3er_Seminario Geometría PRE 2013-2

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2013 – 2 3er Material de Estudio

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. En la figura adjunta AC, AB y BC son

diámetros AB 12 , BC 4 , MB es perpendicular a AC. Si P y Q son puntos de tangencia. Halle la longitud aproximada de la cuerda PQ.

A) 4

1313

B) 5

1313

C) 6

1313

D) 7

1313

E) 8

1313

02. En una circunferencia de centro O, se

trazan los diámetros AB y CD perpendicular. Luego se traza la circunferencia de centro O, que es

tangente a OC , OB y BC en los

puntos P, Q y T respectivamente; la

prolongación de QO , intercepta a BC

en E. Si CQ a y TQ b , entonces

EQ mide

A) 2 22a b B) 2ab

a b C)

ab

a b

D) ab E) 2 2a b

03. Se tiene una circunferencia de

diámetro CD y centro O, se traza una

cuerda AB perpendicular al diámetro y sobre su prolongación se ubica el punto P, desde el cual se traza el segmento tangente cuya longitud es a

y AC b . Entonces la longitud de PC es

A) 2 2a b B) a.b C) a + b

D) 2a.b E) 2 22 a b

04. Se tienen las semicircunferencias a

un mismo lado de un plano con diámetro AB, BC y AC donde

AB 2a , BC 2b y AC 2 a b .

Calcule la longitud del radio de la circunferencia limitada por los arcos AB, BC y AC.

A)

2 2a b ab

ab a b

B)

ab

a b

C) ab D) 2a ab

ab

E) 2ab

a b

05. En la figura se tienen dos

circunferencias tangentes interiores en A; m ABF 60 . Si AB 6 u y

BC 2 u . Calcule BE

A) 13 1 B) 13

C) 6 D) 3 2

E) 4 2

A C B

P M

Q

A C

F

B

E



06. Dado una semicircunferencia AB de radio 5 cm, por el extremo B se traza una perpendicular BC, tal que BC 5 cm , luego se traza el

cuadrante CBO y AC . Si AC intercepta a la semicircunferencia en F y al cuadrante en E. Halle EF

A) 5 B) 2 5 C) 3 5

D) 15 5 E) 25 5

07. En un cuadrado ABCD, se traza el

arco AC con centro en D, luego se inscribe una circunferencia en el cuadrante ADC, si el radio de dicha

circunferencia mide 3 dm , halle la

longitud del segmento tangente trazada a la circunferencia desde B (en dm).

A) 3 B) 6 C) 2 2

D) 3 E) 2 3

08. En la figura O es centro de la

circunferencia; T es punto de tangencia. Si AB 12 u y BC 4 u .

Calcule CT

A) 6 u B) 8 u C) 10 u

D) 12 u E) 4 2 u

09. En un triángulo ABC, si AB 26m ,

BC 30m y AC 28m , entonces la

longitud del circunradio es A) 16 B) 16,25 C) 17,26 D) 18 E) 18,5

10. En la figura O1 y O son centros, 2

1 1AO .BO 30 u . Si R 5u .

Calcule r A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

11. En un triángulo ABC, AB 13u ,

AC 14u y BC 15u . Se traza la

altura BH en el cual se ubica el punto P, si PH 3u , entonces la medida del

circunradio del triángulo BPC es

A) 1,5 10 B) 2,5 10 C) 3 10

D) 4 10 E) 5 10

12. En una circunferencia de centro O se

traza la cuerda AB y la circunferencia tangente interior en el punto T y

tangente a AB en el punto P que contiene al punto O. Si AT a y

BT b entonces la longitud de PT es

A) ab B) 2 2a b C) ab

a b

D) ab

2 E) 2 ab

13. ABC es un triángulo rectángulo (recto

en B). Si AB 6 y BC 8 , calcule la

longitud de la bisectriz BD.

A) 25 2

7 B)

24 2

7 C)

28 2

9

D) 21 2

5 E)

23 2

6

A C B

M

F T

D

O

R

O O1

A B

C

r



14. En un triángulo ABC, se traza la

bisectriz interior BD si m ABC 60 , AD 1dm y DC 3 dm , halle la

longitud de BD (en dm).

A) 3

155

B) 3

217

C) 3

215

D) 3

157

E) 3

68

15. En un triángulo ABC, m ABC 60 , I

es el incentro si P es el circuncentro del triángulo AIC y AB BC 18 cm ,

entonces la longitud (en cm) de PB es

A) 10 B) 5 3 C) 6 2

D) 6 3 E) 12

16. ABC es un triángulo acutángulo, se

ubican los puntos D, E y F sobre AB ,

BC y AC respectivamente, con

DE // AC . Si m DAF m ADF m BCF , DE 7 , FC 25 y EC 15 . Calcule

la longitud de DC .

A) 286 B) 381 C) 385

D) 386 E) 401

17. En un triángulo equilátero ABC de

lado se inscribe una circunferencia. Si P es un punto de la circunferencia que no pertenece al triángulo, halle

2 2 2AP BP CP .

A) 23

4 B) 2 C) 25

4

D) 24

3 E) 24

5

18. En una semicircunferencia C está

inscrito el cuadrilátero ABCD, siendo

AD el diámetro. Si mAB 120 y

2 2 2BC CD 3 BC CD 400u ,

entonces cuando mide AC .

A) 10 u B) 15 u C) 20 u D) 21 u E) 24 u

19. En un triángulo ABC de circuncentro

O se traza la bisectriz interior BD , si

la suma de las longitudes de AB y

BC es 4k k entonces la menor

longitud entera de la proyección de

BO sobre BD es

A) k B) k

12 C) k + 1

D) 2k – 1 E) 2k

20. Un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide L, se encuentra inscrito en una circunferencia. Sea P un punto de la circunferencia, demuestre que

2 2 2 2PA PB PC 21 .

21. En una circunferencia están inscritos

los polígonos regulares de n, 2n y 4n lados respectivamente y cuyas

longitudes son: nL , 2nL y 4nL .

Demuestre que 3

2 2n4n

n 2n

LL

L 2L

22. En una misma circunferencia se

encuentran inscritos los polígonos regulares de n, 4 y 2n lados cuyas

longitudes son n , 4 y 2n

respectivamente. Si 2 2 2n 4 2n

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9

23. En una circunferencia C de radio R

están inscritos los polígonos regulares

n y 2n ; entonces si nap y 2nap son

los correspondientes apotemas, a que

es igual: 22n n4ap 2ap

A) 25R B) 24R C) 23R

D) 22R E) 2R



24. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, m BCA 11 15' , si la

hipotenusa mide 24 cm, halle la altura relativa a la hipotenusa (en cm). A) 6 B) 9 C) 12

D) 6 2 2 E) 6 2 3

25. Se tiene un hexágono regular

ABCDEF cuyo circunradio mide 3 u,

AC BF M . Entonces la longitud

de MD es

A) 21u B) 23 u C) 29 u

D) 31u E) 37 u

26. En una circunferencia C, la apotema

del dodecágono regular inscrito mide a y el lado del polígono regular de 24 lados inscrito en la misma circunferencia mide b, entonces cuánto mide el radio de la circunferencia C.

A) 2 2aa b

4

B) 2 2a a b

2 4 3

C) 2 2a b

b2

D) 2 2a a b

2 4 2

E) 2 2a b

2

27. MNPQ es un cuadrilátero inscrito en

una circunferencia de radio R, si

MN R 2 y RPQ 5 1

2 ,

entonces la medida del ángulo obtuso

que forma MP y NQ es A) 99 B) 100 C) 101 D) 102 E) 103

28. Se tiene un pentágono regular ABCDE inscrito en una circunferencia,

se traza CM AE CM BD: H si

CH CM CH CM , entonces la

longitud de AB es

A) 10 2 5 B) 10 2 5

C) 5 2 5 D) 5 2 5

E) 5 5

29. Demuestre que el lado de un

pentágono regular es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el lado de un hexágono y el lado del decágono inscrito en la misma circunferencia.

30. Dado el lado del pentágono regular

ABCDE igual a ; BE y BD

interceptan a CA en los puntos M y N. Calcule MN

A) 5 12

B) 5 12

C) 52

D) 5 32

E) 4

31. En un triángulo ABC obtuso en A, si

AB 2 dm , BC 5 1 dm y

m BCA 18 , entonces m ABC es

A) 10 B) 12 C) 18 D) 30 E) 42

32. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia cuyo radio mide R, la m A 18 , la m C 12 . Calcule

AB

A) R

10 2 5 15 34

B) R

10 2 5 154

C) R

10 2 5 34



D) R

15 34

E) R

10 2 5 15 34

33. ABC es un triángulo, O es el

circuncentro (interior al triángulo). Si

BH es la altura del triángulo,

AB 2 3 y BC 10 20 . Calcule

la m OBH

A) 24 B) 23 C) 20 D) 19 E) 18

34. Se tiene el triángulo ABC donde:

AB BC 2L , AC L 3 . Calcule la

m B (en radianes).

A) 2

7

B)

2

5

C)

2

9

D) 6

E)

4

35. Al determinar el polígono regular de

doble número de lados isoperímetro a un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R, calcule la diagonal de mayor longitud.

A) 2R B) R 3

C) 2R 2 D) 1,5 R

E) 1,2 R

36. Dado la apotema ap, y el radio R de un polígono convexo, halle el ap' y el

radio R' del polígono regular isoperimétrico del doble número de lados.

A) ap 2R

ap'2

B)

ap Rap'

2

R' 2 R.ap' R' Rap'

C) 2ap R

ap'2

D)

R apap'

2

R.ap'

R'2

R' ap.R

E) 2R ap

ap'2

R' 2 ap.R

37. En las siguientes proposiciones decir

cuáles son verdaderas y/o falsos: I. Todos los polígonos regulares

tienen centro de simetría. II. Todo paralelogramo tiene centro

de simetría. III. Si un polígono convexo tiene dos

ejes de simetría perpendicular entre sí, entonces es un polígono regular.

A) FFF B) FVV C) FVF D) FFV E) VVV

38. Sean los puntos A y B exteriores a una recta L, el punto P es el simétrico

de los puntos A y B respecto de L y

un punto de L. ¿Cuál es la medida del

ángulo PAB? A) 45 B) 60 C) 75 D) 90 E) 120

39. Se tiene un triángulo equilátero ABC

de lado L, E AC tal que AE 2EC , si A'B'C' es simétrico del triángulo

ABC con respecto a un eje

perpendicular a AC que contiene al

punto E. Entonces la longitud de BA ' es

A) L 13

3 B) L 13 C)

2L 13

3

D) 2L 13 E) 4L 13

3

40. Una hormiga se encuentra en un

punto interior a un ángulo XOY de

medida 45°, tal que, OP 10 2 u . Se

debe partir de P y llegar al mismo punto pasando por los puntos M y N de los rayos OY y OX respectivamente. Si el perímetro del



triángulo es el menor posible, el perímetro es A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

41. En un pentágono regular ABCDE cuyo lado mide L con centros en C y E se trazan dos arcos cuyos radios miden L interceptándose en F. Halle la suma de las longitudes de los arcos que se forman.

A) L

5

B)

2 L

5

C)

3 L

5

D) 4 L

5

E) L

42. Se tiene el triángulo equilátero ABC y

la semicircunferencia de diámetro AC de manera que el arco AC no intercepte al lado AB, se ubica un punto P en el lado AC, si 7AP 2PC , la prolongación de BP intercepta al arco AC en Q. Calcule la longitud del arco AQ.

A) AC9

B) AC

7

C) AC

5

D) AC8

E) AC

10

43. En un triángulo equilátero ABC de

lado 10 cm, con centro en B y radio BC se traza un arco hasta interceptar

a AB , en D. Luego con centro en A y radio AD se traza un arco hasta

interceptar a CA en E y luego con centro en C y radio CE se traza un

arco hasta interceptarse a BC en F. Entonces la longitud de la espiral de Arquímedes que se forma en (cm). A) 28 B) 32 C) 40

D) 42 E) 48

44. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide L, con centro en A se traza el arco BD. Calcule la longitud de la

circunferencia con centro en CD ,

tangente al arco BD y al lado BC en C.

A) L

4

B)

L

2

C) L

D) 3 L

2

E) 2 L

45. ABCD es un cuadrado de lado 10 ;

M es punto medio de CD se construye el cuadrado AB'C'D simétrico del primero con respecto a

la recta AM . Calcule CD'

A) 1

2 B)

2

2 C)

3

2

D) 2 E) 3

46. En un ángulo recto PBQ se traza la

circunferencia C de centro O,

tangente a los lados PB y BQ en los puntos M y N respectivamente, luego

se prolongan BO hasta que intercepte

a C en C y CM hasta que intercepte

a la prolongación de NB en A, si

AB 2 2 1 dm , halle la longitud

de la circunferencia C (en dm).

A) 2 B) 3 C) 4

D) 6 E) 8

47. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B. Considerando centros los vértices A y C se trazan dos arcos que contienen al vértice B e intersecan a la hipotenusa. La circunferencia de centro O tangente a la hipotenusa en el punto P y a los arcos en los puntos Q y S. Si O es un punto interior al triángulo y AB a , calcule la longitud de línea que resulta de la unión de los arcos BQ, QP, PS y SB.



A) 3 3 1

a arc sen4 2 3

B) 3 1 1

a arc sen4 2 3

C) 3 3 1

a arc sen2 4 3

D) 3 1 1

a arc sen2 3 3

E) 3 3 1

a arc sen4 4 3

48. Determine la figura siguiente

A) B) C) D) E) A y B

49. En la siguiente serie Determine el número correspondiente al polígono de 53 lados. A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

50. Indique la figura que sigue la serie:

A) B) C) D) E)


A) B) C) D) E)

; ; ; ;

0

1

2 1

3

2

…

* * *

* *

* *

*



52. Calcule el valor de x correspondiente a la vigésimo quinta figura:

A) 41 B) 40 C) 49 D) 43 E) 44


A) B) C) D) E)

54. ¿Qué figura continua la serie:

A) B) C) D) E)

55. es a , como es a: A) B) C) D) E)

1+2 2+3 3+4 … _ + _ = x

?

L1

L2 L3

60°

L4

60° L4

60°

L4 60°

L4

60°

60°

L4



56. es a , como es a A) B) C) D) E)

57. es a , como es a A) B) C) D) E)

58. Si es a ,

es a

Calcule: F = xyzw – mnpq A) 16 B) 20 C) 18 D) 24 E) 22

59. Si es análogo a

Calcule: M + xy + z + wr A) 34 B) 44 C) 54 D) 64 E) 48

60. Cuántos triángulos hay en la siguiente figura:

A) 36 B) 40 C) 44 D) 45 E) 49

61. ¿Cuál es la figura que falta?

A) B) C) D) E)

R

x

36°

m

y y

y

y

y

3 1 3

2 3 2

2 2 2

2 1 3

x y

z w

m n

p q

2

3

4

1

x

w

y

r

z



62. En la figura se pide calcular el número de intersecciones.

A) 50 B) 56 C) 58 D) 60 E) 62

63. En un cuadrado ABCD, se ubican los

puntos E y F en CD y en la

prolongación de AD respectivamente. Si CE 4 cm y DF 2 cm , entonces

el área (en cm2) de la región cuadrada ABCD es A) 60 B) 64 C) 68 D) 70 E) 72

64. En el lado BC de un cuadrado ABCD

se ubica el punto P tal que AB , AD y

DP son tangentes a una circunferencia cuyo radio mide 4 cm. Si el radio de la circunferencia inscrita al triángulo PCD mide 3 cm entonces el área (en cm2) de la región cuadrada ABCD es A) 36 B) 64 C) 72 D) 100 E) 144

65. En un cuadrado ABCD, P y Q son

puntos medios de AB y BC

respectivamente, si DQ y CP se interceptan en el punto M y

PM 3 5 dm , entonces el área de la

región cuadrada ABCD (en dm2) es A) 25 B) 50 C) 75 D) 100 E) 125

66. En una circunferencia de radio 10 dm se inscribe el cuadrado ABCD y el

triángulo equilátero AMN, si MN

intercepta a BC y DC en P y Q respectivamente entonces el área de la región triangular AQP (en dm2) es A) 50 B) 60 C) 75 D) 80 E) 100

67. En un paralelogramo ABCD se trazan

desde B los rayos BM , BN (M y

N AD ) que interceptan a AC en E y

F; si AM MN ND y MEFNS S ,

entonces cuánto mide el área de la región BEFNDC.

A) 67

S11

B) 48

S11

C) 57

11S

D) 89

S11

E) 87

S11

68. ABCD es un trapecio rectángulo

BC CD de bases BC y AD , M

punto medio de la base mayor AD ,

ADBC CD

2 , BD y MC se

interceptan en O. Si FO ME en el punto T, FO a y OT b , calcule el

área de la región MFE.

A) 2a b B) a b b

C) a b

a2

D) 2a a b a

E) 2 2 2a a b

69. Calcule el área de la región limitada

por un rectángulo de perímetro 2p e inscrito en una circunferencia de radio R.

A) 2 2p 4R

2

B) 2 2p 4R C) p.R

D) 2 2p 2R E) 2pR



70. En las prolongaciones de los lados

BC y DC de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos M y L respectivamente tal que CMNL es un rectángulo. Si m MAL 45 entonces la razón de las áreas de las regiones cuadrangulares ABCD y CMNL es

A) 1

3 B)

1

2 C)

1

4

D) 1 E) 2

71. En las prolongaciones de los lados

AB y AD de un cuadrado ABCD se ubican los punto P y Q tal que

BC PQ y m PCQ 135 . Si las

áreas de las regiones triangulares CPB y CDQ son S1 y S2 entonces el área de la región triangular PCQ es

A) 1 2S S B) 1 2S S

C) 1 2

1 2

S S

S S D) 1 22 S S

E) 2 21 2S S

72. En un paralelogramo ABCD, se

ubican los puntos P, Q, R y S en sus lados AB, BC, CD y AD respectivamente, de modo que

BP 2 PA ; CQ 2 QB ;

DR 2 RC y AS 2 SD . Si el área

de la región ABCD es 156 unidades cuadradas, calcule el área de la región en unidades cuadradas cuyos vértices son los puntos de intersección de PC, AR, BS y QD. A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24

73. En la figura calcule el área de la región marcada, si el área de la región

ABCD es S; AB BC ; BN AN y AM 3MD .

A) 221

S560

B) 343

S560

C) 229

S280

D) 81

S560

E) 229

S560

74. En un triángulo ABC se trazan las

cevianas AM , BN y CQ , tal que: AN 5NC ; BQ 5AQ y CM 5BM .

Si el área de la región ABC mide S entonces cuánto mide el área de la región triangular limitada por las cevianas trazadas.

A) 4

S13

B) 7

S3

C) 13

S4

D) 13

S7

E) 16

S31

75. En un triángulo ABC, AB 8 m ,

BC 11m y AC 5m . Halle el área

de la región triangular AIB (en m2), donde I es el incentro del triángulo.

A) 5

214

B) 3

214

C) 3

212

D) 2

213

E) 4

213

B C

A D

N

M



76. En un triángulo ABC, si el circunradio mide 8.125 dm, uno de sus lados mide 13 dm, la suma de las longitudes de los otros dos lados es 29 dm y la diferencia de las longitudes de las alturas relativas a estos dos últimos lados es 0,8 dm, entonces el área de la región triangular ABC (en dm2) es A) 21 B) 42 C) 48 D) 84 E) 96

77. En un triángulo ABC, se cumple que AC 6 , AB BC 18u y su inradio

mide 2 u . Calcule el área de la

superficie del triángulo ABC. A) 14 u2 B) 16 u2 C) 18 u2 D) 20 u2 E) 24 u2

78. En un triángulo rectángulo ABC el radio de la circunferencia inscrita mide 2 m y el radio de la circunferencia circunscrita mide 5 m. Halle el área de la región triangular ABC (en u2). A) 18 B) 20 C) 24 D) 28 E) 32

79. Sea el triángulo ABC recto en B, se

traza la altura BH H AC . Los

inradios de los triángulos BHA y BHC

son 1r 1.2 cm y 2r 1.6 cm .

Entonces el área de la región triangular ABC es A) 20 cm2 B) 22 cm2 C) 24 cm2 D) 26 cm2 E) 28 cm2

80. El producto de las tres alturas de un triángulo es k; si el circunradio del triángulo es R calcule el área de la región limitada por el triángulo.

A) 2 2

2Rk

R k B) 2Rk

C) 2 2

Rk

R k D) Rk

E) Rk

2

81. Las longitudes de los lados de un

triángulo son 5, 6, 7 cm

respectivamente. Halle la del circunradio (en cm).

A) 32 6

23 B)

35 6

24 C)

32 7

21

D) 35 7

23 E)

31 7

23

82. En un triángulo isósceles ABC

AB AC , se traza la ceviana interior

AM tal que, la circunferencia inscrita al triángulo ABM es congruente a la circunferencia exinscrita al triángulo AMC y tangente al lado MC. Si los radios de la circunferencia miden r y AB a , halle el área de la región

triangular ABC. A) ar B) 1,5 aar C) 2 ar D) 2,5 ar E) 3 ar

83. En un triángulo ABC, el producto de longitudes del circunradio y de las alturas relativas a cada lado es 400 cm2. Calcule el área (en cm2) de la región triangular.

A) 12 B) 15 C) 9 3

D) 10 2 E) 10 3

84. En una circunferencia circunscrita al

cuadrado ABCD se ubica P en el arco AB, talque, PC intercepta a AB en M y PD intercepta a AB en N. Si BM 3 ,

MN 1 , halle el área de la región DNMC. A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

85. En un triángulo ABC, se ubican los

puntos P y Q en AB y BC respectivamente. Si m BPQ m ACB , PB 12 cm ,

BC 40 cm y la distancia de Q a AB



es 5 cm, entonces el área (en cm2) de la región triangular ABC es

A) 300 B) 1000

3

C) 350 D) 400

E) 1400

3

86. Calcule las dimensiones de la mayor

región triangular inscrito en un triángulo ABC, si el lado mayor del

rectángulo esta en AC , AC b y

BH h BH altura .

A) b h

;2 4

B) b h

;4 2

C) b h

;2 2

D) b h

;4 4

E) b h

;3 3

87. Se tiene el triángulo ABC cuya área

de su región es W, se ubican los

puntos P, Q y R en AC , PC y BC respectivamente de manera que RC 2BR , AP PQ QC ,

BP AR E y BQ AR F . Calcule el área de la región triangular EBF.

A) 3W

35 B)

4W

35 C)

W

5

D) 2W

35 E)

W

35

88. Se tiene un triángulo ABC cuya área

de su región es 16 u2 M, N y Q son los

puntos medios de AB , BC y AC respectivamente. Halle el área de la región triangular EFT siendo E, F y T

puntos medios de MN , NQ y MQ . A) 1 u2 B) 2 u2 C) 3 u2 D) 4 u2 E) 5 u2

89. Se tiene el triángulo ABC cuya área de su región es W, se ubican los puntos D, E y F en los lados BC, AC y AB respectivamente de manera que AF 2FB , CD 2BD , CE 2AE ,

AD BE Q , CF AD P ,

BE CF R . Calcule el área de la región triangular PQR.

A) W

70 B)

W

35 C)

W

80

D) W

140 E)

W

72

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3er_Seminario Geometría PRE 2013-2