UNIDAD 3

-Transformada de Laplace de una Función Periódica.

Matemáticas V

TRASFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA.

En los modelos matemáticos lineales para sistemas físicos tales como un sistema resorte/masa o un circuito eléctrico en serie, el miembro del lado derecho o entrada de las ecuaciones diferenciales.

M d2 xdt 2

+ B dxdt

+ kx = f(t) o L d2qdt 2

+ R d2qd t

+ 1C

q = E (t)

Es una función de conducción y representa ya sea una fuerza externa f(t) o un voltaje aplicado E(t). en la sección 5.1 consideramos los problemas en los que las funciones f y E eran continuas. Sin embargo, las funciones de conducción descontinuas son comunes. Por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser continuo en tramos y periódico tal como la función “diente de sierra” que se muestra. En este caso, resolver la ecuación diferencial del circuito es difícil usando las técnicas del capitulo anterior. La transformada de Laplace que se estudia en este capitulo es una valiosa herramienta que simplifica la solución de problemas como este.

El calculo elemental aprendió que la derivación y la integración son transformadas; esto significa, a grandes rasgos que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo la función f(x) = x2 se transforma a su vez en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cubicas, con las operaciones de derivación e integración:

ddx

x2 = 2x y ʃ x2 dx = 13

x3 + C

Además estas dos transformadas tienen la prioridad de linealidad tal que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal transformada. Para a y B constantes.

ddx

[ a f(x) + B g(x)] = af´(x) + B g´(x)

[a f(x) + B g(x)] dx = a f(x) dx + B g(x) dxʃ ʃ ʃ

Siempre que cada derivada e integral exista. En esta sección se examina un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad la transformada de Laplace tiene muchas otras prioridades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales.

TRANSFORMADA INTEGRAL si f(x, y) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f respecto a una de las variables conduce a una función de la otra variable. Por ejemplo, si se conserva y constante, se ve que ʃ 2xy2 dx = 3y2. De igual modo una integral definida como ʃa

b k (s, t) f(t) dt transforma una función de f de la variable t en una función F de la variable s. tenemos en particular interés es una transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado, [0, 8). Si f(t) define para t> 0 entonces la integral impropia ʃk(s, t ) f(t) dt se define como un limite

∫0

8

k (s , t ) f (t )dt=lim ∫0

b

k (s ,t) f (t)dt

Si existe límite en (I) entonces se dice que la integral existe o es convergente si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general el límite en (1) existirá solo para ciertos valores de la variable s.

Transformada de una función periódica

FUNCION PERIODICA si una función periódica tiene periodo T,T> 0, entonces f(t + T) = f(t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función periódica se obtiene integrando sobre un periodo.

Si f(t) es continua por tramos en [0, ∞), de orden exponencial y periódica con periodo T, entonces.

L{f(t)} = 1

1−e−sT ∫ r0 esT f(t) dt.

Demostración escriba la transformada de Laplace de f como dos integrales:

L {f ( t )=∫0

T

e−sT f ( t )dt+∫T

∞

e−sT f ( t )dt

Cuando se hace t= u + T, la ultima integral se convierte en.

∫T

∞

e−sT f ( t )=∫0

∞

e−s (u+T )du=e−sT∫T

∞

e−sT f (u )du=e−sT L {f ( t ) }¿

¿

Por tanto, L {f ( t ) }=∫0

T

e−sTf ( t )dt+e−sT L { f ( t ) } .

Resolviendo la ecuación de la ultima línea para L {f ( t ) } se demuestra el teorema.

Ejemplo 1.

Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la fig.

Solución, la función E(t) se llama de onda cuadrada y tiene periodo de T= 2. En el intervalo 0≤ t<2 , E(t ) se puede definir por

E(t)= {1 ,0≤ t<10 ,1≤ t<2

Y fuera del intervalo por f(t+2) = f(t) ahora del teorema.

L {E (t ) }=¿ 1

1−e−25 ∫0

2

e−st E ( t )dt=¿¿ 1

1−e−25 [ ∫0

1

e−sT∗1dt+∫1

2

e−st∗¿0dt ¿

= 1

1−e−2 s 1−e−ss 1 – e-2s = (1+e-s)(1 – e-s)

= 1s¿¿ .

Ejemplo 2.

La ecuación diferencial para la corriente i(t) en un circuito RL en serie de una sola malla es.

L didt

+ Ri = E(t)

Determine la corriente i(t) cuando i(0) = 0 y E(t) es la función de onda cuadrada que se muestra.

SOLUCION. Si se usa el resultado de (11) del ejemplo anterior la transformada de Laplace de la ED es

Lsl(s) + RI(s) = 1

s (1+e−s) o I(s) = 1 /L

s (s+RL

) * 1

1−e−s

Para encontrar la transformada de Laplace inversa de la ultima función primero se hace uso de la serie geométrica. Con la identificación x = e-s, s > 0 , la serie geométrica

11+ x

= 1 – x + x2 – x3 + … se convierte en 1

1−e−s = 1 – e-s + e-2s – e-3s + …

De 1

s (s+RL

) = L/Rs

– L/Rs+R/L

Se puede reescribir la ecuación como.

I(s) = 1/R ( 1/s - 1

s+R/L ) (1 – e –s – e-2s – e-3s + …)

= 1/R ( I/s – e−ss

+ e−2 ss

– e−3 ss

+ …) – 1/R (1

s+R/L - 1

s+R/L e-s + e−2 ss+R/L -

e−3 ss+R/L + …)

Aplicando la forma del segundo teorema de translación a cada término de ambas series se obtiene

I(t) = 1/R (1 – U(t – 1) + U (t – 2) – U (t – 3) + …)

Sea F seccionalmente continua y sea F función periódica con periodo p.

L {f ( t ) } = 1

1−e−sp ∫0

p

e−st f (t )dt

Demostración:

Por definición de transformada de Laplace:

L {f (t ) }=∫0

∞

e -st f(t) dt

Esta integral puede escribirse como la suma de integrales sobre periodos sucesivos:

L {f ( t ) }=∫0

∞

e -st f(t) dt = ∫0

p

e-st f(t) dt + ∫p

2 p

e-st f(t) dt +…

Nos interesa tener los mismos limites en las integrales para ello se hace la siguiente transformación:

Integral t =t , dt = dx {t=0t=0t=p t=p

Integral t =t+¿ p, dt= dt { t=0 t=0t=2 p t=p

Integral t =t+¿2p, dt= dt { t=0 t=0t=3 p t=p

Bibliografía

Zill, Dennis G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: International Thompson Editores.

Carmona Jover, Isabel (1992). Ecuaciones diferenciales. México: Addison Wesley Longman.4

Rainville, Earl D. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: Prentice Hall. Rolando Castillo Caballero. Ecuaciones diferenciales