aixa.ugr.es/anecdotario.htm



Barras Color Longitud en cm.

Unidad Natural 1

Dos Rojo 2

Tres Verde claro 3

Cuatro Rosa 4

Cinco Amarillo 5

Seis Verde oscuro 6

Siete Negro 7

Ocho Marrón 8

Nueve Azul 9

Diez Naranja 10

Las barras no tienen marcadas las unidades y el número se considera en su totalidad, no como una adición de unidades.

Un poco de historia…

Hace ya más de cincuenta años, fue un maestro belga George Cuisenaire quien tras observar la facilidad de los niños para aprender y recordar las canciones y sus dificultades para entender la aritmética se decidió a buscar algo parecido a un instrumento musical que le ayudase en la enseñanza de la Aritmética, ”. . . inventando el material denominado “ Números en color””.

Aunque Cuisenaire lo inventó, fue el matemático y pedagogo Caleb Gattegno al que le debemos el conocimiento de estas regletas bajo la denominación “Números en color”. Este autor se encarga de divulgar las posibilidades del material y estudiar hasta dónde sería posible llevar las aplicaciones fuera de los primeros grados escolares, a los que, hasta entonces, se

B

R

VC

R

A

VO

N

M

AZ

NA



había dedicado Cuisenaire. Descubrió multitud de recursos matemáticos, especialmente en el álgebra.

A través de unos cursillos celebrados en Madrid en 1956, Caleb Gattegno, en colaboración con el profesor español de Secundaria y Escuelas de Ingenieros, D. Pedro Puig Adam, dió a conocer el material Cuisenaire.

El profesor Gattegno decía:

“No se entiende cuando se dice sino cuando se ve y para ver no hay que tener los párpados abiertos “

“No interesa para el niño, como matemático, que sepa manejar de memoria y rápidamente todo lo que es posible trabajar con las regletas. La función no es conseguir memoristas. No tiene valor para el alumno dominar lo que ve con los ojos.

Lo que tiene valor para el niño es,<<ayudado por lo percibido y descubierto>> a través de <<números en color>>, crear en su mente nuevas estructuras que le permita seguir trabajando y descubriendo nuevas relaciones sin tener ya el material delante.

Si los alumnos se desorientan sin el material es que no captaron correctamente lo descubierto en la experiencia con las regletas …”(Fernández Bravo J.A..” Los números en color de G. Cuisenaire” Págs. 20-21)


En los libros de texto de Educación Primaria no suele aparecer el uso de este material.

Distribución de actividades

Bloques de

contenidos Nivel Actividades

Números

E. Infantil 1,2,3,4,5,6,7,8

1º Primaria 9,10,11,12,13,14

2º Primaria 9,10,11,12,13,14

3º Primaria 15

Ejemplos de algunas actividades

“Lo importante es familiarizarse con el material, y esto se logra jugando” (Gattegno ,1963; p.13).

A continuación veremos algunas actividades. Empezamos por actividades para E. Infantil, indicando en algunas de ellas el nivel al que mejor se adecúan.

A. Actividades adecuadas para E.Infantil

1.- Juegos libres.

Se vacía una caja de regletas sobre una mesa o en el suelo y se deja que sean ellas las que sugieran el camino a seguir. A través de contacto con este material el niño llegará hacer los siguientes descubrimientos, comprobará que existen regletas del mismo color, que todas las del mismo color tienen la misma longitud, que hay de diferente color y que éstas son de diferente tamaño, lo que quiera que el construya corresponde a un número total de regletas blancas, etc.

Niveles: Segundo Ciclo de E. Infantil.



2.- Entregar a cada jugador una regleta blanca y otra roja, pedirle que las tenga en sus manos colocadas en la espalda. Se les pide que muestren una determinada. Ir añadiendo regletas. Este juego tiene por objeto ir habituando al niño al juego dirigido aumentando así el conocimiento del material.

Niveles: Primer ciclo de E. Infantil

3.- Componer series o cenefas libres o dirigidas.

4.- Buscar una barra que sea más larga que la amarilla y menos larga que la marrón

5.- Colocar dos o más regletas juntas formando un tren.

El rojo y el rosa. Buscar una regleta que sea tan larga como el tren que hemos hecho.

Con dos regletas del mismo color.

Con tres del mismo color

6.- Formar la escalera.

Ordenando las regletas unidas lateralmente, según sus longitudes, formamos una “escalera”.

Podemos empezar con cuatro o cinco regletas y establecer la relación de orden: << soy más larga que tú>> y ordenar de más largo a más corto. Ir añadiendo regletas hasta completar la escalera. Se recomienda construir en este momento una escalera y colocarla en la pared.



7.- Suma: hacer un tren con una barra rosa y una roja y que busquen la barra que sea tan larga como las dos anteriores juntas.

8.- Resta: Coger la barra verde, poner encima la de color roja. Queda descubierta una parte de la verde. Debe buscarse la indicada para acabar de cubrir la verde.

B. Actividades para Primer Ciclo de Primaria.

9.- Composición de números

- Se pide al niño que forme el ocho con dos barras.

Permite descubrir progresiva y manipulativamente todas las descomposiciones ( pares, ternas,…) de las distintas regletas.

10.- Descomposición de números

- El niño puede formar un cuadro de descomposición partiendo de un número concreto. A partir de una descomposición del número se puede observar propiedades de forma visual.

Por ejemplo la propiedad conmutativa.

- Hacer trenes igual de largos que la regleta azul



- Expresar oralmente todas las descomposiciones.

- Trabajar paralelamente la descomposición gráfica con la simbólica. Primero con la representación literal de las regletas. - Completa

11.- ¿ Cuántas blancas equivalen a una regleta naranja? (Los números en color de G. Cuisenaire. Pág. 69)

12.- Coged diez blancas. ¿ Cuántas naranja tenéis? ( Los números en color de G. Cuisenaire. Pág. 69).

13.- Dibuja las blancas que puedes representar con una regleta naranja.

14.- ¿ Cuántas blancas hay?

Completa el cuadro:

Este tipo de ejercicios permite que el niño sepa el significado de cualquier número de dos cifras aunque desconozca su nombre. Es conveniente realizar varios ejercicios en los que se utilice las regletas blanca y naranja antes de introducirles “ elemento de orden inferior ( unidad) ” y “ elemento de primer orden( decena)”.

15.- ¿ Qué significan los siguientes números? Explícalo mediante las regletas.

24,16,22,36,48,30



16.- Restar “llevándose”

Interés Didáctico

Conocimiento de los números naturales

Ordenación de números naturales

Comparación de números naturales

Composición y descomposición de números naturales

Manipulación de las operaciones numéricas: suma, resta, producto y división.

Reparto Proporcional

Longitudes, áreas y volúmenes

Potencias

Fracciones Regletas Encajables y planas Las regletas encajables están basadas en los mismos principios que las de Cuisenaire, con las excepciones siguientes: las medidas no suelen estar en centímetros, es decir, son arbitrarias, y las longitudes no están predeterminadas, sino que se forman a voluntad. Las regletas encajables están formadas por unidades que se encajan unas en otras para formar longitudes variables según el número de unidades que se adjuntan. Suelen venir presentadas en varios colores, aunque esto no es tan determinante como en el caso de las regletas de Cuisenaire. También se pueden utilizar los colores al igual que en la regletas de Cuisenaire formando las longitudes con varias unidades del mismo color que corresponda a la regleta de Cuisenaire respectiva.

Las regletas planas se forman mediante tiras de cartón, cartulina, plástico o papel, de las mismas longitudes que las regletas de Cuisenaire y de los mismos colores. Pueden estar o no divididas en segmentos perpendiculares para indicar las unidades que las forman.

La utilidad de las regletas encajables y planas es la misma que la indicada para las regletas de Cuisenaire. Se trata de variantes del mismo material estructurado. Estas variantes, asi como otras que aquí no se mencionan, también tienen versiones comerciales y, sobre todo, se pueden construir fácilmente con materiales caseros y accesibles.



Información adicional y lecturas complementarias

Algunas referencias bibliográficas originales: Goutard, M..- Catorce charlas sobre números en color. Editorial Cuisenaire de España; Goutard, M..- Las matemáticas y los niños. Editorial Cuisenaire de España; Gategno, C..- Aritmética con números en color. Editorial Cuisenaire de España; Gategno, C..- Introducción a los números en color. Editorial Cuisenaire de España; Gategno, C..- Matemática moderna. Editorial Cuisenaire de España

Para más información consultar: Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de matemáticas. Síntesis; Castro (ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Síntesis;

lecturas complementarias En el anexo 2.3 de esta parte se entrega un documento constituido por información extraida de las siguientes fuentes:

Capítulo 6 sobre las regletas de Cuisenaire en el libro “Inciación a la matemática”. Editorial Anaya.1986.

Algunas ilustraciones sobre actividades.

Usos de las regletas de Cuisenaire y algunos ejemplos de su utilización para realizar operaciones aritméticas elementales. Documento manuscrito de la Profesora Doña Inmaculada Vargas-Machuca de Alva del Área de Conocimientos de Didáctica de la Matemática de la UMA.

3.1.4.- Multicubos

Definición y descripción Como se observa en la figura, los multicubos constituyen un material didáctico estructurado formado por cubos de colores de 1 cm de arista y 1 gramo de peso, que se pueden encajar entre sí para formar estructuras de todo tipo. También reciben los nombres de policubos y centicubos. En algunas casas comerciales son conocidos como cubos



multilink. Llevan asociados otros materiales auxiliares, tales como: cartas, regletas de multicubos, ábacos de multicubos, placas, etc.

Utilidad / finalidad Los multicubos son útiles en las áreas de Numeración, Operaciones aritméticas e iniciación al álgebra, fundamentalmente, aunque tienen aplicación en Geometría y Medida. Se puede decir que tiene aplicación en casi todas las unidades didácticas de matemáticas para los niveles de 3 a 15 años. En particular, dentro del bloque Numeración, operaciones e iniciación al álgebra, es un material adecuado para trabajar:

- los sistemas de numeración; los conceptos de unidad, decena y centena, el valor de posición, la escritura numérica, etc.

- las operaciones aritméticas elementales; - los algoritmos elementales; - las propiedades de las operaciones: conmutatividad, asociatividad, etc. - potencias - números cuadrados - iniciación a las fracciones - iniciación al álgebra


Se pueden situar en los mismos temas y unidades didácticas que las regletas, los ábacos y los bloques multibase. Los colores y las dimensiones son los mismos que los de las regletas de Cuisenaire, por lo que se pueden utilizar para realizar las mismas actividades. Al mismo tiempo, es posible formar las distintas unidades de los bloques multibase, por lo que también son útiles para las mismas actividades que aquéllos. El principal inconveniente es su tamaño y la posibilidad de dispersión y pérdida, unido a los inconvenientes derivados de su manipulación.

Algunas actividades Las mismas que las propuestas para los materiales anteriores.

3.1.5.- Tablas numéricas y aritméticas

Definición

Las tablas numéricas son disposiciones regulares, bien cuadradas, bien rectangulares de varias dimensiones en las que se colocan números elementales para el análisis de las regularidades, propiedades de los números y las operaciones, estudio de las características del sistema posicional numérico, construcción de series y disposiciones planas de números, combinaciones numéricas diversas, etc.

Nosotros vamos a analizar las características y el uso de dos de estas tablas: la tabla 100 y las tablas de Seguin, denominadas en plural porque suelen venir separadas en columnas.

Tabla 100



La tabla 100 con números

Los números pueden venir de dos formas: formados como números de una o dos cifras o como números de una cifra para formar posteriormente los de dos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100



Tablas de Seguin

Son tablas de madera en forma de cajas o tablas en las que se pueden colocar fichas de chapón o madera en las que figuran símbolos numéricos de una cifra. En la figura se ilustran dos tipos de tablas de dos columnas cada una.

Plantilla plana de las tablas de Seguin

En la figura se observa un entramado cuadrado dividido en varias columnas o grupos de columnas (de una, dos, tres o cuatro columnas). Cada tira se puede recortar y pegar sobre una cartulina, o bien pegar la tabla completa y trabajar en cada momento con la columna que corresponda, o bien hacer una copia en papel en un tamaño mayor.



Números para las tablas de Seguin

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Utilidad / finalidad

- Conocimiento de las cifras

- Conocimiento de los números de una o más cifras y de la terminología numérica;

- Exploración de las propiedades numéricas;

- Estudio del sistema numérico posicional decimal; características, valor de posición, conceptos de unidad, decena, centena, etc.;

- Análisis de patrones numéricos;

- Iniciación al álgebra a través de la aritmética generalizada;

- Estudio de las operaciones aritméticas elementales y sus propiedades;

- Exploración de los criterios de divisibilidad (en niveles posteriores a 7 años)


Se trata de un material didáctico estructurado especialmente importante para las áreas de numeración, operaciones aritméticas e iniciación al álgebra, aunque la tabla 100 también se puede utilizar acompañada de patrones visuales y geométricos.

Es un material que complementa a los anteriores de este mismo capítulo. No es especialmente útil para iniciar y comprender los algoritmos de las operaciones pero sí lo es para analizar y consolidar propiedades de los números y las operaciones aritméticas así como para empezar a trabajar la aritmética generalizada.

Algunas actividades



Con la tabla 100: Si “sumar 1” se puede representar mediante un rectángulo horizontal de dos unidades, que colocado en un número me indica que el siguiente es el resultado, ¿cómo sería sumar 10?; ¿y sumar 12?; etc.

Con la tabla se Seguin de dos columnas: rellena la tabla con todos los números pares entre 40 y 50; ve saltando números: de uno en uno, de dos en dos, etc.; completa una tabla incompleta (faltan algunas cifras de una serie de números de dos o tres cifras) para que tengamos números entre . . .y . . ..

3.1.6.- Puntos y tramas Disposiciones estructuradas y planas de puntos de distintos tamaños y con distinta disposición (muestras en anexo 2)


- General

o Trabajo sobre la noción de cantidad (estructurada)

o Propiedades de las configuraciones puntuales (números cuadrados, etc.);

o Operaciones aritméticas elementales: suma, resta, multiplicaciones y divisiones sencillas.

o Concepto de multiplicación sobre tramas rectangulares. Coordenadas

- Específica para fracciones

o La fracción como relación parte todo

o La fracción en contextos discretos

o Concepto de unidad fraccionaria

o Operaciones con fracciones

Puntos

Material de Herbiniere-Lebert (puntos gruesos en azul sobre fondo blanco) (muestra en anexo 2)

Algunos tipos de tramas

Trama cuadrada, trama triangular (muestra en anexo 2) (se incluyen también en el capítulo de Geometría)


Todos los niveles. Su iniciación se puede situar en los tres años. Desde el concepto de unidad a la comparación de cantidades y las relaciones entre cantidades y números.

Algunas actividades

Dadas dos o más placas diferentes, contar el número total de puntos que se tienen; Formar rectángulos con distintos trozos de la trama de puntos. 3.1.7.- Dominós, triminós y tetraminós numéricos y aritméticos Juegos de fichas con formas geométricas en las que se delimitan regiones que se ilustran con diferentes nociones, números u operaciones matemáticas.


- ejercitar la numeración y las operaciones aritméticas



- relaciones entre números y operaciones; - operaciones equivalentes

Tipos: Dominó

Triminó y tetraminó



Otros (pentaminó o poliminó): Son de utilidad en geometría y serán tratados en dicho capítulo

3.1.8.- Calculadora

Utilidad / finalidad Tiene los siguientes tipos de utilidades en el campo de la numeración y la aritmética, que se ilustran más adelante a propósito de las actividades:

a) Herramienta auxiliar; b) Para que el alumno invente sus propios algoritmos; c) Como elemento motivador d) Para investigar y resolver problemas; e) Como instrumento de diagnóstico didáctico; f) Para favorecer la comprensión

Situación en el currículo Se puede utilizar en todos los niveles educativos Algunas actividades

a) cuadro adjunto; resolver problemas elementales b) Dada el área de un rectángulo, encontrar pares de valores para los lados; obtener los

múltiplos de trece de la forma más rápida posible. c) Contar a partir de 11 de 5 en 5, con y sin calculadora; números mágicos; juego por

parejas: uno con calculadora y el otro sin calculadora; contar de 7 en 7 empezando por el 4, por ejemplo; cada alumno escribe en su papel los números que va obteniendo. Se da un tiempo y se cronometra.

d) Encontrar dos números que multiplicados den un número entre 56 y 89 (mentalmente y con calculadora); juego de ir de un número a otro sumando o restando por turno; ¿cómo averiguar el número de cifras decimales que esconde una calculadora y cómo redondea?; jerarquía de operaciones con y sin la calculadora.

e) Dar una división no exacta y averiguar el resto; ¿entienden los alumnos las relación entre dividendo, divisor, cociente y resto?.

f) Trabajar aproximaciones sucesivas a un cociente no exacto o a un límite.

Información adicional y lecturas complementarias - Juegos y pasatiempos de la Colección Matemáticas, cultura y aprendizaje de la

Editorial Síntesis. - La calculadora en el aula. Colección Síntesis. - Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Síntesis.

3.1.9.- Material para Fracciones

materiales que utilizan la longitud como modelo

- varillas de distinta longitud

- varillas de distinta longitud y pizarra magnética

- regletas de fracciones

materiales que utilizan la superficie como modelo

- sombreado de áreas

- troceado de folios



- tangrams

- tarjetas de fracciones

otros materiales

- regletas de Cuisenaire

- regletas encajables

- dominó de fracciones


concepto de fracción como relación parte-todo

dominio del contexto de figuras planas en relación con el concepto de fracción

relación entre la longitud y el concepto de fracción

relación entre el área y el concepto de fracción

fracciones equivalentes

operaciones con fracciones

otras aplicaciones prácticas y curriculares


Niveles de 6 y 7 años de edad. Trabajo sobre el concepto de fracción a nivel de iniciación y conocimiento de las fracciones elementales de uso cotidiano: mitad, cuarto, tercio, etc.

Niveles de 8 a 12 años de edad: trabajo sobre las fracciones equivalentes, las operaciones con fracciones, las relaciones entre fracciones y decimales, etc.

Algunas actividades

Sombreado de áreas para fracciones sencillas (Se adjuntan ejemplos de sombreado de áreas a nivel de adulto)

Troceado de folios: primero la mitad, luego la cuata parte, etc.

Análisis de equivalencias: ¿cuántos trozos distintos tienen la misma cantidad de papel?

Juegos con el dominó

Juegos con las tarjetas de áreas

Información adicional y lecturas complementarias

Llinares, S. (1989).- Fracciones. Madrid: Síntesis.

Alcalá, M. (1980).- Fracciones. Málaga: MCEP.

Castro, E. (Ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.

Se adjunta fotocopia del capítulo dedicado a las fracciones.

Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis.

Actividades para comprender la potencialidad del sombreado de áreas.

3.1.10.- Puzzles, cartas y otros



Puzzles

Números de: lija, madera, táctiles, relieve, plastilina Puzzles cuantitativos, numéricos, aritméticos Puzzle algebraico

Cartas

Paneles y cartas de números y cantidades

Cartas prealgebraicas para trabajar regularidades numéricas y aritméticas y su generalización. Cartas con valores numéricos en ambas caras: grupo de cartas en las que figuran dos números que se diferencian en uno, otro grupo en las que los números del anverso y del reverso se diferencian en dos y así sucesivamente.

Otros

Lotos de números, cantidades y operaciones aritméticas

Balanzas numéricas, aritméticas y algebraicas

3.2.- Recursos y material no estructurado. Ejemplos.

Calculadora

Series y patrones - Continuar series numéricas que verifican patrones sencillos: uno más, dos menos, de

dos en dos, etc. - Patrones: series de números y de figuras siguiendo un patrón por repetición o por

alternancia: la serie de números naturales puede llevar asociada una seriación de figuras que se repiten, de manera que los pares tienen una figura, los que acaban en cero otra, etc. Se pedirá que se continue o que digan las figuras que les corresponden a determinados números (NCTM).

- Tablas de relaciones funcionales sencillas: un cochecito vale dos euros, dos valen cuatro euros, tres valen seis euros, etc. Se forma una tabla y se analiza la evolución del precio total en relación con las cantidades (NCTM).



- Modelos para resolver problemas: mesas y sillas en la clase. Cada mesa tiene . . . sillas; si hay cuatro mesas, ¿cuántas sillas hacen falta?; se pueden plantear muchas variantes.

- Análisis del cambio: reflexión sobre los cambios en temperaturas que se producen a lo largo de una semana; cambios en cuanto a la lluvia; predecir en base a lo que ha ocurrido recientemente: parece que hoy también va a . . .

Otros

Dinero

Dados

Lentejas, granos, garbanzos, etc. pegados a tiras de papel

otros

3.3.- Juegos y pasatiempos. Ejemplos.

Juegos de mesa: Dados, Parchís, Dominó ordinario

Otros juegos y pastiempos: bibliografía recomendada

3.4.- Construcción de material En el anexo 2 se incluyen plantillas con las que se pueden construir la mayoría de los materiales que se tratan en este capítulo. 3.5.- Bibliografía Alcalá, M. (1980).- Fracciones. Málaga: MCEP.

Bandet, Abbadie (1973).- Cómo enseñar a través del juego. Colección Educación n 17. Barcelona: Fontanella.

Cajaraville (1989).- La calculadora en el aula. Madrid: Síntesis. Castro (ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Síntesis; Kothe, S. (1973).- Cómo utilizar los bloques lógicos de Z. P. Dienes. Barcelona: Teide.

Goutard, M..- Catorce charlas sobre números en color. Editorial Cuisenaire de España; Goutard, M..- Las matemáticas y los niños. Editorial Cuisenaire de España;

Gategno, C..- Aritmética con números en color. Editorial Cuisenaire de España;

Gategno, C..- Introducción a los números en color. Editorial Cuisenaire de España;

Gategno, C..- Matemática moderna. Editorial Cuisenaire de España Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis; Juegos y pasatiempos. Colección Matemáticas, cultura y aprendizaje. Madrid: Síntesis. Llinares, S. (1989).- Fracciones. Madrid: Síntesis.

3.6.- Anexos Anexo 1.- Lecturas complementarias - Anexo 1.1.- Información adicional y lecturas complementarias sobre bloques multibase

Se incluye un dossier con los siguientes documentos:



- Extracto de ilustraciones e instrucciones del material PLACE VALUE importado del Reino Unido pos Distesa S. A.

- Bloques Multibásicos. Capítulo 5. Editorial Anaya. 1986.

- Anexo 1.2.- Información adicional y lecturas complementarias sobre ábacos

Se incluye un dossier constituido por información extraida de las siguientes fuentes:

- Capítulo 4 sobre el ábaco en el libro “Inciación a la matemática”. Editorial Anaya.1986.

- Página divulgativa sobre el ábaco extraida de la dirección de correo electrónico: http://aixa.ugr.es/anecdotario.htm

- Ilustración de diversos tipos de ábacos y breves comentarios históricos extraidos de la página mencionada anteriomente.

- Páginas 53 y siguientes sobre el ábaco extraidas de: Willerding. Conceptos matemáticos. Un enfoque histórico.

- Páginas 53 y siguientes sobre el ábaco. Documento extraido de: Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis.

- Usos del ábaco y algunos ejemplos de su utilización para realizar operaciones aritméticas elementales. Documento manuscrito de la Profesora Doña Inmaculada Vargas-Machuca de Alva del Área de Conocimientos de Didáctica de la Matemática de la UMA.

- Anexo 1.3.- Información adicional y lecturas complementarias sobre regletas Se incluye un documento constituido por información extraída de las siguientes fuentes:

- Capítulo 6 sobre las regletas de Cuisenaire en el libro “Inciación a la matemática”. Editorial Anaya.1986.

- Algunas ilustraciones sobre actividades.

- Usos de las regletas de Cuisenaire y algunos ejemplos de su utilización para realizar operaciones aritméticas elementales. Documento manuscrito de la Profesora Doña Inmaculada Vargas-Machuca de Alva del Área de Conocimientos de Didáctica de la Matemática de la UMA.

- Anexo 1.4.- Información adicional y lecturas complementarias sobre material para fracciones

Castro, E. (Ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.

Se adjunta fotocopia del capítulo dedicado a las fracciones.

Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis.

Actividades para comprender la potencialidad del sombreado de áreas.

Anexo 2.- Plantillas (El tamaño no coincide con el original. Aquí, por motivos de espacio, se incluyen copias

reducidas de los originales)

http://aixa.ugr.es/anecdotario.htm



Puntos (material Herbinier-Lebert)

Trama isométrica cuadrada



Bloques multibase





Anexo 3.- Tareas 3.1.- Actividad con la calculadora 3.2.- Muestra de tareas de sombreado de áreas para el concepto de fracción y las

operaciones con fracciones

Documents

3.- Pensamiento Num Rico y Aritm Tico. Infantil Primaria y ESO