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CAPITULO IV
FUNCION DE TRANSFERENCIA Y
DIAGRAMAS DE BLOQUES
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• La ecuación diferencial tiene información completa sobre la dinámica del proceso.
• Pero la manipulación de dicha ecuación es compleja.• Mediante aplicación de la Transformada de Laplace se
convierte la ecuación diferencial en una algebraica.• La ecuación algebraica se llama función de transferencia
y posee también información completa de la dinámica.• La función de transferencia queda como función de la
variable de Laplace (s) y no como función del tiempo.• La función de transferencia se utiliza dentro de la “caja
negra” para describir el comportamiento del sistema, dentro del conjunto de los diagramas de bloques.
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• La función de transferencia de un proceso G(s), se define como:
• Donde:– y = variable de salida.– x = variable de entrada.– ccii= condiciones iniciales.
• La restricción condiciones iniciales igual a cero, no es relevante pues al utilizar las variables de desviación, la condición inicial es un estado estacionario con el valor cero.
0)(
)(
0)(
)()(
cciis
s
cciit
ts x
y
Lx
LyG
Tanque Amortiguador de Concentración
• Ordenando la ecuación de la forma convencional:
• Obteniendo la ecuación general con sus parámetros:
iCqCqdtCd
V ˆˆˆ
iCKCdtCd ˆˆˆ
iCCdtCd
qV ˆˆ
ˆ
1 KyqV
Tanque Reactor Isotérmico
• Ordenando la ecuación de la forma convencional:
• Obteniendo la ecuación general con sus parámetros:
iCqCkVCqdtCd
V ˆˆˆˆ
iCKCdtCd ˆˆˆ
iCkVqq
CdtCd
kVqV ˆˆ
ˆ
kVqq
KykVqV
Tanque con Transferencia de Calor
• Ordenando la ecuación de la forma convencional:
• Obteniendo la ecuación general con sus parámetros:
UAcmUA
KyUAcm
Mc
pp
p
VTKTdtTd ˆˆˆ
Vpp TUATUATcmdtTd
Mc ˆˆˆˆ
Vpp
p TUAcm
UAT
dtTd
UAcm
Mcˆˆ
ˆ
Nivel de Líquido en un Tanque con Flujo Laminar
• Teniendo en cuenta que el flujo de salida se expresa:
• Ordenando la ecuación de la forma convencional:
• Obteniendo la ecuación general con sus parámetros:
iqRh
dthd
A ˆˆˆ
iqKhdthd
ˆˆˆ
iqRhdthd
AR ˆˆˆ
RKyAR
Rh
qR
hq s
tts
ˆˆ
)()(
Reactor Isotérmico con Flujo Variable
• Ordenando la ecuación de la forma convencional:
• Obteniendo la ecuación general con sus parámetros:
qCqCCkVCqdt
CdV ee
iee ˆˆˆˆ
ˆ
qKCdt
Cdˆˆ
ˆ
qkVq
CCC
dt
Cd
kVq
Vee
eei
eeˆˆ
ˆ
kVq
CCKy
kVqV
ee
eei
ee
Reactor Adiabático
• Colocando las dos ecuaciones en la forma general:
• Obteniendo los parámetros:
iCKTKCdt
Cd ˆˆˆˆ
211
Vkq
qK
Vkq
VK
Vkq
V
ee
ee
ee
2
1
1
0ˆˆˆ
32 CKTdt
Td
HVcq
HVkK
HVcq
cV
p
ee
p
p
3
2
TANQUE AMORTIGUADOR DE CONCENTRACION
• La ecuación diferencial obtenida es:
• Aplicando la Transformada de Laplace, el resultado es:
• La función de transferencia es:
iCCdtCd
qV ˆˆ
ˆ
)()()()()( 1 sississ CCsqV
CCCsqV
11
1)(
)(
)()(
sK
Gs
qVC
CG s
si
ss
TANQUE REACTOR ISOTERMICO
• La ecuación diferencial obtenida es:
• Aplicando la Transformada de Laplace, el resultado es:
• La función de transferencia es:
iCkVqq
CdtCd
kVqV ˆˆ
ˆ
)()()( siss CkVqq
CCskVq
V
11
)()(
)()(
sK
G
skVq
V
kVqq
C
CG s
si
ss
)()(1 sis CkVqq
CskVq
V
TANQUE CON TRANSFERENCIA DE CALOR
• La ecuación diferencial obtenida es:
• Aplicando la Transformada de Laplace, el resultado es:
vpp
p TUAmc
UAT
dtTd
UAmc
Mcˆˆ
ˆ
)()()( svp
ssp
p TUAmc
UATTs
UAmc
Mc
)()(1 svp
sp
p TUAmc
UATs
UAmc
Mc
TANQUE CON TRANSFERENCIA DE CALOR
• La función de transferencia es:
11
)()(
)()(
sK
G
sUAmc
Mc
UAmcUA
T
TG s
p
p
p
sv
ss
NIVEL DE LIQUIDO EN TANQUE
• La ecuación diferencial obtenida es:
• Aplicando la Transformada de Laplace, el resultado es:
• La función de transferencia es:
iqRhdthd
AR ˆˆˆ
)()()()()( 1 sississ qRhARsqRhhARs
11 )()(
)()(
sK
GARs
Rq
hG s
si
ss
REACTOR CON FLUJO VARIABLE
• La ecuación diferencial obtenida es:
• Aplicando la Transformada de Laplace, el resultado es:
• La función de transferencia es:
qkVq
CCC
dtCd
kVqV
ee
eei
ee ˆˆˆ
)()()( see
eei
ssee qkVqCC
CCskVq
V
11
)()(
)()(
sK
G
skVq
V
kVqCC
C
CG s
ee
ee
eei
si
ss
)()(1 see
eei
see qkVq
CCCs
kVqV
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• Para hallar la función de transferencia de segundo orden, se aplica la transformada de Laplace.
• A la primera ecuación:
• A la segunda ecuación:
12)(
22
ss
KsG
xKydt
dy
dt
yd LLLL
2
2
22
)()(22
)()()()(22 122 ssssss xKyssxKyysys
xKydt
dy
dt
yd LLLL 20
2002
2
2
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• El denominador de cada una de las formas de la función de transferencia es un polinomio cuadrático de s:
• Para hallar las raíces de los polinomios se aplica la fórmula general:
200
2
20
2)(
ss
KsG
)(20)(0
2)(
20)(
20)(0)(
2 122 ssssss xKyssxKyysys
12
1442
2
1442 20
20
20
2
222
sys
02012 200
222 ssyss
CONCENTRACIÓN EN REACTOR ISOTÉRMICO CON REACCIÓN REVERSIBLE
• Obtenida la ecuación general con sus parámetros:
• Aplicando Transformadas de Laplace:
Vkq
qKy
Vkq
VkK
Vkq
V
12
1
21
11 ;
AiBAA CKCKC
dt
Cd ˆˆˆˆ
211
)(2)(1)()(1 sAisBsAsA CKCKCCs
CONCENTRACIÓN EN REACTOR ISOTÉRMICO CON REACCIÓN REVERSIBLE
• Obteniendo la ecuación general con sus parámetros:
• Aplicando Transformadas de Laplace:
Vkq
VkKy
Vkq
V
2
13
22
0ˆˆˆ
32 ABB CKC
dt
Cd
0)(3)()(2 sAsBsB CKCCs
CONCENTRACIÓN EN REACTOR ISOTÉRMICO CON REACCIÓN REVERSIBLE
• Trabajando con las transformadas de Laplace obtenidas:
• Despejando de la segunda ecuación el término CB(s):
• Reemplazando el valor hallado en la primera ecuación:
)(2)(1)(1 1 sAisBsA CKCKCs
01 )(3)(2 sAsB CKCs
)(2
3)( )1( sAsB C
s
KC
)(2)(2
31)(1 1
)1( sAisAsA CKCs
KKCs
)(22
)(31)(21
1
1)1(sAi
sAsA CKs
CKKCss
CONCENTRACIÓN EN REACTOR ISOTÉRMICO CON REACCIÓN REVERSIBLE
• Encontrando la función de transferencia G(s):
• La forma general de la función de transferencia es:
• Modificando de acuerdo a la ecuación general:
12)( 22
ssK
sG
)1()(
)1(
31212
21
22
)(
)()( KKss
sK
C
CG
sAi
sAs
)(22)(3121 11)1( sAisA CsKCKKss
31
31
31
212
31
21
231
2
)(
1
1
)1()(
)1(
)1()1(
KK
KKs
KKs
KK
sKK
K
G s
CONCENTRACIÓN EN REACTOR ISOTÉRMICO CON REACCIÓN REVERSIBLE
31
21
31
212
11 KKKK
31
22
11
KKsK
K
3131
21
21
31
21
31
21
11
21
121
12
KKKK
KKKK
CONCENTRACIÓN EN REACTOR ISOTÉRMICO CON REACCIÓN REVERSIBLE
21
21
3131
31
21
21
12
1
11
21
KK
KKKK
21
2
21
1
3121
21
31 12
1
12
1
KKKK
21
22
21
11
3112
1
KK
CONCENTRACIÓN EN REACTOR ISOTÉRMICO CON REACCIÓN REVERSIBLE
1
2
2
1
3112
1
KK
1
2
2
1
3112
1
KK
REACTOR ADIABATICO
• Las ecuaciones de los balances de materia y energía:
• Aplicando transformadas de Laplace:
iCKTKCdt
Cd ˆˆˆˆ
211
0ˆˆˆ
32 CKTdt
Td
0)(3)()(2
)(2)(1)()(1
sss
sisss
CKTTs
CKTKCCs
01
1
)(3)(2
)(2)(1)(1
ss
siss
CKTs
CKTKCs
REACTOR ADIABATICO
• Resolviendo las ecuaciones:
)(2)(2
31)(1
)(2
3)(
11
1
siss
sS
CKCs
KKCs
Cs
KT
31212
21
22
)(
)()(
3121
22
)(
)()(
)(22)(31)(21
1
1
11
1
111
KKss
sK
C
CG
KKss
sK
C
CG
CsKCKKCss
si
ss
si
ss
siss
REACTOR ADIABATICO
• La forma general de la función de transferencia para un sistema de segundo orden es:
• Modificando de acuerdo a la ecuación general:
12)( 22
ssK
sG
31
31
31
212
31
21
231
2
)(
11
)1()(
)1(
)1()1(
KKKK
sKK
sKK
sKK
K
G s
REACTOR ADIABATICO
31
21
31
212
11 KKKK
31
22
11
KKsK
K
3131
21
21
31
21
31
21
11
21
121
12
KKKK
KKKK
REACTOR ADIABATICO
21
21
3131
31
21
21
12
1
11
21
KK
KKKK
21
2
21
1
3121
21
31 12
1
12
1
KKKK
21
22
21
11
3112
1
KK
REACTOR ADIABATICO
1
2
2
1
3112
1
KK
1
2
2
1
3112
1
KK
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• Balance volumétrico para el primer tanque:• Balance volumétrico en el estado no estacionario:
• Balance volumétrico en el estado estacionario:
• Diferencia de balances:
• Tomando variables de desviación:
)(1
)(11)(0 t
tt q
dt
hAdq
eeee qq 10
eet
teet qq
dt
dhAqq 1)(1
)(110)(0
11
10 ˆˆ
ˆ qdt
hdAq
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• El flujo de salida del primer tanque está dado por:
• Reemplazando en la ecuación del balance:
• Ordenando convencionalmente la ecuación:
1
11
1
)(1)(1
ˆˆ
R
hq
R
hq t
t
0111
11 ˆˆˆ
qRhdt
hdRA
1
1110
ˆˆˆ
R
h
dt
hdAq
01
111 ˆ
ˆˆq
R
h
dt
hdA
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• Balance volumétrico para el segundo tanque:• Balance volumétrico en el estado no estacionario:
• Balance volumétrico en el estado estacionario:
• Diferencia de balances:
• Tomando variables de desviación:
)(2
)(22)(1 t
tt q
dt
hAdq
eeee qq 21
eet
teet qq
dt
dhAqq 2)(2
)(221)(1
22
21 ˆˆ
ˆ qdt
hdAq
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• El flujo de salida del segundo tanque está dado por:
• Reemplazando en la ecuación del balance:
• Ordenando convencionalmente la ecuación:
2
22
2
)(2)(2
ˆˆ
R
hq
R
hq t
t
1222
22 ˆˆˆ
qRhdt
hdRA
2
2221
ˆˆˆ
R
h
dt
hdAq
12
222 ˆ
ˆˆq
R
h
dt
hdA
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• Aplicando transformadas de Laplace a las ecuaciones:
• Factorizando las expresiones se tiene:
• Hallando las funciones de transferencia:
)(12)(2)(222
)(01)(1)(111
sss
sss
qRhhsRA
qRhhsRA
)(12)(222
)(01)(111
1
1
ss
ss
qRhsRA
qRhsRA
11 22
2
)(1
)(2)(2
11
1
)(0
)(1)(1
sRA
Rq
hG
sRAR
q
hG
s
ss
s
ss
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• Multiplicando las funciones de transferencia:
• Reemplazando el valor de q1(s) = h1(s)/R1, se tiene:
11 2211
21
)(1)(0
)(2)(1
SRAsRARR
hh
ss
ss
11 22
2
11
1
)(1
)(2
)(0
)(1)(2)(1
sRA
RsRA
Rq
h
q
hGG
s
s
s
sss
11 2211
21
1
)(1)(0
)(2)(1
sRAsRARR
R
hq
hh
ss
ss
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• Multiplicando las funciones de transferencia:
• Reemplazando con los parámetros:
11 2211
2
)(0
)(2)(
SRAsRA
Rq
hG
s
sS
11 2211
2
)(1)(0
)(2)(1
sRAsRAR
hq
hh
ss
ss
11 21
2
)(0
)(2)(
ss
Kq
hG
s
ss
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
• Multiplicando las funciones de transferencia:
• La función de transferencia general de segundo orden es:
• Hallando los parámetros de la ecuación de 2do orden:
2
21212
KK
1222)(
ssK
G s
1212
21
2
)(0
)(2)(
ss
Kq
hG
s
ss
FLUJO EN UN SISTEMA DE TANQUES
21
21
2121
21
21
2
21
2
21
1
21
21
22
21
11
21
1
2
2
1
21
1
2
2
1
21
DIAGRAMA DE BLOQUES
• El diagrama de bloques consiste en un conjunto de bloques, círculos y flechas que los unen.
• El diagrama de bloques se utiliza cuando la dinámica del sistema esta descrita por la función de transferencia.
• Elementos del diagrama de bloques:• Bloques: representan procesos o unidades.• Flechas: representan señales entre los bloques. Las
señales son variables como: presión, concentración, voltaje, flujo, entre otras.
• Círculos: representan la combinación de señales, usualmente por medio de adición o sustracción.
• Puntos: representan la repartición de una misma señal hacia muchos lugares diferentes.
REGLAS DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES
• Regla del bloque simple:
• Regla de la partición de señales:
G(s)x(s) y(s)
)()()( . sSs xGy
x(s) y1(s)
y2(s)
)()(2)(1 sss xyy
REGLAS DE DIAGRAMAS DE BLOQUES
• Regla del punto de adición:
• Regla de los bloques en serie:
G1(s)x(s) y(s)
)()(2)(1)( .. ssss xGGy
)(2)(1)( sss xxy
x1(s)
x2(s)y(s)
G2(s)
z(s)
REGLAS DE DIAGRAMAS DE BLOQUES
• Regla de los bloques en paralelo:
G1(s)
)(2)(2)(1)(1)( .. sssss xGxGy
x1(s)
x2(s) y(s)G2(s)
SISTEMA DE CONTROL POR CICLO CERRADO
Ti(t) T(t)
TC
TT
TE
mv(t)
DIAGRAMA BLOQUES SISTEMA DE CONTROL EN CICLO CERRADO
G2(s)
Gc(s)G1(s)
p(s)
r(s) c(s)
e(s) m(s)+
-
+
+
controlador
Intercambiador de calor
Sensor: señal q va al controlador
DIAGRAMA BLOQUES SISTEMA DE CONTROL POR ACCION PRECALCULADA
G2(s)
Gc(s) G1(s)
p(s)
r(s) c(s)
e(s) m(s)+
-
+
+
Gf(s)
+
-
CONTROL POR ACCION PRECALCULADA
)()()( sss cre
)()()()()()()(
)()()()()(
ssfsscsscs
ssfsscs
pGcGrGm
pGeGm
)()(2)()(1)()()(1)()()(1)()(
)()(2)()(1)(
sssssfssscssscs
sssss
pGpGGcGGrGGc
pGmGc
)()(1)(
)(1)()(2)(
)(1)(
)(1)()(
)()(1)()(2)()(1)()()(1)(
)()(1)()()(2)()(1)()()(1)()(
11
1
sssc
ssfss
ssc
sscs
sssfsssscsssc
sssfssssscssscs
pGG
GGGr
GG
GGc
pGGGrGGcGG
pGGpGrGGcGGc
SISTEMA DE CONTROL POR ACCION PRECALCULADA
)()()()()(
:
sspssrs pGrGc
esfinalecuaciónLa
)(1)(
)(1)()(2)(
)(1)(
)(1)()(
1
1
:
ssc
ssfssp
ssc
sscsr
GG
GGGG
GG
GGG
Donde
DIAGRAMA BLOQUES SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA
G2
Gc1 G1
p(s)
r(s) c(s)
+
-
+
+Gc2 G3
+
-
SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA
)(12
32)(
12
3121)(
12
3121)(
)(13)(
)(12
2)(
12
121)(
12
121)(1
)(2)(121)(121)(112
)(2)(121)(121)(112)(1
)(2)(112)(121)(121)(1
)(2)(112)(1
)(1)(1)(1)(1)(1)(1
)()()(
111
111
1
sc
sc
ccs
c
ccs
ss
sc
sc
ccs
c
ccs
ssccsccsc
ssccsccscs
sscsccsccs
sscs
sscscsscs
sss
pGG
GGc
GGGGGG
rGGGGGG
c
cGc
pGG
Gc
GGGGG
rGGGGG
c
pGcGGGrGGGcGG
pGcGGGrGGGcGGc
pGcGGcGGGrGGGc
pGeGGc
ccGrGceGe
cre
SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA
)(
12
3121
12
32
)(
12
3121
12
3121
)(
)(12
32)(
12
3121)(
12
3121
)(12
32)(
12
3121)(
12
3121)(
11
1
11
1
1111
111
s
c
cc
cs
c
cc
c
cc
s
sc
sc
ccs
c
cc
sc
sc
ccs
c
ccs
p
GGGGGG
GGGG
r
GGGGGG
GGGGGG
c
pGG
GGr
GGGGGG
cGGGGGG
pGG
GGr
GGGGGG
cGGGGGG
c
SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA
12
3121
12
32
12
3121
12
3121
)()()(
11
1
11
1
:
:
GGGGGG
GGGG
G
GGGGGG
GGGGGG
G
Donde
pGrGc
esfinalecuaciónLa
c
cc
cp
c
cc
c
cc
r
spsrs
