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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE
MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre 2010
MAT 1610 - CACULO I
CONTROL 3 FILA A
Nombre..................................................
(1) Calcule el siguiente lmite identificandolo como una suma de
Riemann
limn
nk=1
2k 1n3
Solucion.Tenemos que:4
n
nk=1
4k
n=n
k=1
4k
n
(4k
n 4(k 1)
n
)se corresponde la suma de Riemann de f(x) =
x en el intervalo [0, 4] considerando la
particin
Pn =
{0,4
n,4 2n
,4 3n
, . . . ,4 (n 1)
n, 4
}y evaluando
x en el extremo derecho
4k
ndel k-esimo subintervalo.
Comox es continua en [0, 4], por teorema visto en clases tenemos
que
limn
4
n
nk=1
4k
n= lim
n
nk=1
4k
n
(4k
n 4(k 1)
n
)=
40
x dx =
2
3x3/2
4
0
=16
3
Asignacion de puntos Manipular la suma para mostrar la suma de
Riemann, 1 punto Mostrar la particin y el punto en el cual se evala
la funcin, 1 punto Justificar el limite es la integral por el
teorema visto en clases, 0,5 puntos Calcular la integral de manera
correcta, 0,5 puntos
(2) Calcule el promedio P de la funcion f(x) = [x] +x entre 0 y
3. Existe un numero
c [0, 3] tal que f(c) = P? Justifique.
Solucion.Sabemos que el promedio f de la funcion f(x) para x
entre a y b esta dado por
f =1
b a ba
f(x) dx
1
-
2en nuestro caso
f =1
3
30
([x]+x) dx =
1
3
[ 30
[x] dx+
30
x dx
]=
1
3
[ 10
[x] dx+
21
[x] dx+
32
[x] dx+
30
x dx
][Por separar en foma adecuada 1 punto]
f =1
3
[0 +
21
dx+
32
2 dx+2
3x32 |30]
= 1 +2
3
3
[Por resolver correctamente las integrales 1 punto]
Como la funcion no es continua no podemos aplicar el teorema del
valor intemedio paraintegrales.Veamos si para algun x entre 0 y 3,
f(x) = [x] +
x = 1 + 2
3
3.
Claramente x no puede ser menor que 1, ya que en ese caso f(x)
< 1. Veamos si existex en en [1, 2) tal que f(x) = 1 +
x = 1 + 2
3
3, vemos que x = 4
3satisface la ecuacion y
esta en el intervalo dado.Vemos entonces que f(4
3) = f.
[ Por encontrar x tal que f(x) = f 1 punto][Si no lo encuentran,
pero observan que no se puede aplicar el teorema del valor
intemedio
para integrales. 0.5 punto]
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3PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE
MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre 2010
MAT 1610 - CACULO I
CONTROL 3 FILA B
Nombre..................................................
(1) Calcule el siguiente lmite identificandolo como una suma de
Riemann
limn
4
n
nk=1
4k
n
Solucion.
Tenemos quen
k=1
2k 1n3
=1
n
nk=1
k + (k 1)
n=
1
n
nk=1
2
(k + (k 1)
2n
)se corresponde la suma Riemann de f(x) =
2x en el intervalo [0, 1] considerando la
particin regular
Pn =
{0,1
n,2
n,3
n, . . . ,
(n 1)n
, 1
}y evaluando en el punto medio
k + (k 1)2n
del k-esimo subintervalo.
Como2x es continua en [0, 1] por teorema visto en clases tenemos
que
nk=1
2k 1n3
=
10
2x dx =
1
3x3/2
2
0
=22
3
Asignacion de puntos Manipular la suma para mostrar la suma de
Riemann, 1 punto Mostrar la particin y el punto en el cual se evala
la funcin, 1 punto Justificar el limite es la integral por el
teorema visto en clases, 0,5 puntos Calcular la integral de manera
correcta, 0,5 puntos
(2) Calcule el promedio P de la funcion f(x) = |x + [x]| entre
-2 y 2. Existe un numeroc [0, 3] tal que f(c) = P?
Justifique.Solucion.
Sabemos que el promedio f de la funcion f(x) para x entre a y b
esta dado por
f =1
b a ba
f(x) dx
en nuestro caso
f =1
4
22|x+ [x]| dx = 1
4
[ 02(x+ [x]) dx+
20
(x+ [x]) dx
]
-
4f =1
4
[ 12
(2 x) dx+ 01(1 x) dx+
10
x dx+
21
(1 + x) dx
][Por separar en foma adecuada 1 punto]
=1
4
[(2x 1
2x2)|12 + (x
1
2x2)|01 +
1
2x2|10 + (x+
1
2x2)|21
]= 2
[Por resolver correctamente las integrales 1 punto]
Como la funcion no es continua no podemos aplicar el teorema del
valor intemedio paraintegrales.Veamos si para algun x entre -2 y 2,
f(x) = [x] +
x = 2.
Si x esta en [2,1), f(x) = 2 x 6= 2 en ese intervalo.Si x esta
en [1, 0), f(x) = 1 x, f(x) = 2 si x = 1 . Vemos entonces que f(1)
= 2.[ Por encontrar x tal que f(x) = f 1 punto][Si no lo
encuentran, pero observan que no se puede aplicar el teorema del
valor intemedio
para integrales. 0.5 punto]
