Upload
naierromo
View
1.516
Download
12
Embed Size (px)
Citation preview
3. Partikularen zinematika
1. Sarrera Zinematika: partikula baten higiduraren deskribapen matematikoa.
Partikula gorputz hain txikia puntualtzat hartzen dugula
txikia zeren arabera? Sistemako beste neurri eta distantzien aurrean
dimentsio gabea
Partikula bat mugitzen denean erreferentzia sistema batekiko egiten du.
Partikularen posizioa t-rekiko aldatzen da (t-ren menpekoa da).- t-rekiko deribatuz v- t-rekiko deribatuz a
Posizioa, abiadura eta azelerazioa erreferentzia sistemarekiko erlatiboak dira.
2. Erreferentzia-sistemakPartikula baten higidura deskribatzeko bere posizioa definitu behar da aldiune bakoitzean.
E.S. batekiko koordenatuakHigidura motaren arabera: 1, 2 edo 3 koordenatu beharko ditugu.
KOORDENATUEN TRANSFORMAZIOA: E.S.-en arteko higidura erlatiboa ezagutu behar da.
Zein higidura mota egon daiteke bi sistemen artean?
Translazioa
S S S’
S S’
S’
Errotazioa Translazioa + Errotazioa
3. Higidura kurbilineoa, kontzeptu orokorrak: posizioa, abiadura eta azelerazioa
Partikula baten higiduraren deskripzioa S-rekiko:
P
P'
Q
O
SP'
P
Q
( )v tr
( )v t t+ ∆r
( )r t t+ ∆r
( )r tr
r∆r
Posizio bektorea: )t(rrrr = r)t(r)tt(r'PP
rrr ∆∆ =−+=
0limt
r drv r
t dt∆ →
∆= = =∆
r rr r&
0limt
v dva v r
t dt∆ →
∆= = = =∆
r rr r r& &&
Desplazamendu netoa:m
Aldiuneko abiadura:
Aldiuneko azelerazioa:
Batez besteko abiadura: m/s
Batez besteko azelerazioa:
m/s2
Partikula geldiunean ez badago t-ren menpekoa da Igarotako denbora tartea
(abiadura aldaketa netoa)
3. Higidura kurbilineoa, kontzeptu orokorrak: posizioa, abiadura eta azelerazioa
3.1. Posizio, abiadura eta azalerazio-bektoreen osagai kartesiarrak
)z,y,x(k)t(zj)t(yi)t(x)t(r =++=r
)z,y,x()dt
dz,
dt
dy,
dt
dx(k
dt
)t(dzj
dt
)t(dyi
dt
)t(dx
dt
)t(rd)t(v &&&
rr ==++==
)z,y,x()dt
zd,
dt
yd,
dt
xd(k
dt
)t(zdj
dt
)t(ydi
dt
)t(xd
dt
)t(vd)t(a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
&&&&&&r
r ==++==
3.2. Higidura ekuazioa eta hasierako baldintzak
Batzuetan r ezagutu beharrean v edo a ezagutu.
deribatuz
integratuz
Higidura ekuazioa:
3. Higidura kurbilineoa, kontzeptu orokorrak: posizioa, abiadura eta azelerazioa
dt
vda
= dt avd
=⇒ ( )0 0
v t
v t
dv a t dt=∫ ∫
⇒ ( )
0
0( )t
t
v t v a t dt= + ∫
⇒
hasierako aldiuneko abiadura v(to)
Era berean…
dt
rdv
= dtvrd
=⇒ ( )0 0
r t
r t
dr v t dt=∫ ∫
⇒ ( )
0
0( )t
t
r t r v t dt= + ∫
⇒
hasierako aldiuneko posizioa r(to)
Ekuazio bektorial hauetariko bakoitzak hiru ekuazio eskalar adierazi (bat koordenatu bakoitzean (x, y, z):
2. ARIKETA
4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintsekoak
dt: denbora tarte oso laburra
S
dt)(t r +
(t) r
(t) r - dt)(t r (t) rd +=
(t) rd
ibilbidearekiko tangentea
ibilbidea
Aldiuneko abiadura ibilbidearekiko tangentea da beti, hau da osagai tangentziala baino ez dauka.
A KASUA: Abiadura-bektorearen modulua baino ez da aldatzen
Hau da; v-ren norabidea = kte ⇒ Higidura zuzena
Higidura guztia x ardatzean
ˆ ˆv (t) v (t) i v (t) i= ≡
i dt
dv(t)
dt
) (t) v ( d a ==
Azelerazioa ibilbidearekiko tangentziala
deitu ohi zaio ibilbidearekiko normala baita!!
4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintseko
B KASUA: Abiaduraren norabidea baino ez da aldatzen
Hau da; = kte
dt
vd a
=(t)vd
dt)(t v +
(t) v
Modulu berdina, norabide ezberdina
Azelerazioa ibilbidearekiko
normala da!
- Kasu partikularra: Higidura zirkularra
R
RP1
P2ds
O
dϕdϕ
O
p1
p2
dt)(t v +
dt)(t v +
(t) v
(t) v OP1P2 eta Op1p2 berdinak dira!
Beraz;
R
ds
v
vd =
⇒ ds
R
v vd =
R
v
dt
ds
R
v
dt
vd a
2
===
4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintseko
ρ1
ρ2
ρ3
3
2
3
2
2
2
1
2
1
v ) P ( a
v ) P ( a
v ) P ( a
ρ
ρ
ρ
=
=
=
)(P a 3
)(P a 2
)(P a 1
Orokortuz…
Aurreko emaitza baliagarria da den edozein ibilbide kurbilineotan.
Edozein espazioko kurba ρ1, ρ2, ρ3,… kurbadura erradioko zirkunferentzia arkuen batuketa moduan deskonposa baitaiteke.
4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintseko
C KASUA: Higidura orokorra
bektoreak osagai tangentziala eta normala: osagai intrinsekoak
dt
v(t) d
dt
(t)v d aT ==
ρ
v a
2
N =
TANGENTZIALA (v-ren norabidea ktea denean |v|-ren aldaketen informazioa ematen digu)
NORMALA (|v|= ktea denean v-ren norabidearen aldaketen informazioa
ematen digu)ibilbidearen kurbatura erradioa
Beraz; eta nola NT a a a += NT a a
⊥ 2N
2T
2 a a a +=
a
Na
Ta
ρ
v
Na
Taa
5. Kasu bereziak
aN = 0 Zuzena ρ = ∞aT = 0 v = kte Higidura Zuzen Uniformea (HZU)
aT ≠ 0 aT = kte Higidura Zuzen Uniformeki Azeleratua (HZUA)
aT ≠ kte Higidura aldakorra
1
2aN ≠ 0Ibilbide kurbatua ρ ≠ ∞
ρ = kte Zirkularra
ρ ≠ kte Kurbilineoa
aT = 0 Uniformea
aT ≠ 0 aT = cte (aN ≠kte) Unif. azeleratua
aT ≠ cte (aN ≠kte) Aldakorra
aT = 0 Uniformea
aT ≠ 0 aT = kte (aN ≠ kte) Unif. azeleratua
aT ≠ kte (aN ≠ kte) Aldakorra
5. Kasu bereziak
1 Higidura zuzena aN = 0
Higidura dimentsio bakarrean zuzen batean zehar orokorrean X ardatza erabili Ekuazio eskalarrak
a) Higidura zuzen uniformeki azeleratua (HZUA)
aN = 0aT = kte
⇒ a = kte Hasierako baldintzak:t = t0 , x = x0 eta v = v0
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
(1)
(2)
(1)
(2)
5. Kasu bereziak
HZUA-ren adibide tipikoa gorputz baten erorketa edo jaurtiketa bertikala, non a = - g den.
b) Higidura zuzen uniformea (HZU)
aN = 0aT = 0
⇒ a = 0 ⇒⇒
⇒
⇒
1. ARIKETA
5. Kasu bereziak
2 Higidura zirkularra aN ≠ 0 eta ρ = kte
s
R
ϕ
O
ϕRs = zirkunferentziaren arkua
ω : abiadura angeluarra sasi-bektorea definituko dugu
dt
dϕω =
ˆ ˆn nω ω ϕ= =&
dt denbora tarte batean ekortutako angelua
rad/s
r
ω
v
dt
ds
dt
rdv ==
( )d d
v R R Rdt dt
ϕϕ ω= = =ϕRs =nola
Nola -ren norabidea eta noranzkoa ibilbidearen planoarekiko perpendikularra eta positiboa:
rv ×= ω
ω
Era berean…
: azelerazio angeluarra ere definitu α
dt
dωα = ˆ ˆ n nα ω ω ϕ= = = & & && rad/s2
-rekiko paraleloaω
αω RRdt
dvaT === &
RR
R
R
va 2
222
N ωω ===
5. Kasu bereziak
a) Higidura zuzen uniformeki azeleratua (HZUA)
b) Higidura zuzen uniformea (HZU)
aN ≠ 0 ρ ≠ 0 aT = kte α = kte
Era berean…
aN ≠ 0 ρ ≠ 0 aT = 0 α = 0
Higidura periodikoa
Periodoa (buelta osoa emateko denbora):
buelta osoa
6. Higidura erlatibodun erreferentzia-sistemak
Aldagai zinematikoen balioa E.S.-aren araberakoak dira.
rr
vr
ar
Jakin behar dugu nola transformatu gure aldagaiak E.S. batetik bestera.
Kasurik sinpleena: TRANSLAZIOKO HIGIDURA ERLATIBOA
Helburua: S eta S’ sistemetan P partikularen aldagai zinematikoak erlazionatzea (S-k S’-rekiko duen higidura ezaguna izanik).
O
S
P
r
r´
R O’
S’
S’-ren jatorriaren posizio, abiadura eta azelerazio bektoreak S-rekiko.
6. Higidura erlatibodun erreferentzia-sistemak
Beraz, bektore hauek elkarrekin erlazionatzen dituzten ekuazioak:
Gogoratu! Bakarrik translazioa dagoenean errotaziorik ez!
KASU BEREZIA: TRANSLAZIO UNIFORMEA. GALILEOREN TRANSFORMAZIOA.
Translazio abiadura ktea denean:
Oso erabilgarria, E.S. inertzial ezberdinetan egindako neurketak
erlazionatzen baititu.