4 Expresiones algebraicas - MATEMÁTICAS | Blog … algebraicas | Unidad 4 21 4.6. Utiliza el lenguaje algebraico y responde. a) Marta tiene 10 años más que Raquel. Si Raquel tiene

18 Unidad 4 | Expresiones algebraicas

4 Expresiones algebraicas

ACTIVIDADES INICIALES

4.I. Utilizando la letra y para representar el dinero de Jesús y la letra x para representar el de Julia, ¿sabrías decir cuál de estas expresiones indica que a Jesús le faltan 5 € para tener el doble de lo que tiene Julia?

• y = 2 + x – 5 • 2y = x – 5

• y = 2x – 5 • y – 5 = 2 + x

y = 2x – 5

4.II. Hay ciertos números que, aunque son bien conocidos, también los escribimos con letras, como el número π . ¿Cuál es su valor? Indica dos fórmulas en las que aparezca.

π= 3,14159...

Longitud de la circunferencia = L = 2 π r

Área del círculo = A = π r2

Desarrolla tus competencias

4.1. *Escribe con este código: Bienvenido al club de los matemáticos.

01 A 08 D 10 G 12 J 15 M 17 O 20 R 22 U 25 X

06 B 02 E 11 H 13 K 16 N 18 P 21 S 23 V 26 Y

07 C 09 F 03 I 14 L 04 Ñ 19 Q 05 T 24 W 27 Z

06 03 02 16 23 02 16 03 08 17 01 14 07 14 22 06 08 02 14 17 21

15 01 05 02 15 01 05 03 07 17 21

4.2. *Expresa en función de a y b las longitudes de los siguientes segmentos igual que en el ejemplo.

a) 3a

b) 2a + 3b

c) 6b – a

Expresiones algebraicas | Unidad 4 19

4.3. Expresa las áreas de las zonas coloreadas en función de a y b como en el ejemplo.

a) 2ab

b) ab

c) a2 – b2

d) a2 + b2

e) a(a – b)

f) b(a – b)

4.4. En la vida cotidiana usamos muchos símbolos para referirnos a ideas o conceptos. Explica cada uno de estos símbolos, dónde podemos verlos y qué significan.

Radiactivo. En una central nuclear.

Reciclable. En botellas.

Puerto USB. En un ordenador.

Ceda el paso. En la carretera.

Dólar. En los billetes.

Euro. En los billetes.


ACTIVIDADES

4.1. Traduce los enunciados a lenguaje algebraico.

a) El doble de un número.

b) Quince menos un número.

c) El cuadrado de un número.

d) Un tercio de un número.

a) 2x b) 15 – x c) x2 d) 3x

4.2. Expresa los enunciados en lenguaje algebraico.

a) Doce menos el triple de un número.

b) El doble de un número menos su mitad.

c) Cinco veces la suma de un número más su cuarta parte.

d) Un número más su doble, más su triple, más su cuarta parte.

e) El cuadrado del resultado obtenido sumando 15 a un número.

a) 12 – 3x

b) 2x – 2x

c) 54xx +

d) x + 2x + 3x + 4x

e) (x + 15)2

4.3. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes igualdades.

a) El doble de un número es 90.

b) La tercera parte de un número es 15.

c) Un número aumentado en 8 unidades es igual a tres veces el número.

a) 2x = 90 b) 153x= c) x + 8 = 3x

4.4. Actividad interactiva.

4.5. Ana dice que “el doble de un número más dos unidades” se escribe en lenguaje algebraico como 2x + 2, pero Juan dice que debería ser 2(x + 2). ¿Quién tiene razón?

Así expresado, la frase es ambigua. Su significado dependería principalmente de dónde se hiciera la pausa. Sería más conveniente decir “la suma del doble de un número y dos unidades” en el primer caso, y “el doble de la suma de un número y dos unidades” en el segundo.


4.6. Utiliza el lenguaje algebraico y responde.

a) Marta tiene 10 años más que Raquel. Si Raquel tiene x años, ¿cuántos tiene Marta?

b) Alberto es 10 cm más alto que Álex. Si Álex mide h cm, ¿cuál es la altura de Alberto?

c) El equipo de baloncesto local gana por 8 puntos al visitante. ¿Cuál es la puntuación del equipo local, si el visitante lleva p puntos?

d) Laura ha andado la mitad de kilómetros que Pablo. Nico ha hecho el doble que Laura y Pablo juntos. ¿Cuántos kilómetros han andado entre los tres?

a) x + 10

b) h + 10

c) p + 8

d) 22 2k kk k + + +

4.7. Escribe la expresión algebraica que corresponde a este enunciado.

Ramón tiene una tercera parte de los cromos de María, María tiene 10 cromos más que Juan, y Juan tiene el doble de cromos más 5 que Ana. Sabiendo que Ana tiene x cromos, ¿cuántos cromos tienen entre todos?

x + 2x + 5 + 2x + 5 + 10 + 2 5 103

x + +

4.8. Escribe en tu cuaderno estas expresiones algebraicas, rodea en azul los coeficientes y en rojo las partes literales.

a) 4xy + xz + 9 b) 4b – 7ab + 8b

c) 5 – x + 4xy d) 12cb – 3c + 4ab

e) –9x – 2 f) 6m2 – 3mn + 15

a) 4 1 9xy xz+ + b) 7 7 8b ab b− +

c)

5 1 4x xy− + d) 12 3 4cb c ab− +

e)

9 2x− − f)

26 3 15m mn− +

4.9. Indica los términos semejantes que contienen las siguientes expresiones.

a) 4x3 + 4x2y – 3y3 + 2x3 + y3 + 4x2y

b) abc – 2ab + 3ac – abc + ab2 + ab – a2c

c) m2n – mn2 + 5mn – mn + 7m2n2 – m2n

a) 4x3 y 2x3; –3y3 e y3; 4x2y y 4x2y

b) abc y –abc; –2ab y ab

c) 5mn y –mn; –m2n y m2n


4.10. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 2b – 15, si b = –3

b) m2 – 3n + 1, si m = 4 y n = 5

c) 9x + 2(y – 11) + 2z, si x = 3, y = 15 y z = –1

a) –21

b) 16 – 15 + 1 = 2

c) 27 + 8 – 2 = 33

4.11. Calcula el valor numérico de estas expresiones para b = 8.

a) 4b b) –b + 18

c) 5b + 12 d) –8 – 4b

e) 3b – 5 f) 5b + b2

a) 32 b) 10

c) 52 d) –40

e) 19 f) 104

4.12. Calcula el grado de los siguientes polinomios.

a) a2bc3 – 2ab + 3a3c – abc + a7b2 + ab

b) 4x6 + 4x2y9 – 3y3 + 2x5y + y10 + 4x2y

c) 2s4 + 3s7p – 15s2p6 + 4sp7 – 9s4p8

a) 9

b) 11

c) 12


4.14. El sueldo de Sara consta de una cantidad fija más un suplemento por cada hora que trabaja fuera de su horario y unas dietas de 35 € por cada día que tiene que viajar. La cantidad que cobra se puede calcular con esta fórmula:

S = 1.610 + 20h + 35d

a) Indica qué crees que representan cada una de las letras que aparecen en la fórmula.

b) ¿Cuánto cobrará un mes que ha trabajado 12 horas extras y ha salido 3 días de viaje?

c) La empresa le ha comunicado que tendrá un aumento del sueldo fijo de un 3 %, pero que cobrará las horas extras que haga a 15 €. En un mes que trabaje lo mismo que en el del apartado b, ¿ganará o perderá dinero? ¿Cuánto?

a) S = sueldo, h = número de horas que trabaja fuera de horario, d = número de días que viaja.

b) 1.610 + 20 · 12 + 35 · 3 = 1.955 €

c) 1.610 · 1,03 + 15 · 12 + 35 · 3 = 1.943,30 €. Cobrará 11,70 € menos.


4.15. Simplifica las expresiones algebraicas agrupando términos semejantes.

a) 10x – 6x + x b) 5ab – 4x + 3ab

c) 3b – x + 2b d) 7c2 + 2x – c2–3x

e) 10n + 3 + 2n – 7 f) 48x + 4 –2x – 5x

g) 8b – 2c – 3c – 4b h) 2a + 3t + a + t

a) 5x b) 8ab – 4x

c) 5b – x d) 6c2 – x

e) 12n – 4 f) 41x + 4

g) 4b – 5c h) 3a + 4t

4.16. Calcula las siguientes sumas y restas.

a) (a + 4b + c) + (a – b + 1) b) (x + y – 7) – (x – y + 1)

c) (12 + 3x) + (3x + 5) + (5x + 10) d) (70m + 4n – 150) – (20 – 25m + 16n)

a) 2a + 3b + c + 1 b) 2y – 8

c) 11x + 27 d) 95m – 12n – 170

4.17. *Recuerda las propiedades de las potencias y haz estas multiplicaciones.

a) x2 · x3 b) 5a · 2a · 3b

c) 22d · d · d d) 24m2 · 3m3

e) 12 · a · a · 2a f) 3bc2 · (–8bc)

a) x5 b) 30a2b

c) 22d3 d) 72m5

e) 24a3 f) –24b2c3

4.18. *Escribe de la forma más simplificada posible los productos siguientes.

a) 4a · 3a b) 5a · 2b

c) 2x · (–3x) d) 4m3 · 15m2

e) 9x

· (5x2) f) 8m · 26

m

a) 12a2 b) 10ab

c) –6x2 d) 60m5

e) 45x f) 48m


4.19. Multiplica.

a) 9 · (3a + 3) b) –5 · (4 – 2x)

c) 10 · (m + 7) d) (a – b + 6) · (–2)

e) –2 · (5t + 3) f) 7 · (x2 – 3x + 6)

a) 27a + 27 b) –20 + 10x

c) 10m + 70 d) –2a + 2b – 12

e) –10t – 6 f) 7x2 – 21x + 42

4.20. Multiplica las siguientes expresiones.

a) x(5 + 3x) b) 8a(1 – 2a)

c) c(a + b + 4) d) (x + y + 4z) · 3y

e) (–9a)(8 + 8b) f) 11t(4 + 3t)

a) 5x + 3x2 b) 8a – 16a2

c) ca + cb + 4c d) 3xy + 3y2 + 12yz

e) –72a – 72ab f) 44t + 33t2

4.21. Calcula los productos y después simplifica.

a) 7x – 3(x + 4)

b) 8c – c(2c – 5) + 12 + c

c) –11 + 4a(b + 2c) + 5 – 7ab

d) –3 + 5x – 5x(–4 + x) + 11

a) 4x – 12

b) –2c2 + 14c + 12

c) –3ab + 8ac – 6

d) 25x – 5x2 + 8


4.23. Observa el dibujo:


a) ¿Qué expresión corresponde al área de la zona lila?

x + y + 5 x2 + y + 5x

5 + y + xy 5x + xy

b) Expresa algebraicamente el área de la zona pintada de verde.

a) 5x + xy

b) x2 + x2 + xy + 5y + 5 · 2 = 2x2 + xy + 5y + 10

4.24. Calcula las siguientes potencias.

a) (2x)4 b) (–5a)2

c) (3m)3 d) 29

x

e) 31

2 t

f) 23

10

a

a) 16x4 b) 25a2

c) 27m3 d) 2

81x

e) 3

18t

f) 29

100a

4.25. Expresa como un producto y calcula.

a) (x + 1)3

b) (2 + a + b)2

a) (x + 1) · (x + 1) · (x + 1) = x3 + 3x2 + 3x + 1

b) (2 + a + b) · (2 + a + b) = 4 + 4a + 4b + a2 + b2 + 2ab

4.26. Desarrolla los cuadrados de estas sumas.

a) (a + 8)2 b) (3 + m)2

c) (2x + 3)2 d) (4x + y)2

a) a2 + 16a + 64 b) 9 + 6m + m2

c) 4x2 + 12x + 9 d) 16x2 + 8xy + y2

4.27. Desarrolla los cuadrados de estas restas.

a) (m – 5)2 b) (5 – 2t)2

c) (3x – 1)2 d) (10y – 10z)2

a) m2 – 10m + 25 b) 25 – 20t + 4t2

c) 9x2 – 6x + 1 d) 100y2 – 200yz + 100z2


4.28. Escribe el resultado de estos productos.

a) (b + 4)(b – 4)

b) (x – y)(x + y)

c) (2m + 4)(2m – 4)

d) (3c + 5)(3c – 5)

a) b2 – 16

b) x2 – y2

c) 4m2 – 16

d) 9c2 – 25


4.30. Observa el dibujo y sigue las instrucciones.

– Expresa el área amarilla en función de a y b.

– Observa que el área del rectángulo OPQR es (a + b)(a – b), y que este rectángulo se obtiene cortando por la línea de puntos la zona amarilla y situando la parte superior donde indica la flecha.

– ¿Crees que esto sirve para demostrar geométricamente la siguiente igualdad?

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Razónalo.

El área de la zona amarilla es a2 – b2.

Como el área de la región amarilla es la misma que la del rectángulo OPQR, según se observa trasladando el rectángulo superior como indica la flecha del dibujo, queda demostrada la igualdad (a + b)(a – b) = a2 – b2.


ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN

Lenguaje algebraico

4.31. Indica con letras las longitudes de los lados de estos polígonos. Tienes que usar el menor número posible de letras (por ejemplo, si dos lados son iguales, pon la misma letra).

4.32. María lleva en el bolsillo el doble de dinero que Ramón. Si Ramón lleva a dinero, ¿cuánto lleva María?

a) 4a b) a + 2 c) 2a d) 2a + 2

c

4.33. Juan tiene tres años más que Ana. Si Ana tiene b años, ¿cuántos años tiene Juan?

a) b + 3 b) b – 3 c) 3b d) 3b + 3

a

4.34. Pedro mide 20 cm más que su hermano Miguel. ¿Cómo expresaremos la estatura de Pedro en relación con la de Miguel?

a) m + 20 b) 20 · m c) m + 20 · m

a

4.35. Teresa ha dado la segunda vuelta a la pista 5 segundos más rápido que la primera. Si ha hecho la primera en t segundos, ¿cuánto tiempo ha estado corriendo?

t + t – 5

4.36. Cada socio de un club de tenis paga una cuota anual de 274 €.

a) ¿Cuánto recaudará el club si son 70 socios? ¿Y si son 90?

b) Escribe la fórmula que da la cantidad recaudada para un número de socios cualquiera.

a) 19.180 €; 24.660 € b) R = 274s


4.37. Expresa en lenguaje algebraico:

a) El 10 % del dinero que tengo (a).

b) El precio de una bicicleta que este año es un 4 % mayor que el precio (b) del año pasado.

c) El nivel de un depósito que ha bajado un 30 % respecto al nivel (x) de hace una hora.

d) Un incremento del 125 % del caudal (c) de un torrente.

a) 0,10a b) 1,04b c) 0,7x d) 2,25c

4.38. Traduce cada frase a lenguaje algebraico.

a) Un número disminuido en 43 unidades.

b) La quinta parte de un número.

c) 51 menos el doble de un número.

d) Un número 5 veces más grande que x.

e) El cuadrado de un número menos el cubo de otro aumentado en 10 unidades.

a) x – 43

b) 5x

c) 51 – 2x

d) 5x

e) x2 – (y + 10)3

4.39. Escribe la expresión algebraica que da respuesta a cada enunciado.

a) En una clase hay 6 chicas menos que chicos. Si hay x chicos, ¿cuántas chicas hay?

b) Rosa tiene la mitad de la edad de su padre. Si su padre tiene b años, ¿cuántos años tiene Rosa?

c) Un edificio es 10 veces más alto que la puerta de entrada. Si la puerta mide x m de altura, ¿cuánto mide el edificio?

d) Tenemos que mezclar el doble de harina que de azúcar. Si de azúcar ponemos m, ¿cuánta harina tenemos que poner?

e) Tengo el doble de billetes de 50 € que de 100 €. Si de 50 € tengo y, ¿cuántos tengo de 100 €? ¿Cuánto dinero tengo en total?

a) x – 6

b) 2b

c) 10x

d) 2m

e) ; 50· 100· 1002 2y yy y+ =


Expresiones algebraicas

4.40. Copia en tu cuaderno y relaciona las expresiones equivalentes.

4 · x + 2 · y • • 23ab

–1 · m · 2n

• • 3a

b · 3 · a + a · 2 • • 4x + 2y

a · 2 · 3b • • 2− m

n

–1 · (4 · x + 2) • • 2xy

13

· a • • 3ab + 2a

2 · x · y • • –4x – 2

4 · x + 2 · y • • 23ab

–1 · m · 2n

• • 3a

b · 3 · a + a · 2 • • 4x + 2y

a · 2 · 3b • • 2 m

n−

–1 · (4 · x + 2) • • 2xy

13

· a • • 3ab + 2a

2 · x · y • • –4x – 2

4.41. Calcula el valor numérico de estas expresiones para c = –2.

a) 3c

b) –12 – 5c

c) –2 + 4c

d) –6c + 4 + c

e) –c + 9

f) c2 – c – 1

a) –6

b) –2

c) –10

d) 14

e) 11

f) 5


4.42. ¿Para qué valor de los que aparecen a continuación, la expresión x2 – 3x + 9 tiene un valor numérico mayor? ¿Y menor?

a) x = 5 b) x = 3 c) x = –4

a) 19 b) 9 (menor) c) 37 (mayor)

4.43. Calcula los valores numéricos de la expresión 3 + x – 4x2 para x = 12

y para x = 12

− .

5 3;2 2

4.44. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

21abc

4 xy3

–3 p2q3

475

xy

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

21abc 21 abc 3

4xy3 4 xy3 4

–3p2q3 –3 p2q3 5

475

xy 75

xy4 5

4.45. Sabiendo que a + b + c + d = 48, completa en tu cuaderno la tabla siguiente con el valor de la letra que falta para que se verifique la igualdad.

a b c d

12 10 24

7 19 9

33 –5 –14

a b c d

12 10 24 2

7 13 19 9

33 –5 34 –14


4.46. Calcula el área y el perímetro de este trapecio isósceles:

A = ( + ) · 2

a b h P = a + b + 2c

a) Si a = 14 cm, b = 26 cm, c = 10 cm y h = 8 cm.

b) Si a = 750 m, b = 1.250 m, c = 650 m y h = 600 m.

a) A = 160 cm2; P = 60 cm

b) A = 600.000 m2; P = 3.300 m

Operaciones con expresiones algebraicas

4.47. Simplifica estas expresiones algebraicas.

a) n + 2n + 3n b) 4x – x – x

c) a – a – a – a – a d) 18x – 11x + 9x

e) 2y + x + y – 2x f) 9p – q – 12p – q

a) 6n

b) 2x

c) –3a

d) 16x

e) 3y – x

f) –3p – 2q

4.48. Simplifica estas expresiones algebraicas agrupando los términos semejantes.

a) 2 + x + 5 + 4x – 3 b) –x – y + x – y

c) 3m + m + 4m d) 40b – 70 + 30b

e) 11a – 3 + a – 6 f) a + a2 – 8a2 + a

g) 5s – 1 + 2s + s h) 7xy + x – xy – 2x

a) 4 + 5x b) –2y

c) 8m d) 70b – 70

e) 12a – 9 f) –7a2 + 2a

g) 8s – 1 h) 6xy – x


4.49. Realiza estas sumas.

a) (x + 7y + 2) + (3y + x – 10)

b) 4 3 8 + + + 2 3 2 3

x x

c) (xy + 4 + x) + (–5xy – x + 19)

a) 10y + 2x – 8 b) 2x + 4 c) –4xy + 23

4.50. Calcula estas restas.

a) (44a + 11) – (–29a + 14) b) (4d + e + 15) – (5d – e + 18)

c) (4x + 5y + 21) – (7y + 10x – 11) d) (1 + x + x2 + x3) – (x3 + 2x2 + x – 1)

a) 73a – 3 b) –d + 2e – 3

c) –6x – 2y + 32 d) –x2 + 2

4.51. Calcula estos productos.

a) (4 + x) (7 – x) b) (–x) (x + 3y – 1)

c) (a + b)(6 + a) d) (3b + 8)(8 + 5b)

e) (6n + 14) · 3n f) (y – 4)(x + 7)

a) 28 – x2 + 3x b) –x2 – 3xy + x

c) 6a + a2 + 6b + ab d) 64 + 15b2 + 64b

e) 18n2 + 42n f) xy + 7y – 4x – 28

Fórmulas notables

4.52. Calcula las siguientes potencias.

a) (–x)2 b) (–3b)4

c) (3k5)4 d) (a3)3

e) (–abc2)2 f) (10m)3

a) x2 b) 81b4

c) 81k20 d) a9

e) a2b2c4 f) 1.000m3

4.53. Indica la expresión que debemos escribir dentro de cada paréntesis para que las igualdades sean ciertas.

a) (.......)3 = 8x3 b) (.......)3 = –27t3

c) (.......)2 = 4x4 d) (.......)2 = x2 + 6x + 9

e) (.......)2 = 100b2 f) (.......)2 = 4y2 + 4y + 1

a) 2x b) –3t

c) 2x2 d) x + 3

e) 10b f) 2y + 1


4.54. Desarrolla los cuadrados siguientes.

a) (b – 10)2 b) (5x + y)2

c) (20s + 40)2 d) (9 – 4y)2

a) b2 – 20b + 100 b) 25x2 + 10xy + y2

c) 400 s2 + 1.600s + 1.600 d) 81 – 72y + 16y2

4.55. Al desarrollar estos cuadrados se han cometido equivocaciones. Corrígelas.

a) (x + 4)2 = 4x2 + 8x + 16

b) (1 – m)2 = 1 – m2

c) (y – 4)2 = 4y2 + 16y + 16

d) (5 – b)2 = 10 – 5b + b2

a) x2 + 8x + 16

b) 1 – 2m + m2

c) y2 – 8y + 16

d) 25 – 10b + b2

4.56. Escribe el resultado de estos productos.

a) (5x + 1)(5x – 1) b) (7 – a)(a + 7)

c) (s + 15)(s – 15) d) (y + 2z)(y – 2z)

e) (a + b2)(a – b2) f) (y2 + x2)(y2 + x2)

a) 25x2 – 1 b) 49 – a2

c) s2 – 225 d) y2 – 4z2

e) a2 – b4 f) y4 + x4 + 2x2y2

4.57. Calcula.

a) (x + 1)2 b) (x – 1)2

c) (4 + a)(4 – a) d) (1 + 2n)(1 – 2n)

e) (z + 2z)(z + 2z) f) (n + 1)(n – 1)

a) x2 + 2x + 1 b) x2 – 2x + 1

c) 16 – a2 d) 1 – 4n2

e) 9z2 f) n2 – 1


Cálculo de los intereses de un depósito

Dinero depositado · Tipo nominal anual · nº díasnº días año natural · 100

• El tipo de interés nominal anual es el porcentaje del dinero depositado que nos pagan de intereses. Por ejemplo, si nos pagan un tipo de interés del 4 % anual, en la fórmula escribimos 4.

• Un año natural tiene una duración de 365 o 366 días.

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

4.58. El interés bancario

Cuando depositamos un dinero en una entidad financiera, recibimos una remuneración. Decimos que cobramos intereses. Cuando pedimos un préstamo somos nosotros los que, además de tener que devolver el dinero pedido, debemos pagar unos intereses.

En el contrato de un depósito bancario podemos leer esta información:

1. Asigna una letra a cada una de las variables que aparecen en la fórmula y exprésala en lenguaje algebraico para un año que no sea bisiesto.

I = intereses; C = dinero depositado; r = tipo nominal anual; t = n.º de días

· ·36.500C r tI =

2. Calcula los intereses de estos depósitos de acuerdo con la fórmula:

Capital depositado Tipo nominal anual Tiempo en días Intereses

12.000 € 3,5 % 150

30.000 € 4 % 300

110.000 € 5 % 210

a) 172,60 €

b) 986,30 €

c) 3.164,40 €

3. Por un depósito de 8.500 € que hemos mantenido durante 146 días hemos recibido unos intereses de 153 €. Indica a qué tipo de interés nominal anual hemos hecho esta operación.

a) 3 % b) 4,5 % c) 3,75 % d) 4 %

b


Tarifa Transpaq

• Cantidad fija por servicio ............................................... 150 € • Cuota de kilometraje ................................................ 1,90 €/km • Cuota por peso .......................................................... 0,02 €/kg

Nota: En el kilometraje se considera únicamente el recorrido de ida.

Tarifa Unión-Trans

– Para trayectos inferiores a 60 km:

• Cantidad fija por servicio ............................................. 90 € • Cuota por peso ...................................................... 0,04 €/kg

– Para trayectos superiores a 60 km:

• Cuota de kilometraje ............................................ 1,70 €/km • Cuota por peso ...................................................... 0,03 €/kg

Nota: En el kilometraje se considera únicamente el recorrido de ida.

4.59. Tarifas de transporte por carretera

1. En su negocio, Mariana necesita a menudo enviar mercancías. La empresa Transpaq le ha ofrecido esta información de sus tarifas:

a) Escribe una fórmula que exprese el precio en función de la distancia en kilómetros a la que hay que llevar la mercancía, y del peso de esta en kilogramos.

b) ¿Cuánto tendrá que pagar Mariana si quiere enviar unos paquetes que pesan 1.840 kg a un destino que se encuentra a 190 km?

a) G = 150 + 1,9k + 0,02p b) G = 150 + 1,9 · 190 + 0,02 · 1.840 = 547,80 €

2. Otra empresa le ofrece las tarifas siguientes:

a) Escribe las fórmulas que le permiten calcular lo que cuesta para distancias inferiores a los 60 km y para distancias de 60 km o superiores.

b) ¿Cuánto costará enviar con Unión-Trans una carga de 550 kg a 42 km de distancia?

c) ¿Cuánto costará enviar un paquete de 2.500 kg a 125 km de distancia?

a) Inferior a 60: G = 90 + 0,04p Superior a 60: G = 1,7k + 0,03p

b) G = 90 + 0,04 · 550 = 112 €

c) G = 1,7 · 125 + 0,03 · 2.500 = 287,50 €

3. Indica qué empresa le conviene elegir en cada pedido.

Distancia (km) Peso (kg)

Pedido 1 250 3.100

Pedido 2 400 18.000

Pedido 3 45 2.000

Distancia (km) Peso (kg) Transpaq Unión-Trans

Pedido 1 250 3.100 687 518

Pedido 2 400 18.000 1.270 1.220

Pedido 3 45 2.000 275,5 170

Siempre Unión-Trans.


Longitudes relativas de los tramos de los parterres

• La longitud del tramo a supera en 1,5 m la longitud del tramo b.

• La longitud del tramo b supera en 2 m la longitud del tramo c.

4.60. *Perímetro y área de una zona ajardinada

El servicio de parques y jardines de una ciudad quiere encargar a un herrero barandillas para los parterres de los nuevos parques que se van a construir. El herrero ha elegido para ello un tipo de barandilla de acero inoxidable que le sirven de fábrica, en tramos ya hechos, de tres longitudes diferentes: a, b y c.

Ha propuesto los siguientes diseños de parterres, en los que se utilizan, sin cortar, los tramos de barandilla anteriores:

1. Expresa las longitudes de los tramos a y b en función de la longitud del tramo c.

a = c + 3,5; b = c + 2

2. Consideramos el perímetro de los parterres.

a) Expresa en función de a, b y c el perímetro de cada tipo de parterre.

b) Expresa en función de la longitud c el perímetro de cada diseño.

c) Si c = 1 metro, ¿qué parterre tiene más perímetro?

a) P1 = 8a + 4b + 4c P2 = 4b + 16c P3 = 2a + 6b + 12c P4 = 8a + 6b + 4c

b) P1 = 16c + 36 P2 = 8 + 20c P3 = 19 + 20c P4 = 40 + 18c

c) P1 = 52 m; P2 = 28 m; P3 = 39 m; P4 = 58 m → El cuarto parterre


3. Consideramos la superficie de los parterres.

a) Expresa en función de a, b y c la superficie de cada tipo de parterre.

b) Expresa en función de la longitud c la superficie de cada diseño.

c) Si c = 1 metro, ¿qué parterre ocupa más superficie?

a) S1 = 4ac + 8ab

S2 = (4c + b)b + 2(2c + b)c + 2bc = 4bc + b2 + 4c2 + 2bc +2bc = 8bc + b2 + 4c2

S3 = a(3b + 2c) + 4bc = 3ab + 2ac + 4bc

S4 = (3b – 2c) · 4a + 4ac = 12ab – 8ac + 4ac = 12ab – 4ac

b) S1 = 4(c + 3,5)c + 8(c + 3,5)(c + 2) = 12c2 + 58c + 56

S2 = 8(c + 2)c + (c + 2)2 + 4c2 = 13c2 + 20c + 4

S3 = 3(c + 3,5)(c + 2) + 2(c + 3,5)c + 4(c + 2)c = 9c2 + 31,5c + 21

S4 = 12(c + 3,5)(c + 2) – 4(c + 3,5)c = 10c2 + 25c + 70

c) S1 = 126 m2; S2 = 37 m2; S3 = 61,5 m2; S4 = 105 m2 → El primer parterre

4. Los precios de los tramos de barandilla son los siguientes:

• Tramo a: 54 €/m • Tramo b: 40 €/m • Tramo c: 25 €/m

Sabiendo que el tramo de barandilla c mide 1 metro, ¿en qué parterre saldrá más cara la barandilla?

C1 = 54 · 8a + 40 · 4c + 25 · 4b = 692c + 1.712 = 2.404 €

C2 = 40 · 4b + 25 · 16c = 560c + 320 = 880 €

C3 = 40 · 6b + 54 · 2a + 25 · 12c = 648c + 858 = 1.506 €

C4 = 54 · 8a + 40 · 6b + 25 · 4c = 772c + 1.992 = 2.764 € → En el cuarto parterre

5. En un parque de nueva construcción se ha proyectado colocar 3 parterres del tipo 1 y 4 parterres del tipo 4. El fabricante tiene en el almacén este stock:

• 50 tramos de longitud a. • 42 de longitud b. • 28 de longitud c.

¿Cuántos tramos de cada tipo sobrarán o faltarán para atender el pedido?

P = 3 · (8a + 4c + 4b) + 4 · (8a + 6b + 4c) = 56a + 36b + 28c

Faltan 6 tramos de longitud a y sobran 6 de longitud b.

AUTOEVALUACIÓN

4.1. Un depósito que inicialmente tenía 20.000 litros se vacía abriendo un grifo por el que salen 15 litros al minuto. ¿Cuál de las siguientes fórmulas nos permite calcular los litros (c) que quedan en el depósito si conocemos los minutos (t) que lleva abierto el grifo?

a) c = –15t b) t = 20.000 – 15c

c) t = –15c d) c = 20.000 – 15t

d


4.2. Expresa en lenguaje algebraico:

a) El cociente entre 28 y un número.

b) Un número disminuido en 8 unidades.

c) El doble del resultado de aumentar en una unidad el cuadrado de un número.

d) La tercera parte de un número menos la cuarta parte de otro número.

e) El cuadrado del triple de un número.

a) 28x

b) x – 8 c) 2(x2 + 1) d) 3 4x y− e) (3x)2

4.3. Laura ha tenido cuatro días de vacaciones más que Sergio, y Gloria ha tenido el doble que Laura. Expresa algebraicamente los días de vacaciones que han tenido entre los tres en función de los que ha tenido Sergio.

Laura: x + 4 Gloria: 2(x + 4) Sergio: x

4.4. Calcula el valor numérico de la expresión:

30b

+ a2 – 4, para a = 4 y b = –3.

2

4.5. Simplifica las expresiones agrupando términos.

a) x – 3x2 + 2 – 6x + 5x2 – x

b) a + 2b + 14 – 3a + 59 + 5b

c) m + 2m + n + 10 – n + 2mn – 1 + m

a) 2x2 – 6x + 2 b) –2a + 7b + 73 c) 4m + 2mn + 9

4.6. Escribe sin paréntesis y simplifica.

a) (12a + d) – (5a + 3d – 7) + (–9a + 6d – 10)

b) 4(x + 4) – 2(5x – 8)

a) 12a + d – 5a – 3d + 7 – 9a + 6d – 10 = –2a + 4d – 3

b) 4x + 16 – 10x + 16 = –6x + 32

4.7. Calcula estos productos.

a) 5x(2x – 2b + 3) b) a2(–a + 2a2) c) (x + 1)(5x + 3) d) (4y + 2z)(12 – 2x)

a) 10x2 – 10xb + 15x b) –a3 + 4a4 c) 5x2 + 8x + 3 d) 48y – 8xy + 24z – 4xz

4.8. Calcula estas potencias.

a) (–3b)3 b) (x2y3)2 c) 5

23

2 x

a) –27b3 b) x4y6 c) 10

24332x


4.9. Desarrolla estos cuadrados.

a) (x + 4)2 b) (x – 1)2 c) (5 – 3y2)2 d) (x2 + x)2

a) x2 + 8x + 16 b) x2 – 2x + 1 c) 25 – 30y2 + 9y4 d) x4 + 2x3 + x2

4.10. Los siguientes productos no están bien calculados, indica las correcciones necesarias.

a) (2x + 7y)(2x – 7y) = 2x2 – 7y2 b) 2 2 410 + 10 = + 100 − a a a

a) 4x2 – 49y2 b) 2

4 100a

−

APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS

Cuadrados de cerillas

Moviendo cuatro cerillas se pueden ver tres cuadrados. ¿Cómo?

Los seis toneles

Una bodega tiene 6 toneles de vino con las capacidades siguientes: 15, 16, 18, 19, 20 y 31 L. Un cliente compra dos toneles, y otro compra tres, de forma que el que compra tres se lleva el doble de vino que el que compra dos. ¿Qué toneles ha comprado cada uno?

El que compra dos se ha llevado los de 15 y 18 L, haciendo un total de 33 L, mientras que el que lleva tres ha elegido los de 16, 19 y 31 L, que suman 66 L.

La decisión más difícil

Tres miembros de una misma familia son juzgados por un caso de espionaje. El juez comunica al padre:

–Serás deportado solamente en el supuesto de que tu hijo y tu nieto reciban la misma sentencia.

Al hijo le hace saber:

–Serás encarcelado solamente en el supuesto de que tu padre y tu hijo reciban la misma sentencia.

Al nieto le dice:

–Te pondré en libertad si tu padre y tu abuelo reciben sentencias diferentes.

Y a los tres les dice:

–Mañana, uno de vosotros será deportado; otro, encarcelado, y el tercero, liberado.

Dicho esto, desaparece. ¿Qué sentencia recibe cada uno?

El nieto queda libre, el hijo es deportado y el abuelo es encarcelado.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Ana Mª Álvarez, Marina Díaz, Mariano García, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate Edición: Inés Ingerto, Rafaela Arévalo, Arturo García, Eva Béjar Revisión contenidos: Manuela Coronado Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Modesto Arregui, R. Aranda, ÍDEM Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. Ediciones SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. Para garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico [email protected]. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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