Regla de la multiplicacin: 4-4 FundamentosConcepto bsico En la seccin 4-3 presentamos la regla de la suma para calcularP(A o B), la probabilidad de que un solo ensayo tenga un resultado de A o B oambos. Esta seccin presenta la regla bsica de la multiplicacin, la cual se utilizapara calcular P(A y B), la probabilidad de que el suceso A ocurra en un primer en-sayo y que el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Si el resultado del primer su-ceso A afecta de alguna forma la probabilidad del segundo suceso B, es importanteajustar la probabilidad de B para que refleje la ocurrencia del suceso A. La reglapara el clculo de P(A y B) se denomina regla de la multiplicacin porque implicamultiplicar la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B (donde laprobabilidad del suceso B se ajusta por el resultado del suceso A).

4-4 Regla de la multiplicacin: Fundamentos 159

NotacinP(A y B) P(el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre en unsegundo ensayo)

En la seccin 4-3 asociamos el uso de la palabra o con la suma; en esta sec-cin asociaremos el uso de la palabra y con la multiplicacin.

La teora de la probabilidad se utiliza extensamente en el anlisis y diseo depruebas estandarizadas, como SAT, ACT, MCAT (para medicina) y LSAT (paraderecho). Con el fin de facilitar el proceso de calificacin, las pruebas de este tiposuelen usar preguntas de falso/verdadero o de opcin mltiple. Supongamos queel primer reactivo de un examen es del tipo falso/verdadero y que el segundo es deopcin mltiple con cinco respuestas posibles (a, b, c, d y e). Vamos a usar los dosreactivos siguientes. Intente responderlos!

1. Verdadero o falso: Una libra de plumas es ms pesada que una libra de oro.2. Cul de las opciones ha tenido la mayor influencia en nuestra comprensin

de la gentica?a. Gene Hackmanb. Gene Simmonsc. Gregor Mendeld. Los jeanse. Jean-Jacques Rousseau

Las respuestas a los dos reactivos son V (de verdadero) y c. (La primera preguntaes verdadera. Los pesos de las plumas se expresan en libras Avoirdupois, pero los pe-sos del oro se expresan en libras troy). Calculemos la probabilidad de que si algunapersona hace suposiciones al azar para ambas respuestas, la respuesta al primer reac-tivo sea correcta y la respuesta al segundo reactivo tambin sea correcta. Una formade calcular esta probabilidad es elaborar una lista del espacio muestral, como sigue:

V,a V,b V,c V,d V,eF,a F,b F,c F,d F,e

Si las respuestas son conjeturas al azar, entonces los 10 posibles resultados sonigualmente probables, por lo tanto

Redundancia

La confiabilidad de los sistemaspuede mejorarse considerable-mente con la redundancia decomponentes esenciales. Los au-tomviles de carreras de las se-ries de la Copa Winston NAS-CAR tienen dos sistemas deignicin para que, si uno falla,exista otro de reserva. Los avio-nes poseen dos sistemas elctri-cos independientes, y los que seusan para vuelos instrumentalessuelen tener dos radios distintos.La siguiente cita se tom de unartculo de Popular Science acer-ca de los aviones antirradar: Unavin construido en buena partecon fibra de carbono fue el LearFan 2100, que tena que llevardos transpondedores de radar. Larazn es que si fallaba una uni-dad de transpondedor, el avinseguira siendo casi invisible pa-ra el radar. Tal redundancia esuna aplicacin de la regla de lamultiplicacin de la teora deprobabilidad. Si un componentetiene una probabilidad de 0.001de fallar, la probabilidad de quedos componentes independientesfallen es de slo 0.000001.

LA ESTADSTICA EN LAS NOTICIAS

Ahora note que P(V y c) 1>10, P(V) 1>2 y P(c) 1>5; por lo tanto, vemos que

de manera queP(V y c) P(V) P(c)

Esto sugiere que, en trminos generales, P(A y B) P(A) ? P(B), pero antes de ha-cer esta generalizacin, consideremos otro ejemplo.

En primer lugar, observe que los diagramas de rbol en ocasiones sirven paradeterminar el nmero de resultados posibles en el espacio muestral. Un diagramade rbol es una imagen grfica de los resultados posibles de un procedimiento,los cuales se muestran como lneas que emanan de un punto de partida. Estosdiagramas a veces son tiles, si el nmero de posibilidades no es demasiado grande.El diagrama de rbol de la figura 4-6 resume los resultados de los reactivos deverdadero>falso y opcin mltiple. En la figura 4-6 vemos que, si las dos respues-tas son conjeturas al azar, las 10 ramas son igualmente probables, y la probabilidadde obtener el par correcto (V,c) es de 1>10. Para cada respuesta a la primera pre-gunta, hay cinco respuestas a la segunda. El nmero total de resultados es 5 dosveces, es decir, 10. Por lo tanto, el diagrama de rbol de la figura 4-6 ilustra la razndel uso de la multiplicacin.

Nuestro primer ejemplo, el de los reactivos de verdadero/falso y opcin mlti-ple, sugiere que P(A y B) P(A) ? P(B), pero el siguiente ejemplo incluye otroelemento importante.

110

512

?15

Psambas correctasd 5 PsV y cd 51

105 0.1

160 Captulo 4 Probabilidad

Figura 4-6 Diagrama de rbol delas respuestas del examen

EJEMPLO Examen de drogas. El problema del captulo incluyela tabla 4-1, la cual se reproduce a continuacin. Si se elige al azar a dosde los sujetos incluidos en la tabla, sin reemplazo, calcule la probabilidad

de que la primera persona seleccionada tenga un resultado de prueba positivo yque la segunda tenga un resultado de prueba negativo.

Motores a reaccinindependientesPoco despus de salir de Miami,el vuelo 855 de Eastern Airlinestuvo que apagar un motor por-que se encendi el indicador debaja presin de aceite. Cuandoel jet L-1011 regresaba a Miamipara aterrizar, los indicadoresde baja presin de los otros dosmotores tambin se encendie-ron. Entonces fall otro motor ydespus fall el ltimo motorque estaba funcionando. El jetdescendi sin propulsin desde13,000 pies hasta 4000 pies; en-tonces la tripulacin pudoarrancar un motor. La aeronave,con 172 personas a bordo, ate-rriz con seguridad. Con moto-res a reaccin independientes,la probabilidad de que los tresfallen es de slo 0.00013, es de-cir, alrededor de una en un bi-lln. La FAA averigu que elmismo mecnico que cambiel aceite de los tres motores seequivoc al reemplazar los ani-llos de sello del tapn de aceite.El empleo de un solo mecnicohizo que el funcionamiento delos motores se volviera depen-diente, situacin que se corrigiexigiendo que los motores reci-ban mantenimiento por mecni-cos diferentes.

abcde

V

abcde

F

VaVbVcVdVeFaFbFcFdFe

2 5 10

PROBLEMA

DE

L

C A PTUL

O4

Este ejemplo ilustra el importante principio de que la probabilidad del segundosuceso B debe tomar en cuenta el hecho de que el primer suceso A ya ocurri. Esteprincipio suele expresarse usando la siguiente notacin.

Por ejemplo, jugar a la lotera de California y despus jugar a la lotera de NuevaYork son sucesos independientes porque el resultado de la lotera de California no

4-4 Regla de la multiplicacin: Fundamentos 161

SOLUCIN

Primera seleccin:P(resultado de prueba positivo) 143>300 (porque hay 143 sujetos que re-

sultaron positivos, y el nmerototal de sujetos es de 300)

Segunda seleccin:P(resultado de prueba negativo) 157>299 (despus de la primera seleccin

de un sujeto con un resultado deprueba positivo, quedan 299 su-jetos, 157 de los cuales tienen re-sultados negativos de la prueba)

Con P(el primer sujeto tiene un resultado de prueba positivo) 143>300 yP(el segundo sujeto tiene un resultado de prueba negativo) 157>299, tenemos

El punto clave es que se debe ajustar la probabilidad del segundo suce-so para reflejar el resultado del primer suceso. Como la seleccin del segundosujeto se realiza sin reemplazar al primer sujeto, la segunda probabilidad debetomar en cuenta el hecho de que la primera seleccin elimin a un sujetoque result positivo, de manera que en la segunda seleccin slo existen 299sujetos, y 157 de ellos tuvieron un resultado de prueba negativo.

Notacin para la probabilidad condicionalP(B kA) representa la probabilidad de que un suceso B ocurra despus de suponerque el suceso A ya ocurri. (Podemos leer B k A como B dado A o como elsuceso B ocurre despus de que el suceso A ya ocurri).

LA ESTADSTICA EN LAS NOTICIAS

Recomendacin parala lotera

Un columnista del diario NewYork Daily News, Stephen Allens-worth, hace poco dio recomenda-ciones para seleccionar nmerosen el juego Daily Numbers del es-tado de Nueva York. En la des-cripcin de un sistema para ganar,escribi que comprende nmerosdobles asociados con dgitos fros.(Un dgito fro es uno que sale unavez o no sale nunca en un periodode siete das). Allensworth proce-di a identificar algunos nmerosespecficos que tienen una exce-lente probabilidad de salir estasemana.

Allensworth supone que algu-nos nmeros estn rezagados,pero la seleccin de nmeros enla lotera es independiente de losresultados pasados. El sistemaque describe no tiene bases rea-les y no funcionar. Los lectoresque siguen una recomendacintan pobre como sta, estn siendoengaados y perdern ms dine-ro, ya que creen errneamenteque sus probabilidades de ganarmejoran.

Tabla 4-1 Resultados de exmenes sobre el consumo de marihuana

Los sujetos realmente consumen marihuana?

S No

Resultado de prueba positivo 119 24 (La prueba indica que la (verdadero positivo) (falso positivo)marihuana est presente).

Resultado de prueba negativo 3 154 (La prueba indica que la (falso negativo) (verdadero negativo)marihuana est ausente).

Psel primer sujeto tiene un resultado de prueba positivoy el segundo sujeto tiene un resultado de prueba negativod5

143300 ?

157299 5 0.250

tiene ningn efecto en las probabilidades de los resultados de la lotera de NuevaYork. En contraste, el suceso de intentar arrancar su automvil y el suceso de llegar aclase a tiempo son sucesos dependientes, porque el resultado del intento de arrancarsu automvil afecta la probabilidad de llegar a clase a tiempo.

Usando la notacin y las definiciones anteriores, junto con los principios ilus-trados en los ejemplos previos, podemos resumir el concepto clave de esta seccincomo la siguiente regla formal de la multiplicacin, pero le recomendamos trabajarcon la regla intuitiva de la multiplicacin, la cual tiene ms probabilidades defacilitar la comprensin que el uso a ciegas de una frmula.

162 Captulo 4 Probabilidad

DefinicionesDos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no afectala probabilidad de la ocurrencia del otro. (De manera similar, muchos otrossucesos son independientes si la ocurrencia de cualquiera no afecta las proba-bilidades de la ocurrencia de los dems). Si A y B no son independientes, sedice que son dependientes.

Regla formal de la multiplicacinP(A y B) P(A) (B kA)

Figura 4-7

Aplicacin de la regla de lamultiplicacin

Si A y B son sucesos independientes, P(B kA) es en realidad lo mismo que P(B).Vea la siguiente regla intuitiva de la multiplicacin. (Vase tambin la figura 4-7).

Regla intuitiva de la multiplicacinCuando calcule la probabilidad de que el suceso A ocurra en un ensayo y el su-ceso B ocurra en el siguiente ensayo, multiplique la probabilidad del suceso Apor la probabilidad del suceso B, pero asegrese de que la probabilidad del suce-so B toma en cuenta la ocurrencia previa del suceso A.

S

P(A y B) = P(A) P(B|A)

P(A y B) = P(A) P(B)

P(A y B) Regla de la multiplicacin

No

StartInicio

A y B son independientes?

Hasta aqu hemos analizado dos sucesos, pero la regla de la multiplicacinpuede extenderse fcilmente a varios sucesos. En general, la probabilidad de cual-quier secuencia de sucesos independientes es simplemente el producto de sus pro-babilidades correspondientes. Por ejemplo, la probabilidad de lanzar una monedatres veces y obtener siempre cara es 0.5 ? 0.5 ? 0.5 0.125. Tambin podemos ex-tender la regla de la multiplicacin para que se aplique a varios eventos depen-dientes, simplemente ajuste las probabilidades conforme se va avanzando.Tratar sucesos dependientes como si fueran independientes El incisob) del ltimo ejemplo implic la seleccin de elementos sin reemplazo y, por con-siguiente, consideramos los sucesos como dependientes. Sin embargo, es comntratar sucesos como independientes cuando se toman muestras pequeas de po-blaciones grandes. En estos casos, es raro que se seleccione el mismo elementodos veces. He aqu un lineamiento comn:

Si el tamao de la muestra no es mayor que el 5% del tamao de lapoblacin, trate las selecciones como si fueran independientes (si lasselecciones se hacen sin reemplazo, de manera que sean tcnicamentedependientes).

4-4 Regla de la multiplicacin: Fundamentos 163

EJEMPLO Plantas Una biloga experimenta con una muestra de dosplantas vasculares (indicadas por V) y cuatro plantas no vasculares (indicadaspor N). A continuacin se listan los cdigos de las seis plantas estudiadas. Labiloga desea elegir al azar dos de las plantas para estudiarlas con mayor pro-fundidad. Calcule la probabilidad de que la primera planta seleccionada sea novascular (N) y que la segunda planta tambin sea no vascular (N). Suponga quelas selecciones se hacen a) con reemplazo; b) sin reemplazo.

V V N N N N

SOLUCIN

a. Si las dos plantas se seleccionan con reemplazo, las dos selecciones sonindependientes, ya que el segundo suceso no se ve afectado por el primerresultado. En cada seleccin, de las seis plantas, cuatro son no vasculares(N), de manera que obtenemos

b. Si las dos plantas se seleccionan sin reemplazo, las dos selecciones son de-pendientes, ya que la probabilidad del segundo suceso se ve afectada porel primer resultado. En la primera seleccin, cuatro de las seis plantas sonno vasculares (N). Despus de elegir a una planta no vascular en la primeraseleccin, quedan cinco plantas, incluyendo tres que son no vasculares.Por lo tanto,

Observe que en este caso ajustamos la segunda probabilidad para tomaren cuenta la seleccin de una planta no vascular (N) en el primer resultado.Despus de seleccionar N la primera vez, de las cinco plantas restantes, tresseran no vasculares.

Psla primera planta es N y la segunda planta es Nd 546

?35 5

1230

525 o 0.4

Psla primera planta es N y la segunda planta es Nd 546

?46

51636

o 0.444

Sentenciados porprobabilidad

Un testigo describi a una asal-tante de Los ngeles como unamujer caucsica de pelo rubio,peinado en cola de caballo, queescap en un automvil amari-llo conducido por un hombreafroestadounidense que usababarba y bigote. Janet y MalcomCollins se ajustaban a esta des-cripcin y se les conden confundamento en el testimoniode que existe aproximadamenteuna posibilidad en 12 millonesde que cualquier pareja tengatales caractersticas. Se estimque la probabilidad de tener unautomvil amarillo es de 1>10,en tanto que las dems probabi-lidades se estimaron en 1>4,1>10, 1>3, 1>10 y 1>1,000. Mstarde, las condenas se anularon,cuando se seal que no se pre-sent evidencia que apoyara lasprobabilidades que se estima-ron o la independencia de lossucesos. Sin embargo, puestoque la pareja no se seleccional azar, se cometi un error gra-ve al no considerar la probabili-dad de que hubiera otras pare-jas en la misma regin con lasmismas caractersticas.

Los encuestadores usan este lineamiento cuando encuestan apenas a 1000 adultos depoblaciones de millones. Ellos suponen independencia, aunque toman la muestra sinreemplazo.

El siguiente ejemplo nos da idea del importante procedimiento de prueba dehiptesis que se estudiar en el captulo 8.

164 Captulo 4 Probabilidad

EJEMPLO Eficacia de la seleccin del gnero Un genetista desarro-lla un procedimiento para aumentar la probabilidad de engendrar una nia. Enuna prueba inicial, 20 parejas utilizan el mtodo, lo que da como resultado 20nias en 20 nacimientos. Suponiendo que el procedimiento de seleccin delgnero no tiene efecto, calcule la probabilidad de que nazcan 20 nias en 20nacimientos, debido al azar. Con base en los resultados, existe una fuerte evi-dencia que apoye la afirmacin del genetista de que el procedimiento es eficazpara incrementar la probabilidad de engendrar una nia?

SOLUCIN Deseamos calcular P(los 20 bebs son nias), suponiendo que elprocedimiento no tiene ningn efecto, de manera que la probabilidad de quecualquier descendiente sea mujer es 0.5. Como se utilizan pares separados depadres, trataremos los sucesos como si fueran independientes. Se obtiene elsiguiente resultado:

P(los 20 bebs son nias) P(el primero es nia, y el segundo es nia, y el tercero es nia . . .

y el vigsimo es nia) P(nia) ? P(nia) ? c? P(nia) 0.5 ? 0.5 ? c? 0.5 0.520 0.000000954

La baja probabilidad de 0.000000954 indica que en vez de tener 20 nias alazar, una explicacin ms razonable es que con el procedimiento de seleccinde gnero hay ms probabilidades de que nazcan nias. Como existe una pro-babilidad tan pequea (0.000000954) de que resulten 20 nias en 20 nacimientos,tenemos evidencia suficiente para concluir que el procedimiento de seleccinde gnero sirve para incrementar la probabilidad de que un beb sea nia. Esdecir, parece que el procedimiento es eficaz.

Podemos resumir los fundamentos de las reglas de la suma y de la multiplicacincomo sigue:

En la regla de la suma, la palabra o en P(A o B) sugiere suma. SumeP(A) y P(B), teniendo cuidado de sumar en tal forma que cada resultadose cuente slo una vez.

En la regla de la multiplicacin, la palabra y en P(A y B) sugiere multi-plicacin. Multiplique P(A) y P(B), pero asegrese de que la probabilidaddel suceso B tome en cuenta la ocurrencia previa del suceso A.

Calificacin perfectaen el SATSi se selecciona al azar a un suje-to que responde el Scholastic Ap-titude Test (SAT), cul es la pro-babilidad de elegir a una personaque obtenga una calificacin per-fecta? Cul es la probabilidadde obtener una calificacin per-fecta en el SAT, adivinando lasrespuestas? stas son dos pre-guntas muy diferentes.

La prueba del SAT cambi dedos a tres secciones en 2005, yentre los 300,000 estudiantes quetomaron la primera prueba enmarzo de 2005, 107 lograron ca-lificaciones perfectas de 2400puntos al obtener 800 en cadauna de las tres secciones corres-pondientes a escritura, lecturade comprensin y matemticas.Con base en estos resultados, laprobabilidad de seleccionar alazar a uno de los sujetos deprueba y elegir a una personacon calificacin perfecta es107/300,000 o aproximadamente0.000357. En un ao reciente enel que an se aplicaba el antiguoexamen SAT, aproximadamente1.3 millones de personas lo to-maron, de las cuales, 587 recibie-ron calificaciones perfectas de1600, lo que representa una pro-babilidad de 0.000452. Slo unaparte del SAT consiste en 35 pre-guntas de opcin mltiple, y laprobabilidad de responder a to-das ellas correctamente adivinan-do es de (1/5)35, una cantidad tanpequea que cuando se escribecomo un decimal, deben escribir-se 24 ceros entre el punto y elprimer nmero diferente de cero.

4-4 DESTREZAS Y CONCEPTOS BSICOSConocimientos estadsticos y pensamiento crtico

1. Sucesos independientes. Con sus propias palabras, explique qu significa que dossucesos sean independientes.

2. Muestreo con reemplazo. El profesor de una clase de 25 estudiantes elige al azar aun estudiante y luego selecciona tambin al azar a un segundo estudiante. Si en la se-gunda seleccin los 25 estudiantes estn disponibles, se trata de un muestreo conreemplazo o de un muestreo sin reemplazo? El segundo resultado es independientedel primero?

3. Muestreo sin reemplazo. El profesor de una clase de 25 estudiantes elige al azara un estudiante y luego selecciona tambin al azar a un segundo estudiante. Si en lasegunda seleccin estn disponibles 24 estudiantes, se trata de un muestreo conreemplazo o de un muestreo sin reemplazo? El segundo resultado es independientedel primero?

4. Notacin. Qu representa la notacin P(B kA)?Identificacin de sucesos como independientes o dependientes. En los ejercicios 5 y 6,clasifique cada par de sucesos como independientes o dependientes. (Si dos sucesos sontcnicamente dependientes, pero se pueden tratar como si fueran independientes, consi-drelos independientes).

5. a. Elegir al azar una moneda de 25 centavos acuada antes de 2001Elegir al azar una segunda moneda de 25 centavos acuada antes de 2001

b. Elegir al azar a un televidente que est viendo The Barry Manilow BiographyElegir al azar a un segundo televidente que est viendo The Barry ManilowBiography

c. Usar pantaln corto de tela escocesa con calcetines negros y sandaliasPedirle a alguien una cita y recibir una respuesta positiva

6. a. Descubrir que su calculadora funcionaDescubrir que su telfono celular funciona

b. Descubrir que su tostador de pan no funcionaDescubrir que su refrigerador no funciona

c. Beber alcohol o consumir drogas hasta deteriorar su capacidad de conducirVerse implicado en un accidente automovilstico

7. Conjeturas. Un examen rpido consiste en una pregunta de verdadero>falso, seguidade una pregunta de opcin mltiple con cuatro respuestas posibles (a, b, c y d). Siambas preguntas se responden con conjeturas, calcule la probabilidad de que las dosrespuestas sean correctas. Hacer conjeturas es una buena estrategia en este examen?

8. Letra y dgito. La duea de una nueva computadora crea una contrasea de doscaracteres. Seleccion al azar la letra del alfabeto para el primer carcter y un dgito(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para el segundo carcter. Cul es la probabilidad de quesu contrasea sea K9? Servir esta contrasea para evitar que otra persona tengaacceso a su computadora?

9. Uso de ropa anaranjada de cazador. Un estudio que pretenda descubrir la relacinentre sufrir heridas de caza y usar ropa anaranjada de cazador mostr que de 123cazadores heridos por ser confundidos con presas, 6 usaban ropa anaranjada (segndatos de los Centers for Disease Control). Si un estudio de seguimiento comenzaracon la seleccin aleatoria de cazadores de esta muestra de 123, calcule la probabilidadde que los primeros dos cazadores seleccionados usaran ropa anaranjada.

4-4 Regla de la multiplicacin: Fundamentos 165

contina

a. Suponga que el primer cazador se reemplaza antes de que el siguiente se seleccione.b. Suponga que el primer cazador no se reemplaza antes de que el segundo cazador se

seleccione.c. Dada la alternativa entre seleccionar con reemplazo y sin reemplazo, cul es ms

lgica para esta situacin? Por qu?

10. Seleccin de senadores en Estados Unidos. En el 108 Congreso de EstadosUnidos, el senado consta de 51 republicanos, 48 demcratas y 1 independiente. Siun cabildero de la industria del tabaco selecciona al azar a tres diferentes senadores,cul es la probabilidad de que todos sean republicanos? Sera probable que uncabildero usara la seleccin aleatoria en esta situacin?

11. Muestreo de aceptacin. Con cierto mtodo de un procedimiento llamado muestreode aceptacin, se selecciona aleatoriamente y sin reemplazo una muestra de artculos; ellote completo se acepta si cada artculo en la muestra es aprobado. La Niko ElctronicsCompany acaba de fabricar 5000 CD y 100 estn defectuosos. Si se seleccionan al azar4 de estos CD para probarlos, cul es la probabilidad de que se acepte el lote completo?

12. Nivel de confianza de encuesta. En las encuestas de opinin pblica, es comn ma-nejar un nivel de confianza del 95%, lo cual significa que hay un 0.95 de probabili-dad de que los resultados de la encuesta sean precisos dentro de los mrgenes de errorestablecidos. Si seis organizaciones diferentes realizan encuestas independientes,cul es la probabilidad de que las seis sean precisas dentro de los mrgenes de errorestablecidos? El resultado sugiere que con un nivel de confianza del 95% podemosesperar que casi todas las encuestas estn dentro del margen de error establecido?

13. Prueba de eficacia de un mtodo de seleccin de gnero. Descubrimientos re-cientes parecen hacer posible que las parejas aumenten, de forma considerable, laposibilidad de tener un hijo del gnero de su eleccin. En una prueba de un mtodode seleccin del gnero, 12 parejas tratan de concebir nias. Si este mtodo de se-leccin del gnero no tuviera efecto, cul es la probabilidad de que los 12 bebssean nias? Si en realidad entre 12 hijos 12 resultan nias, parece ser efectivo estemtodo de seleccin de gnero? Por qu?

14. Identificacin de la voz de un criminal. En un caso legal en Riverhead, Nueva York,nueve vctimas diferentes de un crimen escucharon grabaciones de la voz de cinco hom-bres diferentes. Las nueve vctimas identificaron la misma voz como la del criminal. Silas identificaciones de voz se hubieran hecho al azar, calcule la probabilidad de que lasnueve vctimas seleccionaran a la misma persona. Constituye esto una duda razonable?

15. Redundancia. El principio de redundancia se utiliza cuando la confiabilidad de unsistema se mejora por medio de componentes redundantes o de respaldo. Supongaque su reloj despertador tiene un 0.975 de probabilidad de funcionar en cualquiermaana dada.a. Cul es la probabilidad de que su reloj despertador no funcione en la maana de

un examen final importante?b. Si usted tiene dos relojes despertadores como el descrito, cul es la probabilidad

de que ambos fallen en la maana de un examen final importante?c. Con un reloj despertador, tenemos un 0.975 de probabilidad de ser despertados. Cul

es la probabilidad de ser despertado si estamos usando dos relojes despertadores?d. Un segundo despertador representa una confiabilidad considerablemente mayor?

16. Habilidades sociales. Bob considera que cuando le pide a una mujer una cita, ellapuede aceptar o rechazar su propuesta, y supone que tiene una probabilidad de 0.05de conseguir la cita. Si esta suposicin es correcta, cul es la probabilidad de queBob reciba cinco rechazos al pedir citas a cinco mujeres diferentes? Este resultadoes la probabilidad correcta de que Bob reciba cinco rechazos al pedir citas a cincomujeres diferentes? Por qu?

166 Captulo 4 Probabilidad

En los ejercicios 17 a 20, utilice los datos de la siguiente tabla, que resume los resultadosde 985 muertes de peatones, causadas por accidentes (segn datos de la National HighwayTraffic Safety Administration).

4-4 Regla de la multiplicacin: Fundamentos 167

17. Conductores intoxicados. Si se seleccionan al azar dos muertes diferentes de peatones,calcule la probabilidad de que ambas involucren a conductores intoxicados.

18. Peatones intoxicados. Si se seleccionan al azar dos muertes diferentes de peatones,calcule la probabilidad de que ambas involucren a peatones intoxicados.

19. Muertes de peatonesa. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, cul es la probabilidad de que

sea un caso en donde ni el peatn ni el conductor estuvieran intoxicados?b. Si se eligen al azar dos muertes diferentes de peatones, cul es la probabilidad de

que, en ambos casos, ni el peatn ni el conductor estuvieran intoxicados?c. Si se eligen al azar dos muertes de peatones con reemplazo, cul es la probabilidad

de que en ambos casos, ni el peatn ni el conductor estuvieran intoxicados?d. Compare los resultados de los incisos b) y c).

20. Muertes de peatonesa. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, cul es la probabilidad de que

involucre a un peatn intoxicado y a un conductor intoxicado?b. Si se eligen al azar dos muertes diferentes de peatones, cul es la probabilidad de

que en ambos casos, tanto el peatn como el conductor estuvieran intoxicados?c. Si se eligen al azar dos muertes de peatones con reemplazo, cul es la probabilidad

de que en ambos casos, tanto el peatn como el conductor estuvieran intoxicados?d. Compare los resultados de los incisos b) y c).

4-4 MS ALL DE LO BSICO

21. Las mismas fechas de cumpleaos. Calcule la probabilidad de que dos personas notengan la misma fecha de cumpleaos, cuando el nmero de personas seleccionadasal azar esa. 3b. 5c. 25

22. Gnero de hijosa. Si una pareja planea tener ocho hijos, calcule la probabilidad de que todos sean del

mismo gnero.b. Suponiendo que los nios y las nias fueran igualmente probables, calcule la pro-

babilidad de que, de 1000 nacimientos, todos los bebs sean nias. El resultadoindica que un suceso como ste es imposible?

23. Seleccin de cartas. Se van a seleccionar dos cartas de un mazo revuelto, al azar y sinreemplazo. Calcule la probabilidad de obtener un as en la primera carta y una espadaen la segunda carta.

Peatn intoxicado?S No

S 59 79No 266 581

Conductor intoxicado?

Estadstica

Contenido

Prefacio

1. Introduccin a la estadstica

2. Resumen y grficas de datos

3. Estadsticos para describir, explorar y comparar datos

4. Probabilidad

5. Distribuciones de probabilidad discreta

6. Distribuciones de probabilidad normal

7. Estimaciones y tamaos de muestra

8. Prueba de hiptesis

9. Inferencias a partir de dos muestras

10. Correlacin y regresin

11. Experimentos multinominales y tablas de contingencia

12. Anlisis de varianza

13. Estadstica no paramtrica

14. Control estadstico de procesos

15. Proyectos, procedimientos y perspectivas

Apndice A: Tablas

Apndice B: Conjunto de datos

Apndice C: Glosario

Apndice D: Bibliografa

Apndice E: Soluciones de los ejercicios impares

Crditos

ndice

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.00000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice