5ANLISIS PLASTICO DE ESTRUCTURAS

5.1- CONSIDERACIONES GENERALES.

Es conocido el hecho de que los elementos estructurales no cumplen, por diversas causas, con las ecuaciones lineales en que se basa la Teora de la Elasticidad. Tambin es cierto que la experiencia y los ensayos nos indican que esta puede utilizarse con aproximacin dentro de ciertos rangos de cargas.Fuera de dichos limites y para cargas cercanas al colapso de la estructura, los estados de solicitaciones de los elementos que la componen obedecen a leyes distintas que entran dentro del campo de la plasticidad o de la elasto-plasticidad.Con el objeto de conocer el verdadero Coeficiente de Seguridad de la Estructura esentonces muy importante conocer la Carga Lmite o Carga de Rotura que produce el colapso de la estructura y el estado de solicitaciones en ese instante, razn por la cual el Ingeniero debe estar familiarizado con los elementos bsicos de los Mtodos de Anlisis Plstico.Sobre la base de la teora y practica que sustentan a dicho Mtodo, los reglamentoslos han ido admitiendo en ciertos casos y en otros dan ciertas libertades al Calculista, como por ejemplo la de rebajar a un porcentaje dado los momentos flectores en los apoyos intermedios de una viga continua de Hormign Armado.Debemos aqu distinguir que estamos refirindonos al Anlisis Plstico de Estructuras (calculo de solicitaciones) y no al clculo de rotura de una seccin (dimensionamiento).

5.2- HIPOTESIS FUNDAMENTALES

ESTABILIDAD III CAPITULO III: ANLISIS PLSTICO DE ESTRUCTURASPg 10

1

f C

Af r

La teora a desarrollar se basa en la curva tensin- deformacin de un material ideal elasto-plstico como el de la figura, muy similar al de hierro dulce, pero que puede ser ampliado a otros materiales con errores aceptables para el anlisis de estructuras. Hiptesis de mayor complejidad no estn en los objetivos del curso.Denominamos como AB un tramoperfectamente elstico limitado por f; f (tensin y deformacin de fluencia) y con BC un campo perfectamente plstico (f) que termina en C con una deformacin especifica de rotura r.Dems esta decir que al ingresar al campo p plstico no es de aplicacin el Principio deSuperposicin.Si pudiramos realizar una experienciafsobre una viga de dos tramos sometida a una carga creciente P y medimos la flecha un determinadopunto encontraramos un diagrama pf como el de la figura siguiente.

2

p

P roturaB

A

O

Mas adelante se explicar el fenmeno, pero podemos anticipar que hasta A toda la viga se comporta comoC elstica. Al llegar a A se produce unarotula plstica en el apoyo intermedio.Al llegar al punto B se producirn dos rotulas plsticas en los tramos, producindose el colapso, como el de la figura, ya que todo el sistema se ha convertido en un mecanismo (inestable)f La otra hiptesis bsica que adoptamos es que aun dentro delfenmeno plstico en un elemento sometido a flexin las secciones planas permanecen planas luego de la deformacin.

f y3f y4f y5 f

d.dx

Mf Mf h

f

f f f f

5y3 y4 y

dx M1 M2 M3

M4 M5

Sea un momento a aplicar creciente M1 < M2 < M3 < M4 < M5 ...con un diagrama idealizado tal que se cumple:Para f = E Para f = fPara M1 toda la seccin tiene f

y por lo tanto en toda la seccin < fPara M2 la fibra extrema alcanza f y por lo tanto la tensin extrema ser f siendo< f en todos los dems puntos.Para M3 se tendr

f

en todo el sector y3 y por lo tanto ese sector estarplastificado con = f quedando el sector central dentro del campo elstico.Es inmediato que para M4 y M5 crecientes se incrementara la zona plastificadacercana a los bordes, hasta que en el lmite (con un pequeo error) podemos considerar que laseccin se plastifica totalmente. En ese instante si aumentamos el momento externo, el mismo no podr ser equilibrado por aumento de tensiones internas.Este diagrama corresponde al momento plstico resistente Mp, que es mayor al calculado elsticamente, cuando la primera fibra llega a la tensin f (M2)

5.3-MOMENTO PLASTICO RESISTENTE (Mp)

Recordando el proceso seguido para el estudio de la flexin simple, calculemos el

3

a dyCy y

f Momento Plstico Resistente bajo las f pieza se encuentra sometida a flexin, y a una distancia y del eje neutro la seccin tiene unancho Cy.

b ser:

df Cy dy fy como el esfuerzo normal N = 0 ser:-f

a a 0

N Cy dy 0b Cy dy f Cy dy

f Cy dy 0b 0 ba 0 Cy dy Cy dy0 bLa seccin por arriba del eje neutro es igual a la seccin por debajo de dicho eje, por lo tanto este divide a la seccin en dos partes de reas iguales, y no es necesariamente baricntrico salvo en secciones simtricas respecto al eje neutro.Por equilibrio de momentos:a a 0Mp

Cy dy y f Cy y dy

f Cy y dy 0b 0 b

a 0 Mp f Cy y dy

Cy y dy f Wp0 b a 0 Wp Cy dy y Cy dy y 0 bdonde denominamos como Modulo Resistente Plstico a Wp que depende de la geometra de la seccin. Ser entonces:Wp Mpfsimilar al Wf estudiado en elasticidad, donde:Wf Mf fdonde Mf es el valor del momento que hace entrar en fluencia la fibra mas alejada.Denominamos con el nombre de Factor de Forma, ya que depende del tipo de seccin, a la relacin:k Mp Wp 1Mf WfA modo de ejemplo analicemos el caso de la seccin rectangular:

4

h/2

f dy Dy

c h 2Wf 6h2

c h 2Wp 12h2 0Wp

c y dy c y dy

c y dyh/2Z

h 2 0h

h 22 2c -f

c h Wp 2 c y dy

k Wp 1.5Wf

0 4

Mp 1.5MfVale decir que en el caso de una seccin rectangular el momento Mp lmite bajo el rgimen plstico es un 50% mayor que el tomado en el rgimen elstico cuando se plastifica la primer fibra.Otra forma rpida de llegar al mismo resultado es la siguiente:D Z f c h2 2 Mp

c h 2Mp D h f c h

Wp 2 4 f 4Veamos el valor de k para algunas secciones usualesSECCION

k WpWf1,001,15 a 1,171,271,501,702,00

5.4-ZONAS DE PLASTIFICACION: LA ROTULA PLASTICAPp(a) (b)

(c) (d)

(e)

l

Mf Mp Mf

A B C

Consideremos una vigasimplemente apoyada con una carga Pp en el centro, que produce un momento Mp como indica la figura(b):Mp Pp l4LA figura (c) muestra unah vista de la viga donde en el tramo ABCse sombrea la parte plastificada con: Mf M Mpque est en estado elasto-plstico,excepto la seccin B que se encuentra totalmente plastificada y en la cual se ha formado una rotula plstica que convierte al sistema en un mecanismo inestable (figura (d)).Los dems tramos se encuentran en rgimen elstico.

Mientras en la zona elstica la curvatura es pequea, en la zona elasto-plastica se incrementa rpidamente hasta alcanzar valores muy grandes para el punto B, que funciona como una rotula plstica (figura (e)) que es una rtula o articulacin, (en lugar de ser libre, con M = 0) que trabaja como si tuviera un rozamiento y con un M = Mp. Esto nos permite idealizar como un mecanismo de rotura o colapso al de la figura (d).

5.5-TENSIONES INICIALES Y RESIDUALESEn la practica una barra, debido a diversas causas como ser procesos de laminado en perfiles, contracciones por frage en hormign armado, proceso de armado, etc., estar sometida a tensiones iniciales que no dependen del estado de cargas exteriores.A dicho estado en equilibrio para N=0,

5

Mf Mf

(a)M

f

(b) - M

(c) M - M

M=0, Q=0 lo denominamos estado de autotensin, en el cual las tensiones iniciales realmente existen. Estas tensiones realmente influyen en las tensiones de rgimen elstico, peroen general no se consideran por distintas causas, entre las cuales es importante el hecho de que dichas tensiones iniciales no influyen en la carga de rotura ya que el diagrama de rotura de la seccin es el mismo, producindose una redistribucin de las tensiones en el proceso de fluencia del material.Veamos que pasa en la reaccin que debido a un proceso de carga esta en estado elasto-plstico con MfPf

1 f

p f 2 sen

Pp f

1 2 sen donde Pp es la carga lmite de rotura.Veamos que a pasado con el sistema hiperesttico de primer grado. Al llegar P = Pf se plastifica una barra que pasa a deformarse a una tensin constante, el sistema elimina un vnculo (barra central) y es un isosttico que al llegar a P = Pp se convierte en un mecanismo de colapso.

Analicemos ahora la relacin entre la carga Pp de colapso real y la calculada enrgimen elstico Pf:

7Pp 1 2 sen

fk P 1 2 sen 3 1

Pp Pf

Ser :k

30

1,60

45

1,41

60

1,19

90

1,10En la cual apreciamos que para = 45 tenemos a partir de Pf una reserva plstica del 41%. Nos interesa, si bien es fcilmente calculable un anlisis cualitativo de las relaciones entre P y l; P y que es inmediato en los grficos.

PpP

l f l E sen 2

l f l

Fluencia en 3 barras

P Pp1 Pf E

Fluencia barra central

Elstico en tres barras

Pf1

l f

5.7-VIGA EMPOTRADA-EMPOTRADA

p

Sistema hiperesttico sometido a flexin con una barra que resiste Mp = f Wp y con(a)

(b)

A B Al

p l 2

una carga uniforme p. Eldiagrama (b) de momentos en el campo elstico:

(c)

p l 2 24

12

1 p l 2

p l 2M A 12

; M B

p l 224

Mp / 2

Mp Mp

Mp 12

pp1

Al aumentar la carga p se llegara a una p = p1 para la cual se produce la rotula plstica en los apoyos A (fig. c)

11 p l 2 (d)

M A M P 12

Mp

(e)

Mb Mp

BMp M

p l 2 24

M P212M P

p=p1

con

p1 2l

(f)

Mp(g)

Mp Mp

Mp

Mp

Mp

A partir de esta carga losapoyos permanecern con un momento MA =MP y no podrn absorber nuevos incrementos de momentos, comenzando a trabajar la viga como si fuese simplemente apoyada por la aparicin de dos rtulas plsticas (d).

Continuando el incremento de p se llegar a p = pP para la cual se alcanza en el tramo el valor MB = MP y se produce una nueva rtula plstica (f) y (g). Se cumple:

8

pP p1

P

12M P l 2 PM l 2

4 M 4 MM B

P 2

p 8

M P

P

P l 2

p P

P l 2

sistema;

Definimos como un nuevo valor de k que depende de el grado de hiperestaticidad del

p p 16k 1,33p1 14Existe a partir de la plastificacin de los apoyos una reserva plstica del 33%.Hemos visto el proceso de cmo se produce el colapso y la forma de llegar a la carga critica Pp siguiendo paso a paso la formacin de las articulaciones plsticas. Otra forma de hallar Pp seria tener en cuenta el diagrama de rotura:

2Mp

Pp l 22 Mp Mp 8Pp 16 MpMp l 2Algo similar ocurre siplanteamos el principio de los trabajos virtuales a un mecanismo de rotura, lo cual da origenal mtodo cinemtico o del mecanismo: pPp 1 l l Mp 2Mp Mp 0Pp 2 2

Mp Mp

Mp

L

1 Pp l 2 4 Mp4Pp 16 Mp l 2

L/2 2

5.8-TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANLISIS PLSTICO

Los mtodos de calculo en sistemas sometidos a flexin consisten en encontrar diagramas de solicitaciones que cumplan con las siguientes condiciones bsicas:a) Cumplir con las condiciones de equilibriob) Por la formacin de articulaciones plsticas convertir a la estructura en un mecanismo (inestable).c) No violar la condicin de plasticidad que nos indica que se debe cumplir con M Mp.Las cargas Pp que cumplan con estas condiciones sern las cargas lmite o de colapso. A veces es dificultoso encontrar el valor de Pp, pero es posible acotarlo entre dos valores Pe y Pc de manera tal que:

Pe Pp Pccon lo cual obtenemos un valor de Pp aproximado con un error mximo conocido, lo cual tiene gran inters practico. Por ejemplo, si suponemos un mecanismo de rotura (Mtodo Cinemtico) que en algn punto viola las condiciones de plasticidad al ser M > Mp, del calculo obtendramos una Pc mayor que la verdadera carga limite Pp.Por otra parte, de un diagrama en equilibrio que no viola la condicin M Mp pero que no alcanza a producir el numero suficiente de articulaciones plsticas para hacer inestable a la estructura se puede obtener una Pe menor que la verdadera Pe.Greemberg y Praguer en la dcada del 50 plantearon los teoremas del Lmite Superior y del Lmite Inferior, cuyo cumplimiento simultaneo en un problema da solucin correcta a Pp.

95.8.1-TEOREMA DEL LIMITE SUPERIOR

Pp

Una carga Pc calculado basndose

A C B Al/3 2/3 l

Mp Mp

mayor o al menos igual a la verdadera carga lmite PpConsideremos la viga ya estudiadaen 5.7 en la cual supongo articulaciones plsticas en A, C.Mp 3/2

Pc 1 l l

Mp Mp 3 Mp 2 3 2 2

M A Mp

Mp 1 Pc l 2 3Mp6

M C Mp

M B Mp

Pc 18 Mp Pp l 2Viola la condicin de plasticidad MMp ya que en el momento MB en el medio del tramo ser:Pc l 2 18M Mp Mp Mp 1,25Mp MpB 8 8Solamente si elegimos el mecanismo verdadero tendremos la verdadera carga lmite, cumplindose Pc = Pp (5.7 (f)).

5.8.2-TEOREMA DEL LIMITE INFERIORPp

A B

"Una carga Pe calculada basndose en un diagrama de solicitaciones internas en equilibrio de manera que se cumpla que M Mp ser menor o a lo sumo igual a laverdadera carga lmite Pp". Veamos el caso (c) del [5.7]2

Mp M M p pe l Mp2 Mp

p 2M ppe 12l 2

8

p pNo alcanza a producir la tercer rtula plstica que producira el mecanismo.Slo si eligiramos el verdadero diagrama tendramos la real carga lmite pe p p

(5-6) (g)

5.9-MTODO ESTATICO

Est basado en el teorema del Lmite Inferior y consiste en estudiar un diagrama de momentos (solicitaciones) en equilibrio bajo cargas hiperestticas y que en lo posible produzcan la mayor cantidad de rotulas plsticas sin violar la condicin de plasticidad.De cada diagrama estudiado obtendremos Pe Pp. La mayor de todas ellas ser Pe = Pp y producir el mecanismo de colapso.Vamos a un ejemplo sencillo con el fin docente de comprender el mtodo:Sea un sistema sencillo hiperesttico de 1 grado y por lo tanto necesitar 2 articulaciones plsticas donde M = Mp para el colapso.

10

P P PA EMA RA B C DRE

De acuerdo con las condiciones de equilibrio y considerando positivos los momentos que producen traccin en lasfibras inferiores:l l l l

-Mp

0,5Mp Mp1,1667Mp

M A 6 P l 4 RE l M B 3 P l 3 RE l M C P l 2 RE l M D RE lDonde tenemos 6 variables (MA, MB, MC, MD, P, RE) y 4 ecuaciones, con lo cualfijando 2 de las variables es posible calcular las otras cuatro.Veamos 3 casos distintos donde intentamos plastificar 2 secciones en cada caso:(1) M A Mp 6 P l 4 RE l(1a)-0,8571Mp

Pe1

Pe1 Pe1

M D Mp RE l0,8571Mp

R Mp ;

P 5 Mp 0 ,8333 Mp0,4286Mp Mp

E l 1 6 l lM B 0 ,5MpM C 1,1667 Mp

Mp Con la carga Pe

P1 0 ,7142 Mp

(2)

1 1,6667 l

Mp

(2a)

Mp1,8333Mp

1,5Mp

obtenemos el diagrama que cumple con elequilibrio en la figura(1a) siendo Pe1 < Pp(2) Tomemos ahora:M A Mp 6 P l 4 RE lM B Mp 3 P l 3 RE l

0,5455Mp

0,5455Mp

R 1,5 MpE l

; P2

1,1666 Mp l0,8182MpMp

M C 1,8333MpM D 1,5Mp

Con la carga Pe

P2 0 ,6363 Mp2 1,8333 lobtenemos el diagrama de la figura (2a)Mp con Pe2 < Pp

11(3)

Mp

P3 P3 P30,875Mp

(3) Analizamos ahora el caso siguiente:M A Mp 6 P3 l 4 RE l0,375Mp Mp

M C Mp P3 l 2 RE lR 0 ,875 MpMp E l

; P2

0,75 Mp l M C 0 ,375MpMp M D 0 ,875MpCon lo cual al ser un mecanismo que no viola en ninguna seccin la condicin de

plasticidad M Mp se cumplir que

P3 Pe3

Pp 0,75 Mp , que es la verdadera cargallimite de colapso , siendo Pe3 la mayor de todas las Pei obtenidas por el Mtodo Esttico.

5.10-MTODO CINEMATICO O DEL MECANISMO

Esta basado en el teorema del Limite Superior y consiste en estudiar posibles mecanismos de rotura por aparicin de articulaciones plsticas en distintos puntos, y en cada caso hallar la carga critica de equilibrio. La verdadera Pp es la que no viola la condicin M Mp y ser la menor de todos los posibles Mecanismos.A medida que aumenta el nmero de elementos y el nmero de cargas aumenta tambin el nmero posible de mecanismos de rotura, entre los cuales debemos encontrar el verdadero, ya que los dems me darn limites superiores.El proceso a seguir es el siguiente:a)Determnense los posibles puntos de articulaciones plsticas. (puntos de cargas, nudos, cambios de seccin. etc.).b)Seleccinese los mecanismos posibles.c)Calclese la carga de equilibrio por Mtodo de los Trabajos Virtuales para cada mecanismo.d)La mnima de todas las cargas halladas ser la carga lmite y cumplir la condicin M Mp en todos sus puntos. Si al calcular alguna de las cargas apreciamos que esta no viola la condicin, no es necesario seguir probando con otros mecanismos.

SupongamosarticulacionesPPPEplasticasen AyD.Demos unAnalizaremos al problema del tema 5.9

AB C D

desplazamiento virtual y apliquemos elP.T.V.:l l l l

P M 0

conP1 P1 P11

B l

; C 2 l

; D 3 l

Mp

-Mp

B C D 34

Mp

P1ll P1l 2 P1l 3 Mp Mp4 0

6 P1l 5Mp

0,5Mp

P 5 MpMp1,1667MpRE=Mp/l

1 6 l

Cuyo diagrama viola la condicin de plasticidad, ya que Mc = 1.1667 Mp, y por lo tanto P1 > Pp.Analicemos ahora el verdadero mecanismo de rotura, que ya sabemos producerotulas plsticas en A y CP2 ll P2 l 2 P2 l Mp Mp2 0

12A P P P E

4 P2 l 3MpB C D

P 0,75 MpP2 P2 P21

2 lCuyo diagrama de momentos

Mp condicin de plasticidad ser:-Mp

P Pp 0,75 Mp

0,375Mp

Mp 0,875MpMpRE 0 ,875 l

no siendo necesarias nuevas pruebas.

5.10.1-ANALISIS DE PORTICOS POR EL METODO DEL MECANISMO

Los casos de vigas son en la prctica de fcil resolucin, por lo que los hemos elegido para ejemplificar los mtodos.Apliquemos ahora el Mtodo del Mecanismo a un prtico sencillo que nos sea til para definir algunas referencias de inters general:a) Tipos de mecanismos

Mecanismo de Viga

Existen entre otros, tres tipos de mecanismos bsicos que quedan suficientemente ejemplificados por las figuras.Adems, en cada caso particular existenmecanismos compuestos formados por la combinacin de mecanismos ms simples o de otros mecanismos compuestos.

Mecanismo de Panel

Mecanismo de Nudo

b) Nmero de mecanismos linealmente independientesUn mecanismo se denomina linealmente independiente de los mecanismos X1, X2,...., Xn si no es posible construir el mecanismo M por medio de la combinacin lineal de los mecanismos Xi.Denominamos como Np al nmero posible de articulaciones plsticas (nudos , quiebres, puntos de discontinuidad o cambio de seccin, lugar de aplicacin de cargas puntuales, etc.) y con Nx el grado de hiperestaticidad del sistema. El nmero N de mecanismos linealmente independientes se obtiene de la expresin:N = Np Nx

c) Geometra del movimientoEn los caos sencillos la forma de desplazamiento se halla por una simple inspeccin del mecanismo en estudio. Con barras inclinadas o en sistemas complicados suele convenir o es necesaria la utilizacin de los centros instantneos o relativos de rotacin para el estudio de la cadena cinemtica.

13

1,5P 1,5PP 2/3 l 2/3 l 2/3 lB C D E2Mp

l Mp

A F

Planteemos el mtodo sobre un prtico como el de la figura en el cual las columnas resisten Mp y la viga se plastifica con M = 2 Mp. En los nudos B y E la plastificacin se produce sobre la barra de la

En este caso: Np = 6Nx = 3N = Np Nx = 3

1) Mecanismo de viga

1,5 P

2 l 1,5 P

2 l 0 ,5 2 l1 1,5P1 1,5P1

1 3 1 3

Mp

0,5 Mp

Mp 2Mp 1,5 Mp 0 ,5 0Mp1,5

1,5 P1 l 4,5Mp

P1 3 l2Mp2 l

2) Mecanismo de vigaCon un planteo similar:2

Mp

1,5P2 1,5P2

2 Mp

3 P2 l 9Mp

Mp P2 3 l3) Mecanismo de panelMp3 P3 l 4Mp

P3 4 l

P3

3 Mp

2Mp

Mp Los 3 mecanismos vistos pueden actuar como mecanismos

linealmente independientes y por lo tanto cualquier otro mecanismo serMp Mp

combinacin lineal de estos.

Estudiemos dos mecanismos combinados de los cuales demostraremos que el segundo es el verdadero

141,5P4 1,5P4P4

4) Mecanismo combinado 2)+3)Mp Por aplicacin del P.T.V.:

2

4 P4 l 11Mp

4

P4

2,75 Mp l2Mp 3Mp Mp

5) Mecanismo combinado 1) + 3)Por aplicacin del P.T.V.:2,5 P5 l 6,5Mp

1,5P5 1,5P5

P5

2,6 Mp l

P5 B D

Mp De todos los mecanismos hemos obtenido distintos Pi, queC5 2Mp

1,5

0,5 E

sabemos que son Pi Pp, por lo cual es prudente verificar si el menor de todos los PiMp Mp

(el P5

2,6 Mp ) no es el Pp.lA HA

F HFVA VF

Para que esto se cumpla no debe violar la condicin de plasticidad , siendo en toda la estructura el M Mp de cada0,4MpB

A

C

2Mp

D

1,4Mp

MpE

F

elemento. Llamando con momentospositivos a los que dan traccin en las fibras internas, sabemos que los momentos en A; C; E; F valen:MA = Mp MC = 2Mp ME = MpMp Mp

MF = MpP5 = 2,6 Mp/lCalculamos las reacciones H y V y los momentos D y B

M E Mp Mp H E l

Mp H F 2 lMpH A H B P5 0

H A 0,6 l

M 2Mp Mp H

l V

l 4 l 1,5 P

2 l

V 4 ,2 MpC F F 3 5 3 F lMpV A VF 1,5 P5 1,5P5 0

V A 3,6 l

M D Mp H F

l VF

2 l 1,4Mp 2Mp3

M Mp H

l V

2l 1,5 P

4 l 1,5P

2 l 0,4 Mp MpB F F

5 3 5 3Con el objeto de verificar calculamos MB con cargas a la izquierda de la seccin

M B Mp H A l 0 ,4 Mp

Como este mecanismo no viola la condicin de plasticidad ser:

15

CII

P Pp 2,6 Mp5 l

y eldiagrama de momentos es el de la figura.

2 l3

CI II

I

0,50,5 2l

CII III II 0,51,5 IIIl

La deformacin delmecanismo podra haberse sintetizado estudiando los centros de rotacin en la teora de la cadena cinemtica.As definimos los centros instantneos CI; CIII para los elementos ABC (I) y EF(III). Definimos tambin los centros relativos CI II; CII III en C y E y como CII debe estar alineado con CI; CI-II y adems con CIII; CII III queda

CIII

CI2l

perfectamente definido.Con esto queda definido el desplazamiento del mecanismo estudiado.

5.10.2-MTODO DE COMBINACION DE MECANISMOS

En el tema anterior supongamos haber llegado al mismo por la superposicin de los mecanismos (1) mas (3).Por el P.T.V. podriamos llegar:1 (1) 1,5 P l

4 ,5MpMp

3

2Mp

Mp

1,5

0,5 Mp

Mp

(2) P l 4,0MpDonde los trabajos a la izquierda del signo igual son los de las cargas P, quedando a la derecha los de los Mp en las articulaciones, por lo cual se pueden sumar de la siguiente forma.1,5 P l 1 P l 2 Mp Mp

4 ,5Mp 1. 4 Mp 2 Mp Mp *

El subndice 1 y 2 indican los mecanismos sumados y el * que restamos proviene de que en (1) sumamos Mp en el nudo B y otra vez lo sumamos a Mp en (2) cuando al desaparecer la rtula los daran + Mp y Mp, que se anulan en lugar de sumarlos1,5 1P l 4 ,5 4 2Mp

2,5P l 6 ,5Mp

P 2,6 Mp lque es el resultado hallado anteriormente para el caso (5).

5.11 CONSIDERACIONES ESPECIALES

165.11 1 COLAPSO PARCIAL

P P

Mp Mp

5P P Mp

Se da en el caso que por rotura de un elemento muy dbil no se llega al mecanismo de colapso total produciendo una rotura de un sector de la estructura, quedando los otros sectores resistiendo las cargas extremas.A fin de ejemplificarlo tomemos elcaso de una viga continua y comparemos en forma cualitativa un colapso parcial con un colapso total.Mp

5.11 2 DEFORMACIONES

En general, la aplicacin del anlisis lmite genera un mejor aprovechamiento del material dando como resultado menores secciones que las diseadas por mtodos elsticos, por lo cual deben ser tenidas en cuenta en forma especial la deformabilidad de las estructuras al disminuir las rigideces.El estudio de las deformaciones se puede calcular en el estado de rotura ya que hastaese instante conocemos el diagrama de solicitaciones y el sistema es un isosttico. A estas deformaciones las debemos reducir (como calculo aproximado) en forma proporcional al coeficiente de seguridad (relacin entre la carga de servicio y la carga de rotura).Otro mtodo consiste en calcular las deformaciones bajo cargas de servicio aplicando mtodos de anlisis elsticos.Algunos autores aconsejan aplicar en forma conservadora las condiciones de rigidez reglamentarias cuando el calculo se realiza por Mtodo Plstico.

5.11 3 INFLUENCIA DEL ESFUERZO NORMAL EN EL ELEMENTO PLASTICO

Adems de otros efectos el esfuerzos normal N tiende a reducir el momento plstico que resiste la seccin, hecho que puede tener importancia en columnas de planta baja en prticos de varios pisos.A efectos de visualizar el problema, indicamos en la figura siguiente los diagramas de flexo-compresion en tres casos: a)campo elstico; b) Campo elasto-plstico y c)campo plstico.

=+a) b) c)

= +

Si con Mp y Mf denominamos los momentos flectores donde para N = 0 existe plastificacin total y comienza la plastificacin; y con Np = Nf denominamos la carga de plastificacin con esfuerzo normal exclusivamente, se pueden para distintos pares de valores M y N que actuando simultneamente plastifiquen la seccin dibujar curvas de interaccin entre M y N que dependern del tipo de seccin y cualitativamente tendrn la forma de la figura.

17

M/Mfk

f N M W1 Nf N

Mf M Lmite

f

Nf W

(recta)MfPlstico

con

k coef . de forma MpMf

y valido para perfiles deLmiteElstico

1 N/Nf = N/Np

acero. En el estudio de hormigon intervienen otros factores que cambian la forma del diagrama de interaccin.

5.11 4 INFLUENCIA DEL ESFUERZO DE CORTE EN EL ELEMENTO Plstico

M/Mf

1

LmitePlstico

1 Q/Qp

Aqu tambin el diagrama de interaccin entre Q y M depender del tipo de perfil y del tipo de teora de rotura que apliquemos, diagramas que pueden ser testeados por resultados experimentales. La forma tpica de la figura proviene de considerar que las alas tienen preponderancia en la resistencia a los M y el alma a los Q.

5.11 5 PANDEO Y INESTABILIDAD DEL ELEMENTO

La estructura puede tener colapsos parciales o totales antes de convertirse en un mecanismo por la aparicin de sucesivas rtulas plsticas si se producen fenmenos de inestabilidad, que conocemos por efectos de pandeo y que podemos enunciar con el objeto de ser tenidos en cuenta, si fuera necesario, como efectos de:a) Pandeo de toda la estructurab) Pandeo individual de uno o varios elementos (o columnas)c) Alabeo elstico local de una o mas chapas que componen el elemento d) Alabeo plstico de un elemento.En cada caso se deber aplicar la teora correspondiente para verificar que el fenmeno no se produzca.

5.11 6 ROTURA FRAGIL

Como el mtodo se basa en la capacidad de rotacin, es imprescindible que dicha capacidad est asegurada para permitir una correcta redistribucin plstica de las tensiones. Esto no es fcil de conseguir en materiales frgiles (vidrio, hierro fundido, etc.). tambin pueden producir efectos no deseados mala calidad de soldadura , concentracin de esfuerzos, etc.

5.11 7 CARGAS REPETIDAS

Hemos supuesto que el colapso se produce por efecto de cargas crecientes, que van plastificando distintas secciones hasta producir un mecanismo.

Existen casos de cargas repetidas que sin llegar al valor de la carga lmite, por un proceso de repeticin, producen sucesivos incrementos de las deformaciones de manera tal que se produce el colapso.Otro efecto perjudicial de altas cargas repetitivas que por efectos de fatigas puedenproducir colapsos para cargas cuyo valor es inferior a la carga plstica.

5.11 8 OTROS MTODOS DE CALCULO

Si bien no estn entre los objetivos del curso su desarrollo, mencionaremos que entre otros existen para el Anlisis Lmite de estructuras un Mtodo de Distribucin de Momentos Plsticos y un Mtodo paso a paso facilitado por la utilizacin de computadoras.

5.11 9 PLACAS LINEAS DE ROTURA

Un capitulo especial, que no estudiaremos aqu, merece el estudio de placas (losas) por anlisis lmite, que da lugar al anlisis de lneas de rotura (que reemplazan a las rtulas plsticas) que tambin se estudian por aplicacin del P.T.V.De inters prctico en Hormign Armado para casos especiales.

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