Proceso de ortogonalizacin de Gram-SchmidtEnlgebra lineal, elproceso de ortogonalizacin de GramSchmidtes unalgoritmopara construir, a partir de un conjunto devectoresde unespacio prehilbertiano(usualmente, el espacio eucldeoRn), otro conjuntoortonormalde vectores que genere el mismo subespacio vectorial.Este algoritmo recibe su nombre de los matemticosJrgen Pedersen GramyErhard Schmidt.

Descripcin del algoritmo de ortogonalizacin de GramSchmidt

Los dos primeros pasos del proceso de GramSchmidtSe define, en primer lugar, eloperadorproyeccinmediante

donde los corchetes angulares representan elproducto interior. Es evidente que

es un vector ortogonal a. Entonces, dados los vectores, el algoritmo de GramSchmidt construye los vectores ortonormalesde la manera siguiente:

A partir de las propiedades de la proyeccin y del producto escalar, es sencillo probar que la sucesin de vectoreses ortogonal.EjemploConsidera el siguiente conjunto de vectores enR2(con el convencional producto interno)

Ahora, aplicamos GramSchmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

Verificamos que los vectoresu1yu2son de hecho ortogonales:

Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo por su norma como hemos mostrado anteriormente: