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Juegos Repetidos

Tema 1: Juegos repetidos un número finito de veces

Universidad Carlos III de Madrid

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Juegos repetidos un número finito de veces

§  Un juego repetido un número finito de veces es un juego dinámico en el que un juego simultáneo (juego de etapa) se juega un número finito de veces y los resultados de cada etapa son observados antes de la siguiente.

§  Ejemplo: Jugar el dilema del prisionero varias veces. El juego de etapa es el juego simultáneo del dilema del prisionero.

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Resultados

§  El juego repetido tiene un único ENPS si el juego de etapa (el juego simultáneo) tiene un único EN. –  En el ENPS se juegan las estrategias de EN en cada

etapa. §  Si el juego de etapa tiene 2 o más EN, pueden

existir ENPS en los que en alguna etapa NO se juegan estrategias que sean EN sino que se juega algo que es mejor para los dos jugadores.

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Un juego repetido dos veces §  Pensemos en un juego repetido dos veces

Ø Dos jugadores juegan el mismo juego simultáneo dos veces, en t=1 y en t=2

Ø El resultado de la primera vez que se juega (de t=1) es observado antes de jugarlo una segunda vez

Ø El pago del juego repetido es la suma de los pagos en cada jugada (t=1, t=2)

Ø ¿Cual es el ENPS?

Jugador 2

L2 R2

Jug. 1 L1 1 , 1 5 , 0

R1 0 , 5 4 , 4

5

Forma extensiva

R2

1+1 1+1

1 L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2

1+5 1+0

1+0 1+5

1+4 1+4

1 1 1 1

5+1 0+1

5+5 0+0

5+0 0+5

5+4 0+4

0+1 5+1

0+5 5+0

0+0 5+5

0+4 5+4

4+1 4+1

4+5 4+0

4+0 4+5

4+4 4+4

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Conjuntos de Información y Estrategias

1.1 L1 R1

2.1

L2 R2 L2 R2

L1 R1

L2 R2

2. 2

L2 R2

L1 R1

L2 R2

2. 3

L2 R2

L1 R1

L2 R2

2.4

L2 R2

L1 R1

L2 R2

2.5

L2

1+5 1+0

1+0 1+5

1+4 1+4

1.2 1.3 1.4 1.5

5+1 0+1

5+5 0+0

5+0 0+5

5+4 0+4

0+1 5+1

0+5 5+0

0+0 5+5

0+4 5+4

4+1 4+1

4+5 4+0

4+0 4+5

Cada Jugador: 5 CI

Ej de estrategia: L1 R1 R1 L1 L1

4+4 4+4

1+1 1+1

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Subjuegos: 4 + Juego Completo

1 L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2

6 1

1 6

5 5

1 1 1 1

6 1

10 0

5 5

9 9

1 6

5 5

0 10

4 9

5 5

9 4

4 9

2 2

Subjuego1 Subjuego 2 Subjuego 3

8 8

Subjuego 4

8

Otra forma de representarlo

R2

1 L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1 1 1 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4)

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1

5 0

0 5

4 4

Los pagos totales serán (1, 1)

+ pagos en ese subjuego

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Calculamos el EN del Subjuego 1 El resultado es independiente de que se tomen los pagos

sólo de esa etapa o los pagos totales Pagos t=2 Jugador 2

L2 R2

Jug. 1 L1 1 , 1 5 , 0

R1 0 , 5 4 , 4

Pagos t=1 + t=2 Jugador 2

L2 R2

Jug. 1 L1 2 , 2 6 , 1

R1 1 , 6 5 , 5

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EN de subjuegos

§  En cada uno de los cuatro subjuegos hay un único EN que es

§  Sustituimos, por inducción hay atrás, el subjuego por sus pagos en el EN y resolvemos el juego completo

EN = {L1, L2}

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Sustituimos el subjuego por su pago en EN

1 L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1 1 1 (2, 2) (6, 1) (1, 6) (5, 5)

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1

5 0

0 5

4 4

1 1

5 0

0 5

4 4

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Calculamos EN del juego completo con “pagos sustituidos”

L2 R2

L1 2 , 2 6 , 1

R1 1 , 6 5 , 5

El pago de EN (1, 1) de la segunda etapa ha sido añadido a los pagos en t=1

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ENPS §  ENPS:

(L1 L1L1L1L1, L2 L2L2L2L2)

§  El jugador 1 juega L1 en t= 1, y juega L1 en t=2 para todo resultado posible en t=1.

§  El jugador 2 juega L2 en t= 1, y L2 en t=2 para cualquier resultado de la primera etapa

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Juego repetido de un Juego de etapa con dos EN

L2 M2 R2 L1 1 , 1 5 , 0 0 , 0

M1 0 , 5 4 , 4 0 , 0

R1 0 , 0 0 , 0 3 , 3

§  Juguemos dos veces el juego de etapa que abajo se describe en Forma Normal.

§  Notemos que tiene 2 EN y que (M1, M2) no es EN, pero tiene pagos que Pareto dominan los de los ENs.

§  ¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1 en un ENPS?

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Forma Extensiva (informal) 1

L1 R1

2 2

L2 R2 M2 L2 R2 M2

L2 R2 M2

2

L1 R1 2 2

L2 R2 M2 L2 R2 M2

L2 R2 M2

2 M1

(1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) (0, 0)

M1

(0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3) 1

(1, 1) (5, 0) (0, 5) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3) (4, 4)

1 1

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¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1 en un ENPS?

§  Sí, si usamos estrategias con “premios” y “castigos” creíbles. – Esto es, si premiamos y castigamos jugando

estrategias que sean EN §  Premio: Jugar (R1, R2)

–  Pagos: (3, 3)

§  Castigo: Jugar (L1, L2) –  Pagos de 1

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Estrategias de ENPS §  Estrategias de ENPS

Ø  t=1, jugador 1 juega M1, y el 2 juega M2. Ø  t=2,

Ø 1 juega R1 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega L1 si se jugó algo distinto.

Ø 2 juega R2 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega L2 si se jugó algo distinto.

§  ¿Por qué constituyen un ENPS? –  En cada subjuego de t=2, o se juega ( R1, R2 ), o se

juega ( L1, L2 ), por lo tanto en cada subjuego las estrategias generan un EN

–  ¿Son EN del juego completo?

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Forma extensiva 1

L1 R1

2 2

L2 R2 M2 L2 R2 M2

L2 R2 M2

2

L1 R1 2 2

L2 R2 M2 L2 R2 M2

L2 R2 M2

2 M1

(1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) (0, 0)

M1

(0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3)

1

(1, 1) (5, 0) (0, 5) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3) (4, 4)

(1, 1) (1, 1) (1, 1) (3, 3) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) +

1 1

EN del juego completo

Jugador 2 L2 M2 R2

Jugador 1 L1 2 , 2 6 , 1 1 , 1

M1 1 , 6 7 , 7 1 , 1

R1 1 , 1 1 , 1 4 , 4

-Por inducción hacia atrás, sustituimos los subjuegos por sus pagos en EN

-El juego en forma Normal que resulta tiene (M1, M2) como jugada de EN

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Intuición

§  Miremos el juego de etapa: Si 1 juega M1 al Jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 5 en

lugar de 4). Para que no se desvíe: 4 + premio > 5 + castigo, esto es 4+3 > 5+1

Lo mismo aplica al Jugador 2. Además, para que sea ENPS los premios y castigos deben ser

jugadas que sean EN

L2 M2 R2 L1 1 , 1 5 , 0 0 , 0

M1 0 , 5 4 , 4 0 , 0

R1 0 , 0 0 , 0 3 , 3

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§  Si los pagos en el desvío fueran mayores (desviarse es más atractivo) no podríamos sostener (M1, M2) en t=1 en un ENPS Si 1 juega M1 al jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 7 en

lugar de 4). Para que no se desvíe, debe ser: 4 + premio >7 + castigo, pero eso NO se cumple (7<8). El 2 se desvía, y no es ENPS.

L2 M2 R2 L1 1 , 1 5 , 0 0 , 0

M1 0 , 7 4 , 4 0 , 0

R1 0 , 0 0 , 0 3 , 3