ESPACIOS VECTORIALESDEFINICIN Y PROPIEDADES BSICASEspacio
vectorial realUnespacio vectorial realV es un conjunto de objetos,
llamadosvectores, junto con dos operaciones
llamadassumaymultiplicacin por un escalarque satisfacen los diez
axiomas enumerados a continuacin.Notacin.Sixyyestn enVy si a es un
nmero real, entonces la suma se escribe comox + yy el producto
escalar de a yxcomo ax.AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL SixE Vyy E
V, entoncesx+yV (cerradura bajo la suma) Para todox,yyzen V, (x+y)
+ z =x +(y+z) (ley asociativa de la suma de vectores) Existe un
vector0V tal que para todoxV,x+0=0+x=x (el0 se llamavector cero o
idntico aditivo) Six EV, existe un vector -xen V tal quex +(-x)
=0(-xse llamainverso aditivo dex) Sixyyestn en V, entoncesx+y=y+x
(ley conmutativa de la suma de vectores) SixE V y a es un escalar,
entonces a.x- V (cerradura bajo la multiplicacin por un escalar)
Sixyyestn en V yes un escalar, entonces(x+y) =x +y (primera ley
distributiva) SixV yyson escalares, entonces (+)x=x+x (Segunda ley
distributiva) SixV y y son escalares, entonces (x) = ()x (ley
asociativa de la multiplicacin por escalares) Para cada vectorxV,
1x= xEJEMPLO 1El espacioRn SeaV= Rn = : xj E R para i =
1,2,...,n.Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. segn la
definicin de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1
sixyyson matrices de n*1. Haciendo0= y -x= , se ve que los axiomas
ii) ax ) se obtienen de ladefinicin de matrices.
SUBESPACIOSDEFINICINSeaHun subconjunto no vaco de un espacio
vectorialVy suponga queHes en s un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas enV.
Entonces se dice queHes un subespaciodeV.Se puede decir que el
subespacio Hheredalas operaciones del espacio vectorial padre
V.TEOREMA 1Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es
un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este
teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V,
es suficiente verificar quex+yy axestn en H cuandoxyyestn en H y a
es un escalar.Lo anterior dice que:Todo subespacio de un espacio
vectorial V contiene al 0.EJEMPLOEl subespacio trivialPara
cualquier espacio vectorial V, el subconjunto 0 que consiste en el
vector cero nada ms es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para
todo nmero real a.TEOREMA 2Sean H1 y H2 dos subespacios de un
espacio vectorial V. EntoncesH1 H2 es un subespacio de V.5.3
INDEPENDENCIA LINEALEn el estudio de lgebra lineal, una de las
ideas centrales es la dependencia o independencia lineal de los
vectores.DEFINICINDependencia e independencia lineal seanv1,v2,...,
vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los
vectores sonlineamientos dependientessi existen n escalares no
todos cero tales queC1v1 + c2v2 + ... cnvn = 0Si los vectores no
son lineamientos dependientes, se dice que sonlineamientos
independientes.TEOREMA 1Dos vectores en un espacio vectorial son
linealmente dependientes si y slo si uno es un mltiplo escalar del
otro.TEOREMA 2Un conjunto de n vectores en Rm siempre es
linealmente dependiente si n>m.TEOREMA 3A=Entonces las columnas
de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y
solo si el sistema , que se puede escribir comoAc= 0, tiene
soluciones no triviales.TEOREMA 4Sean v1, v2, ..., vn, n vectores
en Rn y sea A una matriz de n*n cuyas columnas son v1, v2, ..., vn.
Entonces v1, v2, ..., vn son linealmente independientes si y slo si
la nica solucin al sistema homogneo Ax= 0 es la solucin trivial
x=0.TEOREMA 5Sea A una matriz de n*n. Entonces det A = 0 si y solo
si las columnas de A son linealmente independientes.TEOREMA
6Cualquier conjunto n vectores linealmente independientes en Rn
genera a RnEJEMPLODos vectores linealmente dependientes enR4Los
vectores v1= y v2= son linealmente dependientes ya que v2= -3v1.5.4
BASES Y DIMENSINDEFINICINBaseUn conjunto finito de vectores v1, v2,
. . ., vn es una base para un espacio vectorial V si v1, v2, . . .,
vn es linealmente independiente v1, v2, . . ., vn genera V.Todo
conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en
RnEn Rn se defineBase cannica.-Entonces, como los vectores e1 son
las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un
conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una
base en Rn.EJEMPLOBase cannica para M22que , , y generan a M22Si=
C1 + C2 + C3 + C4 = , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. As,
estas matrices son linealmente independientes y forman una base
paraM22.DEFINICINDimensin.-Si el espacio vectorial V tienen una
base finita, entonces ladimensinde V es el nmero de vectores en
todas las bases y V se llamaespacio vectorial de dimensin finita.De
otra manera, V se llamaespacio de dimensin infinita.Si V = 0 ,
entonces se dice que V tienedimensin cero.EJEMPLOLa dimensin deRn
Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una
base, se ve queDim Rn = n ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNODEFINICIN
1Espacio con producto interno.-Un espacio vectorial complejo V se
llamaespacio con producto internosi para cada par ordenado de
vectoresuyven V, existe un nmero complejo nico (u,v),
llamadoproducto internodeuyv,tal que siu,vywestn en V y
C, entoncesEJEMPLOUn producto interno enRn Rn .- es un espacio
con producto interno con (u, v)= u * v.DEFINICIN 2Sea V un espacio
con producto interno y suponga que u y v estan en V. Entoncesi. U y
v sonortogonalessi (u, v) = 0 Lanormade u, denota por u, esta dada
porU=Nota:A la u se le pone doble barra para evitar confusin con el
valor absolutoEJEMPLODos vectores ortogonales enC2En C2 los
vectores (3, -1) y (2, 6i) son ortogonales porque((3, -1), (2, 6i))
= 3*2 + (-i)(6i) = 6 + (-i)(-6i) = 6 -6 = 0 adems (3, -i)) = =
.DEFINICIN 3Conjunto ortonormal.-El conjunto de vectores v1, v2, .
. ., vn es un conjunto ortonormal en V si(vi, vj) = 0 para iyvi = =
1DEFINICIN 4Complemento ortogonal.-Sea H un subespacio del espacio
con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal de H,
denotado por H, est dado porH= xV : (x, h) = 0 para todohH
