Colegio Alberto Blest Gana Jvenes emprendedores para el siglo XXI Coordinacin Acadmica SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Matemtica NOMBRE : Geometria NIVEL: 3 MEDIO COMUN PROFESOR(A)/ES: Alejandra Urrea Manns OBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE N 2: Graficar homotecias Aplicar divisin de trazos Aplicar relaciones mtricas en el triangulo rectngulo

Homotecia.Objetivos: Definir el concepto de homotecia. Explicar la relacin existente entre la homotecia y las escalas. La homotecia es un procedimiento para generar figuras a escala.

Ejemplo: Como los polgonos ABCD y ABCD son semejantes y las rectas que las unen los puntos homlogos concurren en un mismo punto, a estos puntos se les denomina figuras homotticas. A el punto donde concurren las rectas se le llama centro de homotecia, es muy parecido a la simetra central. Se trata de una homotecia directa cuando dos figuras homotticas quedan situadas en un mismo lado del centro de homotecia. Ejemplo: El ABC y el A B C son figuras homotticas, por lo tanto:

Cuando dos figuras homotticas quedan situadas en diferentes lados del centro de homotecia, se trata de una homotecia inversa.

1

TRIGONOMETRA Los ngulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ngulo de 1 radin es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio. - 360 = 2 radianes (una vuelta completa) de vuelta) - 180 = rad - Un ngulo recto mide

2

radianes (un cuarto

radianes (media vuelta)

- Como 180 =

rad, resulta que 1 =

180

- Un ngulo de 1 radian tiene

180

= 57,29578 grados = 57 17 45

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

180 rad = ejemplo: 40 a rad x y

180 rad = y= 40 y

40 rad 4 rad 2 rad = = 180 18 9Ejercicios: Transformar el ngulo de grados a rad 1) 15 2) 35 6) 90 7) 60 Transformar el ngulo de rad a grados: 1) 3) 80 8) 45 4) 150 9) 30 5) 200

5

rad

2)

10

rad

3) 3 rad

4)

17 rad 4

Aplicaciones de la medida en radianes De la definicin de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio r y ngulo igual a radianes es: S=r

,

S: arco circunferencia, r: radio y

:

ngulo en rad Ya que conocemos el permetro de una circunferencia de radio unitario ( 2r = 2 ), entonces el ngulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Ejemplo aplicacin

2

Ahora tu 1) Qu ngulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.? 2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s. 3) La rueda de un vehculo tiene un dimetro de 90 cm. Cuntas vueltas da aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h? Funciones trigonomtricas Utilizaremos un tringulo rectngulo para definir las funciones trigonomtricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).

a c

bEn un tringulo rectngulo, estas funciones se definen como sigue:

cateto opuesto hipotenusa hipotenusa cateto adyacente cateto adyacente cos = hipotenusa hipotenusa cateto opuestosen

=

tan

=

cateto opuesto cateto adyacente

sec

=

cot

=

cateto adyacente cateto opuesto

cosec

=

Aqu podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen calcular las otras funciones, veamos por qu: tan

y cos

=

para poder

=

sen cos

cot

=

cos sen

sec

=

1 cos

cosec

1 sen

Aplica los contenidos de matemtica comn y calcula los valores de los ngulos de 30, 45 y 60 Demostrar que: sen 2 + cos 2 = 1 , usa los valores de los ngulos anteriores y despus demustralo para cualquier valor del ngulo.

3

Ejemplo: 1) Un ngulo agudo

tiene sen =

3 . Halla las restantes razones trigonomtricas de este 52 mtodo: Usando las identidades bsicas Por la identidad sen 2 + cos 2 = 1 tenemos que:

ngulo. 1 mtodo: Usando tringulos Por teorema de Pitgoras 5 3 buscamos el otro cateto del tringulo, es que es 4

cos 2 = 1 sen 29 3 2 cos 2 = 1 cos = 1 25 5 16 4 cos 2 = cos = 25 5Luego, usando estos dos valores, del seno y coseno, calculamos todas las dems funciones:2

Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonometricas y encontramos:

3 5 c.op . 3 tan = = c.ad . 4 hip 5 sec = = c.ad . 4 sen =

cos =

c.ad . 4 = hip 5 c.ad . 4 cot = = c.op . 3 hip 5 cos ec = = c.op 3

3 sen . 5 3 tan = = = cos . 4 4 5as sucesivamente

Ejercicios:

7 , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y 4 racionalizados. 2) Si cos = 0,2 , encuentra las otras funciones.

1) Si cos =

3) Si tan =

5 , encuentra las otras funciones. 9

Angulos complementarios: En el tringulo rectngulo siguiente:

sen = sen (90 ) = cos cos = cos( 90 ) = sen tan = tan( 90 ) = cot

= 90

En estas relaciones, se cumplen con dos ngulos que son complementarios, que suman 90, y se dicen que estas funciones son cofunciones una de la otra.

Ejemplos de uso de las cofunciones: 1) Calcular sen 30. Sen 30 = sen (90 - 30) =cos 60 = 2) Expresar los siguientes valores de funciones trigonometricas como el valor de la funcin de un ngulo positivo menor que 45. a) sen 72 sen 72 = sen (90 - 72) = cos 18 b) cos 46 cos 46 = cos (90 - 46) = sen 44 Ejercicios: 1) Expresar el valor de la funcin trigonomtrica en trminos de un ngulo no mayor que 45: a) sen 60 b) cos 84 c) tan 49,8 d) sen 79,6 2) Resolver los tringulos rectngulos para los datos dados. Usa calculadora. a) = 24 y c =16. B b) a = 32.46 y b = 25,78 c) = 24 y a =16 c d) = 71 , c = 44 a e) a = 312,7 ; c = 809 f) b = 4.218 ; c = 6.759 C A g) = 8112 ; a = 43,6 b

4

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES. 1. Teorema de Thales. 1.1. Segmentos proporcionales entre paralelas. [1] Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t. Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 AB. Qu relacion hay entre los segmentos correspondientes AB y CD? Observa que CD es tambin doble de AB: CD = 2 AB. Observa tambin que con estos segmentos se puede escribir esta proporcin: CD / CD = (2 AB) / (2 AB) = AB / AB. Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t: AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k. Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante. 1.2. Divisin de un segmento en partes iguales. Vamos a dividir el segmento AB en tres segmentos iguales. 1. Para ello se traza una semirrecta cualquiera con origen en A que forme con el segmento AB un ngulo menor de 180. 2. Se elige un segmento u arbitrario se lleva sobre la semirrecta que antes hemos trazado tres veces y el punto P, correspondiente a la ltima divisin, se une con el punto B. 3. Finalmente se trazan paralelas a PB por los puntos de divisin M y N y se obtienen los puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales.

1.3. Segmento cuarto proporcional. Dados tres segmentos a, b y c se llama segmento cuarto proporcional de a, b y c a otro segmento x que cumple la siguiente proporcin: a / b = c / x. Observa los segmentos a, b y c. Numricamente podemos calcular el cuarto proporcional de la siguiente manera: a / b = c / x; 5 / 4 = 2,5 / x; 5x = 4 2,5; 5x = 10; x = 10 / 5 = 2. El cuarto proporcional es Observa cmo se determina grficamente el segmento cuarto proporcional. 1. Se trazan dos semirrectas de origen O y sobre ellas se llevan los segmentos a, b y c como indica la5

figura. 2. Se unen los extremos no comunes P y Q de a y b y por el extremo M de c se traza una paralela a PQ; el segmento QN = x es el segmento buscado.

1.4. Segmento tercero proporcional. Dados dos segmentos a y b, se llama segmento tercero proporcional de a y b a otro segmento x que cumple la siguiente proporcin: a / b = b / x. Observa los segmentos a y b. Numricamente podemos calcular el tercero proporcional de la siguiente manera: a / b = b / x; 1 / 2 = 2 / x; x = 4. El tercero proporcional es 4 cm. La construccin grfica del tercero proporcional se hace como en el caso del cuarto proporcional. 2. Tringulos en posicin de Thales. 1. Dibuja en tu cuaderno un tringulo como el tringulo ABC. 2. Traza una paralela A'B' al lado AB. As se forma un nuevo tringulo CA'B'. Los tringulos CAB y CA'B' se dice que estn en posicin de Thales o que son tringulos de Thales. Veamos que dos tringulos en posicin de Thales tienen los ngulos iguales y los lados proporcionales: Los ngulos de dos tringulos de Thales son iguales. El ngulo C es el mismo para los dos tringulos: A = A' B = B' 3. Los lados de dos tringulos de Thales son proporcionales. Para ver la proporcionalidad de los lados tracemos por el punto B' una paralela B'D al lado CA. Entonces A'B' = AD por ser lados opuestos de un paralelogramo. Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AB A'B', cortadas por CA y CB, resulta la proporcin a): a) CA / CA' = CB / CB'. Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AC B'D. cortadas por CB y AB, resulta: AB / A'B' = CB / CB'. y como AD = A'B' resulta la proporcin b): AB / A'B' = CB / C'B'.

esulta:

De las proporciones a) y b) resulta: CA / CA' = CB / CB' = AB / A'B'. Si dos tringulos estn en posicin de Thales, entonces sus ngulos son iguales y sus6

Teoremas de EuclidesDe Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de sus vida. Su gran reputacin se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geomtricos, conocida simplemente por Los Elementos. Adems de estas y otras obras, Euclides escribi Los Datos que trata de la resolucin de problemas, dndose elementos de la figura y determinndose otros. Los Porismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geomtricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides. A continuacin se presentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un tringulo rectngulo) y otro referido a la altura.

Teorema de Euclides referido a un catetoEn un tringulo rectngulo la medida de cada cateto es media proporcional geomtrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyeccin sobre ella.Demostracin: Si se tiene un tringulo ABC cualquiera, rectngulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):

donde DB = p (proyeccin del cateto a (CB) sobre la hipotenusa) AD = q (proyeccin del cateto b (AC) sobre la hipotenusa) c=p+q

Por semejanza (~) de tringulos, el ACB ~ CDB (son semejantes) Luego;

Que es lo mismo que:

7

De forma anloga se tiene que ACB ~ ADC (a la derecha) , entonces

Que es lo mismo que:

Vistas las frmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geomtrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides tambin de la siguiente forma:

En un triangulo rectngulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccin del mismo cateto sobre la hipotenusa.Por lo tanto,

Ejemplos: 1) En la figura a la derecha, determinar a, si c = 7 y q = 4

2) En la figura a la izquierda, determinar b si c = 4 y p = 1

Teorema de Euclides relativo a la alturaEn un tringulo rectngulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geomtrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.Se sabe que ADC ~ CDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homlogos (correspondientes) son proporcionales. Sea hc (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c) Entonces:

8

Reemplazando:

Llegamos a: A partir de esta ltima frmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema tambin se puede expresar de la siguiente manera:

En un triangulo rectngulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa.Por lo tanto, si h2 = p q entonces Ejemplos: 1) En la figura a la derecha, determinar h, si p = 2 y q = 8

2) En la figura a la izquierda, determinar h, si p = 3 y q = 12

La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un tringulo tambin se puede obtener a partir de las medidas de los lados del tringulo, haciendo:

Aplicaciones del teorema de Pitgoras. Ejercicios 1La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 405.6 m y la proyeccin de

un cateto sobre ella 60 m. Calcular:

1 Los catetos. 2 La altura relativa a la hipotenusa. 3 El rea del tringulo.

9

2

Calcular los lados de un tringulo rectngulo sabiendo que la proyeccin

de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.

3

Una escalera de 10 m de longitud est apoyada sobre la pared. El pie de

la escalera dista 6 m de la pared. Qu altura alcanza la escalera sobre la pared?

4

Determinar el lado de un tringulo equiltero cuyo permetro es igual al

de un cuadrado de 12 cm de lado. Sern iguales sus reas?

5Calcularde radio 6 cm.

el rea de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia

6

Determinar el rea del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud

18.84 cm.

7

En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un crculo y en este crculo un y en este otro crculo. Hallar el rea comprendida entre el ltimo

cuadrado

cuadrado y el ltimo crculo.

8

El permetro de un trapecio issceles es de 110 m, las bases miden 40 y

30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el rea.

9

A un hexgono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y

se le circunscribe otra. Hallar el rea de la corona circular as formada.

10

En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro.

Calcular el rea del crculo.

11

Los catetos de un tringulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm

y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.

12Sobre

un crculo de 4 cm de radio se traza un ngulo central de 60.

Hallar el rea del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

Aplicaciones del teorema de Pitgoras. Ejercicios 1La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 405.6 m y la proyeccin de

un cateto sobre ella 60 m. Calcular:

10

1 Los catetos. 2 La altura relativa a la hipotenusa. 3 El rea del tringulo.

2

Calcular los lados de un tringulo rectngulo sabiendo que la proyeccin

de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.

3

Una escalera de 10 m de longitud est apoyada sobre la pared. El pie de

la escalera dista 6 m de la pared. Qu altura alcanza la escalera sobre la pared?

4

Determinar el lado de un tringulo equiltero cuyo permetro es igual al

de un cuadrado de 12 cm de lado. Sern iguales sus reas?

5Calcularde radio 6 cm.

el rea de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia

6

Determinar el rea del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud

18.84 cm.

7

En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un crculo y en este crculo un y en este otro crculo. Hallar el rea comprendida entre el ltimo

cuadrado

cuadrado y el ltimo crculo.

8

El permetro de un trapecio issceles es de 110 m, las bases miden 40 y

30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el rea.

9

A un hexgono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y

se le circunscribe otra. Hallar el rea de la corona circular as formada.

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En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro.

Calcular el rea del crculo.

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Los catetos de un tringulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm

y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.

12Sobre

un crculo de 4 cm de radio se traza un ngulo central de 60.

Hallar el rea del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

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