Didáctica de matemáticas

Aportes y reflexiones

Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)

Editorial Paidós Educador

Primera edición, 1994

Quinta reimpresión, 1997

Buenos Aires

Este material se utiliza con fines

exclusivamente didácticos

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ÍNDICE

Lista de autores............................................................................................................................9

Prólogo ......................................................................................................................................11

1. Matemática para no matemáticos, por Luis A. Santaló ............................................................21

2. La didáctica de las matemáticas, por Grecia Gálvez................................................................39

3.Aprender (por medio de) la resolución de problemas, por Roland Charnay..............................51

4. Los diferentes roles del maestro, por Guy Brousseau ...............................................................65

5. El sistema de numeración: un problema didáctico, por Delia Lerner y Patricia Sadovsky ........95

6.Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz................................................185

7.Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra.......................................................219

8.La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometríaen la escuela elemental, por Grecia Gálvez................................................................................273

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CAPÍTULO III. APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DEPROBLEMAS*

Roland Charnay

Para un espíritu científico todo conocimiento es una respuesta a una pregunta. Si no ha habido

pregunta no puede haber conocimiento científico. Nada viene solo, nada es dado. Todo es construido.BACHELARD, La formación del espíritu científico

¿Lecciones de la historia?

La historia de la matemática, en la complejidad de su evolución y de sus revoluciones, ilustra bien

esta cita de Bachelard. Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sidotraducidas en otros tantos problemas. Estas preguntas han variado en sus orígenes y en sus contextos:

problemas de orden doméstico (división de tierras, cálculo de créditos ... ); problemas planteados en estrecha

vinculación con otras ciencias (astronomía, física ... ); especulaciones en apariencia “gratuitas” sobre“objetos” pertenecientes a las matemáticas mismas, necesidad de organizar elementos ya existentes, de

estructurarlos, por ejemplo, por las exigencias de la exposición (enseñanza ... ), etcétera.

De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de laelaboración de la ciencia matemática. “¡Hacer matemática es resolver problemas!”, no temen afirmar

algunos.

Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad. Los problemas a menudo ofrecen resistencia; lassoluciones son casi siempre parciales, aun si destellos geniales provocan avances espectaculares... que a

veces no son reconocidos desde el principio. “En el uso frecuente de textos originales y también en el de

obras generales –suma de saberes históricamente acumulados en este dominio– hemos descubierto un tejidocomplejo y difuso hecho de conjeturas, de dudas, de gaffe, de modelos concurrentes, de intuiciones

fulgurantes y también de momentos de axiomatización y síntesis”, escriben A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer

en el prefacio de su libro.¿Pueden estas consideraciones (muy esquemáticas) sobre el origen del conocimiento matemático y

sobre las condiciones de su elaboración encontrar eco en una reflexión sobre la cuestión del aprendizaje

matemático en el contexto escolar? La respuesta debe ser prudente y cuidadosa: las herramientas o nocioneselaboradas en una época determinada lo han sido, en efecto, en un contexto cultural, socioeconómico...., que

no es aquel en el que viven nuestros alumnos. Resta decir que son los problemas que les han dado origen (ylos que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las matemáticas producidas. Esta es, tal vez,

la principal lección que tener en cuenta en la enseñanza.

Construir el sentido...

Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la

enseñanza de la matemática es precisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado, tengasentido para el alumno.

Para G. Brousseau (1983),

el sentido de un conocimiento matemático se define:

– no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado comoteoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha

encontrado como medio de solución,

– sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, deeconomías que procura, de formulaciones que retoma, etc.

* En Grand N, revista de matemática, ciencias y tecnología para los maestros de la escuela primaria y pre-primari a, nº

42, enero 1988, Documento CRDP, Grenoble, Francia. Traducción del francés de Santiago Ruiz en colaboración conGema Fioriti y María Elena Ruiz, y publicado con autorización del CRDP (Centre Regional de Documentation

Pédagogique).

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Agreguemos que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos

niveles:

• un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límitesde este campo?

• un nivel “ interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona unalgoritmo y por qué conduce al resultado buscado?).

La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los

conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno?

El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situacionesnuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.

Y es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver

problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas podrán serestudiadas por sí mismas.

Estrategia de aprendizaje

Se plantea entonces al docente la elección de una estrategia de aprendizaje. Esta elección (que cada

uno hace al menos implícitamente) está influida por numerosas variables: el punto de vista del docente sobrela disciplina enseñada (¿qué es la matemática?, ¿qué es hacer matemática?), su punto de vista sobre los

objetivos generales de la enseñanza y sobre aquellos específicos de la matemática, su punto de vista sobre los

alumnos (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas de lainstitución (explícitas, implícitas o supuestas), de la demanda social o también de la de los padres...

Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apoyar en la idea de “contrato didáctico”,

tal como Brousseau lo ha definido:

conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y

conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro, y que regulan elfuncionamiento de la clase y las relaciones maestro-alumnos-saber, definiendo así los roles de cada

uno y la repartición de las tareas: ¿quién puede hacer qué?, ¿quién debe hacer qué?, ¿cuáles son

los fines y los objetivos?...

Así, una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se “ juegan” entreestos tres polos: maestro, alumno, saber:

analizando:

– la distribución de los roles de cada uno,– el proyecto de cada uno,

– las reglas del juego: ¿qué está permitido, qué es lo que realmente se demanda, qué se espera, qué

hay que hacer o decir para “mostrar que se sabe”....?Muy esquemáticamente se describirán tres modelos de referencia:

1. El modelo llamado “normativo” (centrado en el contenido)

Se trata de aportar, de comunicar un saber a los alumnos. La pedagogía

es entonces el arte de comunicar, de “hacer pasar” un saber.– El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los

ejemplos.– El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento;

luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica.

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– El saber ya está acabado, ya construido.Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o

mayeúticos (preguntas/respuestas).

2. El modelo llamado “incitativo” (centrado en el alumno)

Al principio se le pregunta al alumno sobre sus intereses, sus

motivaciones, sus propias necesidades, su entorno.

– El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda autilizar fuentes de información, responde a sus demandas, lo remite a

herramientas de aprendizaje (fichas), busca una mejor motivación(medio: cálculo vivo de Freinet, centros de interés de Decroly).

– El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende (a menudo de manera próxima a lo que es la

enseñanza programada).– El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estructura propia de este saber pasa

a un segundo plano).Se reconocen allí las diferentes corrientes llamadas “métodos activos”.

3. El modelo llamado “aproximativo” (centrado en la

construcción del saber por el alumno)

Se propone partir de “modelos”, de concepciones existentes en el

alumno y “ponerlas a prueba” par mejorarlas, modificarlas o construirnuevas.

– El maestro propone y organiza una serie de situaciones con

distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones),organiza las diferentes fases (investigación, formulación, validación,

institucionalización).

– Organiza la comunicación de la clase, propone en el momento adecuado los elementosconvencionales del saber (notaciones, terminología).

– El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compañeros, lasdefiende o las discute.

– El saber es considerado con su lógica propia.

Notemos que ningún docente utiliza exclusivamente uno de los modelos; que el acto pedagógico en

toda su complejidad utiliza elementos de cada uno de los modelos..., pero que, a pesar de todo, cada uno

hace una elección, consciente o no y de manera privilegiada, de uno de ellos.Agreguemos que el estudio de estos modelos provee una buena herramienta de análisis de las

situaciones didácticas y de reflexión para los docentes en formación.

Tres elementos de la actividad pedagógica se muestran privilegiados para diferenciar estos tresmodelos y reflexionar sobre su puesta en práctica:

– El comportamiento del docente frente a los errores de sus alumnos: ¿qué interpretación hace de

ellos?, ¿cómo interviene?, ¿para hacer qué?, ¿qué demanda, entonces a sus alumnos?– Las prácticas de utilización de la evaluación: ¿de qué sirve la evaluación?, ¿en qué momento

interviene en el proceso de aprendizaje?, ¿bajo qué formas?

– El rol y el lugar que el maestro asigna a la actividad de resolución de problemas: ¿qué es para él unproblema?, ¿cuándo utiliza problemas, en qué momentos del aprendizaje?, ¿con qué fin?

A continuación, nos interesamos esencialmente en este tercer punto. Para esto, proponemos unesquema, inspirado en un artículo de R. Champagnol (Revue Française de Pédagogie) que resume las

diversas posiciones respecto a la utilización de la resolución de problemas en relación con los tres modelos

de aprendizaje descritos anteriormente.

1) El problema como criterio del aprendizaje (modelo llamado “normativo”)

mecanismos • lecciones (adquisición)

• ejercicios (ejercitación)

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sentidos • problemas (utilización de los conocimientos para elalumno, control para el maestro)

– lo que conduce a menudo a estudiar t ipos de problemas: confrontado a un nuevo problema, el

alumno busca si ya ha resuelto uno del mismo tipo.– es el modelo de referencia de numerosos manuales, siendo la idea subyacente que es necesario

partir de lo fácil, de lo simple, para acceder a lo complejo, y que un conocimiento complejo puede ser, para

el aprendizaje, descompuesto en una serie de conocimientos fáciles de asimilar y que, finalmente, todoaprendizaje debe ir de lo concreto a lo abstracto.

2) El problema como móvil del aprendizaje (modelo llamado “incitativo”)

motivación • situación basada en lo vivido

mecanismo • aporte de conocimientos

• práctica, ejercicios

resignificación • problemas

– al principio, se desea que el alumno sea un “demandante activo, ávido de conocimientosfuncionalmente útiles”.

– pero las situaciones “naturales” son a menudo demasiado complejas para permitir al alumno

construir por sí mismo las herramientas y, sobre todo, demasiado dependientes de “ lo ocasional” para quesea tenida en cuenta la preocupación por la coherencia de los conocimientos.

3) El problema como recurso de aprendizaje (modelo llamado “apropiativo”)

La resolución de problemas

como fuente, lugar y criterio de

la elaboración del saber

Acción

Formulación

Validación

institucionalización

• situación-problema (el alumno busca unprocedimiento de resolución)

• formulación-confrontación de losprocedimientos, puesta a prueba

• nueva situación con diferentes obstáculos:

nuevos procedimientos, etcétera.

• nueva herramienta

• ejercitación

• síntesis, lenguaje convencional

• problemas: evaluación para el maestro,resignificación para el alumno

– es principalmente a través de la resolución de una serie de problemas elegidos por el docente como

el alumno construye su saber, en interacción con los otros alumnos.– la resolución de problemas (y no de simples ejercicios) interviene así desde el comienzo del

aprendizaje.

Opciones a favor de una elección

Estas opciones se apoyan en resultados de investigación y dependen, por una parte, de elecciones

ideológicas. Ellas se basan en la pregunta “¿Cómo aprenden los alumnos?”.1) Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que pasan de estados de equilibrio a estados

de desequilibrio, en el transcurso de los cuales los conocimientos anteriores son cuestionados. Una nuevafase de equilibrio corresponde entonces a una fase de reorganización de los conocimientos, donde los nuevos

saberes son integrados al saber antiguo, a veces modificado (cf. Piaget).

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Así, un nuevo saber puede cuestionar las concepciones del alumno originadas por un saber anterior:

por ejemplo, el estudio de los decimales debería conducir al alumno a cuestionar la idea de que la

multiplicación “agranda” siempre (idea que él ha podido elaborar estudiando los naturales).Del mismo modo, un saber adquirido puede hacerse fracasar fácilmente aun ante mínimas

modificaciones de las variables de la situación: así, G. Vergnaud (1981) ha mostrado que la “noción de

adición” o las estructuras aditivas no son totalmente dominadas hasta muy tarde...

2) El rol de la acción en el aprendizaje

Piaget también ha subrayado el rol de “ la acción” en la construcción de conceptos. Por supuesto, setrata de la actividad propia del alumno que no se ejerce forzosamente en la manipulación de objetos

materiales, sino de una acción con una finalidad, problematizada, que supone una dialéctica pensamiento-acción muy diferente de una simple manipulación guiada, tendiente a menudo a una tarea de constatación por

parte del alumno... Hay que subrayar aquí el rol de la anticipación: la actividad matemática consiste a

menudo en la elaboración de una estrategia, de un procedimiento que permite anticipar el resultado de unaacción no realizada todavía o no actual sobre la cual se dispone de ciertas informaciones.

3) Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema para resolver...... es decir cuando reconoce el nuevo conocimiento como medio de respuesta a una pregunta. Aquí

también podemos recurrir a Piaget, para quien el conocimiento no es ni simplemente empírico

(constataciones sobre el medio) ni preelaborado (estructuras innatas), sino el resultado de una interacciónsujeto-medio (cf. arriba punto 2). Lo que da sentido a los conceptos o teorías son los problemas que ellos o

ellas permiten resolver.

Así, es la resistencia de la situación la que obliga al sujeto a acomodarse, a modificar o percibir loslímites de sus conocimientos anteriores y a elaborar nuevas herramientas (idea de conflicto cognitivo). Habrá

que tener esto en cuenta para la elección de las situaciones.

En la misma perspectiva, se tiende a preferir la motivación propia de la actividad propuesta(dificultad que se desea salvar, franquear) a la motivación externa (necesidades de la vida corriente,

observaciones) cuyo interés, sin embargo, no se debe descartar: el problema es entonces percibido como un

desafilo intelectual.

4) Las producciones del alumno son una información sobre su "estado de saber"En particular, ciertas producciones erróneas (sobre todo si ellas persisten) no corresponden a una

ausencia de saber sino, más bien, a una manera de conocer (que a veces ha servido en otros contextos) contra

la cual el alumno deberá construir el nuevo conocimiento. El alumno no tiene jamás la cabeza vacía: nopuede ser considerado como una página en blanco sobre la cual será suficiente imprimir conocimientos

correctos y bien enunciados.

5) Los conceptos matemáticos no están aislados

Hay que hablar más bien de campos de conceptos entrelazados entre ellos y que se consolidan

mutuamente: de ahí la idea de proponer a los alumnos campos de problemas que permitan la construcción deestas redes de conceptos que conviene elucidar previamente (tarea que pasa a ser fundamental ... ) .

6) La interacción social es un elemento importante en el aprendizajeSe trata tanto de las relaciones maestro-alumnos como de las relaciones alumnos-alumnos, puestas

en marcha en las actividades de formulación (decir, describir, expresar), de prueba (convencer, cuestionar) o

de cooperación (ayuda, trabajo cooperativo): idea de conflicto sociocognitivo, sobre todo entre pares.

En el triángulo docente-alumnos-problema

Trataremos de precisar las características de estas relaciones en el cuadro de un aprendizaje que se

apoya en la resolución de problemas.

Relación entre la situación-problema y los alumnos:

– La actividad debe proponer un verdadero problema por resolver para el alumno: debe sercomprendido por todos los alumnos (es decir que éstos puedan prever lo que puede ser una respuesta al

problema).

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– Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores...., no quedar desarmado frente a

ella.

– Pero, sin embargo, debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacerevolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos, a elaborar nuevos (problema abierto a la

investigación del alumno, sentimiento de desafío intelectual).

– Finalmente, es deseable que la sanción (la validación) no venga del maestro, sino de la situaciónmisma.

Relación docente-alumno

¿Qué percepción tiene el alumno de las expectativas del maestro? Las relaciones pedagógicas debenconducir a los alumnos a percibir que les es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que

afirman que solicitar pruebas a los otros.

– Una distinción neta debe ser establecida entre los aportes del docente y las pruebas que losalumnos aportan.

Relación maestro-situación

– Le corresponde al maestro ubicar la situación propuesta en el cuadro del aprendizaje apuntado,

distinguir el objetivo inmediato de los objetivos más lejanos, elegir ciertos parámetros de la situación (ideade “variables didácticas” de la situación).

– El conocimiento considerado debe ser el más adaptado para resolver el problema propuesto (desde

el punto de vista de los alumnos).– Le corresponde también observar las incomprensiones, los errores significativos, analizarlos y

tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones.

– Le corresponde, en fin, provocar o hacer la síntesis.

¿Qué problemas elegir? ¿Qué puesta en marcha pedagógica?

Una precisión ante todo: el término “problema” utilizado aquí no se reduce a la situación propuesta

(enunciado-pregunta). Se define, más bien, como una terna: situación-alumno-entorno. Sólo hay problema si

el alumno percibe una dificultad: una determinada situación que “hace problema” para un determinadoalumno puede ser inmediatamente resuelta por otro (y entonces no será percibida por este último como un

problema). Hay, entonces, una idea de obstáculo a superar. Por fin, el entorno es un elemento del problema,

en particular las condiciones didácticas de la resolución (organización de la clase, intercambios, expectativasexplícitas o implícitas del docente).

Sin duda conviene diferenciar los objetivos de la actividad de resolución de problemas:

– Objetivos de orden “metodológico”: en una palabra, “aprender a resolver problemas, a investigar”.

El objetivo está, de alguna manera, en la actividad misma (cf. práctica del “problema abierto” descrito por elIREM de Lyon);

– Objetivos de orden “cognitivo”: se apunta a un conocimiento (noción, algoritmo) a través de la

actividad de resolución de problemas. Se puede, entonces, desde este punto de vista, distinguir entre losproblemas que se sitúan en la fuente de un nuevo aprendizaje y aquellos que se utilizan como problemas de

resignificación.

Desde esta última óptica, se pueden considerar algunas cuestiones que se le plantean al maestro

respecto de un conocimiento dado:

– Elección de enseñar una determinada concepción del conocimiento considerado (problema detransposición didáctica): ¿cuáles son las concepciones tomadas en cuenta (estado actual de este

conocimiento, de su enseñanza, estados anteriores, evolución histórica, diferentes aspectos): cuestiones de

epistemología; cuáles son las concepciones posibles con los alumnos de un determinado nivel de enseñanzaen relación con los niveles precedentes y siguientes?, ¿de qué tipo de saber se trata (formal, descriptivo u

operativo, funcional)?

– Elección de la situación o más bien de la serie de situaciones a proponer a los alumnos. La idea deobstáculo es aquí importante: sin los conocimientos anteriores adecuados para resolver el problema no hay

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interés por movilizar una nueva herramienta. La elección es difícil: es necesario no desmovilizar al alumno

con una dificultad demasiado grande ni dar la impresión de “derribar puertas abiertas con una excavadora”.

– Elección de una puesta en marcha pedagógica. No hay soluciones tipo, pero se puede anticipar conla mayor parte de los didactas actuales una estrategia de referencia que comprenda varias etapas: investigar

individualmente y/o en grupos, formular oralmente o por escrito, validar, institucionalizar (identificación del

saber, convenciones para el lenguaje, las notaciones), evaluar, proceso que puede extenderse en variassesiones e incluso utilizar varias situaciones problemas.

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BIBLIOGRAFÍA

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Brousseau, G., “Les obstacles epistémologiques et les problémes d'enseignement”, Recherches en

didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage), 1983, nº 4.2., pág. 170.Dahan-Dalmedico, A., y Peiffer, J.: Une histoire des mathématiques, París, Le Seuil p. 9.

Equipe math. INRP: “Comment font-ils? L'écolier et le probléme de mathématiques”, RencontresPédagogiques, París, 1984, nº 4.

ERMEL: “Apprentissages mathématiques á l’école elementaire” cycle moyen (SERMAP-HATIER), 3

tomos, 1982.Irem de Lyon , “La pratique du probléme ouvert”, Universidad Claude Bernard, Villeurbanne, s/f.

Vergnaud, G., “Quelques orientations theoriques et methodologiques des recherches françaises en

didactique des mathématiques”, Recherches en didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage),1981, n. 2.2., pág. 220.