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TECSUP PFR FSICA II
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Unidad III
EESSTTTTIICCAA SSEEGGUUNNDDAA CCOONNDDIICCIINN DDEE
EEQQUUIILLIIBBRRIIOO
1. ESTTICA. SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO.
En el equilibrio de los cuerpos cuando estos estn sometidos a la
accin de fuerzas no concurrentes, surge una nueva magnitud fsica
llamada torque, que tratar de justificar de un modo directo la
capacidad que poseen las fuerzas para producir rotacin de un cuerpo
rgido.
2. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE
Si tratamos de abrir una puerta pesada, es mucho ms efectivo
empujar lejos del eje de rotacin (cerca de la manija) que cerca de
l (cerca de la bisagra). La medida cuantitativa de la tendencia de
una fuerza para causar o alterar la rotacin de un cuerpo se
denomina Momento de una fuerza o Torque. Podemos decir entonces que
el torque es aquella magnitud fsica vectorial que nos indica la
capacidad de una fuerza para producir la rotacin de un cuerpo
rgido. Una de las ms frecuentes aplicaciones fsicas que comnmente
utilizamos es el Momento, Par o Torque:
= FRMRrrr
Puede ser evaluado en cualquier punto dentro o fuera del objeto
analizado, lo importante es reconocer las fuerzas que originan
momentos. Debemos tener en cuenta los siguientes criterios:
Dibujar el diagrama de cuerpo libre del objeto analizado,
definiendo con
precisin las fuerzas que intervienen en el fenmeno.
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Elegir el punto de giro sobre el cual deseamos evaluar el
momento. Definir correctamente las distancias del eje de giro hacia
las fuerzas o la lnea
de accin de las fuerzas. "Las distancias son perpendiculares a
la lnea de accin de las fuerzas". Las fuerzas pueden ser
descompuestas de tal manera que con las distancias conocidas
faciliten la solucin del problema.
La convencin de signos,
SENTIDO ANTIHORARIO
SENTIDO HORARIO
M +M -
EJEMPLO
Analizar las fuerzas y momentos sobre la barra A
5 cm80 cm
30
F
W
Barra A
ECUACIONES:
F
Rx
Ry
W
ECUACIONES:
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5 cm80 cm
30
F
80 / Cos 30
W
Ry
Rx
ECUACIONES:
F
Rx
Ry
W
40 cm
20
cm
A
ECUACIONES:
3. TEOREMA DE VARIGNON
Este teorema fue enunciado por Pierre Varignon en 1687. El
dijo:
El momento resultante de dos o ms fuerzas concurrentes (o
paralelas) respecto a un punto cualquiera del cuerpo afectado
es igual a la suma de los momentos de cada fuerza respecto al
mismo punto
Momento Suma de
de la = los momentos
resultante individuales
nn2211resulresulresul Fr.....FrFrFrMrrrrrrrrr
+++==
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4. SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO
Si el cuerpo esta en equilibrio de rotacin la suma de todos los
momentos sobre el eje elegido es cero. (La suma de los momentos en
el sentido antihorario sobre el eje de giro es igual a la suma de
momentos en el sentido horario)
00 =M
5. FORMULACIN VECTORIAL: MOMENTO DE UNA FUERZA
El Momento de una Fuerza cerca de un eje pasando a travs del
punto O puede expresarse en trminos del vector producto
vectorial.
FxrM
rrr =0
Donde r representa el vector posicin dibujado desde O hasta
cualquier punto A que pasa por la lnea de accin de F.
F
A0
M0
r
krjrirr zyx ++=r
, kFjFiFF zyx ++=r
zyx
zyx
FFFrrrkji
FxrM
0 ==rrr
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6. FSICA APLICADA
6.1. PUENTES
Cmo se atraviesa un ro? Probablemente la primera respuesta que a
uno se le viene en mente es construir un puente. El ser humano ha
construido puentes durante siglos y continua ahora diseando y
construyendo puentes mas grandes y mas funcionales.
Figura 3.1
Los primeros puentes fueron troncos de rbol o trozos de piedra
apoyados en ambos extremos. La distancia atravesada por tales vigas
era relativamente corta y dependa de la resistencia y peso del
material utilizado. El desarrollo de armazones o estructuras, una
parte combinacin de vigas reunidas de modo que cada pieza
compartiera parte del peso del puente increment la relacin de
resistencia a peso. Las partes de los armazones son piezas rectas
unidas para formar una serie de tringulos. La estructura resultante
es ms ligera y ms rgida que una viga sola equivalente y puede
apoyar una carga externa a una distancia mucho mayor. En trminos
modernos las estructuras diseadas requirieron conocimiento de la
resistencia de materiales.
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Figura 3.2
Las primeras estructuras para puentes fueron construidos de
madera, estructuras posteriores fueron reforzadas con hierro o
incluso construidas totalmente de hierro. A finales del siglo XIX,
el material comn para construir estructuras de puentes era el
acero. la mayor parte de los puentes de los ferrocarriles, que
fueron construidos en el Per en ese tiempo, fueron hechos de ese
material. Se pueden alcanzar envergaduras mayores con puentes de
arco cuyo diseo bsico fue perfeccionado hace siglos por los
romanos. El secreto del arco consiste en que las fuerzas de su
propio peso y cualquier carga aadida son fuerzas de compresin, las
cuales permite el uso de la piedra como material de construccin. El
diseo del arco da como resultado una fuerza descendiente y hacia
fuera de la base. Cuando la base esta bien anclada el puente de
arco puede atravesar cientos de metros.
Figura 3.3
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Las envergaduras mas grandes se ha logrado con puentes de
suspensin que cuelgan de cables de acero estirados entre altas
torres. Los extremos de los cables mantienen su sitio de orillas
opuestas por anclajes masivos de concreto. Debido a la gran relacin
de la resistencia a peso de los cables de alambre de acero, los
puentes de suspensin pueden ser ms largos que otros tipos de
puentes. El puente de Millau en Francia es el de mayor envergadura
en el mundo pues mide 2460m entre las torres
Figura 3.4
7. PREGUNTAS
1. Un objeto podr estar en equilibrio si los nicos momentos que
actan sobre l producen una rotacin en el sentido de las manecillas
del reloj?
2. Una caja alta y una caja corta de igual masa se colocan una
al lado de la
otra sobre una pendiente. Conforme el ngulo de inclinacin se
incrementa, Cul caja se voltear primero? Explique.
3. Cuando se levanta un objeto pesado, por qu se recomienda
mantener la
espalda lo mas vertical posible, efectuando el movimiento sobre
las rodillas en lugar de flexionarse y levantarla con la
cintura?
4. Una escalera descansa inclinada contra la pared. se sentira
seguro subir
por ella si se le hubiera informado que el piso es sin friccin
pero la pared es rugosa, o que sta es sin friccin pero el piso es
rugoso? Justifique sus respuestas.
5. Proporcione varios ejemplos donde varias fuerzas acten sobre
un sistema
de modo tal que su suma sea cero aunque el sistema no este en
equilibrio.
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8. EJERCICIOS
1. En un zoolgico, una varilla de 180 N y 3,00 m de largo se
sostiene en posicin horizontal por dos cuerdas en sus extremos. La
cuerda izquierda forma un ngulo de 150 con la varilla, y la derecha
forma un ngulo con la horizontal. Un mono aullador (Alowatta
seniculus) de 90 N cuelga inmvil a 0,50 m del extremo derecho de la
varilla y nos observa.
Hallar el ngulo . Encontrar las tensiones en las cuerdas. Si el
mono se encuentra a 1m del extremo derecho de la varilla, aumenta
o
disminuye el ngulo ? Justifique su respuesta
2. Un trampoln uniforme, cuya masa es de 60 kg se mantiene fijo
en dos puntos, como se muestra en la figura. Si un clavadista de 80
kg esta de pie en la orilla del trampoln.
Hacer el D.C.L. del trampoln. Cules son las fuerzas que actan en
los puntos de apoyo?
3. Una viga con masa de 15 kg esta fija en la pared en A con un
perno y
sostenida por una cuerda, como se ve en la figura. La tensin
mxima que puede aplicarse a la cuerda es de 500 N. Si las masa se
suspenden del extremo de la viga.
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30
M
15 kg
1 m2 m
Dibujar el D.C.L. de la viga. Cul es la mayor masa total M que
se puede colgar del extremo de la viga
antes de que se rompa la cuerda?
4. Determine el modulo y direccin de la reaccin resultante en el
apoyo B. La estructura es de peso despreciable.
5. Plantear las ecuaciones de momentos para cada una de los
sistemas mostrados:
ab
F2
F1
x
a
bF2
x
c
2600N
12m 2m2m
3800N
2m
4m7200N
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A B
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a
b
F5F1
c
F2F3
x
d
30
x
120
80 N
100 N
60
50
140
80 N
F1 F2
150 N
420 900 480
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A B
80 N
50 N
120 N 180 420 900 480
30 NC.G.
400 120
100 N
F
R100
R400
200 N
25 200
5 N
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F3
150 1000
800 40
F2
F1
20 N
6. La varilla es sujetada por una fuerza de 60 N que es dirigida
de C a B. Determine completamente el momento creado por esta fuerza
alrededor del punto A.
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7. Una fuerza de 200 N acta sobre la estructura mostrada en la
figura. Determine el momento de la fuerza alrededor del punto A.
(Solucin vectorial)
8. Determine el momento de 10 kN de fuerza alrededor del punto
O. Resolver el problema usando ambos anlisis escalar y
vectorial.
9. Hallar el momento sobre el punto (5,8,9), con r = 12 cm, de
las siguientes fuerzas
2Fr
= 0 i - 7 j + 14 k
3Fr
= -17 i + 8 j - 12 k
1Fr
= 8 i + 4 j - 9 k
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10. Hallar el momento sobre el punto (2,4,3), con r = 112 cm, de
las siguientes fuerzas
1Fr
= 4 i - 5 j + 11 k
2Fr
= 3 i - 3 j - 4 k
11. Determine el momento creado por la fuerza )5010050( kjiF
+=rr
N
actuando en D alrededor de la uniones en B y C. Tomar: a = 1,25
m, b = 0,75 m, c = 0,3 m.
12. La figura muestra las fuerzas que actan sobre un
paraleleppedo. Determinar el momento producido sobre el punto
(4,7,6). F1= 8 N, F2= 12 N y F3= 5 N.
3Fr
= -11 i - 9 j + 22 k
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X
Y
Z
(0,7,0)
(4,0,0)
(0,0,6)
F1
F2
F3
13. La figura muestra las fuerzas que actan sobre un
paraleleppedo. Determinar el momento producido sobre el punto
(5,3,7). F1= 12 N, F2= 15 N y F3= 14 N.
X
Y
Z
(0,3,0)
(5,0,0)
(0,0,7)
F1
F2
F3
14. La barra uniforme de longitud L mostrada en la figura pesa
80 N y soporta un peso P de 200 N. Se pide: (3 puntos)
a.- Encontrar la tensin en la cuerda. b.- Encontrar la reaccin
en el apoyo A (mdulo, direccin y sentido).
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50
40
P
0,4L
A
