Problemas con Mtodos de Demostracin
Problemas con Mtodos de Demostracin1. Probar que no es un nmero
racional.
Solucin:
Supongamos que es un nmero racional, es decir que
con a, b Z y b.
Vamos a suponer tambin que es una fraccin irreducible, es decir
que sean primos relativos. Se sigue entonces que:
o tambin
Luego es par y por tanto a es un entero par, es decir a es de la
forma , con p Z.
De se sigue ; es decir
Luego es par y por tanto b es par. Se tiene entonces una
contradiccin con lo que supusimos, y en consecuencia lo correcto
sera decir que no es un nmero racional.
2. Demostrar que no es un nmero real.
Solucin:Supongamos que si es un nmero real. Llammoslo ; entonces
tenemos:
, de donde se sigue que , o lo que es lo mismo , que es un
absurdo, por tanto lo que supusimos es incorrecto y lo verdadero es
que no es un nmero real.3. Demostrar que es divisible por 2 para
todo n Z.Solucin:
Debemos demostrar que:
En efecto, se nos presentan dos casos
i. Si n es par, tenemos:
, con p ZEntonces,
, sea
, tenemos:
Por tanto si n es par n es divisible por 2.
ii. Si n es impar
, con p Z
Entonces,
, sea
Z, tenemos:
Por tanto si n es impar n es divisible por 2.
4. Demostrar que 10n+1+10n+1 es divisible por 3, NSolucin:
Probemos por induccin.
i. Probemos si es verdadero para P(0) y P(1).
que es divisible para 3.
que es divisible para 3.
ii. Hiptesis de Induccin: Supongamos que , con q Z, debemos
probar que , con r Z.En efecto,
, sea ZPor tanto, comprado que se cumple para P(0) y P(1) y bajo
la hiptesis de induccin se llega a probar que P(k+1) tambin se
cumple, podemos concluir que esto se cumple
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