31235416 5problemas de Vectores 49 56

TESTTESTTESTTESTTEST

R C= 2

R C= 2 R C= 3

|R| = 20

1.- Dados los vectores mostrados:

a) d)b) e)c)

2.- Dos vectores tienen de módulos 4 y 8, ¿cuál de los va-lores enteros puede ser resultante de ellos?

a) 3 d) 2b) 13 e) 14c) 10

3.- Para dos vectores perpendiculares, señalar verdaderoo falso.

I.- Módulo de su resultante es igual al módulo de sudiferencia.

II.- El módulo de la resultante es mayor que el mó-dulo de la diferencia.

III.- El módulo de uno de los vectores es mayor que elde su diferencia.

a) VFF d) FFVb) VVV e) FVVc) VFV

4.- Para dos vectores de igual módulo que forman un án-gulo de 120°, marcar verdadero o falso:

I.- Módulo de su resultante es igual al de uno de ellos.III.- Módulo de su resultante es el doble de uno de ellos.III.- El módulo de su resultante es cero.

a) VVV d) FFVb) VFV e) FVFc) VFF

5.- Dadas las relaciones, ¿cuál no corresponde?

a) d)

b) e)

c)

6.- Respecto a los vectores, señalar verdadero o falso:

I.- Al multiplicar un escalar positivo por un vector,se obtiene otro vector en el mismo sentido queel primero.

II.- Al multiplicar un escalar negativo por un vector, seobtiene otro vector en sentido contrario al primero.

III.- Un vector sólo puede ser descompuesto en dosvectores.

a) VFF d) FFFb) VVF e) FVVc) VVV

7.- Respecto a dos vectores señalar la alternativa in-correcta:

a) La resultante máxima es la suma de sus módulos.b) La resultante mínima es la diferencia de sus

módulos.c) La resultante sigue la dirección del mayor.d) La mayor resultante se da cuando están en el mis-

mo sentido.e) La menor resultante se da cuando tienen senti-

dos contrarios.

8.- Para dos vectores ortogonales:

a) Su resultante es la suma de sus módulos.b) Su resultante es la diferencia de sus módulos.c) Su resultante es mayor que su diferencia.d) El módulo de su resultante se obtiene por el teo-

rema de Pitágoras.e) El módulo de su resultante puede ser la suma de

sus módulos.

9.- Respecto a los vectores mos-trados, señalar lo correctorespecto a su resultante.

a) 10 Nb) 20 Nc) 30 Nd) 0e) N.A.

10.- ¿Qué podrás decir de la resultante de los vectoresmostrados?

a) 40 Nb) 120 Nc) 80 Nd) 40 3 Ne) 80 3 N

a = 8

b = 3

a b+ = 11

a b− = 11a b− =2 2

b a− = 5a b+ =4 20

R N= 10

PROBLEMAS DE VECTORES CAPÍTULO 3

A problemas de aplicación

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

1.- Se tienen dos fuerzas igualesa 10 N cada una, como mues-tra la figura, determinar el va-lor de su resultante.

Solución:

2.- ¿Cuál es la resultante en N, de dos fuerzas de 10 N demódulo cada una, si forman entre sí un ángulo de 90°?

Solución:

R = + + FHG

IKJ100 100 2 100

1

2b g

R N= 10 3

3.- Encontrar la magni-tud del vector

r rA B+

sabiendo que A = 5unidades, B = 8 uni-dades.

Solución:

Observamos que los vectores rA y

rB son perpendicu-

lares entre si:

R = +10 102 2

R N= 10 2

4.- En el sistema mostrado, determinar el vector resultan-

te en términos del vector A .

R A B= +

R = +5 82 2

R A B= +2 2

R = 89

R unidades≈ 9 4,

Solución:

Nos piden:

De la figura:

(2) en (1)

5.- En la figura, “M” es punto medio del vector “A”, obte-ner el vector “D ” en función de los vectores B y C .

Solución:

o En el triángulo PQR:

o En el triángulo MPQ:

o (1) en (2):

........ (1)

........ (2)

C A B= +

A C B= −

AB D

2+ =

D B C= +1

2e j

R A B C= + +

A B C= +

R A A R A= + ⇒ = 2

C BB D

− + =2

......... (1)

......... (2)

R = + + °10 10 2 10 10 602 2 b gb gcos


1.- El módulo de la resultante de dos vectores perpendi-culares es 10 y cuando forman 120° es 2 13 . Hallar elmódulo del mayor de ellos.

Solución:

o Primer caso: cuando son perpendiculares

o Segundo caso: cuando forman 120°

o Finalmente: de (1) y (2)

B problemas complementarios

A B2 2 210+ =

A B2 2

100+ = ........ (1)

A B = 48

2 13 100 21

2

2e j = + −FHG

IKJA B

........ (2)

2.- Dos vectores tienen sus módulos en la relación de5 a 6. La resultante de las dos forma 37° con el me-nor módulo. ¿Qué ángulo forman los vectoresconcurrentes?

Solución:

A = 8 B = 6

En el triángulo ABC

φ φ− ° = ° ⇒ = °37 30 67Luego:

3.- Hallar el módulo del vector resultante, si:

Solución:

Podemos observar que:

Pero piden:

Reemplazando (1) en (2):

Nótese que a y b forman 90°

........ (1)

........ (2)

4.- En el paralelogramo, determinar la resultante del sis-tema, en términos de los vectores A y B, (m y n sonpuntos medios).

Solución:

Aprovechando los puntos medios, adicionamosvectores A/2 y B/2.

R = 20

R A B C D= + + + ........ (1)

R A B A B2 2 2

2 120= + + °cos

tancos

376

5 6° =

+sen φ

φ

3

4

6

5 6=

+sen φ

φcos

3 5 6 4 6+ =cos φ φb g b gsen

15 18 24 8 6 5+ = ⇒ − =cos cosφ φ φ φsen sen

8

10

6

10

5

10senφ φ− =cos

cos cos37 371

2° − ° =sen senφ φ

sen φ − ° =371

2b g

a b= =6 8,

b d e f a c= + + − +

b a d e f c+ = + + +

R a b c d e f= + + + + +

R a b b a a b= + + + = +e j e j2

R a b a b R= + = +FHG

IKJ

⇒ = +2 2 2 6 102 2 2 2

R= 2

13


Del triángulo (I):

(2) y (3)en (1):

C AB= +2

D BA= +2

........ (2) ........ (3)

Del triángulo (II):

5.- La figura muestra untrapecio, de vérticesA, B, C, D, sabiendoque ”M” es punto me-dio del segmento AB,determinar el módu-lo de la resultante de

los vectores a y b .BC = 7 ; AD = 13

Solución:

Descomponiendo a :

Descomponiendo b :

(1) + (2):

Como q y n son paralelos:

R A B AB

BA= + + +

FHG

IKJ

+ +FHG

IKJ2 2

R A B= +5

2e j

a b+ = ?Nos piden:

........ (1)

........ (2)

6.- Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, deter-minar el valor del ángulo “θ” para que la resultante dea y b sea de 26 unidades. R es punto medio de PQ(MQ = 10 u; NP = 24 u).

a b q n+ = + = +7 13

a b+ = 20

Solución:

Descomponiendo el vector a :

Descomponiendo el vector b :

(1) + (2):

Entonces:

Según los datos y la figura:

Luego:

Finalmente:

........ (1)

........ (2)

0 (de la figura)ä

0 (de la figura)ä

a b p m+ = +

p m a b= = + =10 24 26; ;

7.- En el siguiente gráfico se muestra un triángulo condos vectores en su interior, si AB = 2 y BC = 4. Determi-nar el módulo del vector resultante. Además:AM = MN = NC

64 180° + + = °α θ

64 90 180 26° + ° + = ° ⇒ = °θ θ

a p q= +

b m n= +

a b p m q n+ = + + +

a b q n+ = +

a p q= +

b m n= +

a b p q n m+ = + + +

a b p m+ = +

a b p m p m+ = + +2 2 2

2 cos α

26 10 24 2 10 242 2 2= + + b gb gcos α

cos α α= ⇒ = °0 90


Solución:

Descomponemos los vectores y observamos que elvector MA y NC se anulan.

Lo cual se reduce a :

Equivalente a:

R = + +4 16 8

R = 2 7

8.- Hallar la medida del ángulo “α” para que la resultantede los vectores mostrados tenga módulo “L”.

Solución:

Creamos vectores ”q”y “p” aprovechando lospuntos medios; y ledamos nombre a losvectores mostrados(A y B)

Nos piden:

De la figura:

Con lo cual:

Pero:

Luego:

Con ello la figura correcta es:

A q p A p q

B p q B q p

+ = ⇒ = −

+ = ⇒ = −

2 2

2 2

A B q p+ = +

R p q= +

R L p L q L= = =; ;

9.- En la figura se muestra un hexágono regular, determi-nar el vector resultante en términos del vector “C”.

R = + + °4 2 2 4 2 602 2 b gb gcos

R p q pq2 2 2 2= + + cos α

L L L L L2 2 2 2= + + b gb gcos α

L L L2 2 22 2= + cos α

cos α α= − ⇒ = °1

2120

R R A B⇒ = +


PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

Solución:

Aprovechando que el hexágono es regular, traslada-remos los vectores A y E a la parte inferior.

En el triángulo (I): En el triángulo (II):

Ordenando R:

10.- Expresar el vector

x en función de losvectores r1 y r2 .G: baricentroM: punto medio

Solución:

R A B C D E= + + + +

C B E= + C D A= +

C A D B E C= + + + +e j e j123 123

C C

R C= 3

1.- Es posible aplicar a un cuerpo simultáneamente unafuerza de 6 kN y otra de 8 kN de modo que produzcanel mismo efecto de una sola fuerza. Determinar lamagnitud de dicha fuerza (kN).

Rpta. 10

2.- Dos fuerzas de módulo “F” forman un ángulo de 120°,determinar su resultante.

Rpta. F

3.- Si el vector C posee un módulo de 5 unidades. Hallarel módulo de la resultante del sistema mostrado.

Rpta. 10 u

Analizando el triángulo CMA

Ilustrando

r rx r x r

r r1 22 2

1 2

23

1

3 2

++ = ⇒ = −

+FHG

IKJ

x r r= −1

6 2 1e j

4.- En la figura mostradadeterminar las compo-nentes del vector

rF (en

módulo), r r rF d e= +

Rpta.

5.- La figura muestra tres vectores rA , rB y

r

C . El vector re-sultante de:

r r rB C A+ − , es el indicado en la figura por:

F

Fx

y

==

9

6


6.- Determinar la magnitud del vector resultante si cadacuadrado tiene de lado 10 m.

Rpta.

(A) (B) (C)

(D) (E)

7.- Sea el vector A = (4 ; -3). Determinar un vector unita-rio en la dirección de A .

Rpta.

8.- Si: A j B j i C i= = − =2 4 3 2$ ; $ $ ; $

Calcular:

Rpta. 37

9.- La magnitud de la resultante de dos fuerzas varía des-de un valor mínimo de 3 hasta un máximo de 12, a me-dida que varía el ángulo comprendido entre las fuer-zas. Determinar el valor de la mayor de las fuerzas.

Rpta. 7,5

10.- Hallar la resultante del sistema vectorial (módulo).

Rpta.

4

5

3

5$ $i j−

A B C+ +

R = 0

1.- Hallar el módulo de “rP”

para que la resultantedel sistema sea una fuer-za horizontal de 280 N.

Rpta.

2.- Determinar en la figuraque se muestra, el ángu-lo “α” para que la resul-tante quede en el eje “x”.

Rpta. α = 30°

3.- Un jugador de fútbol está corriendo a una velocidadde 3 m/s, hacia el norte. Después de una violenta coli-sión con otro futbolista, tiene una velocidad de 4 m/s,hacia el este. ¿Cuál de los vectores representa el cam-bio de su velocidad? ¿porqué?

B problemas complementarios

P N= 56 10

4.- En el siguiente con-junto de vectores.¿Cómo deben ser lascomponentes delvector D, si la resul-tante del sistema devectores es cero?además:A = 25; C = 30y θ = 217°.

Rpta. (5; -4)

5.- Los vectores A y B forman un ángulo “α”. Hallar el án-gulo entre −A y −B si: A i j B i j= + = +3 4$ $ ; $ $

Rpta. 8°

Rpta. Ae j

10 2 m

k 3


7.- Calcular la expresión vectorial del vector DE para quela resultante de DB , FG y DE (suma) sea nulo.

9.- Hallar: q – p; sabiendo que en el paralelogramo ABCDmostrado se cumple: AC AE= 5 ; BC BF= 3 y además:

EF pAD qAB= + .

Rpta. 2/3

6.- Hallar el módulo de la resultante del sistema mostrado.

Rpta. 10 u

Rpta. 2b i$

8.- Sea un vector A = (6 ; 8) en las coordenadas xy, deter-mine las nuevas coordenadas del vector A en un siste-ma de coordenadas x’y’, que resulta de girar el sistemaxy anterior un ángulo θ = 16° en sentido antihorario.¿Qué ocurre con el módulo?

Rpta. A A= =8 6 10; ;b g

10.- Hallar el módulo de la resultante del sistema.

Rpta: 45,5 u


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