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Elementos de acero
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4 MIEMBROS EN COMPRESIN
2.3 Relaciones ancho/grueso y pandeo local 2.3.1 Clasificacin de
las secciones
Las secciones estructurales se clasifican en cuatro tipos en
funcin de las relaciones ancho/grueso mximas de sus elementos
planos que trabajan en compresin axial, en compresin debida a
flexin, en flexin o en flexocompresin, y de acuerdo con las
condiciones que se especifican ms adelante. a) Secciones tipo 1
(secciones para diseo plstico y para diseo ssmico con factores Q de
3 4) pueden alcanzar el momento plstico en vigas, y el momento
plstico reducido por compresin en barras flexocomprimidas, y
conservarlo durante las rotaciones inelsticas necesarias para la
redistribucin de momentos en la estructura, y para desarrollar las
ductilidades adoptadas en el diseo de estructuras construidas en
zonas ssmicas. b) Secciones tipo 2 (secciones compactas, para diseo
plstico y para diseo ssmico con factores Q no mayores de 2) pueden
alcanzar el momento plstico como las secciones tipo 1, pero tienen
una capacidad de rotacin inelstica limitada, aunque suficiente para
ser utilizadas en estructuras diseadas plsticamente, bajo cargas
predominantemente estticas, y en zonas ssmicas, con factores de
comportamiento ssmico reducidos. c) Secciones tipo 3 (secciones no
compactas) pueden alcanzar el momento correspondiente a la
iniciacin del flujo plstico en vigas, o ese momento reducido por
compresin en barras flexocomprimidas, pero no tienen capacidad de
rotacin inelstica. d) Secciones tipo 4 (secciones esbeltas) tienen
como estado lmite de resistencia el pandeo local de alguno de los
elementos planos que las componen.
M
Tipo 1Tipo 2
Tipo 3Tipo 4
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Para que una seccin sea clasificada como tipo 1 2, sus patines
deben estar conectados al alma o almas en forma continua; adems,
las secciones tipo 1 sometidas a flexin deben tener un eje de
simetra en el plano del alma, y si trabajan en compresin axial o en
flexocompresin han de tener dos ejes de simetra. Las tipo 2 en
flexin deben tener un eje de simetra en el plano de la carga, a
menos que en el anlisis se incluyan los efectos producidos por la
asimetra. En los miembros sometidos a compresin axial no existe la
distincin basada en la capacidad de rotacin, por lo que los lmites
de almas y patines comprimidos axialmente son los mismos para las
secciones tipo 1 a 3.
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Elementos de acero
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2.3.3 Ancho 2.3.3.1 Elementos planos no atiesados Reciben el
nombre de elementos planos no atiesados los que estn soportados a
lo largo de uno solo de los bordes paralelos a la direccin de la
fuerza de compresin. Su ancho se toma igual a: a) En placas, la
distancia del borde libre a la primera lnea de soldaduras, remaches
o tornillos. b) En alas de ngulos, patines de canales y zetas, la
dimensin nominal total c) En almas de tes, el peralte nominal total
d) En patines de secciones I, H y T la mitad de la dimensin nominal
total e) En perfiles hechos con lmina doblada, la distancia del
borde libre a la iniciacin de la curva que une el elemento
considerado con el resto del perfil. 2.3.3.2 Elementos planos
atiesados Reciben el nombre de elementos planos atiesados los que
estn soportados a lo largo de los dos bordes paralelos a la
direccin de la fuerza de compresin. Su ancho se toma igual a: a) En
almas de secciones laminadas, la distancia libre entre patines
menos los radios de las curvas de unin con los patines b) En
patines de secciones en cajn hechas con cuatro placas, la distancia
entre lneas adyacentes de soldaduras, remaches o tornillos c) En
patines de secciones laminadas en cajn, la distancia libre entre
almas, menos los radios de las dos curvas de unin. Si no se conocen
los radios, el ancho total de la seccin menos tres veces el grueso
de sus paredes; d) En almas de secciones formadas por placas, H, I
o en cajn, la distancia entre lneas adyacentes de remaches o
tornillos o, en secciones soldadas, la distancia libre entre
patines e) En almas de secciones de lmina delgada laminadas en
caliente o dobladas en fro, la distancia entre las iniciaciones de
las curvas de unin con los elementos de soporte. Si no se conocen
los radios de las esquinas, el peralte total de la seccin menos
tres veces el grueso de sus paredes. 2.3.4 Grueso En elementos de
grueso uniforme, se toma igual al valor nominal. En patines de
espesor variable se toma el grueso nominal medido a la mitad de la
distancia entre el borde y la cara del alma.
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2.3.5 Secciones circulares huecas En secciones circulares huecas
la relacin ancho/grueso se sustituye por el cociente del dimetro
exterior entre el grueso de la pared.
4.1 Pandeo
4.1.1 PandeoElstico
El momento M y es desplazamiento estn relacionado mediante:
MdxdIE 2
2 (VI.1)
Adems, por equilibrio de momentos se tiene que:
PM (VI.2) Combinando las ecuaciones (VI.1) y (VI.2) y agrupando
trminos, se obtiene la siguiente ecuacin diferencial homognea:
0222
kdxdIE (VI.3)
donde EIPk
La solucin de la ecuacin (VI.3) es de la forma:
kxCkxC cossin 21 (VI.4)
P
x
y
Lv
P
M
x
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Elementos de acero
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donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones
iniciales. Para la barra mostrada se tiene que (x=0)=0, por lo que
C2=0. De esta forma, la ecuacin (VI.4) se reduce a:
kxC sin1 (VI.5) La otra condicin de frontera es que (x=L)=0.
Para cumplir esta condicin se debe cumplir que nkL ,...2,,0 , es
decir, el producto kL debe ser un mltiplo de . Por lo tanto, para
cada n existe una carga crtica de pandeo conforme a:
2
22
LIEnP (VI.6)
La menor de dichas cargas crticas corresponde a n=1, esta carga
se conoce como carga crtica de Euler.
2
2
LIEPCR
(VI.7)
El esfuerzo crtico de pandeo queda definido por:
22
rLE
CR (VI.8)
Las ecuaciones (VI.7) y (VI.8) son vlidas para barras elsticas
articuladas en sus dos extremos y sujetas a carga axial aplicada en
el centroide. Para considerar otras condiciones de apoyo basta
considerar la longitud efectiva de pandeo. Las ecuaciones (VI.7) y
(VI.8) son aplicables para barras con altas relaciones de esbeltez,
de tal forma que el pandeo se inicia cuando la barra se encuentra
elstica. Si el pandeo se inicia cuando la barra ha comenzado a
fluir las ecuaciones anteriores dejan de ser aplicables. Si y es el
esfuerzo de fluencia del material, la menor relacin de esbeltez
para la cual es aplicable la formula de Euler est definida por:
y
ErL
2
(VI.9)
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Elementos de acero
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4.1.2 Pandeoinelstico
Existen diferentes propuestas para calcular la carga crtica de
pandeo para una barra en el intervalo de comportamiento inelstico.
Las soluciones propuestas comprenden soluciones tericas, as como
soluciones empricas obtenidas experimentalmente. En este curso se
mencionarn dos mtodos tericos sencillos para ilustrar
conceptualmente como se toma en cuenta el comportamiento inelstico
del material en el clculo de la carga crtica de pandeo. Teora del
mdulo tangente El mtodo consiste en suponer que la seccin
transversal de la barra permanece plana y que toda la seccin
transversal fluye. Bajo estas suposiciones la carga crtica de
pandeo se obtiene de la misma forma que en el caso elstico, pero
considerando un mdulo de elasticidad tangente (ET) que se obtiene
de una curva esfuerzo-deformacin unitaria.
2
2
LIE
P tCR
(VI.10)
Si i es un esfuerzo mayor al esfuerzo de fluencia del material,
el valor de Et se calcula de la curva mostrada, conforme a:
yi
yitE
(VI.11)
Como el mdulo tangente depende del nivel de carga, el clculo de
la carga crtica de pandeo es un proceso iterativo. El proceso se
describe a continuacin: 1. Suponer un valor de carga P1 que sea
ligeramente mayor a la carga que produce la fluencia del material
(y A). 2. Con la carga P1 calcular el esfuerzo 1, asociado. (1 =
P1/A)
y
y
i
i
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Elementos de acero
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3. De la curva esfuerzo-deformacin calcular el valor del mdulo
tangente (Ec VI.11) 4. Con este valor de mdulo tangente calcular la
carga de pandeo P2, mediante la ecuacin (VI.10). 5. Si P2 se
aproxima a P1, P2 es la carga de pandeo inelstico. Si no se
aproximan, se hace P1=P2 y comienza de nuevo el proceso. Como puede
observarse, el mtodo del mdulo tangente es muy sencillo. Sin
embargo, son claras las limitaciones que tiene. Cuando la barra
comienza a deformarse, se tienen esfuerzos de flexin y compresin
combinados, por lo que los esfuerzos en la barra no podran ser
iguales, como el mtodo supone. Teora del mdulo reducido Este mtodo
considera que los esfuerzos en toda la seccin no son iguales y que
podra presentarse el caso de que en la zona de compresin de la
columna se hubiera alcanzado la fluencia del material, mientras que
en la zona de tensin el material siguiera elstico. Esto equivaldra
a considerar diferentes mdulos de elasticidad para cada zona de la
seccin transversal, mediante un mdulo de elasticidad reducido (Er).
Con este mdulo de elasticidad reducido la carga de pandeo inelstico
se calcula con la ecuacin que se muestra a continuacin
2
2
LIE
P rCR
(VI.12)
El valor de Er depende de la forma de la seccin transversal y es
funcin del mdulo de elasticidad inicial y del mdulo tangente. Para
secciones rectangulares es igual a:
24
t
tr
EE
EEE
(VI.13)
Para secciones I:
t
tr EE
EEE
2 (VI.14)
Este mtodo sigue el mismo proceso iterativo que el mtodo del
mdulo tangente, pero considerando en los clculos el valor del mdulo
reducido.
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Elementos de acero
54
4.1.3 Pandeoporflexotorsin Cuando una barra tiene baja rigidez a
torsin, como lo son secciones en forma de cruz, canales, ngulos o
secciones de perfiles muy delgados, adems del pandeo por flexin
debe considerarse el pandeo por flexotorsin. El pandeo por
flexotorsin se presenta cuando el eje de la barra tiende a
permanecer recto, mientras que la seccin transversal presenta un
movimiento de rotacin. Por cuestiones de tiempo, en este curso no
se presentar una discusin detallada de este fenmeno. Una descripcin
adecuada puede encontrarse en: Theory of elastic stability,
Timoshenko y Gere.
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Elementos de acero
55
Frmulas de diseo NTC-EM (2005)
En columnas compuestas, del tipo de las formadas por cuatro
ngulos ligados entre
s por celosas, se consideran los estados lmite del miembro
completo y de cada uno de los elementos comprimidos que lo
forman.
Estados lmite (Secciones tipo 1, 2, 3)
Inestabilidad por flexin. Secciones con 2 ejes de simetra y alta
rigidez a torsin.
-Inestabilidad por flexin. - Pandeo por torsin - Pandeo por
flexotorsin
Secciones tipo 4 Estados lmite combinados de flexin, torsin o
flexocompresin y pandeo local.
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Elementos de acero
56
3.2.2.1 Estado lmite de inestabilidad por flexin
a) Miembros de seccin transversal H, I o rectangular hueca
donde: FR factor de resistencia, igual a 0.9, At rea total de la
seccin transversal de la columna; parmetro de esbeltez, que se
calcula conforme a lo siguiente
donde KL/r es la relacin de esbeltez efectiva mxima de la
columna; y n coeficiente adimensional, que tiene alguno de los
valores siguientes: 1) Columnas de seccin transversal H o I,
laminadas y flexionadas alrededor de cualquiera de sus ejes de
simetra, o hechas con tres placas soldadas obtenidas cortndolas con
oxgeno de placas ms anchas, flexionadas alrededor del eje de mayor
momento de inercia, de acero con lmite de fluencia no menor de 414
MPa (4220 kg/cm) y con patines de no ms de 50 mm de grueso,
columnas de seccin transversal rectangular hueca, laminadas en
caliente o formadas en fro y tratadas trmicamente, o hechas con
cuatro placas soldadas, de acero con lmite de fluencia no menor de
414 MPa (4220 kg/cm), y todos los perfiles con dos ejes de simetra
relevados de esfuerzos, que cumplen con los requisitos de las
secciones 1, 2 3 de la seccin 2.3.1: n=2.0.
2) Columnas de seccin transversal H o I, laminadas o hechas con
tres placas soldadas obtenidas cortndolas con oxgeno de placas ms
anchas, y columnas de seccin transversal rectangular hueca,
laminadas o hechas con cuatro placas soldadas, que cumplen con los
requisitos de las secciones tipo 1, 2 3 de la seccin 2.3.1:
n=1.4.
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Elementos de acero
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3) Columnas de seccin transversal H o I, hechas con tres placas
laminadas soldadas entre s, que cumplen con los requisitos de las
secciones tipo 1, 2 3 de la seccin 2.3.1: n=1.0.
b) Miembros cuya seccin transversal tiene una forma cualquiera,
no incluida en 3.2.2.1.a: Rc se calcula con la ecuacin para
secciones I H, con n=1.4; y FR igual a 0.9.
Estado lmite de inestabilidad por flexin (AISC 2005)
PR= FR Pn FR= 0.9
donde Fe es el esfuerzo de pandeo elstico, definido por:
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Elementos de acero
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00.20.40.60.8
11.2
0 50 100 150 200kL/r
fres / fy n=2 n=1.4n=1 AISCEuler lim
00.20.40.60.8
11.2
0 50 100 150 200kL/r
fres / fy n=2 n=1.4n=1 AISCEuler lim
Fy= 2530 kg/cm2 Fy= 3500 kg/cm2
00.20.40.60.8
11.2
0 50 100 150 200kL/r
fres / fy n=2 n=1.4n=1 AISCEuler lim
Fy= 4200 kg/cm2
3.2.2.2 Estados lmite de pandeo por torsin o por flexotorsin
Los estados lmite de pandeo por torsin o por flexotorsin deben
revisarse en miembros comprimidos de seccin transversal con uno o
ningn eje de simetra, tales como ngulos y tes, o con dos ejes de
simetra pero muy baja rigidez torsional, como las secciones en
forma de cruz y las hechas con placas muy delgadas.
-
Elementos de acero
59
Cuando la seccin transversal de la columna es tipo 1, 2 3, la
resistencia de diseo, Rc , se determina con la ecuacin de la seccin
3.2.2.1, con n=1.4 y FR=0.85, sustituyendo por e, dada por
donde Fe es el menor de los esfuerzos crticos de pandeo elstico
por torsin o flexotorsin; se determina de acuerdo a lo
siguiente:
a) Columnas de seccin transversal con dos ejes de simetra:
b) Columnas de seccin transversal con un eje de simetra:
En esta ecuacin se ha supuesto que el eje de simetra es el Y;
cuando sea el X, se harn los cambios de subndices apropiados. c)
Columnas cuyas secciones transversales no tienen ningn eje de
simetra, Fe es la menor de las races de la siguiente ecuacin
cbica:
donde:
-
Elementos de acero
60
Fex y Fey se calculan respecto a los ejes centroidales y
principales. Las literales que aparecen en las ecuaciones
anteriores tienen los significados siguientes: E mdulo de
elasticidad; G mdulo de elasticidad al esfuerzo cortante; J
constante de torsin de Saint Venant; Ca constante de torsin por
alabeo; Ix, Iy momentos de inercia de la seccin transversal de la
columna alrededor de cada uno de sus ejes centroidales y
principales X y Y; Lx, Ly, Lz longitudes libres para pandeo por
flexin alrededor de los ejes X y Y y para pandeo por torsin; Kx,
Ky, Kz factores de longitud efectiva para pandeo por flexin
alrededor de los ejes X y Y y para pandeo por torsin; xo, yo
coordenadas del centro de torsin con respecto a un sistema de ejes
centroidales y principales; rx, ry radios de giro de la seccin
transversal de la columna respecto a los ejes centroidales y
principales X y Y; ro radio polar de giro de la seccin transversal
respecto al centro de torsin 3.2.2.3 Estados lmite de flexin,
torsin o flexotorsin, y pandeo local, combinados Secciones tipo 4
2.3.6 Secciones tipo 4 (esbeltas)
En la determinacin de las propiedades geomtricas necesarias para
calcular la resistencia de diseo de miembros estructurales que
contienen elementos planos comprimidos de relacin ancho/grueso
mayor que el lmite correspondiente a secciones tipo 3, deben
utilizarse anchos efectivos reducidos be, que se calculan como se
indica en las secciones siguientes. 2.3.6.1 Anchos efectivos de
elementos planos atiesados comprimidos uniformemente
Los anchos efectivos, be, de elementos planos atiesados
comprimidos uniformemente, se determinan con las expresiones:
-
Elementos de acero
61
b ancho total del elemento plano; t grueso del elemento plano; y
k coeficiente de pandeo de placas igual a 4.0 para elementos
atiesados soportados por un alma en cada borde longitudinal. Para
placas que formen parte de miembros en compresin f se toma igual a
Fn, que es el esfuerzo crtico de pandeo nominal del miembro
completo (ver seccin 3.2.2.3). 2.3.6.2 Anchos efectivos de
elementos planos no atiesados comprimidos uniformemente Los anchos
efectivos, be, de elementos planos no atiesados comprimidos
uniformemente se determinan con las ecuaciones anteriores, haciendo
k = 0.43.
Cuando la seccin transversal de la columna es tipo 4, la
resistencia de diseo Rc se determina, cualquiera que sea la forma
de la seccin, pero siempre que est formada por elementos planos,
con la ecuacin:
con n=1.4 y FR = 0.85, sustituyendo por e (ec. 3.5), y At por
Ae, que es el rea efectiva correspondiente al esfuerzo Fn, definido
por la siguiente expresin.
En el clculo de e se debe usar un valor de Fe definido por: a)
Columnas de seccin transversal con dos ejes de simetra, en cajn, o
cualquier otra seccin para la que pueda demostrarse que el pandeo
por torsin o flexotorsin no es crtico:
b) Columnas de seccin transversal con dos ejes de simetra,
sujetas a pandeo por torsin:
Fe es el menor de los siguientes valores.
-
Elementos de acero
62
c) Columnas de seccin transversal con un eje de simetra, sujetas
a pandeo por flexotorsin: Fe es el menor de los valores
siguientes.
d) Columnas cuyas secciones transversales no tienen ningn eje de
simetra: Fe es la menor raz positiva de:
En la determinacin de Fe se utilizan los radios de giro de la
seccin transversal completa. 3.2.3 Columnas tubulares de seccin
transversal circular La resistencia de diseo de columnas de seccin
transversal circular hueca, de paredes delgadas, sometidas a
compresin axial, cuyas relaciones dimetro exterior/grueso de pared
(D/ t) son mayores que 0.115 E/Fy, pero no exceden de 0.448 E/Fy,
se calcula conforme a:
con n=1.4 y FR = 0.85, sustituyendo por e (ec. 3.5), y At por
Ae, que es el rea efectiva correspondiente al esfuerzo Fn, definido
por la siguiente expresin.
En el clculo de e se deben usar los siguientes valores de Fe y
Ae:
-
Elementos de acero
63
donde D dimetro exterior de la seccin; t grueso de la pared; y
At rea total, no reducida, de su seccin transversal.
-
Elementos de acero
64
Frmulas para calcular constantes de alabeo
m
ssw dstC0
2 s
s dsr0
m
ss dsm 0
1
donde r es la distancia de la lnea media al centro de cortante,
t es el espesor y m es la longitud de la lnea media de la seccin
transversal. Para tubos, secciones en cajn, dobles ngulos y tes,
Ca=0
-
Ejemplo. Encontar la capacidad de carga axial de una columna
hecha con 2 canales en cajn CE203x17.11 kgf/m, para una altura h=3
m. La columna esta biartculada en ambos extremos.
Cotas cm.
Datos de cada canalAltura L 3 m
rea de cada canal A 35.42 cm2 IMCA
rea total At 2 A 70.84 cm2
Momento de Inercia X IX 1818.9 cm4
Momento de Inercia Y IY 83.25 cm4
Excentricidad x 1.435 cm
Longitud del patn bf 6.419 cmEspesor Patn tf 8.71 mm
Factor de longitud efectiva K 1.0Datos del acero
Fy 2530kgf
cm2Esfuerzo de fluencia
Mdulo elsticoE 2040000
kgf
cm2
Tipo de seccin. Valores mximos de larelacin ancho/grueso Tabla
2.1Caso 8Tipo 1 2 y 3
2bftf
14.739 < 1.47EFy
41.742
Se considera una seccin Tipo 1
Clculo de los momentos de Inercia en el centro de la columna
Ix 2 IX 2 A 02 3637.8 cm4Iy 2 IY 2 A bf x( )2 1926.184 cm
4
Clculo de los radios de giro
-
rxIxAt
0.072 m ryIyAt
0.052 m
Revisin por esbeltez
Relacin de esbeltez
K L( )rx
41.864
