CALCULO INTEGRAL

ACT. 10 TRABAJO COLABORATIVO 2

TEMATICA INTEGRALES DEFINIDAS

ANDREA MAYERLY ALBARRACÍN MONSALVE

LUCERO MONTAÑO SANCHEZ

YENNY ADRIANA HUELGOS

MAURICIO DAVID PEREZ RAMIREZ

CURSO: 100411_336

TUTOR: JAVIER MELO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,TECNOLOGIA E INGENIERIA

OCTUBRE 2013

INTRODUCCION

El presente trabajo colaborativo, tiene por objeto lograr el aprendizaje de los estudiantes basado en la solución de los problemas propuestos sobre el tema de Integrales Definidas estipuladas en la guía del trabajo colaborativo No.2. Para el desarrollo del trabajo nos hemos apoyado en la herramienta indicada por el tutor llamada Editor de Ecuaciones de Word. Antes de entrar a resolver los ejercicios de la guía, es importante tener claro que la integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Como estudiantes en etapa de crecimiento y en pro de nuestro futuro laboral, es importante tener en cuenta que el aprendizaje y la puesta en práctica de los conocimientos que estamos adquiriendo en el módulo de Cálculo Integral, los cuales serán una de las principales herramientas matemáticas que tendremos a disposición. Esta herramienta, nos permitirá realizar el análisis y soportar nuestras decisiones en las diferentes áreas de la ingeniería, tales como Industrial, Civil, Hidráulica, Mecánica etc, así mismo sirve de apoyo en otras áreas como la estadística, la mecánica de suelos, la mecánica de sólidos. En esta asignatura se requiere que el estudiante disponga de bases sólidas en álgebra, geometría analítica, trigonometría.

DESARROLLO Si su grupo colaborativo termina en los dígitos 5 o 6 realice los siguientes 5 ejercicios: 11. Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

Lección No 18. Lección No 24. Lección No 30.

LECCION No 18. INTEGRAL INMEDIATA

∫ −4

5𝑒3𝑥𝑑𝑥

= −4

5∫ 𝑒3𝑥 𝑑𝑥

= −4

5∗

𝑒

3

3𝑥

+ 𝑐

= −4

15∗ 𝑒3𝑥 + 𝑐

LECCION No. 24 INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA CASO

II

∫ √36 + 𝑥2 ∗ 𝑑𝑥

𝑥 = 6 tan 𝜃

𝑑𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

∫ √36 + 𝑥2 ∗ 𝑑𝑥

= ∫ √36 + 62𝑡𝑎𝑛2 𝜃 6 ∗ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

= ∫ √36(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃)1 ∗ 6 ∗ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

= ∫ 6√1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 ∗ 6 ∗ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

= ∫ 6√𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∗ 6 ∗ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

= 36 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

= 36 ∫ 𝑠𝑒𝑐3𝜃 𝑑 𝜃

= 36 [1

2𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗ tan 𝜃 +

1

2∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑 𝜃] + 𝑐

= 18 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 18 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑 𝜃 + 𝑐

= 18 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 18|𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + tan 𝜃| + 𝑐

= 18√𝑥2 + 36

6∗ (

𝑥

6) + 18 𝑙𝑛 |

√𝑥2 + 36

6+

𝑥

6| + 𝑐

=18𝑥

36 √𝑥2 + 36 + 18 𝑙𝑛 |

√𝑥2 + 36 + 𝑥

6| + 𝑐

=𝑥

2 √𝑥2 + 36 + 18 𝑙𝑛 |

√𝑥2 + 36 + 𝑥

6| + 𝑐

LECCION No 30. INTEGRACION DE LA FUNCION HIPERBOLICA

= ∫ −8

7tan ℎ (5𝑥) 𝑑 𝑥

= −8

7∫ tan ℎ (5𝑥) 𝑑 𝑥

𝑢 = 5𝑥

𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥

= −8

7∫

tan ℎ 𝑢 𝑑 𝑢

5

= −8

35∫ tan ℎ 𝑢𝑑𝑢

= −8

35ln|cosh(𝑢)| + 𝑐

= −8

35ln|cos h(5𝑥)| + 𝑐

12. La solución de la siguiente integral definida ∫ 𝑥8 1

−1𝑆𝑒𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 es:

A. 0 C. 10 B. ∞ D. 5

Como 𝑓(𝑥) = 𝑥8 𝑆𝑒𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 es el producto de una función par por una función impar, el resultado es una función impar, por lo tanto su resultado será 0.

13. La solución de la siguiente integral definida ∫ (𝑡2

6+ 4𝑡) 𝑑𝑥

20

8 es:

A. 500 C. 1000 B. 1750 D. 1088

∫ (𝑡2

6+ 4𝑡) 𝑑𝑥

20

8

=𝑡3

18+ 2𝑡2

20 8

=203

18+ 2(20)2 − [(

83

18+ 2(8)2)] = 1088

14. La solución de la siguiente integral ∫ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥)𝑆𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 es:

a) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

2−

𝐶𝑜𝑠(5𝑥)

10+ 𝑐 c)

𝑇𝑎𝑛(𝑥)

2−

𝑆𝑒𝑐(5𝑥)

10+ 𝑐

b) 𝑆𝑒𝑛(𝑥)

2−

𝑆𝑒𝑛(5𝑥)

10+ 𝑐 d)

𝐶𝑠𝑐(𝑥)

2−

𝐶𝑠𝑐(5𝑥)

10

∫ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥)𝑆𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = ∫1

2 [𝐶𝑜𝑠(3𝑥 − 2𝑥) − 𝐶𝑜𝑠 (3𝑥 + 2𝑥)] =

1

2 ∫[𝐶𝑜𝑠(𝑥) − 𝐶𝑜𝑠 (5𝑥)]𝑑𝑥 =

𝑆𝑒𝑛(𝑥)

2−

𝑆𝑒𝑛 (5𝑥)

10= 𝑐

15. La solución de la siguiente integral, mediante el método de fracciones parciales,

∫𝑥+1

𝑥3+𝑥2−6𝑥𝑑𝑥 es:

A. In|𝑥 − 2| −5

15 In|𝑥 + 2| C. −

1

6In|𝑥| +

3

10 In|𝑥 − 2| −

2

15In|𝑥 + 3| + 𝑐

B. −6 In|𝑥| − 3In|𝑥 − 2| + 𝑐 D. −In|𝑥| − 3In|𝑥 − 2| − 5In|𝑥 + 2|

∫𝑥 + 1

𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥𝑑𝑥

= 𝑥2 + 𝑥2 − 6𝑥 = 𝑥8𝑥 − 2)(𝑥 + 3) =𝑥+1

𝑥3+𝑥2−6𝑥=

𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥−2+

𝐶

𝑥+3

⇒ 𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) + 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2)

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 ⇒ 𝐴 = −1

6

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 ⇒ 𝐵 = 3

10

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 ⇒ 𝐴 = −2

15

∫𝑑𝑥

𝑥2 − 4= ∫

−16

𝑥𝑑𝑥 + ∫

310

𝑥 − 2𝑑𝑥 + ∫

−2

15𝑥 + 3

= −1

6In|𝑥| +

3

10 In|𝑥 − 2| −

2

15In|𝑥 + 3| + 𝑐

Tabla de respuestas

A B C D

12 X

13 X

14 X

15 X

CONCLUSIONES A través de este trabajo colaborativo, logramos poner en práctica los conocimientos aprendidos en el módulo de Cálculo integral, específicamente en los temas de Integrales Definidas como Integral Inmediata, Integración por sustitución trigonométrica caso II, integración de la función hiperbólica, y solución de integrales mediante el método de fracciones parciales; para esto nos apoyamos en la herramienta indicada por el tutor llamada Editor de Ecuaciones de Word. Estamos seguros de que todos los temas que aprendamos en el desarrollo de este módulo serán de gran importancia en nuestoo ámbito laboral.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Módulo de Cálculo Integral UNAD. Blanco Romero, José pedro. Agosto de 2010. Rubrica de Guía de Trabajo Colaborativo No. 2 Cálculo Integral UNAD http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_definida. Editor de Ecuaciones de Word.