Tema 3.b TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS:

HOM0TECIA Y SEMEJANZA. ESCALAS.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS:

1. ISOMÉTRICAS.

2. ISOMÓRFICAS.

2.1. HOMOTECIA.

SEMEJANZA.

ESCALAS.

3. ANAMÓRFICAS.

TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS:

HOMOTECIA.

2. TRANSFORMACONES ISOMÓRFICAS: Son las que su figura transformada conserva sólo la forma de la

figura de partida, los ángulos son iguales y las magnitudes proporcionales. Dentro de este tipo de

transformaciones se encuentran:

2.1. HOMOTECIA. Es una transformación geométrica en la que a cada punto (A, B…)se le hace

corresponder otro punto (A´, B´…) estando ambos alienados con un punto fijo O, llamado centro de

homotecia, y verificándose que OA´/OA = K, siendo K una constante llamada razón de la homotecia.

En toda homotecia se verifica que:

Ésta queda determinada por el centro de homotecia y dos puntos nomotéticos, el centro de

homotecia y la razón de homotecia, o dos figuras nomotéticas.

La razón entre dos segmentos nomotéticos es siempre constante e igual a la razón de

homotecia.

Las rectas homólogas son paralelas si no pasan por el centro de homotecia. Sin embargo,

aquellas que sí pasan se transforman en sí mismas, es decir, son rectas dobles.

Los ángulos de una figura transformada no varían, sin embargo, las magnitudes lineales varían

en una proporción igual a la razón de homotecia.

2.1.1. HOMOTECIA DIRECTA. Cuando los dos puntos homotéticos están situados a un mismo lado

del centro de homotecia. Esto implica que la razón de una homotecia (k) es positiva. http://www.youtube.com/watch?v=DLXmtkmk1MI&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=8czn7wkXJEQ&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=7D-

ThiPX9XA&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=vcleMTZ5NP8&feature=related

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=2657&start=0

2.1.2. HOMOTECIA INVERSA. Cuando los dos puntos homotéticos están situados cada uno a un lado

del centro de homotecia. Esto implica que la razón de una homotecia (k) es negativa. http://www.youtube.com/watch?v=TO1TpRH7Qjw&feature=related http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=jOViYuV1cp0

2.1.3. Otros aspectos a tener en cuenta:

2.1.3.1. HOMOTECIA RESPECTO A DOS CENTROS. Si se toman dos segmentos paralelos, serán

homotéticos respecto a dos centros en una homotecia directa y otra inversa. Ver fotocopias.

2.1.3.2. CENTRO DE HOMOTECIA DE DOS CIRCUNFERENCIAS. Dos circunferencias son siempre

homotéticas respecto de dos centros, en una homotecia directa y otra inversa. Para hallar

los centros de homotecia se trazan dos radios paralelos y se unen sus extremos mediante

rectas. La razón de homotecia viene determinada por el cociente entre los dos radios. Ver

fotocopias.

2.1.4. Ejercicios aplicando homotecia:

2.1.4.1. Encontrar el centro y la razón de homotecia conociendo dos figuras homotéticas. http://www.youtube.com/watch?v=75n2BKVO8p4&feature=related

2.1.4.2. Dibujar la recta que pasa por un punto dado y concurre con otras dos rectas. http://trazoide.com/homotecia_999.htm

2.1.4.3. Dibujar dos circunferencias que cumplan unas condiciones especiales con respecto a un

triángulo. http://trazoide.com/homotecia_998.htm

2.1.4.4. Homotecia de un cuadrado conociendo el centro de homotecia y sabiendo que el

cuadrado transformado tendrá un área cuatro veces superior al original. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=6057#p6057

2.1.4.5. Triángulo escaleno conocido el perímetro y la relación entre sus lados. http://trazoide.com/homotecia_988.htm

2.1.4.6. Triángulo rectángulo conocidos un ángulo y la diferencia entre la hipotenusa y el lado

opuesto. http://trazoide.com/homotecia_986.htm

2.1.4.7. Triángulo isósceles conocida el radio de la circunferencia circunscrita y la relación entre

sus lados. http://trazoide.com/homotecia_992.htm

2.1.4.8. Pentágono regular conocida la altura. http://trazoide.com/homotecia_993.htm

2.1.4.9. Pentágono conocida la diferencia de la diagonal y el lado. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=1872&start=0

2.1.4.10. Hexágono regular conocida distancia entre sus lados paralelos. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=3416&start=0

SEMEJANZA.

SEMEJANZA. Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.

Los elementos que se corresponden entre sí se denominan homólogos. http://www.youtube.com/watch?v=IYuXef4SNgU&feature=related

Semejanza en triángulos: http://www.youtube.com/watch?v=sU3_x5yrXhs&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=V7Aqbd5BmSI&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=al16Q0mAAUg&feature=related

La razón de semejanza es la relación de proporcionalidad entre los segmentos homólogos, de tal modo que:

Si k > 1 la figura resultante será mayor que la original.

Si k = 1 la figura es igual que la original.

Si k < 1 la figura semejante es menor que la original.

2.1.1. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS SEMEJANTES. La semejanza en sí no es una

transformación, pero se puede conseguir aplicando homotecia o por otros métodos:

2.1.1.1. POR HOMOTECIA O RADIACIÓN

2.1.1.1.1. De razón positiva. Ya está visto en el inicio del documento. http://www.youtube.com/watch?v=DLXmtkmk1MI&feature=related

2.1.1.1.2. De razón negativa. Ya está visto. http://www.youtube.com/watch?v=DLXmtkmk1MI&feature=related

2.1.1.2. POR EL SISTEMA DE CUADRÍCULA. Ver fotocopia. Se utiliza mucho para artístico, pero

menos en geometría.

ESCALAS.

ESCALAS. Muy importante

Las escalas pueden considerarse como la aplicación práctica de la semejanza. La escala es la relación que existe

entre las dimensiones de un dibujo de un objeto y las dimensiones reales del objeto. Se representa por un

cociente donde el numerador representa la medida del dibujo y el denominador la medida de la realidad. Puede

expresarse en forma de proporción (e: 2:3), en forma de fracción (e: 2/3), en forma decimal (e: 0´66) o en

forma gráfica.

Escala = medida del dibujo/medida de la realidad.

http://www.youtube.com/watch?v=3cYVp23LdfQ http://www.youtube.com/watch?v=qgqYoAGHEyQ http://www.youtube.com/watch?v=Y0dRentvFn8&feature=related

Tipos de escalas:

o Natural (E=1:1): el dibujo y el objeto tienen las mismas medidas.

o De reducción: reducen el objeto al dibujarlo. El numerador es menor que el denominador.

o De ampliación: el objeto es menor que su representación dibujada. El numerador es mayor

que el denominador.

Escalas más usuales: 1:1, 1:2, 1:5 y todas aquellas que se deducen de las anteriores añadiendo

ceros (1:10, 1:500, 1:2000…). En escalas de ampliación 2:1, 5:1 y 10:1.

ESCALA GRÁFICA O ESCALA VOLANTE. Muy importante

Consiste en la construcción de una regla reducida o ampliada, de tal forma que las magnitudes del objeto real

sean tomadas con la regla natural, pero dibujadas en el papel con la regla volante que nos hayamos fabricado.

Lleva contraescala para apreciar subdivisiones de la unidad (normalmente diez). Ver fotocopia. http://trazoide.com/adjuntos/escala.pdf http://trazoide.com/escalas_998.htm

Como utilizar la escala: (en el ejemplo no se utiliza la contraescala, lo que dificulta la toma de medidas.) http://www.youtube.com/watch?v=pMS9B4ruqzU&feature=related

ESCALA TRANSVERSAL.

Se diferencia de la anterior en que permite ajustar hasta centésimas de unidad. Ver fotocopia. http://www.youtube.com/watch?v=S0KMMnJi96A

http://www.gratislibros.com.ar/textos/dibujo-lineal-caracteristicas-formas-general-escalas-transversal-grafica/dibujo-lineal-caracteristicas-

formas-general-escalas-transversal-grafica.html

TRIÁNGULO DE ESCALAS.

En una misma construcción se puede representar varias escalas. Ver fotocopia.

EL ESCALÍMETRO. Es un instrumento de dibujo técnico utilizado para dibujar objetos en escala. Vienen ya

dibujadas nueve tipos de escala, con lo que nos evita tener que trazarlas por cualquiera de los procedimientos

anteriores. Permite ajustar décimas. http://www.youtube.com/watch?v=9jqgwlebyGw

ADECUAR LA ESCALA AL TAMAÑO DEL PAPEL. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=14&t=387&p=1247#p1233

USAR LA ESCALA A PARTIR DE UN DIBUJO, ACOTADO O NO. http://trazoide.com/escalas_999.htm