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Matemticas discretas

La veracidad (V) o falsedad (F) de una proposicin se llama valor de verdady viene dada por algncriterio independiente de la proposicin.

LOGICA MATEMATICA 2Aurelio Lpez Ovando Unidad 1


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Expresiones que no son proposiciones Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones, las oraciones

exclamativas, exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son

proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo, por lo tanto no son verdaderas ni falsas, as mismo

las oraciones dubitativas, as como los juicios de valor (a pesar de que afirman algo), no constituyen

proposiciones, pues su veracidad o falsedad no puede ser establecida.

Ejemplos:

Proposicin Porque no es una proposicinViva la familia! Exclamacin o admiracinEst lloviendo? PreguntaLvate la cara Imperativa u ordenPedro es muy malo Juicio de valor Debemos honrar a nuestros hroes ExhortativaQue tengas muy buen da DesiderativaQuiz llueva maana Dubitativa

Toda proposicin es una oracin aseverativa (afirman algo), pero no toda oracin aseverativa es una

proposicin.

Ejemplos:

Eduardo es un nmero racional

La mesa es inteligente X + 3 = 5 A es la capital de Campeche

Todas las anteriores son ejemplos de expresiones aseverativas, pero no de proposiciones, son expresiones

lingsticas que tienen apariencia de proposiciones, pero que realmente no lo son porque no tiene sentido o no

se puede afirmar que son verdaderas o falsas.

En conclusin, para que una expresin sea proposicin debe cumplir con los siguientes requisitos:

Ser oracin. Afirmar algo.

Ser bien verdadera o bien falsa

Variables proposiciones

Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas con letras minsculas p, q,

r, que se denominan tomos.

Ejemplo:

p: Calkin es un municipio del estado de Campeche.

q: Un gobernador puede reelegirse segn la constitucin poltica mexicana.

De esta manera podemos decir que "p" puede ser verdadera o falsa dependiendo de alguna situacin, lo mismo

para "q" y as poder asignarle valores de verdad.

Estos smbolos pueden modificarse o combinarse mediante conectivos lgicos dando lugar a proposicionescompuestas o moleculares.

NOTA:Es recomendable utilizar minsculas para evitar confusiones con las maysculas que se utilizan en la

teora de conjuntos, y las primeras letras (a,b,c, etc) que se utilizan en geometra y trigonometra para

vrtices, por lo mismo no es recomendable utilizar esta notacin para nombrar las proposiciones, pero

tampoco est prohibida en algunos libros se manejan letras mayusculas.



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vos L?gicos (T?rminos de Enlace)as y/o s?mbolos que enlazan proposiciones con el fin de construir un lenguajes (verbal o simb?lico) m?s amplio".


La jerarqua de las proposiciones son: negacin, conjuncin, disyuncin, implicacin, bicondicional y son

asociadas por la izquierda.

De esta manera sin nos encontramos ante la siguiente proposicin:

p ^ q A -r

El correcto para resolverlo sera para este caso:

1. Primero negamos r ( -r )2. Luego resolvemos la conjuncin (qA-q)

3. Por ltimo resolvemos la implicacin

Pero tiene mayor los signos de agrupacin, des esta manera, si nos encontramos con la proposicin:

(p -> q)A-r

4. Primero resolvemos la implicacin (p q)

5. Luego hacemos la negacin de r ( -r )

6. Por ultimo la conjuncin.

Como podemos observar los operadores se colocan a la izquierda de la variable proposicional, siendoincorrectos los siguientes ejemlos:

Aq r

Solo por mencionar algunos ejemplos, porque podran haber muchas combinaciones incorrectas.

Formulas bien formadas (wff)A la combinacin de proposiciones y conectivos se la denomina frmula bien formada (well-formed formula,

wff). Una frmula bien formada puede ser una proposicin simple o compuesta que tiene sentido completo y

cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. Ejemplos:

l- P A ( p v q ) ] ^ q ; [ p A h p v n q ) ] ^ q [ ( - p v q ) A ( p A r ) ] H > ( q v r )

No todas las formulas son bien formadas, si a una formula no se le puede dar un valor se dice que no es

un formula bien formada.



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Tablas de verdad

Son un instrumento empleado en la lgica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones de una

frmula y el resultado de las mismas. Representan de manera grfica todas las posibles combinaciones de los

valores de verdad que se formen de las proposiciones.

_P_________q Sus valores pueden ser V (verdadero) o F (falso), 1 (encendido) o 0 (apagado), para

.V_________V saber cuantas filas deben utilizarse se aplica la formula 2ndonde "2" representa los

V_________F dos posibles valores que puede tomar y "n" es el nmero de proposiciones con las_F_________V que se forme la formula. (Este tema lo abundaremos mas adelante).

F F

Proposiciones atmicas y molecularesLas proposiciones pueden constar de un solo enunciado o de varios, en el primer caso las denominamos

proposiciones atmicas y en segundo moleculares.

Proposicin AtmicaUna proposicin es atmica cuando no posee conectivos lgicos. Son entonces las ms simples.

Ejemplos:

En el invierno hace frio.

Mxico est en crisis econmica.Proposicin compuesta o molecular

Es una o ms proposiciones atmicas adecuadamente escritas, unidas con trminos de enlace.

Ejemplos:

En el invierno hace frio y en algunos lugares cae nieve. Mxico est en crisis econmica si y solo si se devala la moneda. No es difcil desarrollar un software.

Proposicin con forma Disyuntiva o DisyuncinUna proposicin Disyuntiva, es aquella que est formada por proposiciones atmicas o moleculares, digamos

p y q, con el conectivo Lgico "o". Se simboliza as: "V", se escribe: p v q y se lee: "p o q"

Existen dos operadores de disyuncin: La disyuncin exclusiva o excluyente y la disyuncin inclusiva o

incluyente.

Disyuncin InclusivaSon dos o mas proposiciones de las cueles puedo elegir una o mas de una, se caracteriza por permitir

que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, as que se le llama tambin Incluyente.

A continuacin se presenta una tabla de los valores que puede tener la Disyuncin Inclusiva:

p q p v qV V VV F VF V V

F F F

Supongamos que un pap le dice a su hijo llamado Juan:

"Para que te deje ir al antro el fin de semana debes cumplir una de estas

dos condiciones: Traer 10 en tu examen de esta semana o lavarme el

coche todos los das desde el lunes hasta el viernes"

El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en las siguientes proposiciones:

p: Juan saca 10 en su examen semanal. q: Juan lava el coche de su pap de lunes a viernes.

p v q: Juan saca 10 en su examen semanal o lava el coche de su pap de lunes a viernes.



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Debemos fijarnos que su pap le pidi cumplir con p o cumplir con q, significa que Juan puede cumplir

con una sola de estas tareas para poder ir al antro.

Con esto podemos ver que para que Juan no vaya al antro, tanto p como q deben ser falsas. La

disyuncin inclusiva entre dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son falsas.

Disyuncin Exclusiva

Son dos o mas proposiciones de las cueles puedo elegir solo una, no permite que las proposiciones

que contiene sean todas verdaderas, as que se le llama tambin excluyente.

La siguiente tabla muestra los posibles valores que puede tomar la disyuncin Excluyente:

p q pv qV V FV F VF V VF F F

Supongamos que un pap le dice a su hijo llamado Juan:

"Para poder seguir estudiando debes tomar la decisin de inscribirte en

Ing. en sistemas o en Ing. en mecatrnica, pero no en ambas"

El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en dos proposiciones:

p: Juan se inscribe en ing. en sistemas.

q: Juan se inscribe en ing. en mecatrnica.p! q: Juan se inscribe en ing. en sistemas o se inscribe en ing. en mecatrnica.

NotaFrecuentemente y cuando no es claro en el contexto de la oracin se indica que una disyuncin es

incluyente o excluyente respectivamente, terminando la frase con o ambas o pero no ambas. Asi pudimos

haber dcho:

Juan se inscribe en ing. en sistemas o se inscribe en ing. en mecatrnica, pero no en ambas.

LOGICA MATEMATICAAurelio Lpez Ovando Unidad 1


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Proposicin coniuncional o conjuncinUna conjuncin de proposiciones es verdadera si y slo si cada una de ellas es verdadera. Basta que un solo

trmino de la conjuncin sea falso para que toda la conjuncin sea falsa. En espaol, normalmente la

conjuncin se expresa por medio de la 'y', de comas o de una combinacin de estas, o palabras como 'pero'.

Juan se encuentra ante las mismas dos situaciones anteriores, que reflejaremos en dos proposiciones:

p: Juan saca 10 en su examen semanal. q: Juan lava el coche de su pap de lunes a viernes.

Pero en este caso Juan debe cumplir con ambas proposiciones para poder ir al antro, ya que su pap

utiliz la conjuncin "y":

Proposicin con forma de Negacin"La negacin es una operacin unitaria que se aplica a una proposicin y tiene el efecto de revertir el valor de

verdad".

Se simboliza as: "-" o con el smbolo " ' ", se escribe: - p y se lee: No p; negacin de p; o, No es cierto que p,

esto es, si p es verdadera entonces -p es falsa, y si p es falsa entonces -p es verdadera.

Una proposicin de este tipo, puede estar formada por una proposicin atmica o molecular a diferencia de los

otros conectivos que afectan a mas de una, digamos p, con el conectivo Lgico "No".

P________-p p: Juan va al antro

V_________F_____ -p: Juan no va al antroF V

O puede estar formado por una proposicin compuesta o molecular.

Ejemplo:

p q p A q - ( p A q )V V V FV F F VF V F V

F F F V

En este caso la negacin afecta a toda una proposicin

compuesta



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Ejercicio 1

a) Resuelva el siguiente cuestionario:

7. - Qu es una proposicin?8. - Qu requisitos debe cumplir una expresin lingstica para que sea considerada una expresin?9. - Qu expresiones lingsticas no constituyen un ejemplo de proposiciones?10.- En base a lo anterior, explicar porque no son proposiciones.

11.- Qu clases de proposiciones hay y cuales son las diferencias entre ellas?

b) Analice las siguientes expresiones lingsticas e indique si son o no proposiciones:

12.- La constitucin poltica Mxico fue declarada y promulgada por la asamblea constituyente en 191713.- Quin es el pez gordo del narcotrfico?14.- Sea bienvenido.15.- Por fin lleg la primavera!16.- Los nmeros racionales son inteligentes.17.- Que tengan ustedes un buen viaje.18.- Solo se que no se nada.19.- Juan es bondadoso.20.- No digas mentiras.21.- Quiz existan miles de millones de universos.22.- Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan respirar.23.- x es la capital de Mxico.24.- Los planetas del sistema solar a excepcin de Plutn ocupan el mismo plano con respecto al sol.25.- El nmero 5 sonri.26.- Los electrones son partculas que se encuentran alrededor del ncleo del tomo.

c) Diga si las proposiciones son atmicas o moleculares:

27.Osama y Bush son cuados

28.Toda inferencia inductiva es una inferencia en trminos de probabilidad.29.Hace unos aos se consideraba la computadora como una gran calculadora, pero hoy se habla de

sus logros intelectuales.

30.El oxgeno no produce xido en presencia de metaloides.31.Tanto la suma como la multiplicacin de nmeros naturales son asociativas.32.Los peces son acuticos puesto que respiran por branquias.33.La suma de los ngulos internos de un triangulo es igual a 180.34.Gloria e Irene son de la misma edad.35.El abuelo y la abuelita obsequiaron una mueca a su nieta.

36.A la composicin qumica de una sustancia en iones por la accin de la corriente elctrica se lellama electrolisis.

37.Los trminos lenguaje objeto y metalenguaje no son absolutamente relativos.38.Decir que la inteligencia es hereditaria es defender la idea de que nuestras facultades intelectulesse transmiten de padres a hijos casi de la misma manera que el color de los ojos.

39.La molcula de la azcar est compuesta por tomos de carbono, hidrgeno y oxgeno.40.Jess, Mara y Jos en el portal de Belem.41.No se puede pasar cuando el semforo est en rojo.



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d) Muestre las proposiciones de cada caso y sus posibles valores en una tabla de verdad y determine que tipo

de proposicin es (conjuncin, disyuncin exclusiva, disyuncin inclusiva, negacin):

42.En un restaurante se regala un postre despus de cada comida, pero solo se puede elegir unoentre estos dos: "Flan napolitano o gelatina mosaico".

43.Una tienda se tiene la siguiente promocin: "En la compra de mas de $2000.00 pesos en artculosdeportivos se le hace el 50% de descuento sobre la compra".

44.Para ser merecedor de una beca un alumno debe contar con un promedio superior a 9.0 o

demostrar que los ingresos de sus padres son inferiores a $1500.00 mensuales.45.Para poder ingresar el ejercito un aspirante no debe tener tatuajes y ni padecer ninguna

enfermedad contagiosa.

e) De la siguiente afirmacin "Andrs es padre de Bernardo y ste es padre de Cecilia" se obtienen las

siguientes proposiciones:

p : Andrs es descendiente de Bernardo

q : Bernardo es descendiente de Andrs

r : Cecilia es descendiente de Bernardo

s : Cecilia es descendiente de Andrs

Asignar los valores a las siguientes formulas de las tablas de verdad y explicar

porque: Proposicin | Valor | Porque

-p____________

_-q____________

p q

p q V-p

p q

p -q


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