Estructuras II (B)

1

PUNTO 3:

Estado de Corte Puro. Para corte puro la circunferencia de Mohr aparece centrada en el origen.

x = y = 0

xy yx

xy

0σbhF

yx

yxxy

σ

ττ 1,5

==

== −

21 σσττ .xy −=== máx

xy

45°

xy =

ROTURA (Plano más traccionado)

-

Fisura de tracción por corte (en Hº Aº)

Barra de acero a 45º para que tome las tracciones en el punto 3.

-

+

Armado de una viga de HºAº

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2

LINEAS ISOSTATICAS.

Supongamos que partiendo de un punto de la viga nos desplazamos una pequeña distancia siguiendo la dirección principal σ1 y a partir de ese lugar volvemos a avanzar otra pequeña distancia siguiendo ahora la dirección de σ1 del nuevo punto y así sucesivamente, obtendremos entonces una línea continua que tendrá en todo punto la dirección

principal máxima. Podemos repetir el procedimiento tomando otros puntos, y obtendremos otras trayectorias. También podemos hacerlo siguiendo la dirección de σ2 y obtendremos trayectorias que cortarán perpendicularmente a las anteriores, de esto resulta una red ortogonal llamada RED DE LÍNEAS ISOSTÄTICAS o trayectorias de las tensiones. Ello nos da una interpretación gráfica muy útil sobre el comportamiento estructural, dado que toda estructura continua se comporta como una red de alambres traccionados o comprimidos siguiendo estas líneas isostáticas. Ejemplo (chapa agujereada)

σ2 σ1

σy

ESTADO TENSIONAL TRIPLE Para todo estado tridimensional existen tres direcciones ortogonales entre sí, llamadas direcciones principales, para las cuales se cumple lo siguiente:

h

- 1( )

-2( )

F

Límite Zona de efectos locales

h

Máximas Tensiones

Traccionada

Comprimida

1

2

1

2

xyx

y

z

xz

zxzy

yz

yx

3

2

1máx.= ( 1- 3)/2

máx.

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3

3σ 1σ 2σ 0Zσ

D1σD2σ0

=

≤≤

1.- Las tensiones τ en los planos correspondientes son todas nulas. 2.- De las tensiones σ que aparecen en estas caras, una (σ1) es la máxima entre todas las direcciones posibles que pasan por el punto, otra es la mínima (σ3) y la tercera (σ2) adopta un valor intermedio. 3.- La tensión tangencial máxima ocurre en el plano bisector (a 45º) entre el de σ1 y el de σ3. CIRCULO DE MOHR PARA EL ESTADO TRIPLE. EL ESTADO BIDIMENSIONAL COMO CASO PARTICULAR DEL ESTADO TRIDIMENSIONAL. Al estudiar el estado doble solo tuvimos en cuenta las tensiones que aparecían en planos perpendiculares al del dibujo, es decir, paralelos al eje Z, sin embargo hay una infinidad de planos oblicuos no considerados en los cuales existirán tensiones que pasaremos a tener en cuenta. σz será una de las tres tensiones principales del estado triple. Para diferenciar el punto de vista bidimensional del tridimensional vamos a pasar a llamar σ1D y σ2D a lo antes llamábamos σ1 y σ2 del estado doble. Primer Caso. Que σ1D y σ2D sean ambas de tracción. Entonces: Hasta ahora habíamos considerado solamente la circunferencia marcada en grueso pero ahora vemos que en planos oblicuos a Z aparecen tensiones dadas por las dos circunferencias finas y la zona rayada.

Vemos que τmáx. es mayor que el que habíamos visto, es (σ1D /2) y ocurre en un plano a 45º entre el σ1D y el eje Z.

1

máx

2

3

Estados tensionales posibles para los planos que pasan por el punto.

3 = 02D = 2 1D = 1

Estructuras II (B)

4

Segundo Caso. σ1D tracción y σ2D compresión, entonces:

Tercer Caso. σ1D y σ2D las dos de compresión, entonces:

DEFORMACIÓN ESPECÍFICA VOLUMÉTRICA

2D = 3

1D = 12 = 0

2

0

D2D1.máx

DD

σ σ τ

σσσ

σσ

−=

≤≤

123

12

2

0

D2.máx

DD

σ τ

σσσ

σσ

−=

≤≤

123

12

2D = 3 1D = 2

1 = 0

xyx

y

z

xz

zxzy

yz

yxZ

YX

A

b

?

.∆Vollx∆lxε ⇒= 0.∆Vol =→γ

Estructuras II (B)

5

( ) ( ) ( )

( )( )( )[ ]44444 344444 21

leDespreciab

yxxyxzyxzyx

xzyx

zyx

zyxxx

1εεεεεεεεεεεε1lll

1ε1ε1ε1lll

llllllε1lε1lε1l

i.Voli.Volf.Vol

i.Vol.Vole

−+++++++=−+++

=

−+⋅+⋅+⋅=

−=

∆=

zzyzzy

zzyy

zyxC εεε ++= Si ESTADO SIMPLE

Eσ

µµεεεEσ

εσ xxy

xxx −=−=∧=→ =z

(ACTUA UNA SOLA TENSIÓN) ESTADO TRIPLE (ACTUAN TODAS LAS TENSIONES)

EEµ

Eµ

Eµ

EEµ

Eµ

Eµ

E

zyxz

zyxy

zyxx

σσσε

σσσε

σσσε

+−−=

−+−=

−−=

=++ zyx εεε ( )( )

Eµ21

e zyx σσσ −++=

En general µ > 0 ya que a una elongacion longitudinal corresponde una contraccion transversal y

viseversa. Entonces ( )

E3

e

0µ21σ48476>

−= .

Por otra parte, supongamos un estado tensional isotropo: ττττ === zyx

Para σ > 0 (tracción) debera producirse un incremento de volumen e > 0 y para tensiones de compresión e < 0 para que ello ocurra (1 - 2µ)>0 0<µ<0,5. TRABAJO INTERNO ESPECÍFICO DE DEFORMACIÓN

{

xxG

xFUERZA

ε**21

.dVolidT*

iT

2

1i

dT εdxdydzxσ

==

∆

=43421

Ti =

TRABAJO INTERNO ESPECÍFICO.

x

x

dx

dx= dx

xyx

y

z

xz

zxzy

yz

yxZ

YX

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6

El resto de las tensiones no producen trabajo con εx porque son perpendiculares al desplazamiento o se anulan en las caras opuestas.

32143421∆zFUERZA

2

1i

dT dzzydxdyzyτ γ=

zyzy γτ21*

iT =

Cuando se tenga el caso general (completo) de deformacion se superpondran los trabajos de cada componente:

( )( )

....γτ

γ

......σσµσE1ε

xzxy

xy

zyxx

yzyzxzxzxyxyzzyyxx2

1*i

T τγτγτγεσεσεσ

===

==+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= +++++

yz

zy

Gγ

εε

L

Introduciendo estos valores de ε y γ se obtiene:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= +++++−++ 2

yz2

xz2

xyG21

yzxyxµ22z

2y

2xE2

1*i

T1 τττzσσσσσσσσσ

Dividimos este trabajo en dos componentes:

3321

mσσσσ ++

=

zydz

zy

3

21 m

m

m

1 - m 2 - m

3 - m

1 2

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7

ESTADO 1

ESTADO 2

-Sin variación de forma. -Con variación de volumen.

-Con variación de forma. - Sin variación de volumen.

El estado 1 produce un trabajo específico denminado de dilatación y el Estado 2 denominado de distorsión. Reemplazando en (1)

[ ] ( )E2

µ2132mµ22

m3E2

11

*iT

2mσσσ −

=−= Trabajo Interno Específico de Dilatación.

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= −−− ++ 222

G12

12

*iT

323121σσσσσσ Trabajo Interno Específico de Distorsión.

( )µ12EG+

=

( ) 0σ3σσσE

µ21σσσσσσe

m321

mmm12

=−++−

=

−+−+−= 32