Problemas con Mtodos de Demostracin

Problemas con Mtodos de Demostracin1. Probar que no es un nmero racional.

Solucin:

Supongamos que es un nmero racional, es decir que

con a, b Z y b.

Vamos a suponer tambin que es una fraccin irreducible, es decir que sean primos relativos. Se sigue entonces que:

o tambin

Luego es par y por tanto a es un entero par, es decir a es de la forma , con p Z.

De se sigue ; es decir

Luego es par y por tanto b es par. Se tiene entonces una contradiccin con lo que supusimos, y en consecuencia lo correcto sera decir que no es un nmero racional.

2. Demostrar que no es un nmero real.

Solucin:Supongamos que si es un nmero real. Llammoslo ; entonces tenemos:

, de donde se sigue que , o lo que es lo mismo , que es un absurdo, por tanto lo que supusimos es incorrecto y lo verdadero es que no es un nmero real.3. Demostrar que es divisible por 2 para todo n Z.Solucin:

Debemos demostrar que:

En efecto, se nos presentan dos casos

i. Si n es par, tenemos:

, con p ZEntonces,

, sea

, tenemos:

Por tanto si n es par n es divisible por 2.

ii. Si n es impar

, con p Z

Entonces,

, sea

Z, tenemos:

Por tanto si n es impar n es divisible por 2.

4. Demostrar que 10n+1+10n+1 es divisible por 3, NSolucin:

Probemos por induccin.

i. Probemos si es verdadero para P(0) y P(1).

que es divisible para 3.

que es divisible para 3.

ii. Hiptesis de Induccin: Supongamos que , con q Z, debemos probar que , con r Z.En efecto,

, sea ZPor tanto, comprado que se cumple para P(0) y P(1) y bajo la hiptesis de induccin se llega a probar que P(k+1) tambin se cumple, podemos concluir que esto se cumple N._1272811794.unknown

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